高考数学三轮冲刺提分练习卷三角函数与三角形无答案文
2025高考数学冲刺分层训练专题3-1、三角函数小题(一)
专题3-1、三角函数小题（一）一、单选题1．（2024·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设1cos 3x =，则sin 2x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．13−C ．3D ．3−sin 2x π⎛− ⎝1cos 3x =sin x ⎛∴− ⎝故选：B2．（2024·湖南岳阳·统考二模）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴查合，点A 是角α的终边与单位圆的交点，若点A 的横坐标为45−，则cos2α=（ ）A ．25−B ．25C ．725−D ．7253．（2024·江苏·统考一模）已知函数()()()sin 20πϕϕ=+<<f x x 的图象关于直线π6x =对称，则ϕ的值为（ ） A ．π12 B ．π6C ．π3D ．2π34．（2024·福建漳州·统考三模）已知πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭5πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．34−B ．34C ．4−D ．45．（2024·江苏泰州·统考一模）已知sin cos 65αα⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，则cos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．725−B ．725 C ．2425− D ．24256．（2024·福建泉州·统考三模）已知sin 0αα=，则cos 2=α（ ）A ．13−B ．0C ．13D7．（2024·山东·烟台二中校联考模拟预测）将函数()πcos 6f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）．A ．()g x 在ππ,23⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()g x 在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()g x 在ππ,23⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()g x 在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减8．（2024·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知πcos 243α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）．A ．13B ．12C ．12−D ．13−【详解】sin α−=13α=−．9．（2024·湖北·校联考模拟预测）已知cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则cos α=（ ）A B C D10．（2024·湖北·统考模拟预测）已知cos 752α⎛⎫︒+= ⎪⎝⎭()cos 30α︒−的值为（ ）A ．13B ．13−C ．23D ．23−11．（2024·江苏·统考一模）在ABC 中，2π3BAC ∠=，BAC ∠的角平分线AD 交BC 于点D ，ABD △的面积是ADC △面积的3倍，则tan B =（ ） A B C D 【详解】1sin 21sin 2ABDADCAB AD BADAB AC AC AD CAD ⋅⋅∠==⋅⋅，在ABC 中，作sin b CAH AB AH ∠=+12．（2024·湖南·模拟预测）已知πsin 4sin 0,,21cos 4cos 2ααααα⎛⎫∈= ⎪+−⎝⎭，则tan 2α=（ ）ABCD【详解】α13．（2024·广东茂名·统考一模）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（ ）A ．()2cos sin cos f x x x x =+B ．()1cos 22sin cos xf x x x−=C ．()ππcos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()ππsin cos 66f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多选题14．（2024·广东深圳·统考一模）已知函数()f x 的图象是由函数2sin cos y x x =的图象向右平移π6个单位得到，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在区间ππ,63⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 的图象关于直线π3x =对称D ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称15．（2024·浙江·校联考模拟预测）将函数π()2sin26f x x⎛⎫=−⎪⎝⎭的图象向左平移(0)θθ>个单位长度，得到函数()g x的图象，下列说法正确的是（）A．当5π6θ=时，()g x为偶函数B．当5π6θ=时，()g x在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C．当π4θ=时，()g x在ππ,66⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的值域为D．当π4θ=时，点π,06⎛⎫−⎪⎝⎭是()g x的图象的一个对称中心16．（2024·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知1 sin cos5θθ+=，()0,πθ∈，则（）A ． 12sin cos 25θθ=− B ． sin cos 1225θθ−=C ． 7sin cos 5θθ−=D ．4tan 3θ=−θcos θ0，所以sin ，解得4sin ,cos 5θ=17．（2024·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()222tan a c b B +−=，则B 的值为（ ）A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 18．（2024·山东潍坊·校考一模）将函数()π2cos 24f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭的图象向右平移π8个单位长度得到()y g x =的图象，则（ ）A ．()y f x =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B ．ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()y g x =是奇函数D ．()1y g x =−在[]π,π−上有4个零点2sin 2x ，故0，得到sin 19．