高考数学压轴专题专题备战高考《矩阵与变换》全集汇编及解析

新高中数学《矩阵与变换》专题解析
一、15
1．用行列式法解关于x 、y 的二元一次方程组42
mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩
，并对解的情况进行讨
论.
【答案】见解析 【解析】 【分析】
写出,,x y D D D ，讨论2m ≠±，2m =-，2m =时的三种情况得到答案. 【详解】
22242244,2,21
1
y x m m m m D m D m m D m m m
m
m
m
++=
=-=
=-++=
=-
当2m ≠±时，0D ≠，原方程组有唯一组解2
12m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨
+⎪=⎪+⎩
； 当2m =-时，0D =，80x D =≠，原方程组无解； 当2m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷组解.
综上所述：2m ≠±是，有唯一解；2m =-时，无解；2m =时，无穷组解. 【点睛】
本题考查了利用行列式计算二元一次方程组，意在考查学生对于行列式的应用能力.
2．解方程：
2364
9
x x
x
=.
【答案】1x = 【解析】 【分析】
根据行列式的运算性质，求得29346x
x x ⨯-⨯=，转化为3
22()3()12
3
x
x
⨯-⨯=，令
3()2x t =，得到方程1
231t t ⨯-⨯=，进而即可求解
【详解】
根据行列式的运算性质，可得
23293449x
x
x
x
=⨯-⨯，即29346x x x ⨯-⨯=，
方程两边同除6x ，可得322()3()12
3
x
x
⨯-⨯=，
令3()2
x
t =，且0t >，则21()3
x
t =，可得1231t t
⨯-⨯=，解3
2
t =或1t =-（舍去）， 即33
()2
2
x
=
，解得1x =. 故答案为：1x =. 【点睛】
本题主要考查了行列式的运算性质，以及指数幂的运算和一元二次方程的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合指数幂的运算和一元二次方程的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于基础题.
3．a ，b 满足什么条件时，关于x ，y ，z 的方程组4424ax y z x by z x by z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
有唯一解.
【答案】当0b ≠且1a ≠时 【解析】 【分析】
计算对应行列式为()11
1
110121
a
D b
b a b ==-≠，计算得到答案.
【详解】
4
424ax y z x by z x by z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
有唯一解，则()1111212110121a D b ab b b ab b a b ==++---=-≠ 所以当0b ≠且1a ≠时有唯一解 【点睛】
本题考查了方程组的唯一解问题，意在考查学生的计算能力.
4．解关于x ，y 的方程组21
22ax y a ax ay a +=+⎧⎨-=-⎩
.
【答案】见解析 【解析】 【分析】
根据对应关系，分别求出D ，x D ，y D ，再分类讨论即可 【详解】 由题可得：()1
22a D a a a a
=
=-+-，()2211=212x a D a a
a
+=
-+--，
221522y a a D a a
a
+=
=--.
所以，（1）当0a ≠且2a ≠-时，()
()221252a x a a a y a ⎧+⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩
； 当0a =或2-时，0x D ≠，方程组无解 【点睛】
本题考查二元一次方程的解与行列式的对应关系，属于中档题
5．已知直线1l ：420mx y m +--=，2l ：0x my m +-=，分别求实数m 满足什么条件时，直线1l 与2l 相交？平行？重合？
【答案】当2m ≠且2m ≠-时，相交；当2m =-时，平行；当2m =时，重合 【解析】 【分析】
计算出(2)(2)D m m =+-，(2)x D m m =-(1)(2)y D m m =+-，讨论是否为0得到答案. 【详解】
42
mx y m x my m +=+⎧⎨
+=⎩
2
44(2)(2)1m D m m m m
=
=-=+-，24(2)4(2)x m D m m m m m m
m
+=
=+-=-
22
(2)(1)(2)1
y m m D m m m m m
+=
=-+=+-
（1）当2m ≠且2m ≠-时，0D ≠，方程组有唯一解，1l 与2l 相交 （2）当2m =-时，0,80x D D ==≠，1l 与2l 平行 （3）当2m =时，0x y D D D ===，1l 与2l 重合 【点睛】
本题考查了直线的位置关系，意在考查学生的计算能力.
