(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测(答案解析)(2)

一、选择题
1．复平面内，复数122i
i
-+的虚部为（ ） A ．i
B ．i -
C ．1
D ．1-
2．已知复数z 满|12||2|z i z i ---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ） A ．双曲线
B ．双曲线的一支
C ．两条射线
D ．一条射线
3．若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
4．复数34i
z i
-=，|z |＝（ ）
A B ．3
C ．4
D ．5
5．若202031i i
z i
+=+，则z 在复平面内对应点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ） A ．13i +
B ．2i +
C ．12i +
D ．12i -
7．已知0)z a a =>且||2z =，则z =( )
A ．1
B ．1
C ．2
D ．3+
8．已知复数3
3i
z i --=，则z 的虚部为（ ） A ．3-
B ．3
C ．3i
D ．3i -
9．复数z 满足2z i =，则下列四个判断中，正确的个数是 ①z 有且只有两个解； ②z 只有虚数解； ③z 的所有解的和等于0； ④z 的解的模都等于1； A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知复数z a =+，其中a R ∈.若4
z R z
+∈，则a =
A ．1
B ．1-
C ．1或1-
D ．0
11．已知复数2
1i
z =-+，则（ ） A ．2z =
B ．z 的实部为1
C ．z 的虚部为1-
D ．z 的共轭复数为
1i +
12．已知31i
z i
=
-，则复数z 在复平面对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
二、填空题
13．设11()(
)()()11n n
i i f n n i N i
+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 14．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则
12
12
z z z z +=-___ 15．下列四个命题中，正确命题的个数是___________. ①0比i 小
②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 ③1x yi i +=+的充要条件为1x y ==
④如果实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应 16．已知复数5
13z i
=-（i 是虚数单位），则|z |=______ 17．复数，则复数
______．
18．复数2
1z i
=
-，则z z -对应的点位于第__________象限 19．若(1)(2)i i a bi ++=+，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b +=___________． 20．设复数1=
-i
z i
，则z =_____________． 三、解答题
21．已知复数()00z b i b R =∈，2
1z i
-+是实数，i 是虚数单位. （1）求复数z ；
（2）若复数00z b z =+是关于x 的方程20x bx c ++=的根，求实数b 和c 的值. 22．已知复数z bi =（b R ∈），2
1z i
++是实数，其中i 是虚数单位. （1）求复数z ；
（2）若复数()2
m z +所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围.
23．已知非零复数(),z x yi x y R =+∈，(),x y i x y R ω''''=+∈，()010z mi m =->；若z ，ω，0z 满足0z z ω=⋅，2z ω=. （1）求m 的值；
（2）若z 所对应点(),x y 在圆2240x y x +-=，求ω所对应的点的轨迹；
（3）是否存在这样的直线l ，z 对应点在l 上，ω对应点也在直线l 上？若存在，求出所有这些直线；若不存在，若不存在，说明理由.
24．（1）设复数z 和它的共轭复数z 满足：4233i z z +=，求复数z ；
（2）设复数z 满足：228z z ++-=，求复数z 对应的点的轨迹方程.
25．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z ．
26．已知复数12sin z θ=，21(2cos )i z θ=+，i 为虚数单位，[,]32
ππ
θ∈.
（1）若12z z ⋅为实数，求θ的值；
（2）若复数1z 、2z 对应的向量分别是a 、b ，存在θ使等式()()0a b a b λλ-⋅-=成立，求实数λ的取值范围.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
由复数的除法运算法则，化简求得122i
i i
-=-+，再结合复数的概念，即可求解. 【详解】
由复数的除法运算法则，可得
()()()()1221252225
i i i i
i i i i ----===-++-， 所以复数的虚部为1-. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
2．B
解析：B 【分析】
利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，得出等式的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】
因为复数z 满|12||2|z i z i ---++=（i 是虚数单位）， 在复平面内复数z 对应的点为Z ，
则点Z 到点(1,2)的距离减去到点(2,1)--的距离之差等于
而点(1,2)与点(2,1)--之间的距离为
根据双曲线的定义，可得点Z 表示(1,2)和(2,1)--为焦点的双曲线的一支. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了复数的几何意义及其应用，其中解答中根据复数模的几何意义，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
3．A
解析：A 【分析】
设z x yi =+，得到()()22
221x y ++-=，化简得到12z i --=根据其几何意义计算得到答案. 【详解】
设z x yi =+，则()()22221z i x y i +-=++-=
=，
即()()2
2
221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆.
