《精编》广东省六校高三数学上学期第一次联考试题 理 新人教A版.doc

届高三六校第一次联考 理科数学 试题
第一局部 选择题〔共40分〕
一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的
1. “1x ≥〞是“2x >〞的〔 〕
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2.
2(,)a i
b i a b R i
+=-∈，其中i 为虚数单位，那么a b +＝〔 〕 A.－1 B ．1 C ．2 D ．3
3. 假设)1,0(∈x ，那么以下结论正确的选项是〔 〕
A ．x
x x 2lg 2
1>> B ．2
1lg 2x x x
>> C ．x x x
lg 22
1>> D ．x x x
lg 22
1>>
4.以下四个命题中，正确的选项是〔 〕 A ．ξ服从正态分布(
)2
,0σ
N ，且()4.022=≤≤-ξP ，那么()2.02=>ξP
B ．命题1tan ,:=∈∃x R x p ;命题01,:2
>+-∈∀x x R x q ．那么命题“q p ⌝∧〞是假
命题
C ．设回归直线方程为x y 5.22-=，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位
D ．直线013:1=-+y ax l ,01:2=++by x l ，那么21l l ⊥的充要条件是 b
a
=-3
5. 单位向量,i j 满足(2)j i i -⊥，那么,i j 夹角为〔 〕
A ．4π
B ．6
π
C ．3
π
D ．23π
6. 假设动圆的圆心在抛物线2
12x y =上，且与直线30y +=相切，那么此圆恒过定点〔 〕
A.(0,2)
B.(0,3)-
C.(0,3)
D.(0,6)
7. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，假设目标函数z ax by =+〔0a >，0b >〕的
最大值为12，那么ab 的取值范围是〔 〕
A. 3(0,]2
B. 3(0,)2
C. 3[,)2
+∞ D. (0,)+∞ 8. 记集合
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
T =, M=}4,3,2,1,|10
101010{
4433221=∈+++i T a a
a a a i ,将
C.
23410101010+++ D. 43210
101010+++
第二局部 非选择题〔共110分〕
二、填空题: 本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分 〔一〕必做题〔9～13
题〕
9． 在()7
a x +展开式中4
x 的系数为35,那么实数a 的值为 .
10．计算定积分
)
120
x dx =⎰ .
11.双曲线C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆
22
12516
x y +=的长轴端点、焦点，那么双曲线C 的渐近线方程是____________________.
12．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，5=a ，3
2
5=b ，4π=A ，
那么=B cos .
13．将石子摆成如图15,9,14,20,
为“梯形数〞.根据图形的构成,数
列第6项6a = ;第n 项n a = .
图1
E
C
〔二〕选做题〔14～15题，考生只能从中选做一题〕 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线6
π
θ=
〔R ρ∈〕截圆
2cos()6
π
ρθ=-所得弦长是 .
15．〔几何证明选讲选做题〕如图〔图2〕AB 是圆O 的直径，过A 、
B 的两条弦AD 和BE 相交于点
C ，假设圆O 的半径是3，那么
AC AD BC BE ⋅+⋅的值等于________________.
图2
三、解答题：本大题共6小题，总分值80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 〔本小题总分值12分〕
甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。

最
ξ.
⑴求ξ=6的概率； ⑵求ξ的分布列和期望. 17．〔本小题总分值12分〕
函数()sin 2sin 2cos 266f x x x x a ππ⎛
⎫
⎛
⎫=+
+--+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
〔,a R a ∈为常数〕
． 〔1〕求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；
〔2〕假设函数()f x 的图像向左平移()0m m >个单位后，得到函数()g x 的图像关于y 轴对称，求实数m 的最小值.