6．已知线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩
．
()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵；
()2运用矩阵变换求解方程组．
【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）3421
2021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
【解析】 【分析】
()1由线性方程组5210
258
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵．
()2由1703450105210521021
21258102540202001
012121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎛⎫⎛⎫→→→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭
，能求出方程组的解． 【详解】
（1）Q 线性方程组5210
258x y x y +=⎧⎨
+=⎩
．
∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫
⎪⎝⎭
， 增广矩阵为5210.258⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）因为5210
258x y x y +=⎧⎨+=⎩
，
1703452105010521052105210212120258102540021202020010101212121⎛
⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪-----
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭
，
34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
．
【点睛】
本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．已知矩阵11m A m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
（0m >）满足24A I =（I 为单位矩阵）．
（1）求m 的值；
（2）设(,)P x y ，,()'Q x y '．矩阵变换11x m x y m y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
可以将点P 变换为点Q ．当点P 在直线:1l y x =+上移动时，求经过矩阵A 变换后点Q 的轨迹方程．
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．
【答案】（1
）m （2
）1)1)40x y ''--=（3
）存在，1:l y x =
，2:l y =．
【解析】 【分析】
（1）计算2A ，由24A I =可求得m ；
（2
）由1
1x x y y ⎛'⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎭
，得x x y y ⎧=+⎪⎨=-''⎪⎩
，解得44x x y y ⎧=+⎪⎨='
-''
'⎪⎩．代入1y x =+可得；
（3）首先确定这种变换，与坐标轴垂直的直线不合题意，因此设直线l 方程为
(0)y kx b k =+≠，求出变换后的直线方程，两方程表示的直线重合，可求得k ，可分类
0b ≠和0b =．
【详解】
（1）0m >Q ，22
21110104110101m m m A m m m ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，
m ∴=（2
）1
1x x x y y y ⎛⎛⎫
'+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎪⎪'--⎝⎭⎝⎭⎭⎭
Q ，
即x x y y ⎧=⎪⎨=-''⎪⎩
，44x x y y ⎧=+⎪∴⎨='
-''
'⎪⎩． ∵点(,)P x y 在直线1y x =+上，
4y x ''''-=++，
即点()','Q x y
的轨迹方程1)1)40x y ''--+-=． （3）垂直于坐标轴的直线不合要求．
设:(0)l y kx b k =+≠，(,)P x y
，()Q x y +-
()y k x b -=++Q ，
1)(y k x b ∴-+=+
当0b ≠
时，1)1,k k -+==，无解．
当0b =
时，
21)201k k k
-+-=⇒+-=,
解得3
k =
或k =
∴所求直线是1:l y x =
，2:l y =． 【点睛】
本题考查矩阵的运算，考查矩阵变换，求变换后的曲线方程，可设原曲线上点坐标为
(,)P x y ，变换后为()','Q x y ，由矩阵运算得'(,)'(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩，然后解得(',')
(',')x h x y y i x y =⎧⎨=⎩
，
把(,)x y 代入原曲线方程即得新方程．
8．已知关于x ,y 的一元二次方程组：22
3(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩
，当实数m 为何值时，并在
有解时求出方程组的解. （1）方程组有唯一解？ （2）方程组无解？ （3）方程组有无穷多解？
【答案】（1）2m ≠-且3m ≠，23233x m
m y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
；（2）3m =；（3）2m =-
【解析】 【分析】
分别求出二元一次方程组对应的,,x y D D D ，再根据有唯一解、无解、无穷多解情况求解即可； 【详解】
一元二次方程组：22
3(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩
对应的
()()22
63231
m D m m m m m =
=--=-+-
()2222211x D m m m =
=-++-，()()2
232321
y m D m m m ==-++
（1）当0D ≠时，方程组有唯一解，即3m ≠且2m ≠-，此时23233x y D x D m
D m y D m ⎧
==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩
，即
23233x m
m y m ⎧=⎪⎪-⎨
-⎪=⎪-⎩
； （2）方程组无解的情况等价于0D =时，0x D ≠或者0y D ≠，即只有3m =时符合情况；
（3）方程组有无穷多解等价于0,0,0x y D D D ===，符合的解只有2m =- 【点睛】
本题考查二元一次方程组用二阶行列式求解解的情况，属于中档题
9．已知1m >，1n >，且1000mn <，求证：lg 9
01
lg 4
m n <. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】
由题意，求得11000mn <<，利用基本不等式，得到2
lg lg 90lg lg 24
m n m n +⎛⎫<<=
⎪⎝⎭，
再结合行列式的运算，即可求解. 【详解】
由题意，实数1m >，1n >，且1000mn <，可得11000mn <<，
则2
lg lg 90lg lg 24
m n m n +⎛⎫<<=
⎪⎝⎭，
又由lg 919
lg ln 9lg ln 1
44lg 4
m m n m n n
=-⨯=-，所以lg 9
01lg 4m n <. 【点睛】
本题主要考查了行列式的运算性质，以及对数的运算性质和基本不等式的应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，以及合理应用对数的运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
10．已知点()3,1A ，()1,3B -，i v ，j v
分别是基本单位向量.