（2024·山东·河北衡水中学统考一模）已知函数()ππsin()0,0,22f A x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>>−<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．当ππ,44x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为22⎡−⎢⎣⎦ C ．将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度可得函数()sin 2g x x =的图象 D ．将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称20．（2024·湖南湘潭·统考二模）将2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到()f x 的图象，则（ ）A ．π()2sin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于直线π12x =对称 C ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内是增函数21．（2024·湖南邵阳·统考二模）若函数()()()2cos cos sin 10f x x x x ωωωω=−−>的最小正周期为π，则（ ）A ．π24f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭B ．()f x 在π23π,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 在5π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有5个零点D ．()f x 在ππ,44⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1−【答案】BCπ4x ⎫+⎪⎭三、填空题22．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知5π2tan 43θ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则tan θ=________.所以tan 5θ=−. 故答案为：5−.23．（2024·浙江·校联考三模）写出一个满足下列条件的正弦型函数，()f x =____________．①最小正周期为π； ②()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥上单调递增； ③,()2x f x ∀∈≤R 成立．24．（2024·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中2a =，sin sin sin sin sin sin A B A C B C +=，则b c +的最小值为_____________.25．（2024·山东淄博·统考一模）若sin 63θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,πθ∈，则cos θ=______.【详解】()0,πθ∈π7π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭，又ππ,62⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π,π2⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，26．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）锐角α满足sin 43α⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 2=α____________.27．（2024·湖南长沙·统考一模）已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>,若函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,且关于直线π3x =轴对称,则ω的最小值为______．28．（2024·广东惠州·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点()1,2，则2cos sin 2θθ+=__________． 【答案】1【分析】法一：利用三角函数的定义求出sin θ、cos θ的值，再利用二倍角的正弦公式计算可得结果；29．（2024·广东江门·统考一模）已知,02θ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，7cos29θ=，则sin θ的值为___________.30．（2024·广东湛江·统考一模）cos 70cos 20cos 65︒−︒=︒______．。
(浙江专用)高考数学三轮冲刺 抢分练 压轴大题突破练(一)三角函数与解三角形-人教版高三全册数学试题
(一)三角函数与解三角形1．(2019·余高、缙中、长中模拟)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)求函数f (x )的单调增区间； (2)若f (α)＝26，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，求cos2α的值．解 (1)f (x )＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得函数f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，π8＋k π，k ∈Z .(2)由f (α)＝26得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝13，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，所以2α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝－223， 所以cos2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－π4＝2－46.2．(2019·某某二中高考热身考)已知函数f (x )＝sin 2π4x －3sin π4x cos π4x . (1)求f (x )的最大值及此时x 的值； (2)求f (1)＋f (2)＋…＋f (2019)的值． 解 (1)f (x )＝12－12cos π2x －32sin π2x＝12－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6， 令π2x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 得x ＝4k －43，k ∈Z ，∴当x ＝4k －43(k ∈Z )时，f (x )max ＝32.(2)由(1)知函数的周期T ＝4，f (1)＝12－32，f (2)＝12＋12，f (3)＝12＋32，f (4)＝12－12， ∴f (4k ＋1)＝12－32，f (4k ＋2)＝12＋12，f (4k ＋3)＝12＋32，f (4k ＋4)＝12－12， ∴f (4k ＋1)＋f (4k ＋2)＋f (4k ＋3)＋f (4k ＋4)＝2， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2019) ＝504×2＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝1010.3．