广东省东莞市东华高级中学高一数学4月月考试卷(含解析)

广东省东莞市东华高级中学2015-2016学年高一数学4月月考试卷（含
解析）
一、选择题（12小题，每小题5分，共60分） 1．)3
10
sin(π-
的值等于 （ ） A ．－
21 B ．21 C ．－23 D ．2
3
【答案】D 【解析】
试题分析：10102sin()sin(4)sin 333ππππ-
=-+==．故选D ． 考点：诱导公式．
2．已知角α的终边落在直线5120x y -=上，则=αcos （ ） A ．1213±
B ．1213
C ．5
13± D ．513
- 【答案】A
考点：三角函数的定义，同角间的三角函数关系．
【名师点睛】运用任意角的三角函数定义求三角函数值时，先要判断终边的可能位置，然后在终边上任意取一点，也可取一特殊点，求出该点到原点的距离，再由定义来进一步求解，若有参数注意对参数进行分类讨论． 3．已知向量(3,7)AB =，(2,3)BC =-，则1
2
AC -= （ ）
A.152⎛⎫- ⎪⎝⎭，
B. 152⎛⎫ ⎪⎝⎭，
C. 152⎛⎫- ⎪⎝⎭
，- D.
152⎛⎫ ⎪⎝⎭
，- 【答案】C 【解析】
试题分析：(1,10)AC AB BC =+=，所以11
(,5)22
AC -=--，故选C ． 考点：向量的坐标运算．
4．已知向量3+=，35+=，33+-=，则（ ）
A.C B A ,,三点共线
B. D B A ,,三点共线
C. D C A ,,三点共线
D.
D C B ,,三点共线
【答案】B
考点：向量共线．
5．已知tan 2α=，则sin cos αα=( ) A.25-
B ．25 C.45- D ．4
5
【答案】B 【解析】
试题分析：2222sin cos tan 22
sin cos sin cos tan 1215
αααααααα=
===
+++．故选B ． 考点：同角间的三角函数关系．
6．若把函数)0(sin >=ωωx y 的图象向左平移3
π
个单位后与函数x y ωcos =的图象重合，则ω的值可能是 （ ） A.
31 B. 21 C. 23 D.
32 【答案】C 【解析】
试题分析：把函数)0(sin >=ωωx y 的图象向左平移
3
π
个单位后得sin ()sin()33πωπy ωx ωx =+=+，232ωππk π=+（k Z ∈）
，0k =时，3
2
ω=，故选C ． 考点：三角函数图象的平移，诱导公式． 7．函数)4
2sin(2)(π
-=x x f 的一个单调减区间是（ ）
A.]89,85[
ππ B.]83,8[ππ- C.]87,83[π
π D.]8
5,8[ππ
【答案】C
考点：三角函数的单调性．
8．下列函数中，图像的一部分如下图所示的是（ ）
A.)6
sin(π
+
=x y B.)
62sin(π
-=x y C ．)3
4cos(π
-=x y D ． )
62cos(π
-
=x y
【答案】D 【解析】
试题分析：由题意()4126T ππ=--，T π=，则22πωπ==，sin(2)0126
ππ
⨯-=，不合题意，而cos(2)1126
ππ
⨯
-=长凳题意，故选D ． 考点：()sin()f x A ωx φ=+或()cos()f x A ωx φ=+的图象．
9．设向量a ，b 满足1a =，2b =，()
0a a b ⋅+=, 则a 与b 的夹角是（ ） A ．
30 B ．
60 C ．
90 D ．
120 【答案】D
【解析】
试题分析：()
2
2
112cos ,0a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⨯⨯<>=，1
cos ,2
a b <>=
-
，所以,120a b <>=︒．故选D ．
考点：向量的夹角．
10．已知函数()sin 2f x x =向左平移6
π
个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的说法正确的是（ ） A ．图象关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,3-
π中心对称 B ．图象关于6π-=x 轴对称
C ．在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--6,125ππ单调递增 D ．在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-3,6ππ单调递减
【答案】C
考点：三角函数的图象平移，三角函数的性质． 11．函数11
()(sin cos )sin cos 22
f x x x x x =
+--,则()f x 的值域是（ ） A ．[]1,1- B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,22 C.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-22,1 D.⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-
-22,1 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意5cos ,2244()3sin ,2244ππx k πx k πf x ππx k πx k π⎧
+≤≤+⎪⎪=⎨⎪-≤≤+
⎪⎩
，
（k Z ∈），所以
2
()[1,
2
f x ∈-．故选C ．
考点：三角函数的性质，函数的值域．
【名师点睛】本题含有绝对值的函数，可以根据绝对值定义进行分类讨论支绝对值符号，化函数为分段函数形式，然后在每一段根据要求求解，本题在每个范围内求出函数的值域，然后求并集即可，还可以作出函数的图象，通过图象判断出函数的值域． 12．已知向量,,a b c 满足4,22,
a b ==a 与b 的夹角为
4
π
，()()1c a c b -⋅-=-，则
c a -的最大值为（ ）
1
2
1+1 【答案】D
考点：向量的坐标运算．
【名师点睛】本题求向量的模的最大值，一般要建立一个函数，即把c a -用一个参数表示出来，而对向量的数量积运算，题中参数的选取比较难．题中通过在直角坐标平面上取两点
B ，A ，巧妙地构造出符合题意的两个向量,OA a OB b ==，这样只要
设点C 坐标为(,)x y ，向量的数量积就可能用坐标表示出来，问题就转化求圆
22((1x y -+=的点到点A 的距离的最大值，利用思想结合思想顺利得解．平面
直角坐标系是数与形转换的一个重要的工具，在解题时要善于运用． 二、填空题（4小题，每小题5分，共20分） 13．已知角)20(παα≤≤的终边过点)3
2cos ,32(sin π
πP ，则=α 【答案】
116
π
【解析】
试题分析：因为22sin
0,cos 033
ππ><，故α是第四象限角，又22cos sin cos()cos()cos 32366
πππππα==-=-=，所以116π
α=． 考点：三角函数的定义．
14．已知角α的终边经过点()P y (0)y ≠，且sin 4
y α=
，则cos α= 【答案】4
6- 【解析】
试题分析：由题意
sin αy ==
，则25y =，所以cos 4α==-． 考点：三角函数的定义．
15. 若关于x 的方程0cos sin 2
=+-t x x 有实根，则实数t 的取值范围是
【答案】⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-145，
考点：方程有解问题，三角函数的性质．
【名师点睛】本题考查方程根的问题（函数零点），解题关键是进行问题的转化，肥方程有解问题转化为求函数值域，即求函数2
2
cos sin cos cos 1t x x x x =-=+-的值域，对此函数只要注意cos x 具有范围限制：cos [1,1]x ∈-，因此三角函数值域又可通过换元法变为求在给定区间上的二次函数的值域．在变换过程中注意参数的联欢会范围的变化，否则易出错． 16．已知Q P ,是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为54，Q 点的横坐标为13
5
，则POQ ∠cos = 【答案】65
33- 【解析】
试题分析：由题意34(,)55P ，512
(,)1313Q -，
则cos cos OP OQ OP OQ POQ POQ ⋅=∠=∠，又OP OQ ⋅345123541233(,)(,)()55131351351365=⋅-=⨯+⨯-=-，所以33
cos 65
POQ ∠=-．
考点：向量的数量积与向量的夹角．
【名师点睛】本题考查向量的夹角，通过向量的坐标运算与数量积的定义求得这个角，当我们学习了两角和与差的余弦公式后还可由此公式求解：
解：不妨设P 在α的终边上，Q 在β终边上，且,(0,2)αβπ∈，则4sin 5α=
，3
cos 5
α=，5cos 13β=
，12
sin 13
β=-，cos cos(2)POQ απβ∠=+-cos()αβ=-cos cos sin sin αβαβ=+35412
()513513
=⨯+⨯-
3365
=-．
三、解答题：（6小题，共70分）
17．（满分10分）已知)
2
3sin()sin()
23sin()2cos()2cos()(a f +--+--+=
π
αππ
ααπαπα (1)化简)(αf ；
(2)若α是第三象限角，且5
1
)23cos(
=-πα，求)(αf 的值． 【答案】（1）(
)cos f αα=-；（2）()5
f α=
.
考点：诱导公式，同角间的三角函数关系．三角函数的化简与求值．
【名师点睛】诱导公式应用的步骤：任意角的三角函数→任意正角的三角函数→0～2π的角的三角函数→锐角三角函数．
应用诱导公式时不要忽略了角的范围和三角函数的符号． 18. （满分12分）已知函数1)6
2sin(2)(--
=π
x x f )(R x ∈。