18．(本小题总分值14分)
设函数()2ln .a
f x ax x x =-
-
〔Ⅰ〕假设()f x 在2x =时有极值，求实数a 的值和()f x 的单调区间; 〔Ⅱ〕假设()f x 在定义域上是增函数,求实数a 的取值范围．
19．〔本小题总分值14分〕
几何体A —BCED 的三视图如以以下图，
其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角 三角形，正视图为直角梯形． 〔1〕求此几何体的体积V 的大小;
〔2〕求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； 〔3〕试探究在DE 上是否存在点Q ，使得 AQ ⊥BQ 并说明理由. 20．〔本小题总分值14分〕
如图，椭圆22
:
13620
x y C +=的左顶点、右焦点分别为,A F 直线l 的方程为9x =，N 为l 上一点，且在x 轴的上方， AN 与椭圆交于M 点.
〔1〕假设M 是AN 的中点，求证：MF MA ⊥.
〔2〕过,,A F N 三点的圆与y 轴交于,P Q 两点，求||PQ
21.〔本小题总分值14分〕
设2
1081207M a a =++，2P a =+，Q=262a -；假设将lg M ，lgQ ，lgP 适当排
序后可构成公差为1的等差数列{}n a 的前三项. 〔1〕试比拟M 、P 、Q 的大小； 〔2〕求a 的值及{}n a 的通项；
〔3〕记函数212()2(*)n n n f x a x a x a n N ++=++∈的图象在x 轴上截得的线段长为n b ，
设122311
()4
n n n T b b b b b b -=++
+(2)n ≥，求n T ，并证明1
2342n n T T T T n
-⋅⋅⋅⋅⋅⋅>.
.
届高三六校第一次联考
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分．其中14～15
题是选做题，考生只能选做一题． 9. 1; 10.
1
3; 11. 430x y ±=; 12．
232; 13.35,()()142
n n ++; 14.2; 15. 36. 三、解答题：本大题共6小题，总分值80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 〔本小题总分值12分〕
甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。

最 终，商定以抛硬币的方式决定结果。

规那么是：由丙抛掷硬币假设干次，假设正面朝上那么甲得一
分乙得零分，反面朝上那么乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议. 记所需抛币次数为ξ. ⑴求ξ=6的概率； ⑵求ξ的分布列和期望.
16.解:(1)()32
3511156222216
P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………………………4分
(2)
……………………10分
∴115593456784161616
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯= ………………………12分
17．〔本小题总分值12分〕
函数()sin 2sin 2cos 266f x x x x a ππ⎛
⎫
⎛
⎫=+
+--+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
〔,a R a ∈为常数〕
． 〔1〕求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；
〔2〕假设函数()f x 的图像向左平移()0m m >个单位后，得到函数()g x 的图像关于y 轴
对称，求实数m 的最小值.
17. 解：〔1〕()sin(2)sin(2)cos266
f x x x x a ππ
=++--+
2cos22sin(2).6
x x a x a π
-+=-+ ………………………4分
∴()f x 的最小正周期为
22
π
π= ………………………5分 当222()2
6
2
k x k k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈Z ，
即()6
3
k x k k π
π
ππ-≤≤+
∈Z 时，
函数()f x 单调递增，故所求单调增区间为[,]().63
k k k π
π
ππ-
+∈Z ………………………8分
〔2〕函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位后得()2sin[2()]6
g x x m a π
=+-+，
………………………9分 要使()g x 的图像关于y 轴对称，只需2()6
2
m k K Z π
π
π-=+
∈ ………………………11分
即()23
k m k Z ππ
=+∈，所以m 的最小值为3π． ………………………12分
18．(本小题总分值14分)
设函数()2ln .a
f x ax x x =-
-
〔Ⅰ〕假设()f x 在2x =时有极值，求实数a 的值和()f x 的单调区间; 〔Ⅱ〕假设()f x 在定义域上是增函数,求实数a 的取值范围． 18. 解：〔Ⅰ〕()f x 在2x =时有极值，∴有()'20f =， ………………………2分
又()2
2'a f x a x x =+
-，∴有104
a
a +-=，∴45a = ………………………4分 ∴有()2442'55f x x x =+-()222
2525x x x
=-+，
由()'0f x =有121
, 22
x x ==， ………………………6分
又0x >∴()(),',x f x f x 关系有下表
A B
C D E
F
E
C A
俯视图∴()f x 的递增区间为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ 和 [)2,+∞， 递减区间为1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
……………………9分
〔Ⅱ〕假设()f x 在定义域上是增函数,那么()'0f x ≥在0x >时恒成立，…………………10分
()222
22'a ax x a
f x a x x x
-+=+-=， ∴需0x >时220ax x a -+≥恒成立，
化为221
x
a x ≥
+恒成立，2
22
111x x x x
=≤++， ∴1a ≥. ………………………14分
19．〔本小题总分值14分〕
几何体A —BCED 的三视图如以以下图， 其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角 三角形，正视图为直角梯形． 〔1〕求此几何体的体积V 的大小;
〔2〕求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； 〔3〕试探究在DE 上是否存在点Q ，使得 AQ ⊥BQ 并说明理由.