(2019·余高等三校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b sin A －3a cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝3，求AC 边上中线长的最小值． 解 (1)由正弦定理得，sin B sin A －3sin A cos B ＝0， ∵sin A ≠0， ∴tan B ＝3， ∵B 是三角形的内角， ∴B ＝60°.(2)方法一 设AC 边上的中点为E ，在△BAE 中，由余弦定理得，BE 2＝c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22－2c ·b2·cos A ，又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，a 2＋c 2－b 2＝2·cos60°ac ，∴BE 2＝c 2＋b 24－b 2＋c 2－a 22＝2a 2＋2c 2－b 24＝a 2＋c 2＋ac 4＝(a ＋c )2－ac 4＝9－ac 4≥9－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 224＝2716， 当且仅当a ＝c 时取到“＝”， ∴AC 边上中线长的最小值为334. 方法二 设AC 边上的中点为E ， BE →＝12(BA →＋BC →)，|BE →|2＝14|BA →＋BC →|2＝c 2＋a 2＋ac 4，以下同方法一．4．(2019·浙大附中考试)已知f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋3sin x ·cos x －sin 2x .(1)求函数y ＝f (x )(0<x <π)的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A 满足f (A )＝2，而AB →·AC →＝3，求BC 边上的高AD 长的最大值． 解 (1)f (x )＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2sin x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴当0<x <π时，函数y ＝f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6和⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.(2)∵f (A )＝2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2，∴A ＝π6，∵AB →·AC →＝3，∴bc ·cos A ＝3，∴bc ＝2， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12，而a ＝b 2＋c 2－3bc ≥(2－3)bc ＝3－1(当且仅当b ＝c 时等号成立)， ∴所求BC 边上的高AD ≤3＋12， 即AD 的最大值为3＋12. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝3sin C . (1)若cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，求sin A ＋sin B 的值； (2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)∵cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ， ∴1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ， ∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ， ∴由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，∴C ＝2π3，∴sin A ＋sin B ＝3sin C ＝3sin 2π3＝32.(2)若c ＝2，则a ＋b ＝3c ＝23，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝4ab－1，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab－12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab， ∴S ＝12ab sin C ＝12ab－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab＝12－16＋8ab . ∵a ＋b ＝23≥2ab ，即0<ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立， ∴S ＝12－16＋8ab ≤12－16＋8×3＝2，∴△ABC 面积的最大值为 2.6．已知m ＝(3sin ωx ，cos ωx )，n ＝(cos ωx ，－cos ωx )(ω>0，x ∈R )，f (x )＝m·n －12且f (x )的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且b ＝7，f (B )＝0，sin A ＝3sin C ，求a ，c 的值及△ABC 的面积．解 (1)f (x )＝m·n －12＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx －12＝32sin2ωx －12cos2ωx －1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－1.∵f (x )的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)由(1)知，f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6－1＝0，∵0<B <π，∴－π6<2B －π6<11π6，∴2B －π6＝π2，∴B ＝π3，由sin A ＝3sin C 及正弦定理，得a ＝3c ， 在△ABC 中，由余弦定理，可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9c 2＋c 2－76c 2＝10c 2－76c 2＝12， ∴c ＝1，a ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×1×32＝334.。
高三数学 提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题附解析
