【名师推荐资料】2020高中数学第1章立体几何初步第一节空间几何体1棱柱、棱锥和棱台学案苏教版必修2

圆柱、圆锥、圆台和球
一、考点突破
知识点课标要求题型说明
棱柱、棱锥和
棱台1. 直观了解棱柱、棱锥、
棱台的结构特征。

2. 能运用这些结构特征
描述现实生活中简单物
体的结构。

选择
填空
通过本节的学习，培养制作
动手能力以及对现实生活中的物
体进行抽象概括观察分析，比较
类比的能力。

二、重难点提示
重点：棱柱、棱锥、棱台及多面体的概念和画法。

难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括。

考点一：棱柱
（1）棱柱的定义、表示及相关概念
定义图形及表示相关概念
由一个平面多边形沿
某一方向平移形成的
空间几何体
记作：棱柱ABCD－
A′B′C′D′底面：平移起止位置的两个面；
侧面：多边形的边平移所形成的面；侧棱：相邻侧面的公共边
（2）棱柱的分类
①按底面多边形的边数分类：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
②按棱柱与底面的关系分类：斜棱柱、直棱柱。

其中底面是正多边形的直棱柱叫做正棱
柱。

（3）棱柱的结构特征
①底面：两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行；
②侧棱：侧棱互相平行且相等；
③侧面：侧面都是平行四边形；
④截面：与底面平行的截面是与底面全等的多边形；与侧棱平行的截面是平行四边形。

考点二：棱椎
（1）棱锥的概念
当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥。

这个底面叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。

（2）棱锥的相关概念及表示
该四棱锥可记作S－ABCD
（3）棱锥的分类
按照底面多边形的边数分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥……
（4）棱锥的结构特征
①底面：底面是多边形；
②侧面：侧面都是三角形，且侧面有且仅有一个公共点。

考点三：棱台
（1）棱台的概念
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台。

即棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分。

（2）棱台的相关概念及表示
记作：棱台ABCD－A′B′C′D′或棱台A′C
（3）棱台的分类：三棱台、四棱台、五棱台……
（4）棱台的结构特征
①底面：棱柱的上、下两个底面是平行的，并且这两个底面是相似多边形。

②侧面：侧面均为梯形。

③侧棱：棱台的所有侧棱的延长线交于同一点。

考点四：正棱柱、正棱椎、正棱台的定义
（1）正棱柱：底面是正多边形，每个侧面都是矩形的棱柱叫做正棱柱。

（2）正棱锥：当正棱柱的一个底面收缩为底面的中心时，得到的几何体叫做正棱锥。

（3）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。

【要点诠释】
①正棱柱是特殊的棱柱；②正棱柱的每个侧面都是矩形；③正棱柱的底面是正多边形；
④正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，正棱台的侧面都是全等的等腰梯形。

【核心突破】
1. 在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、
三棱台、三棱锥为例）。

2. 根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好
各类几何体的特点，其次要有一定的空间想象能力。

【随堂练习】用一个平面截三棱柱，截面一定是___________。

①三角形；②四边形；③五边形；④三角形或四边形
答案：④
思路分析：用一个平面截三棱柱，其截面图形应该根据所截平面的位置决定，它可能是三角形，也可能是四边形。

如图给出两种可能的图形，故选④。

技巧点拨：平面截几何体的截面图形，应该根据具体的几何体和所截平面的位置决定。

例题1（棱柱、棱锥、棱台的结构特征）
根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
（1）由6个平行四边形围成的几何体；
（2）由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
（3）由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，
并且这些梯形的腰延长后能相交于一点。

思路分析：
答案：（1）这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱。

（2）这是一个六棱锥，其中六边形面是底面，其余的三角形面是侧面。

（3）这是一个三棱台，其中相似的两个三角形面是底面，其余三个梯形面是侧面。

技巧点拨：根据形成几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型，通过演示进行准确判断。

例题2 （空间几何体的判断）
如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1。

（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
（2）用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？并指出底面。

如果不是，请说明理由。

思路分析：根据棱柱的定义或棱柱的结构特征进行判断。

答案：是棱柱，并且是四棱柱。

因为它可以看成由四边形ADD1A1沿AB方向平移至四边
形BCC1B1形成的几何体，符合棱柱的定义。

（2）截面BCFE右边的部分是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1与△CFC1是底面。

截面BCFE 左边的部分是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面。

技巧点拨：
1. 解答本题的关键是正确掌握棱柱的几何特征，本题易出现认为所分两部分的几何体一
个是棱柱，一个是棱台的错误。

2. 在利用几何体的概念进行判断时，要紧扣定义，注意几何体间的联系与区别，不要认
为底面就是上下位置，如此题，底面也可放在前后位置。

例题3 （棱柱、棱锥、棱台的画法）
画一个三棱柱和一个四棱台。

思路分析：
（1）画上底面→画侧棱→画下底面
（2）画一个四棱锥→画四棱台
答案：①画三棱柱可分以下三步完成：
第一步：画上底面——画一个三角形；
第二步：画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；
第三步：画下底面——顺次连接这些线段的另一个端点（如图所示）。

②画四棱台可分以下三步完成：
第一步：画一个四棱锥；
第二步：在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对
应边平行的线段；
第三步：将多余的线段擦去（如图所示）。

技巧点拨：
1. 在画立体图形时，被遮挡的线画成虚线，可以增加立体感。

2. 由于棱台的侧棱延长线交于一点，因此画棱台时，要先画棱锥，再截得棱台。

【满分训练】画出如图所示的几何体的表面展开图。

思路分析：以一个面为依托，其他各面沿侧棱展开。

答案：表面展开图如图所示：
技巧点拨：多面体表面展开图问题的解题策略：
（1）绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象
能力或者是亲手制作多面体模型。

在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图。

（2）已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，
则可把上述过程逆推。

同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图。

【变式训练】
下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠
围成一个正方体的是________。

解析：将四个选项的平面图形折叠，看哪一个可以复原为正方体。

答案：③。