（1）若点P 是直线2y x =的动点，且0AP i AP j BP j
BP i
⋅⋅=-⋅⋅u u u v u u u v v v u u u v u u u v v v ，求点P 的坐标 （2）若点(),P x y 满足12
41
2
6101
x y -=且OP OA OB λμ=-u u u v u u u v u u u v
，λ，μ是否存在自然数
解，若存在，求出所有的自然数的解，若不存在，说明理由.
【答案】（1）()0,0，()2,4（2）存在，0λ=，2μ=或2λ=，1μ=或4λ=，
0μ=
【解析】 【分析】
(1)设P 的坐标为(),2x x ,再根据行列式的运算求解即可.
(2)利用12
41
2
6101
x
y -=求出(),P x y 满足的关系式,再根据OP OA OB λμ=-u u u r u u u r u u u r
求出关于(),P x y 满足的关系式,再求自然数解即可.
【详解】
(1)由题,设P 的坐标为(),2x x ,因为0AP i AP j
BP j BP i
⋅⋅=-⋅⋅u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ,
故()()()()
0AP i BP i BP j AP j ⋅⨯⋅--⋅⨯⋅=u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ,化简得0AP BP ⋅=u u u r u u u r
,
即()()3,211,230x x x x --⋅+-=,即2222348305100x x x x x x --+-+=⇒-=. 解得0x =或2x =.代入可得()0,0或()2,4
(2)由12
412
6101
x
y
-=得12(6)4(2)(26)0y x y x ----++=.化简得8y x =-.
又OP OA OB λμ=-u u u r u u u r u u u r ,故()()()3,11,3,x y λμ=--,即33x y λμ
λμ=+⎧⎨
=-⎩
. 故33824λμλμλμ-=+-⇒+=,又,λμ为自然数.故0λ=，2μ=或2λ=，1μ=或4λ=，0μ= 【点睛】
本题主要考查了向量与行列式的基本运算等,需要根据题意求得关于(),P x y 的关系式,属于中等题型.
11．设变换T 是按逆时针旋转
2
π
的旋转变换，对应的变换矩阵是M . （1）求点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标；
（2）求曲线2
:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程.
【答案】（1）()1,1-；（2）2
y x =-.
【解析】 【分析】
（1）根据所给旋转变换的角度可求得对应的矩阵，由所给点的坐标即可求得变换后的对应坐标；
（2）根据变换可得矩阵乘法式，计算后代入方程即可得变换后的曲线C '的方程. 【详解】
（1）由题意变换T 是按逆时针旋转
2
π
的旋转变换，对应的变换矩阵是M ， 可知cos sin
012
210sin cos 2
2M ππππ⎛⎫
- ⎪-⎛⎫
==
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
， 1011111011M --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标为()1,1-.
（2）设x y ⎛⎫
⎪⎝⎭
是变换后曲线C '上任意一点，与之对应的变换前的点为00x y ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 则00x x M y y ⎛⎫⎛⎫⋅=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，即000110x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以00y x x y -=⎧⎨=⎩，即00
x y
y x =⎧⎨=-⎩，
因为00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在曲线2
:C y x =上，将00x y y x =⎧⎨=-⎩代入可得2x y -=，
即2
y x =-，
所以曲线2
:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程为2
y x =-. 【点睛】
本题考查了旋转变换对应矩阵的求法，由矩阵求对应点的坐标，矩阵的乘法运算应用，属于中档题.
12．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为()0q q ≠.
（1）求二价行列式
1
3
24
a a a a 的值； （2）试就q 的不同取值情况，求解二元一次方程组132
43
2a x a y a x a y +=⎧⎨
+=⎩.
【答案】（1）0；（2）当23q =时，方程组无数解，且439x t y t
⎧
=-⎪
⎨⎪=⎩，t R ∈；当23q ≠且
0q ≠时，方程组无解.
【解析】 【分析】
（1）由行列式定义计算，再根据等比数列的性质得结论； （2）由二元一次方程组解的情况分析求解． 【详解】
（1）∵{}n a 是等比数列，∴1423a a a a =， ∴
1
3
24
a a a a 14230a a a a =-=． （2）由（1）知方程组无解或有无数解． 当
241323a a q a a ===时，方程组有无数解，此时方程组中两个方程均为439
x y +=， 解为439x t y t
⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
当2
3q ≠
且0q ≠时，方程组无解． 【点睛】
本题考查行列式的概念，考查等比数列的性质，考查二元一次方程组的解的情况．掌握二元一次方程组的解的情况的判断是解题基础．
13．已知函数()2cos 2sin 3sin cos 3x f x x παα
παα
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭=
⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭
.