高三数学 提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题附解析一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ） A ．22S a bc +的最大值为3B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形 C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC 的周长为223+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB 的面积为31- 【答案】ACD 【分析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A ；利用勾股定理的逆定理即可判断选项B ；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C ；由已知条件可得ABC 是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得AOB 的面积即可判断选项D. 【详解】 对于选项A ：2221sin 1sin 222cos 2222cos bc AS A b c a bc b c bc A bc Ac b==⨯++-+++- 1sin 4cos 2A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.令sin A y =，cos A x =，故21242S ya bc x ≤-⨯+-， 因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-上，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点12H ⎛ ⎝⎭，即60A =时，取得最小值-故可得,023yz x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎪-⎣⎭，又21242S yx bc x ≤-⨯+-，故可得2124S a bc ⎛≤-⨯= +⎝⎭， 当且仅当60A =，b c =，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A 正确； 对于选项B ：因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得c =，故选项B 错误； 对于选项C ，由2A C =，可得π3B C =-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b c B C=，即()2sin π3sin c c C C =-， 所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =，因为2b c =，所以B C >，所以cos C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以π2B =，π6C =，π3A =，因为2a =，所以3c =，b =，所以ABC 的周长为2+，故选项C 正确； 对于选项D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且π2B =，π6C =，π3A =，3c =，b =，所以ABC 的内切圆半径为1212333r ⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以ABC 的面积为11122cr ⎛== ⎝⎭所以选项D 正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A 利用面积公式和余弦定理，结合不等式得21sin 1sin 224cos 222cos S A Ab c a bc A A c b=⨯≤-⨯+-++-，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.2．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立； D ．函数()()22t f g θθ=+的最大值为2.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当6πθ=即1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=， 所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值2，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.3．设函数()2sin 1xf x x x π=-+，则（ ） A ．()43f x ≤B ．()5f x x ≤C ．曲线()y f x =存在对称轴D ．曲线()y f x =存在对称中心【答案】ABC 【分析】 通过()22sin sin 11324x xf x x x x ππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭可发现函数()y f x =具有对称轴及最大值，再利用函数对称中心的特点去分析()y f x =是否具有对称中心，再将()5f x x ≤化为32sin 555x x x x π≤-+，通过数形结合判断是否成立.【详解】函数解析式可化为：()22sin sin 11324x xf x x x x ππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭，因为函数sin y x =π的图象关于直线12x =对称，且函数21324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象也关于直线12x =对称，故曲线()y f x =也关于直线12x =对称，选项C 正确；当12x=时，函数siny x=π取得最大值1，此时21324y x⎛⎫=-+⎪⎝⎭取得最小值34，故()14334f x≤=，选项A正确；若()5f x x≤，则32sin555x x x xπ≤-+，令()32555g x x x x=-+，则()()221510553210g x x x x x'=-+=-+>恒成立，则()g x在R上递增，又()00g=，所以当0x<时，()00g<；当0x>时，()0g x>；作出sin xπ和32555x x x-+的图象如图所示：由图象可知32sin555x x x xπ≤-+成立，即()5f x x≤，选项B正确；对于D选项，若存在一点(),a b使得()f x关于点(),a b对称，则()()2f a x f a x b-++=，通过分析发现()()f a x f a x-++不可能为常数，故选项D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查函数的综合应用，涉及函数的单调性与最值、对称轴于对称中心、函数与不等式等知识点，难度较大. 对于复杂函数问题一定要化繁为简，利用熟悉的函数模型去分析，再综合考虑，注意数形结合、合理变形转化.4．已知函数()2sin()05,||2f x xπωϕωϕ⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭，且对任意x∈R，()12f x fπ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（）A．函数()f x的图象关于原点对称B．函数()f x的最小正周期为πC．函数()f x的图象关于直线2xπ=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.5．