材料力学第7章-组合变形4+第9章-压杆稳定1-机械

F FzF z FyF y A Iy Iz
z
K(y,z) y
F z F z yF y 1 2 2 A iy iz
中性轴方程
z F z 0 y F y0 1 2 0 2 iy iz
M y max M z max Wy Wz
t max
M y max M z max W W y z

第七章 组合变形杆的强度
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
第七章 组合变形杆的强度
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
薄壁杆件弯曲时的特有现象
第七章 组合变形杆的强度
FS FT
M C1 M C 2
FT h FS e
FT e h FS
h
第七章 组合变形杆的强度
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
有关薄壁杆件弯曲中心详细的 分析和推导请见教材P132-133 例题7.8
Leabharlann Baidu
组合变形基本方法——叠加法: 分解——分别计算——叠加 要求熟练掌握的内容： （1）绘制各种简单变形内力图； （2）简单变形时杆件横截面的应力分布规律； （3）应力状态理论； （4）强度理论。
拉伸（压缩）与弯曲的组合
Fy
z .
y x K z
F
.
Fx x
c max t max
'
''

l y
强度条件
t max
c max
FN M max [ t ] A Wz
FN M max [ c ] A Wz
偏心压缩 应力公式
x e O
z F A(yF ,zF ) y
材料力学
第九章 压杆稳定
9.1 引言
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷 9.3 中、小柔度压杆的临界应力
9.4 压杆的稳定条件
9.5 压杆的合理设计 9.6 用能量法求压杆的临界载荷
9.1 引言
构件的承载能力
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些
构件具有足够的 强度、刚度，却 不一定能安全可 靠地工作
l
x
令： 有：
k F EI
2
FBy l x d2 y 2 k y 2 dx EI
FBy F
y
A
其通解为： y A sin kx B cos kx
l x
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷
y A sin kx B cos kx
FBy F
材料力学
第七章 组合变形杆的强度
组合变形
组合变形的典型形式: 1. 拉（压）弯组合； 2. 偏心拉压； 3. 弯扭组合； 4. 非对称弯曲。 通过这四种典型组合变形的学习，掌 握计算一般组合变形杆件强度的原理和方 法。
组合变形杆的强度计算基本步骤
1. 分解:
组合变形
目标——几种简单变形 2. 分别计算: 内力分析（一般画内力图） —— 确定危险截面 应力分析 —— 确定危险点 3. 叠加： 危险点应力叠加 （注意应力作用面） 4. 强度计算： 选择适当的强度理论。
Q
F小于Fcr时，稳定平衡。 给杆件一个横向扰动，杆件仍能恢复 原来的平衡状态。（轴向平衡）
F大于等于Fcr时，不稳定平衡。 杆件既能在轴线上达到平衡，又能 在弯曲状态下达到平衡（F=Fcr)。 给杆件一个横向扰动，杆件由轴向 平衡转向弯曲状态，从而造成失稳。
F
F
F
9.1 引言 当轴向压力达到或者超过压杆的临界载荷时，一旦受到横向的微 小扰动，压杆将由轴向的稳定平衡状态转为不稳定的平衡，产生 失稳现象，压杆发生显著的弯曲变形甚至破坏,这种失效方式称为 稳定性失效，或屈曲失效。（buckling) 其它形式的屈曲失效 承受面内压力的板件结构；受外压作用的圆管；受横力作用的 狭长矩形截面梁，等。
l x
x
F 所以有： dy Ak cos kx Bk sin kx By dx F
由位移边界条件有：
F B
FBy
y0 0 yl 0
分别代入上面两式： FBy 0 A 1 B l 0 F FBy k A 0 B 1 0 F
9000吨钢材变成一堆废墟。
2.1922年冬天下大雪，美国华盛顿尼克尔卜克
尔剧院由于屋顶结构中的一根压杆超载失稳，造成
剧院倒塌，死98人，伤100余人。
3.2000年10月25日上午10时30分，在南京电视
台演播中心演播厅屋顶的浇筑混凝土施工中，因脚 手架失稳，造成演播厅屋顶模板倒塌，死5人，伤35 人。
第七章 组合变形杆的强度
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
弯曲中心的概念
对于薄壁截面，由于切应力方向必须平行于 截面周边的切线方向，形成切应力流。
所以，与切应力相对应的分布力系向横截面 所在平面内不同点简化，将得到不同的结果：
可以只是一个力——这种情形下，将只产生弯 曲，而不发生扭转； 也可以是一个力和一个力偶——这时不仅产 生弯曲，而且会发生扭转。
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷
二、一端固定，一端球铰细长压杆的临界载荷
如图一端固定一端球铰的细长压杆，设在临界 载荷F作用下处于微弯平衡，考察点(x, y)有：
x
F B
FBy
M x FBy l x Fy
代入挠曲线微分方程有：
2
y
d y FBy l x Fy 2 dx EI
方程组有非零解的条件是： 即：
sin kl cos kl
sin kl 0
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷
上式的解为：
又：
sin kl 0 n n 0,1, 2, k
n 2 2 EI 所以有： F l2
F k EI
2
l
n 0,1, 2,
最小非零解值即为临界载荷：
第七章 组合变形杆的强度
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
切应力流及其合力
FT
FS FT
薄壁截面上的弯曲切应力 （分布力系） 薄壁截面上的弯曲 切应力组成的合力
第七章 组合变形杆的强度
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
弯曲切应力组成的合力向截面形心简化
FT
FT MC2
MC
MC1
FS FT
FS FS
FT
FS
9.1 引言
稳 定 问 题
压杆
9.1 引言
稳定问题
液压缸顶杆
9.1 引言
稳定问题
桁架中的压杆
9.1 引言
稳定问题
高压输电线路保持相间距离的受压构件
9.1 引言
稳定问题
网架结构中的压杆
9.1 引言
稳定问题
火车卧铺的撑杆
9.1 引言
压杆失稳的实例
1.1907年加拿大圣劳伦斯河在架魁北克桥时， 由于悬臂桁架中的一根压杆失稳，造成桥梁倒塌，
q
F
材料力学
第九章 压杆稳定
9.1 引言 9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷 9.3 中、小柔度压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定条件 9.5 压杆的合理设计
9.6 用能量法求压杆的临界载荷
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷
一、两端球铰细长压杆的欧拉临界载荷
如图两端为球铰的细长压杆承受轴力F的作用。 y 假设力F已经达到临界 值Fcr ，且压杆处于微弯平 C 衡状态，现在分析此时杆 的挠曲线满足什么条件。 y B A x F 考察C截面有： x l d2 y EI 2 M x Fy dx y C F d2 y EI 2 Fy 0 y B A dx F M(x) 2 FAx=F 令： k x
弯曲与扭转的组合
应力分析
M d 3 Wz Wz 32 T d 3 Wp Wp 16 Wp 2Wz
A . z d l y . B x a
F C
A .
z
M e =Fa F'=F . B x
强度条件
1 r3 Wz 1 r4 Wz M 2 T 2 [ ]
第七章 组合变形杆的强度
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
薄壁杆件弯曲时的特有现象
一般情形下薄壁杆件受横向力作用而弯曲时， 不仅会产生弯曲变形，而且还会发生扭转。 当外力的作用线通过某一特定点时，梁将只 产生弯曲，而不发生扭转。这一特定点，称为弯 曲中心（也称为剪切中心，剪心）。
弯曲时为什么会发生扭转？ 弯曲中心的位置怎样确定？
x
2x y sin l
x
y
3x y sin l
x
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷
y
C
A x
y l
B F x
Fcr
EI
2
l
2
关于Euler临界载荷公式 (1) 临界载荷是使压杆保持微弯平衡状态的最小压力; (2) 因为是球铰，杆在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲。 即惯性矩 I 应取最小值Imin。如对于矩形截面梁有： Imin= hb3/12 (h>b)
9.1 引言
压杆失稳的实例
9.1 引言
稳定性 稳定平衡 不稳定平衡 随遇平衡 结构屈曲
稳定性是指结构或者物体保持或者恢复原有平衡状态的能力。
稳定平衡
不稳定平衡
刚球的（不）稳定平衡、随遇平衡
9.1 引言 刚杆的稳定平衡和不稳定平衡 F 当给刚杆一横向扰动时：
k
B
F