()()1212z i x y i --=-+-=，表示点(),x y 和()1,2之间的距
离，故()()
min 12122z i r --=---=. 故选：A. 【点睛】
本题考查了复数的模，与圆相关距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
4．D
解析：D 【分析】
根据复数的除法运算先把z 化成(),z a bi a b R =+∈的形式，再根据公式z =求
模. 【详解】
()()()2
2
34343443i i i i i z i i i i i ----+====----，
5z ∴=
=.
故选：D . 【点睛】
本题考查复数的除法运算和复数的模，属于基础题.
5．A
解析：A 【分析】
化简得到2z i =+，得到答案.
【详解】
()()()()
202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限.
故选：A . 【点睛】
本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.
6．C
解析：C 【分析】
根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】
由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±.
又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+. 故选：C 【点睛】
此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用复数求模公式得到关于a 的方程，解方程后结合题意即可确定z 的值. 【详解】
根据复数的模的公式，可知234a +=，即21a =，
因为0a >，所以1a =，即1z =， 故选B . 故答案为B ． 【点睛】
本题主要考查复数的模的运算法则，复数的表示方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．B
解析：B 【分析】
直接由复数代数形式的乘除运算化简，求得z 后得到答案. 【详解】 由32
33(3)13i i i i
z i i i i
-+-+-+=
===----， 所以13z i =-+，
所以z 的虚部为3， 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关复数的虚部的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的共轭复数以及复数的虚部，属于简单题目.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
由题意结合复数的运算法则求得z 的值，然后考查所给的说法是否正确即可. 【详解】
设(),z a bi a b R =+∈，则()
222
2z a b abi =-+，
结合题意可得：22021a b ab ⎧-=⎨=⎩
，解得：2
2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
22
a b ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-
⎪⎩，
即z =
+
或z =. 考查题中说给的四个说法： ①z 有且只有两个解正确； ②z 只有虚数解正确；
③z 的所有解的和等于0正确； ④z 的解的模都等于1正确； 即四个判断中，正确的个数是4. 本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】 首先求解4
z z
+，然后得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值. 【详解】 由题意可得：
4z a z +
=++
()
2
4
3
a a a =+
+
22
441133a i a a ⎛⎫⎫=+- ⎪⎪++⎝⎭⎭
， 若4z R z +
∈，则24
103
a -=+，解得：a =1或1-. 本题选择C 选项. 【点睛】
复数的基本概念和复数相等的充要条件是复数内容的基础，高考中常常与复数的运算相结合进行考查，一般属于简单题范畴.
11．C
解析：C 【解析】
分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()
()()
()21211112
i i z i i i ----==
=---+--，
则
z =，选项A 错误；
z 的实部为1-，选项B 错误； z 的虚部为1-，选项C 正确； z 的共轭复数为1z i =-+，选项D 错误.
本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．B
解析：B 【解析】
31i z i =
-3(1)33222
i i i +==-+，对应的点位于第二象限，选B. 二、填空题
13．8【分析】化简得到计算结合复数乘方的周期性得到得到答案【详解】根据的周期性知子集个数为故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算集合的子集意在考查学生的计算能力和综合应用能力周期性的利用是解题的关键
解析：8 【分析】
化简得到()()()n
n
i f n i =+-，计算结合复数乘方的周期性得到
{}{}|()2,0,2x x f n ==-，得到答案.
【详解】
()()()()()()
()()22
111()()()()()1111111n n
n n n n i i i f n i i i i i i i i i -+-=+=+-+-=+-++-+，
()()0
(0)2i f i =+-=，()()1
1
(1)0i f i =+-=，()()2
2
(2)2i f i =+-=-， ()()3
3
(3)0i f i =+-=，()()4
4
(4)2i f i =+-=，
根据n i 的周期性知{}{}|()2,0,2x x f n ==-，子集个数为328=. 故答案为：8. 【点睛】
本题考查了复数的运算，集合的子集，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，周期性的利用是解题的关键.