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭；由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误； 对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.6．设函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）A ．()1y f x =+在()02π，有且仅有2个零点 B ．()f x 在023π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增C ．ω的取值范围是192388⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．将()f x 的图象先右移4π个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1()sin()2g x x ω=【答案】BC首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；B.[]0,2x π∈时，,2444t x πππωωπ⎡⎤=+∈⋅+⎢⎥⎣⎦ 若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则5264ππωππ≤⋅+<，得192388ω≤<，当023x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故BC 正确； D. 函数()f x 的图象先右移4π个单位后得到sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到()1sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故D 不正确；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4t x πω=+的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.7．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACDA 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>； 若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->， 于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.8．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，()()124F x f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）A ．tan ϕ=B ．()f x 在[],a a -上存在零点，则a 的最小值为6π C ．()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移2π个单位得到 【答案】ABC【分析】首先得到()()1224F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数ϕ，最后结合三角函数的性质一一验证即可.【详解】 解：因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以11()()+cos(2))cos 22423F x f x f x x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即cos 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ；对于A ，tan tan 6πϕ==，故A 正确； 对于B ，令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得26k x ππ=+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为6π，故B 正确； 对于C ，()cos 2sin 263F x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确. 对于D ，因为()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()cos 266F x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据“左加右减”，()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移6π个单位得到，故D 错误.故选：ABC .【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是先根据()()124F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，确定参数ϕ的值，再结合三角函数的性质逐一判断即可.二、数列多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】AB【分析】 利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n n a ，进而得到n b ；利用10n n b b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果.【详解】当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n n n n a S S a a ，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n a 2920n n a b n n =-+-，219202n n n n b --+-∴= ()()222111912092011280222n n n n n n n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >，()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n << 又n *∈N ，5n ∴=或6故选：AB【点睛】关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．10．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---【答案】BCD【分析】 由已知可得11222n n n n S n S n S n S n++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公式，可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D.【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S n S n S n++++==++． 又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；所以2n n S n +=，则2n n S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故A 错误；由当2n ≥时，121n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++- ()()()23122412122...2212...224122n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到11222n n n n S n S n S n S n++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,。