19. 解：〔1〕由该几何体的三视图知AC ⊥面BCED ,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，
∴1(41)4102
BCED S =
⨯+⨯=梯形
∴1140104333
BCED V S AC =⋅⋅=⨯⨯=梯形．
即该几何体的体积V 为403
．----------------------------------3分 〔2〕解法1:过点B 作BF//ED 交EC 于F ，连结AF ，
那么∠FBA 或其补角即为异面直线DE 与AB 所成的角．-------5分
在△BAF 中，∵
AB=
BF=AF=5==．
∴222cos 2BF AB AF ABF BF AB +-∠==⋅．
即异面直线DE 与AB
所成的角的余弦值为
5
． ………………………7分
O
Q
A
B
C
D E
解法2：以C 为原点，以CA ，CB ，CE 所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系．
那么A 〔4，0，0〕，B 〔0，4，0〕，D 〔0，4，1〕，E 〔0，0，4〕∴(0,4,3),(4,4,0)DE AB =-=-
，∴cos ,5
DE AB <>=-
∴异面直线DE 与AB
．
〔3〕解法1:在DE 上存在点Q ，使得AQ ⊥BQ. 取BC 中点O ，过点O 作OQ ⊥DE 于点Q ，那么点Q 满足题设. 连结EO 、OD ，在Rt △ECO 和Rt △OBD 中 ∵
2EC OB
CO OD
== ∴Rt ECO ∆∽Rt OBD ∆ CEO DOB ∴∠=∠ ∵90EOC CEO ∠+∠= ∴90EOC DOB ∠+∠=
∴90EOD ∠=． ……………………11分
∵OE =
OD
∴2OE OD OQ ED ⋅=
== ∴以O 为圆心、以BC 为直径的圆与DE 相切．切点为Q ∴BQ CQ ⊥
∵AC ⊥面BCED ,BQ ⊂面CEDB ∴BQ AC ⊥ ∴BQ ⊥面ACQ ---------13分
∵AQ ⊂面ACQ
∴BQ AQ ⊥． ………………………14分
解法2: 以C 为原点，以CA ，CB ，CE 所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系．
设满足题设的点Q 存在,其坐标为〔0，m ，n 〕，那么(4,,),(0,4,)AQ m n BQ m n =-=-
(0,,4)EQ m n =-，(0,4,1)QD m n =--
∵AQ ⊥BQ ∴2
(4)0m m n -+= ----------------------------① ∵点Q 在ED 上，∴存在R λ∈(0)λ>使得EQ QD λ=
∴(0,,4)(0,4,1)m n m n λ-=--44,11m n λλ
λλ
+⇒==++-----------② ②代入①得222
416(
)81601(1)
λλ
λλλλ+=⇒-+=++，解得4λ= ∴满足题设的点Q 存在，其坐标为168
(0,,)55
． 20．〔本小题总分值14分〕
如图，椭圆22
:
13620
x y
C +=的左顶点、右焦点分别为,A F ，直线l 的方程为9x =，N 为l 上一点，且在x 轴的上方， AN 与椭圆交于M 点.
〔1〕假设M 是AN 的中点，求证：MF MA ⊥.