k
力F产生的力矩为：F
弹簧力为：k 其产生的方向力矩为：kl 如果 如果
M 0.75T [ ]
2 2
y
1


z x


1

式中M——危险截面的弯矩 T——危险截面的扭矩

2

y


2


非对称弯曲(斜弯曲)
z
y
A
t max
D1
P φ
B
·
t max
D1
M y max M z max Wy Wz
c max +
D2 强度条件
·
D2
c max
第七章 组合变形杆的强度
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
弯曲切应力组成的合力向截面形心简化 FP
MC
FS 如果外力作用线通过C点、沿着铅垂 方向，将会发生什么现象？
第七章 组合变形杆的强度
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
如果不致发生扭转，外力作用线应该通过哪一点？ FP MC FP MC2
O
FT
MC1
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
第七章 组合变形杆的强度
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
第七章 组合变形杆的强度
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
第七章 组合变形杆的强度
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
第七章 组合变形杆的强度
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
第七章 组合变形杆的强度
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
EI
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷 则压杆的平衡微分方程可化为：
上式通解为：
d2 y k2 y 0 dx 2
齐次二阶常微分方程
y A sin kx B cos kx
A 0 B 1 0 A sin kl B cos kl 0
0 1 0
由球铰的位移边界条件有： y0 yl 0 A，B为待定常数。 代入通解： 齐次线性代数方程组
n 1
对应的压杆的挠曲线为：
Fcr
EI
2
l
2
两端球铰细长压杆的欧拉临界载荷
y x A sin kx A sin
x
l
压杆的屈曲模态Buckling mode
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷 两端球铰的前三阶buckling mode y y
x y sin l
第七章 组合变形杆的强度
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
切应力流的概念
通过考察微段的局 部平衡确定切应力流 的方向
FS FS dFS
第七章 组合变形杆的强度
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
切应力流的概念
FS
FS dFS
第七章 组合变形杆的强度
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
将与切应力相对应的分布力系向横截 面所在平面内不同点简化，将得到不同的 结果。
FS FS
FS FT
第七章 组合变形杆的强度
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
弯曲中心的概念
与切应力相对应的分布力系向横截面所在平 面内的某一点简化，将得到的只是一个力，这个 力的作用点，称之为弯曲中心。
第七章 组合变形杆的强度
薄壁杆件的弯曲以及弯曲中心
弯曲中心的位置怎样确定？
FT MC2
O
O
MC1 FS e
B
l
F kl
不稳定平衡
F kl
稳定平衡
A
（a)
A
如果
（b)
F kl
两种状态下都可以平衡 刚杆的平衡状态跟力F的大小联系在一起。
9.1 引言 （可变形）细长压杆的稳定性问题
F
F<Fcr
F>=Fcr
图示两端铰支的细长杆受轴向压力作 用。当轴向压力超过一定数值时，压 杆的平衡由稳定向不稳定转变，这个 载荷称为临界载荷Fcr。