(江苏专用)高考数学三轮复习解答题专题练(一)三角函数、解三角形文苏教版
（江苏专用）高考数学三轮复习解答题专题练（一）三角函数、解三角形文苏教版解答题专题练(一) 三角函数、解三角形(建议用时：40分钟)1．已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的取值范围．2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a cos C sin B ＝b sin B ＋c cos C. (1)求sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )的最大值；(2)若b ＝2，当△ABC 的面积最大时，求△ABC 的周长．3．已知函数f (x )＝a sin x cos x －2cos 2x (x ∈R )的图象经过点M ⎝⎛⎭⎪⎫π4，0，其中常数a ∈R . (1)求a 的值及函数f (x )的最小正周期T ； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最值及相应的x 值．4．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．解答题专题练(一)1．解：(1)f (x )＝sin 2x ＋3sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 所以T ＝π.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，得2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π6. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 所以f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. 2．解：(1)由a cos C sin B ＝b sin B ＋c cos C ，得a cos C sin B ＝b cos C ＋c sin B sin B cos C， 即sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，所以cos B ＝sin B ，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4， 则sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )＝2(sin A ＋cos A )＋sin A cos A ，令t ＝sin A ＋cos A ，因为sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，0<A <34π，所以0<t ≤2， sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )＝12t 2＋2t －12＝12(t ＋2)2－32， 所以当t ＝2，即A ＝π4时，上式取得最大值，为52. (2)由(1)得S ＝12ac sin B ＝24ac ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即2＝a 2＋c 2－2ac ≥(2－2)ac ，ac ≤2＋2，当且仅当a ＝c ＝2＋2时等号成立，所以S max ＝2＋12，此时a ＝c ＝2＋2，所以周长L ＝a ＋b ＋c ＝22＋2＋ 2. 3．解：(1)f (x )＝a sin x cos x －2cos 2x ＝a2sin 2x －cos 2x －1， 由函数f (x )的图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即a 2sin π2－cos π2－1＝0，得a ＝2. 从而f (x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1， 所以T ＝2π2＝π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时， 2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4， 所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，f (x )max ＝2－1； 当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f (x )min ＝－2. 4．解：(1)由3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A ， 得3cos(B ＋C )＋2＝2cos 2A ，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)． 因为0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)由S ＝12bc sin A ＝34bc ＝53，得bc ＝20， 因为b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝25＋16－2×20×12＝21， 故a ＝21.根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ， 得sin B sin C ＝b a sin A ×c a sin A ＝57.。
高考数学三轮冲刺三角函数、解三角形与平面向量专项模拟试卷(含解析)