〔2〕过,,A F N 三点的圆与y 轴交于,P Q 两点，求||PQ 20．〔1〕证:由题意得)0,4(),0,6(F A -，9N x = 3
2
M x ∴=
又M 点在椭圆上，且在x 轴上方，得2
3
5=
M y ………………………3分
15535(,),(,227575
44
MA MF MA MF MA MF ∴=-
-=∴⋅=-+=∴⊥ ………………………6分
〔2〕解:〔方法一〕设),9(t N ，其中0>t
圆过N F A ,,三点，∴圆心在线段AF 的中垂线上
设圆心为),1(b -，半径为r ，有2222)(()91()41(t b b r -+--=+--=
)75(212752t t t t b +=+=∴，2421222+=-=b r PQ ………………………10分
0>t ，3575
=⋅
≥∴t
t b ，当且仅当,75t t =即35=t 时取“=〞
116992=≥∴PQ .PQ ∴的取值范围是),116[+∞ ………………………14分
〔方法二〕解：设),9(t N ，其中0>t ， 圆过N F A ,,三点，
∴设该圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，有
⎪⎩
⎪
⎨
⎧=++++=++=+-0
98104160
6362F tE D t F D F D 解得 24,75,2-=--==F t t E D ∴圆心为)),75(21,1(t t +-半径r 2)75
(4125t
t ++=
∴22)75
(4124212t
t r PQ ++=-=， ………………………10分
0>t
31075
275=⋅≥+
∴t
t t t ，当且仅当,75t t =即35=t 时取“=〞
116992=≥∴PQ ，PQ ∴的取值范围是),116[+∞. ………………………14分
21.〔本小题总分值14分〕
设2
1081207M a a =++，2P a =+，Q=262a -；假设将lg M ，lgQ ，lgP 适当排序后可构成公差为1的等差数列{}n a 的前三项. 〔1〕试比拟M 、P 、Q 的大小; 〔2〕求a 的值及{}n a 的通项；
〔3〕记函数212()2(*)n n n f x a x a x a n N ++=++∈的图象在x 轴上截得的线段长为n b ，设
122311
()4
n n n T b b b b b b -=++
+(2)n ≥，求n T ，并证明1
2342n n T T T T n
-⋅⋅⋅⋅⋅⋅>.
21. 解：〔1〕由210812*********M a a P a Q a ⎧=++>⎪
=+>⎨⎪=->⎩
………………………1分
得213a -<< ………………………2分
2110831810(0)M Q a a -=++>∆< ………………………3分 2210802050(0)M P a a -=++>∆< ………………………4分
M Q ∴>，M P >
又
当213a -<<时，243P Q a -=-+，
当28a -<<时，即P Q <，那么P Q M << ………………………5分 当8a =时，P Q =，那么P Q M =<
当813a <<时，P Q >，那么Q P M << …………………6分 〔2〕当28a -<<时，
lg 1lg lg 1lg P Q M Q +=⎧⎨=+⎩即1010P Q M Q =⎧⎨=⎩∴226210(2)108120710(262)
a a a a a -=+⎧⎨++=-⎩ 解得12
a =，从而lg (1)12lg2n a P n n =+-⨯=- ………………………7分 当813a <<时，
lg 1lg lg 1lg Q P M P +=⎧⎨=+⎩即1010P Q M P =⎧⎨=⎩∴2210(262)108120710(2)
a a a a a +=-⎧⎨++=+⎩ , a 无解. ………………………8分
〔3〕设()f x 与x 轴交点为12(,0),(,0)x x 122n n n a a a ++=+，
∴当()f x =0时有2(1)()0n n x a x a +++=
21221,n n
n n
a a x x a a ++∴=-=-=- ………………………9分 1222|||1|||
n n n n a b x x a a +∴=-=-+= 又2lg 20n a n =->，2n n b a ∴= 11122114()n n n n n n
b b a a a a ---∴=⨯=- …………10分 1223
111111114[()()()]4n n n T a a a a a a -∴=⨯-+-++- 11111112lg 22lg 2(12lg 2)(2lg 2)
n n a a n n -=-=-=---- …………11分 112(1)1(12lg 2)(2lg 2)2
n n n n T n n n ---=>=-- 1
23422223242(1)22345n n n T T T T n n
-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= …………14分
说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.。