（1）求函数)(x f 的最小正周期及单调递减区间；
（2）若⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,
0πx 求)(x f 的值域. 【答案】（1）最小正周期 π=T ，单调递减区间为：Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++,65,3ππππ；（2）[]1,2-．
考点：三角函数的周期、单调性、值域．
19．（满分12分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为π2. （1）求()f x 的解析式；
（2）若将函数()f x 图像向右平移
3
π
个单位得到函数)(x g 的图像，若],0[πα∈ ，且2
1
)(=
αg ，求α的值． 【答案】（1）()cos f x x =；（2）3
20παα=
=或.
考点：三角函数的周期，奇偶性，三角函数的图象平移变换，已知三角函数值求角． 20．（满分12分）已知()2cos ,2sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，02αβπ<<<. （1）若a b ⊥，求2a b -的值；
（2）设()2,0c =，若2a b c +=，求α,β的值.
【答案】(1)（2）1
3απ=，53
βπ=.
考点：向量的模，向量相等，同角间的三角函数关系．
21．（满分12分）某同学用“五点法”画函数()sin()(0,0,||)
2
f x A x B A π
ωϕωϕ=++>><在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表:
（1）请求出上表中的123,,x x x ，并直接写出函数()f x 的解析式； （2）将()f x 的图象沿x 轴向右平移
2
3
个单位得到函数()g x ，若函数()g x 在[0,]x m ∈（其
中(2,4)m ∈）上的值域为[，且此时其图象的最高点和最低点分别为,P Q ，求OQ
与夹角θ的大小。

【答案】（1（2
考点：“五点法”作函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象，正弦函数的性质，向量的夹角． 【名师点睛】函数()sin()f x A ωx φ=+图象五点的确定，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：
“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π
2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即
图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π
2
；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.
22. （满分12分）已知0>a ，函数,2)62sin(2)(b a x a x f +++
-=π
当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,0πx 时，()15≤≤-x f 。

（1）设)2
()(π
+
=x f x g ，且,0)(lg >x g 求)(x g 的单调递增区间；
（2）若不等式3)(<-m x f 对于任意⎥⎦
⎤
⎝
⎛
∈6,
0πx 恒成立，求实数m 的取值范围。

【答案】（1）单调递增区间为Z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
,6,πππ；
（2）26-<≤-m ．
(2) 162sin 4)(-⎪⎭⎫
⎝
⎛+
-=πx x f ⎥⎦
⎤
⎝⎛∈6,0πx ]2,6(62πππ∈+∴x
考点：三角函数的最值，单调性，不等式恒成立问题．。