2023年高考之计数原理考点解读

合,
多在解答题中综合命 题,
考查同学们的逻
辑推理、
数 学 抽 象 等 数 学 素 养。 二 项 式 定 理
也是高考命题热点之一,
多 出 现 在 选 择、
填空
题中,
难度中等,
主要考查 二 项 展 开 式 中 的 特
定项、
二项式系数的性质、
二项式定理的应用
等,
也考查同学们的逻辑 推 理、
数学运算等数
学素养。
还能将问题拓展和推广,
从而
达到“
做一题、
会一类、
通一片”
的效果。
(
责任编辑
徐利杰)
高二年级各 2 名。
从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,
则
这2名学生来自不同年级的概率为(
1
A.
6
1
B.
3
1
C.
2
)
。
2
D.
3
命题意图:本 题 综 合 考 查 排 列 组 合 与 古
典概型,
也考查同学们的逻辑推理及数学运
算等数学素养。
解题思路:
利用古典 概 型 的 概 率 公 式,
结
合组合的知识进行解答。
(
·an-1 (
,
其中 a1 =1。
2
n-2)
n≥2)
容易得到 a3 =8,
即为本题所求的答案。
评析:
结草成环问题是一个古老的游戏问
6
!。
应用,
通过累乘法可以得到an =2n-1(
n-1)
些排列组 合 问 题 通 过 合 理 分 步、
恰 当 分 类,巧
妙地运用递推数列的思想方法,
不仅可以化繁
为简,
轻松破解,
类 选修课,
学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3
门,
并且每类选修课至少选 修 1 门,
则不同的
选课方案共有
。
种(
用数字作答)
计数原理是人们在大量实 践 经 验 的 基 础 上 归
命题意图:本 题 主 要 考 查 两 个 基 本 计 数
纳出来的基本规律,
也是 进 一 步 研 究 排 列、
组
原理与排列、
等数学素养。
解题思路:利 用 分 层 抽 样 的 原 理 和 组 合
数公式进行解答。
解析:
根据 分 层 抽 样 的 定 义 知 初 中 部 共
4
0
0
,高 中 部 共 抽 取 6
抽取 6
0×
=4
0(人 )
0×
6
0
0
2
0
0
。
人)
=2
0(
6
0
0
解析:
依题 意 知,
从这4名学生中随机选
2
2 名组织校 文 艺 汇 演,总 的 基 本 事 件 有 C4 =
(
先分类讨 论 选 修 2 门 或 3 门 课,当 选 修 3
3)
门时,
再讨论具体选修课 的 分 配 方 法,
结合组
合数运算进行解答。
(
解析:
1)不 妨 记 5 名 志 愿 者 为 a,
b,
c,
假设 a 连续 参 加 了 两 天 公 益 活 动,从 剩
d,
e,
余的 4 人中抽取 2 人分别 参 加 星 期 六 与 星 期
40
400
20
200
种。
有承上启下的作用,
故二者经常交汇构造一些
等可能事件的概率问题,
是高考命题的热点。
(
责任编辑
徐利杰)

(
上接第 4 页)
…,
草头 1 可以与草头 3,
4,
2
n-1,
2
n打
题,
是典 型 的 an =f(
意明确是 排 列 问 题 还 是 组 合 问 题,或 者 是 排
都能完成 整 个 事 件,分 类 的 关 键 在 于 要 做 到
质特征,
灵活运用基本原理和公式进行解答。
—
—
—任何一 类 中 任 何 一 种 方 法
能“
一步到位”
“
;而 分 步 则 只 能 “局 部 到 位 ”
—
—
—
不重 不 漏 ”
列与组合 的 混 合 问 题;其 次 要 抓 住 问 题 的 本
n)·an-1 型 递 推 公 式 的
打结,
此时 可 将 问 题 转 化 为 “
n-1 根 草 打 结
通过对上述六种题型的研究可以发现,
有
结,
共2
n-2 种 方 法;不 妨 设 草 头 1 与 草 头 3
,故 共 有 an-1
后所有草构成一个圆 环 的 问 题”
种 方 法,根 据 分 步 乘 法 计 数 原 理 得 an =
,
个)
其中 这 2 名 学 生 来 自 不 同 年 级 的 基 本
6(
1
。所以这2名学生来自
事件有 C1
个)
2C
2 =4(
不同年级的概率为
4 2
= 。选 D。
6 3
考点解读:
由于概率与排列组合联系紧密,
根据组合 公 式 和 分 步 计 数 原 理,可 得 不
同的抽样结果共有 C ·C
选 D。
例3
排列组合与概率的综合考查
(
3)【
2
0
2
3年全国新课标Ⅰ卷第1
3 题】
解题思路:(
1)利 用 分 类 加 法 原 理,分 类
讨论 5 名志愿者连续参加 两 天 公 益 活 动 的 情
况,
可求解。(
首先选相同 的 读 物 有 6 种 情
2)
况,
然后在剩余的读物中再选择2种读物进
行排列,最 后 根 据 分 步 计 数 原 理 进 行 解 答。
解答排列与组合问题时要注意一些策略
任何一步中任一种方法只 能 完 成 事 件 的 某 一
和方法技巧的应用,
如特 殊 元 素 优 先 安 排、
相
部分,
分步 的 关 键 在 于 要 正 确 设 计 分 步 的 程
邻问题捆绑处理、
不相邻 问 题 插 空 处 理、
定序
序,
即合理分类,
准确分步。
问题倍缩法处理等。
下面我们结合 2
对ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数
0
2
3 年 高 考 真 题,
原理高考考点进行解读。
考点 1
例 1
对计数原理综合应用的考查
(
1)【
2
0
2
3年全国甲卷理数第9
题】
现有 5 名志愿者报名 参 加 公 益 活 动,
在某
一星期的星期六、
星期日两 天,
每天从这5人
中安 排 2 人 参 加 公 益 活 动,则 恰 有 1 人 在 这
况,
然后两人各自选另外 一 种 读 物,
相当于在
剩余 的 5 种 读 物 中 选 出 2 种 进 行 排 列,共 有
2
1
A5 种方法。根 据 分 步 乘 法 原 理 知 共 有 C6 ·
2
种)
选法。选 C。
A5 =1
2
0(
(
3)(ⅰ )当 从 8 门 课 中 选 修 2 门,则 不
1
。
同的选课方案共有 C1
45
15
A.