（1）求()f x 的单调增区间. （2）函数()f x 的图象F 按向量,13a π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
v 平移到'F ，'F 的解析式是()'y f x =.求()'f x 的零点.
【答案】（1）42,233k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈；（2）23
x k π
π=±，k Z ∈. 【解析】 【分析】
（1）由题意根据二阶行列式的运算法则及利用两角和差的三角公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
（2）由题意利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()2cos 1f x x '=-，再根据函数零点的定义和求法求得()f x '的零点． 【详解】
解：（1）()2cos 2sin 3sin cos 3x f x x παα
παα
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭=
⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭
Q
()2cos cos 2sin sin 33f x x x ππαααα⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2cos 3x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
令223
k x k π
πππ-≤+
≤，k Z ∈，求得42233
k x k ππ
ππ-≤≤-，k Z ∈， 则()f x 的单调增区间42,233k k ππππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈. （2）()2cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q 按向量,13a π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
r 平移到'F
'F ∴的解析式是()'2cos 1y f x x ==-，令2cos 10x -=，
解得23
x k π
π=±
，k Z ∈.
所以()'f x 的零点为23
x k π
π=±，k Z ∈.
【点睛】
本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的单调性，sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，函数零点的定义和求法，属于基础题．
14．已知函数cos 2()sin 2m x f x n
x
=
的图象过点(
12
π
和点2(
,2)3
π
-. （1）求函数()f x 的最大值与最小值；
（2）将函数()y f x =的图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位后，得到函数()y g x =的图象；已知点(0,5)P ，若函数()y g x =的图象上存在点Q ，使得||3PQ =，求函数
()y g x =图象的对称中心.
【答案】（1）()f x 的最大值为2，最小值为2-；（2）(,0)()24
k k Z ππ
+∈. 【解析】 【分析】
（1）由行列式运算求出()f x ，由函数图象过两点，求出,m n ，得函数解析式，化函数式为一个角的一个三角函数式，可求得最值；
（2）由图象变换写出()g x 表达式，它的最大值是2，因此要满足条件，只有(0,2)Q 在
()g x 图象上，由此可求得ϕ，结合余弦函数的性质可求得对称中心．
【详解】
（1）易知()sin 2cos 2f x m x n x =-
，则由条件，得sin cos 66
44sin cos 233m n m n ππππ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
，
解得 1.m n =
=-
故()2cos22sin(2)6
f x x x x π
=+=+
.
故函数()f x 的最大值为2，最小值为 2.-
（2）由（1）可知： ()()2sin(22)6
g x f x x π
ϕϕ=+=++
.
于是，当且仅当(0,2)Q 在()y g x =的图象上时满足条件.
(0)2sin(2)26g πϕ∴=+=. 由0ϕπ<<，得.6
π
ϕ=
故()2sin(2)2cos 22
g x x x π
=+
=. 由22
x k =+
π
π，得().24
k x k Z ππ
=
+∈ 于是，函数()y g x =图象的对称中心为：(,0)()24
k k Z ππ
+∈. 【点睛】
本题考查行列式计算，考查两角和的正弦公式，图象平移变换，考查三角函数的性质，如最值、对称性等等．本题主要是考查知识点较多，但不难，本题属于中档题．
15．定义“矩阵”的一种运算()x a b ax by cx dy c y d ⎡⎤⎛⎫
⋅=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
，，该运算的意义为点(),x y 在矩阵a b c d ⎛⎫
⎪⎝⎭的变换下成点()ax by cx dy ++，
，设矩阵11A ⎛=-⎭
()1已知点P 在矩阵A 的变换后得到的点Q
的坐标为)
2，试求点P 的坐标；
()2是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A 变换后得到的点仍在该直线上？若存
在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．
【答案】（1
）1
4
⎫
⎪
⎭
（2
）存在，直线方程为：y x
=
或y=
【解析】
【分析】
()1设(),
P x y，由题意，得出关于x、y的方程，解之即得P点的坐标；()2对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的直线，设直线方程为：
()0
y kx b k
=+≠，该直线上的任一点(),
M x y
，经变换后得到的点
()
N x y
+-仍在该直线上，再结合求方程的解，即可求得k，b值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【详解】
()1设(),
P x y
由题意，有
1
2
4
x
x
y y
⎧
=
⎧⎪
+=
⎪⎪
⎨⎨
-=
⎪⎪
⎩=
⎪⎩
，
即P
点的坐标为
1
4
⎫
⎪
⎭
．
()2假设存在这样的直线，因为平行坐标轴的直线显然不满足条件，
所以设直线方程为：()0
y kx b k
=+≠
因为该直线上的任一点()
,
M x y
，经变换后得到的点()
N x y
+-仍在该直线上
()
-=++
y k x b
即
)()
10
k x y b
--=，其中()0
y kx b k
=+≠
代入得
()
2220
k x b
+++=对任意的x∈R
恒成立()
220
20
k
b
+=
+=
⎪⎩
解之得
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
k
b
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
故直线方程为y x
=
或y=．
【点睛】
此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的求法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，属于中档题．
16．已知,R a b ∈，矩阵 a b c d A ⎡=⎤
⎢⎥⎣⎦
，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点
()2,1P -在A 对应的变换作用下得到点()1,2P '-，求矩阵A .