14．【解析】【分析】由余弦定理可得故【详解】如图在三角形中由余弦定理得同理可得故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算借助于余弦定理是解决问题的关键属中档题 解析：
133
7
【解析】 【分析】
由余弦定理可得12||19Z Z +=，12||7Z Z -=，故12121212||133
||||7
z z z z z z z z ++==-- 【详解】
如图在三角形OAC 中由余弦定理得2212||||23223cos12019Z Z OB +==+-⨯⨯⨯︒=， 同理可得2212||||23223cos607Z Z CA -==+-⨯⨯⨯︒=，
∴12121212||19133
|
|||77
z z z z z z z z ++===--. 故答案为：
133
7
【点睛】
本题主要考查复数的运算，借助于余弦定理是解决问题的关键，属中档题．
15．0【分析】根据复数相关概念逐一判断【详解】比不可比较大小；两个复数
互为共轭复数则它们的和为实数反之不成立如2与3；当为实数时的充要条件为；因为当时所以实数集与纯虚数集不一一对应；综上无正确命题即正确
解析：0 【分析】
根据复数相关概念逐一判断. 【详解】
0比i 不可比较大小；
两个复数互为共轭复数，则它们的和为实数，反之不成立，如2与3； 当x y ，为实数时1x yi i +=+的充要条件为1x y ==； 因为当0a =时0,ai =所以实数集与纯虚数集不一一对应； 综上无正确命题，即正确命题的个数是0. 【点睛】
本题考查复数相关概念，考查基本分析判断能力，属基本题.
16．【解析】分析：首先利用复数的除法运算将复数z 化简之后应用复数模的公式求得其结果详解：所以故答案是点睛：该题考查的是有关复数的运算以及复数模的求解问题在解题的过程中需要明确复数的除法运算法则以及复数模 解析：
102
【解析】
分析：首先利用复数的除法运算，将复数z 化简，之后应用复数模的公式求得其结果. 详解：55(13)51513
13(13)(13)1022
i i z i i i i ++=
===+--+， 所以1910442z =
+=
，故答案是10
2
. 点睛：该题考查的是有关复数的运算以及复数模的求解问题，在解题的过程中，需要明确复数的除法运算法则，以及复数模的运算公式.
17．-1+i 或1-i 【解析】设z=a+biab ∈Ra+bi2=a2-b2+2abi=2i ⇒a2-b2=02ab=2解得a=1b=1或a=-1b=-1z=1+iz=-1-iz=1-iz=-1+i 故答案为-
解析：或
【解析】 设，
解得或
，
，故答案为
或
.
故答案为
18．二【解析】则对应的点位于第二象限
解析：二 【解析】
()()()
2121111i z i i i i +=
==+--+,则12z z i -=+-对应的点(12,1)-位于第二象限． 19．4【解析】试题分析：故答案为4考点：复数的运算
解析：4 【解析】
试题分析：1)(23314i i a bi i a bi a b a b +-=++=+∴==∴+=（
），即，，，，故答案为4．
考点：复数的运算．
20．【解析】试题分析：因为所以故应填考点：复数的基本概念及其运算
解析：．
【解析】 试题分析：因为1i
z i
=
-，所以
z =
，故应填
．
考点：复数的基本概念及其运算．
三、解答题
21．(1)2i -;(2) 4b =,8c = 【分析】 （1）将0z b i =代入
2
1z i
-+中，将分子分母同时乘以1i +的共轭复数1i -可得00222122b b z i i -+-=-+，由2
1z i -+是实数，得0
2=02
b +，求得0b 即可得复数z . （2）将00z b z =+代入方程20x bx
c ++=中，化简得()8220b i b c --+=，通过虚部为零，实部为零即可求得实数b 和c 的值. 【详解】 （1）
()00z b i b R =∈，
()()()()
000021222
2=+111122b i i b i b b z i i i i i ----+-∴
==+++- 又
2
1z i -+是实数，0
2=02
b +∴，得0=2b -， 2z i ∴=-
（2）
00+22z b z i ==--是方程20x bx c ++=的根，
()()2
22220i b i c --+--+=，
()8220b i b c --+=，
82020b b c -=⎧∴⎨-+=⎩，解得48b c =⎧⎨=⎩
. 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、复数相等.
复数z a bi =+（,a b 均为实数），其中a 为实部，b 为虚部，i 为虚数单位.当0b =时，z a =，则z 为实数；当00b a ≠=，时，z bi =，则z 为纯虚数.
22．（1）2i -；（2）(),2-∞-.
【分析】
（1）先求出
222122z b b i i --+=++，由题得202b +=，解之即得解；（2）求出()()2244m z m mi +=--，解不等式24040m m ⎧->⎨->⎩
即得解. 【详解】
（1）∵z bi =()b R ∈，
∴ ()()()()
212222111122bi i z bi b b i i i i i -----+===++++-， 又21z i -+是实数，∴202
b +=，得2b =-.∴复数2z i =-. （2）由（1）得2z i =-，m R ∈， ∴()()()
222244m z m i m mi +=-=--， ∵复数()2
m z +所表示的点在第一象限， ∴24040
m m ⎧->⎨->⎩，得2m <-.
∴实数m 的取值范围是(),2-∞-.