C400 ·C200 种
)
。
20
40
B.
C400 ·C200 种
30
30
C.
C400 ·C200 种
40
20
D.
C400 ·C200 种
命题意图:本 题 是 考 查 抽 样 方 法 及 组 合
的知识,
考查同学们的逻辑推理及数学运算
【
某校
2
0
2
3年全国甲卷文数第4题】
文艺部有4名学生,
其中高一、
知识篇 新高考名师护航
高二数学 2024 年 3 月
■ 许昌市高中数学胡银伟名师工作室
计 数 问 题 是 重 要 的 数 学 问 题,通 过 对 计
数基本原理、
排列与组合、
二项式定理及其应
用的学习,
我们能够了解计数与现实生活的
联系,
能 够 初 步 解 决 简 单 的 计 数 问 题。 两 个
胡银伟
某学校开设了 4 门体育类选 修 课 和 4 门 艺 术
两天都参加的不同安排方式共有(
A.
1
2
0
B.
6
0
C.
3
0
)
种。
D.
2
0
(
2)【
2
0
2
3 年 全 国 乙 卷 理 数 第 7 题 】甲、
乙两位 同 学 从 6 种 课 外 读 物 中 各 自 选 读 2
种,
则这两人选读的课外读物中恰有1种相
同的选法共有(
A.
3
0种
C.
1
2
0种
)
。
B.
6
0种
D.
2
4
0种
组合知识的 综 合,
考查同学们逻
合问题的 基 础。 排 列、组 合 与 两 个 计 数 原 理
辑推理及数学运算等数学素养。
的综合是高考命题的热点,
试 题 难 度 较 小,
多
以选择、
填空题形式出现,
考查同学们的逻辑
推理、
数 学 运 算 等 数 学 素 养。 排 列 与 组 合 常
与概率、
离散型随机变量的分布列等知识综
考点 2
例 2
考点 3
对排列组合的考查
【
2
0
2
3 年全国新课标Ⅱ卷第 3 题】
某学校为了解学生参加体育运动的情况,
用比
例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,
拟从
初中部和高 中 部 两 层 共 抽 取 6
已知
0 名 学 生,
该校初中部和高中部分别有 4
0
0 名学生和 2
0
0
名学生,
则不同的抽样结果共有(
日的公益活动,
共有 A2
2(种)方 法。 同 理
4 =1
b,
c,
d,
e 连 续 参 加 了 两 天 公 益 活 动,也 各 有
1
2 种 方 法。 所 以 恰 有 1 人 连 续 参 加 了 两 天
公益活动的选择种数为 5×1
2=6
0。选 B。
(
首 先 确 定 相 同 的 读 物,共 有 C1
2)
6 种情
综上,
不同的选课方案共有1
6+2
4+2
4
考点解读:
排列、
组合 是 两 类 特 殊 的 计 数
。
种)
=6
4(
求解方式,
在计数原理求解中起着举足轻重
考点解读:运 用 两 个 计 数 原 理 解 题 的 关
的作用。 解 答 排 列、
组 合 问 题,
首先要根据题
,分 类 就 是
键在于正确 区 分 “分 类 ”与 “分 步 ”
种)
6(
4C
4 =1
(
当从 8 门 课 中 选 修 3 门,① 若 体 育
ⅱ)
类 选 修 课 有 1 门,则 不 同 的 选 课 方 案 共 有
1 2
;
种)
C4C4 =2
4(
② 若体育 类 选 修 课 有 2 门,则 不 同 的 选
1
。
课方案共有 C2
种)
4(
4C
4 =2
5
知识篇 新高考名师护航
高二数学 2024 年 3 月