【答案】2314A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】
根据矩阵的特征值和特征向量的定义建立等量关系，列方程组求解即可. 【详解】 由题意可知，1155115a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且2112a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所以552122a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，解得2
314
a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，
即矩阵2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】
此题考查矩阵特征值和特征向量的辨析理解，根据题中所给条件建立等量关系解方程组得解.
17．在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得
到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90o 得到点B '，求点B '的坐标． 【答案】()1,4- 【解析】
试题分析：先根据矩阵运算确定()1,2A '，再利用向量旋转变换0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
确定：A B ''u u u u r
.
因为
，所以1
{4
x y =-=
试题解析：解：设(),B x y '，
依题意，由10110122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，得()1,2A ' 则
．
记旋转矩阵0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，
则01211022x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2122x y --⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，解得1{4x y =-=， 所以点B '的坐标为()1,4- 考点：矩阵运算，旋转矩阵
18．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. （1）求矩阵M ；
（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程.
【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
（2）2
92y x x =- 【解析】 【分析】
（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；
（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程． 【详解】
解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⋅=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 即31333a b -+=⎧
⎨
-+=-⎩，解得2
0a b =⎧⎨=⎩，
所以2130M ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦
； （2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(
)
,P x y '
''
，
则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎣⎦，即23x x y
y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2
y x ''
=，所以2
92x x y =+， 所以曲线C 的方程为2
92y x x =-． 【点睛】
本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．
19．矩阵与变换:变换1T 是逆时针旋转
2
π
的旋转变换，对应的变换矩阵是1M 变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
求曲线22
1x y +=的图象依次在12,T T 变换的作用下所得曲线的方程.
【答案】2
2
221x xy y -+= 【解析】 【分析】
旋转变换矩阵10110M -⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，求出211110M M M -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，设x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
是变换后曲线上任一
点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，得到00
x y y y x =⎧⎨=-⎩，即得解.
【详解】
旋转变换矩阵10110M -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
记21110111011010M M M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤
===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
设x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，
面积00x x M y y ⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，也就是000x x y y x =-⎧⎨=⎩
，即00x y y y x =⎧⎨=-⎩，
代入22001x y +=，得22
()1y y x +-=，
所以所求曲线的方程是22
221x xy y -+= 【点睛】
本题主要考查矩阵和变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20．设,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a c
c b a a c b .
（1）求字母b 的代数余子式的展开式；
（2）若（1）的值为0，判断直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系. 【答案】（1）233b ac -；（2）重合. 【解析】 【分析】
（1）根据字母b 的代数余子式的展开式()
()
()
2
4
6
111b a b c b a c b
a b
c b
-+-+-即可求解；
（2）根据（1）的值为0，得出边长的关系，即可判断直线位置关系. 【详解】
（1）,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a c
c b a a c b ，
所以字母b 的代数余子式的展开式为：
()
()
()
2
4
6
111b a b c b a c b
a b
c b
-+-+-
222b ac b ac b ac =-+-+-
233b ac =-
（2）若（1）的值为0，即2330b ac -=，2b ac =，b c a b
=， 由正弦定理：sin sin c C b B
= 所以
sin sin c C b c b B a b
-===- 所以直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系是重合. 【点睛】
此题考查求代数余子式的展开式，得出三角形边长关系，结合正弦定理判断两直线的位置关系，跨章节综合性比较强.。