【点睛】
本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，考查复数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
23．（12）ω所对应的点的轨迹是以(2,为圆心，以4为半径的圆；（3）
这样的直线l 存在，且有两条y =或3
y x =
. 【分析】
（1）先由题意，得到02==z ，求解，即可得出结果；
（2）先由0z z ω=⋅
得到()
()1''+=-x y i x yi
，推出x y ⎧=⎪⎪⎨=⎪⎪⎩代入
2240x y x +-=，得到(
)(22216''-+-=x y ，进而可得出结果；
（3）先设直线l 存在，且为y kx b =+
，根据()()1''+=-x y i x yi
得到'=x x
，'=-y y ；再由ω对应点也在直线l 上， y kx b ''=+
，推出
()
-=++y k x b
，得到k b =⎪=⎪⎩
，求解，即可得出结果.
【详解】 （1）因为2z ω=，0z z ω=⋅得002=⋅=z z z z z ，
又()010z mi m =->
，所以02==z ，
所以m =
（2）由(),x y i x y R ω''''=+∈，0z z ω=⋅
，得()()1''+=-x y i x yi ，
即-==x yi
x y ⎧=⎪⎪⎨=⎪⎪⎩
， 因为2240x y x +-=
，所以2240+-=⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
即2240''''+--=x y x ，即(
)(22216''-+-=x y ；
所以ω
所对应的点的轨迹是以(2,为圆心，以4为半径的圆；
（3）设直线l 存在，且为y kx b =+，
由()()1''+=-x y i x yi
得'=x x
，'=-y y ； 因为ω对应点也在直线l 上，所以y kx b ''=+，
()-=++y k x b
，所以=y x
因此k b ⎧=⎪=⎪⎩
，解得0b k =⎧⎪⎨=⎪⎩
或0b k =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以这样的直线l
存在，且有两条y =
或3
y x =
. 【点睛】
本题主要考查复数代数形式的混合运算，以及点的轨迹问题，熟记复数的运算法则，复数的几何意义，以及点的轨迹方程的求法等即可，属于常考题型. 24．（1
）1i 2z =+；（2）22
11612
x y += 【解析】
分析：（1）设(),z x yi x y R =+∈
，由题意结合复数的运算法则可得62x yi i +=
，则12x y ==
，12
z i =+. （2）设复数(),z x yi x y R =+∈，由题意可得
()884=>，则其轨迹是椭圆，轨迹方程为：22
11612x y +=. 详解：（1）设(),z x yi x y R =+∈，则4262z z x yi +=+，
由42z z i +
=可得：62x yi i +=
，所以12x y =
=，12z i ∴= （2）设复数(),z x yi x y R =+∈，由228z z ++-=
得：
()884=>，其轨迹是椭圆，此时28,4a a ==，24,2c c ==，212b =，所求的轨迹方程为：2211612
x y +=. 点睛：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．
25．242z i =+
【解析】
解：1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-（4分）
设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-， （12分） ∵12z z R ∈，∴242z i =+（12分）
26．（1）3πθ=
；（2）[0,2[23,)λ∈++∞.
【分析】 （1）先计算出出12z z ⋅所表示的复数，然后根据12z z ⋅为实数让对应的复数的虚部为0即可计算出θ的值； （2）先表示出a 、b ，然后根据()()0a b a b λλ-⋅-=有解得到关于,λθ的等式，根据θ的范围计算出三角函数部分的取值范围，然后再根据等式有解计算出λ的范围.
【详解】
（1）(122sin 4sin cos z z i θθθθ⋅=++，
因为12z z ⋅为实数，所以4sin cos θθ=sin 22
θ=，又因为,32ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3π
θ=；
（2）因为()
2sin 1,2cos a b λλθθ-=--，()
2sin ,2cos a b λθλλθ-=-，
所以())
22()()821sin 1cos a b a b λλλλθλθ-⋅-=-+++， 又因为存在θ使等式()()0a b a b λλ-⋅-=成立，
所以())22821sin 1cos 0λλθλθ-+++=在,32ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上有解， 所以22sin 13λπθλ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭在,32ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上有解，又因为0,36ππθ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1sin 0,32πθ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，
所以2210,12λλ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，解得[0,2[23,)λ∈++∞. 【点睛】
本题考查复数的判断和复数与向量以及三角函数的综合，难度一般. （1）复数z a bi =+，如果z 为实数，则虚部0b =；
（2）复数z a bi =+对应的向量是(),a b .
（3）计算正弦型函数的值域时注意采用整体替换的思想和利用正弦函数的单调性求解.。