BS期权定价公式

Black-Scholes 期权定价模型
一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件
Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：
1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。

S 遵循几何布朗运动，即dz dt S
dS σμ+=。

其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。

μ和σ都是已知的。

简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。

2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。

3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。

4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。

5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。

6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。

7．所有无风险套利机会均被消除。

二、Black-Scholes 期权定价模型
（一）B-S 期权定价公式
在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：
rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂2
22221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。

通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=
其中，
t T d t
T t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln()
)(2/()/ln(
c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。

（二）Black-Scholes 期权定价公式的理解
1. 1()SN d 可看作证券或无价值看涨期权的多头；()2()r T t Ke N d --可看作K 份现金或无价值看涨期权的多头。

可以证明，1/()f S N d ∂∂=。

为构造一份欧式看涨期权，需持有1()N d 份证券多头，以及卖空数量为2 ()rT K e N d -的现金。

Black-Scholes 期权定价公式用于不支付股利的欧式看涨期权的定价。

注意： 该公式只在一定的假设条件下成立，如市场完美（无税、无交易成本、资产无限可分、允许卖空）、无风险利率保持不变、股价遵循几何布朗运动等。

2.风险中性定价原理
风险中性定价原理：我们可以注意到期权价格是与标的资产的预期收益率无关的。

C(S, t)与 S 、r 、t 、T 、σ以及 K 有关，而与股票的期望收益率μ无关。

这说明欧式Call 的价格与投资者的风险偏好无关。

在对欧式Call 定价时，可假设投资者是风险中性的（对所承担的风险不要求额外回报，所有证券的期望收益率等于无风险利率）。

为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简单的例子来说明。

假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。

现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。

由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。

若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。

为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和∆单位的标的股票多头组成的组合。

若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（11∆－0.5）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9∆元。

为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的∆值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：11∆－0.5=9∆，我们解得：∆=0.25
因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。

无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。

在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。

假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为：元19.225.225.01.0=⨯-e
由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此：
元31.019
.225.010==-⨯f f
这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。

Black-Scholes 期权定价公式的计算：一个例子
为了使读者进一步理解Black-Scholes 期权定价模型，我们下面用一个简单的例子，来说明这一模型的计算过程。

假设某种不支付红利股票的市价为50元，无风险利率为12%，该股票的年波动率为10%，求该股票协议价格为50元、期限1年的欧式看涨期权和看跌期权价格。

在本题中，可以将相关参数表达如下：S ＝50，X ＝50，r=0.12,σ=0.1,T=1, 算出1d 和2d ：
121 1.250.1 1.15
d d d ===-=
计算()1N d 和()2N d ：
()()()()12 1.250.8944
1.150.8749N d N N d N ====
将上述结果及已知条件代入公式，这样，欧式看涨期权价格为：
0.121500.8944500.8749 5.92c e -⨯=⨯-⨯=美元
由-(-)()21()() r T t r T t P C Ke S Ke N d SN d --=+-=---可以算出欧式看跌期权价格：()()0.1215010.87495010.89440.27p e -⨯=⨯--⨯-=美元
四、影响欧式看涨期权价格的因素
从B-S 公式我们可以简单得出以下的结论：
(1)当期股价 S 越高，期权价格越高；
(2)到期执行价格 K 越高，期权价格越低；
(3)距离到期日时间 T-t 越长，期权价格越高；
(4)股价波动率σ越大，期权价格越高；
(5)无风险利率 r 越高，期权价格越高。

Black-Scholes 期权定价公式除了可以用来估计期权价格，在其它一些方面也有重要的应用。

主要有以下三方面：
（一） 对公司负债及资本进行估值：
一家公司A 发行两种证券：普通股100万股及1年后到期的总面值8000万元的零息债券。

已知公司总市值为1亿元，问：公司股票及债券如何定价？
令V 为当前A 公司资产市场价值，E 为A 公司资本市场价值，D 为A 公司债券市场价值。

V = E + D
考虑股东1年之后的收益：当A 公司价值VT 大于债券面值时，收益为VT -8000；当A 公司价值小于债券面值时，收益为0。

股东相当于持有一个执行价格为8000万元的欧式Call , 标的资产为公司价值当前资本价值为：
12()() rT E VN d Be N d -=-
给出其它具体数值，公司价值的波动率为0.3,无风险利率为8%，根据B-S 公司得到E=2824万元，公司负债价值D=V-E=7176万元。

（二）确定贷款担保价值或担保费用
假设某银行为公司发行的债券提供了信用担保。

1年之后，若公司价值VT 大于债券面值时，银行无须支付；若公司价值VT 小于债券面值时,银行须支付 VT – B 。

这相当于银行出售了一个欧式put , 标的资产仍为公司价值，执行价格为债券面值B 。

利用上面的例子，可采用B-S 看跌期权定价公式或看涨看跌期权平价公式，得到欧式put 的价值为209万元，A 公司应支付209万元的担保费。

（三）带有可转化特征的融资工具的定价
认股权证指赋予投资者在某一时期以约定价格向发行人购买公司新股的权利。

假设公司有N 股流通股，M 份流通欧式认股权证，一份认股权证使持有人在时刻T 以每股K 的价格购买x 股新股的权利。

设时期T 公司权益价值为ET ，若持有人选择执行认股权，公司权益价值变为 ET + MxK ，股票数量变为 N+Mx 。

执行认股权证后瞬间，股价变为(ET + MxK)/
(N+Mx)。

只有当这一股价大于执行价格 K 时，持有人才会执行认股权。

（1）当ET/N>K 时，持有人执行，其收益为: T E xN K N Mx N ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦
（2）当ET/N>K 时，持有人不执行，其收益为0。

一份认股权证的价值为: xN C N Mx
+ 其中C 是基于公司股票价格的欧式Call ，执行价格为K 。

利用B-S 公式得一份认股权证的价值。

六、B-S 期权定价公式的不足
B-S 公式当然也有其不足之处，首先Black-Scholes 期权定价公式估计的期权价格与市场价格存在差异，主要的原因有以下几点：
1) Black-Scholes 期权定价公式是建立在众多假定的基础上的，而我们现实
的市场是不满足它的很多假设条件的，因此，利用B-S 公式计算出来的
期权价格与真实的市场价格之间肯定会存在差异的；
2) 参数的错误：B-S 公式中的参数实际上是需要我们自己估算的，我们只
能根据历史数据来估算参数，这之间就存在一个误差；
3) 期权市场价格偏离均衡，此时的期权价格的估算显然没有其实际意义。

其次，对于无收益资产的期权而言,B-S 模型适合欧式看跌期权和看涨期权。

同时可以适用于美式看涨期权，因为在无收益情况下，美式看涨期权提前执行是不可取的，它的期权执行日也就是到期日，所以B-S 公式也适用美式看涨期权；对于美式看跌，由于可以提前执行，故不适合；
对于有收益资产的期权而言，只需改变收益现值（即变为标的证券减去收益折现），B-S 公式也适用于欧式看跌期权和看涨期权；在标的存在收益时，美式看涨和看跌期权存在执行的可能性，因此B-S 公式不适用。