高考数学三轮冲刺三角函数、解三角形与平面向量专项模拟试卷（含分析）本试卷分第Ⅰ卷 (选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分，共150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷一、选择题 (本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．已知全集 U＝ R，会合 P＝ { x|x2≤1} ，那么 ?U P＝ ()A ． (－∞，－ 1)B ． (1，＋∞ )C．( －1,1) D ．(－∞，－ 1)∪(1，＋∞ )【分析】∵x2≤ 1?－1≤ x≤ 1，∴?U P＝ (－∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )．【答案】D2． (2013 江·西高考 )函数 y＝ xln(1 － x)的定义域为 ()A ． (0,1)B ． [0,1)C．(0,1] D ．[0,1]1－ x＞ 0【分析】由得，函数定义域为 [0,1) ．x≥0【答案】B3．(2012 重·庆高考 )已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且以 2 为周期，则“ f(x)为 [0,1] 上的增函数”是“ f(x)为[3,4] 上的减函数”的 ()A．既不充足也不用要的条件B．充足而不用要的条件C．必需而不充足的条件D．充要条件【分析】①∵f(x) 在 R 上是偶函数，∴ f(x)的图象对于y 轴对称．∵f(x)为 [0,1] 上的增函数，∴ f(x)为 [－ 1,0] 上的减函数．又∵f(x)的周期为2，∴f(x)为区间 [－ 1＋ 4,0＋ 4]＝ [3,4] 上的减函数．②∵f(x)为 [3,4] 上的减函数，且f( x)的周期为2，∴f(x)为 [ － 1,0] 上的减函数．又∵f(x)在 R 上是偶函数，∴ f(x)为 [0,1] 上的增函数．由①②知 “ f(x)为[0,1] 上的增函数 ” 是 “ f(x)为[3,4] 上的减函数 ” 的充要条件．【答案】 D4．已知 f(x)＝ sin 2 x ＋ π，若 a ＝ f(lg 5) ， b ＝ f lg 1 ，则()4 5 A ． a ＋ b ＝ 0 B ． a － b ＝ 0 C ．a ＋ b ＝ 1D ．a － b ＝ 1 【分析】f(x)＝1π1＋ sin 2x＝2，2 1－ cos 2x ＋ 21 sin 2lg 5∴a ＝ 2＋2，1sin 2lg 11 sin 2lg 55 b ＝ 2＋2＝ 2－ 2 .所以， a ＋ b ＝ 1.【答案】C5． (2013 重·庆高考 )命题“对随意 x ∈ R ，都有 x 2≥ 0”的否认为 ()A ．对随意 x ∈ R ，都有 x 2<0B ．不存在 x ∈R ，使得 x 2<02 C ．存在 x ∈ R ，使得 x ≥02D ．存在 x ∈ R ，使得 x <0【分析】因为 “ ? x ∈ M ， p( x)” 的否认是 “? x ∈ M ，綈 p(x) ” ，故 “ 对随意 x ∈ R ，22都有 x ≥ 0” 的否认是 “ 存在 x 0∈ R ，使得 x 0<0 ”．【答案】D6．在△ ABC 中，若 sin 2A ＋ sin 2B ＜sin 2C ，则△ ABC 的形状是 ()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不可以确立【分析】由正弦定理，得a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2∴cos C ＝ 2ab <0，则 C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．【答案】C3x ＋y － 6≥ 0，7． (2013 ·津高考天 )设变量 x ， y 知足拘束条件x － y －2≤ 0， 则目标函数 z ＝ y － 2xy － 3≤0，的最小值为 ()A．－ 7B．－ 4C．1 D ．2【分析】可行域如图暗影部分(含界限 ) ．令 z＝ 0，得直线l0： y－ 2x＝0，平移直线l 0知，当直线l 过 A 点时， z 获得最小值．y＝ 3，得 A(5,3)．由x－ y－2＝ 0∴z 最小＝ 3－ 2× 5＝－ 7.【答案】A8． (2013 ·标全国卷Ⅱ课 )已知函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx＋c，以下结论中错误的选项是()A ． ? x ∈ R， f(x )＝ 000B．函数 y＝ f(x)的图象是中心对称图形C．若 x0是 f(x)的极小值点，则f(x)在区间 (－∞， x0)上单一递减D．若 x是 f(x)的极值点，则f′ (x )＝ 000【分析】若 c＝0，则有 f(0)＝ 0，所以 A 正确．由 f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx＋c 得 f(x)－ c＝ x3＋ax2＋bx，因为函数f(x)＝ x3＋ax2＋ bx 的对称中心为 (0,0) ，所以 f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx＋ c 的对称中心为 (0，c) ，所以 B 正确．由三次函数的图象可知，若x0是 f(x)的极小值点，则极大值点在 x0的左边，所以函数在区间 (－∞， x0)单一递减是错误的， D 正确．【答案】C第Ⅱ卷二、填空题 (本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分，把答案填在题中横线上 )9． (2013 江·西高考 )设 f(x)＝ 3sin 3x＋ cos 3x，若对随意实数 x 都有 |f(x)|≤ a，则实数 a 的取值范围是 ________．【分析】因为 f(x)＝ 3sin 3x＋ cos 3x＝ππ2sin 3x＋6，则 |f(x)|＝ 2 sin 3x＋6≤2，要使 |f(x)|≤ a 恒建立，则 a≥ 2.【答案】[2，＋∞ )10．设 e1， e2为单位向量，且 e1， e2的夹角为π，若 a＝ e1＋3e2，b＝ 2e1，则向量 a 在3b 方向上的射影为 ________．【分析】因为 a＝ e1＋ 3e2， b＝ 2e1，2·e1所以 |b|＝2， a ·b＝ (e ＋ 3e ) ·2e ＝2e ＋ 6e＝ 2＋ 6×2＝5，121112所以 a 在 b 方向上的射影为|a| cos<a·， b>＝a·b5 |b|＝2.【答案】5 211． (2013 ·徽高考改编安 )设△ ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为a，b， c.若 b＋ c ＝2a,3sin A＝ 5sin B，则角 C＝ ________.【分析】由 3sin A＝ 5sin B，得 3a＝ 5b.又因为 b＋c＝ 2a，57所以 a＝3b， c＝3b，57a2＋ b2－ c23b 2＋ b2－3b 212π所以 cos C＝2ab＝5＝－2.因为 C∈ (0，π)，所以 C＝ 3.2×3b× b【答案】2π312．若非零向量a， b 知足 |a|＝ |b|， (2a＋ b) ·b＝ 0，则 a 与 b 的夹角为 ________．【分析】∵(2a＋ b) ·b＝ 0，∴2a·b＋ b2＝ 0，1 2∴a·b＝－2b ，设 a 与 b 的夹角为θ，又|a|＝|b|，1 2－ba·b21∴θ＝ 120 .°【答案】120°→13．(2013 北·京高考 )已知点 A(1，－ 1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面地区 D 由全部知足 AP＝→→λAB＋μAC(1 ≤λ≤ 2,0≤ μ≤ 1)的点 P 构成，则 D 的面积为 ________．【分析】→→设 P(x， y)，且 AB， AC＝ (1,2)．＝ (2,1)→ → →∴OP ＝ OA ＋ AP ＝ (1，－ 1)＋λ(2,1)＋ μ(1,2)，x ＝ 1＋2λ＋ μ， 3μ＝ 2y － x ＋3，∴∴y ＝－ 1＋ λ＋ 2μ， 3λ＝ 2x －y － 3，又 1≤ λ≤ 2,0≤ μ≤ 1，0≤ x －2y ≤ 3， ∴表示的可行域是平行四边形及内部．6≤ 2x －y ≤ 93 5如图，点 B(3,0)到直线 x － 2y ＝ 0 的距离 d ＝ 5 .又 |BN|＝5.3 5× 5＝3.∴地区 D 的面积 S ＝ 5 【答案】31，则 sin ∠BAC ＝ ________.14．在△ ABC 中，∠ C ＝ 90°，M 是 BC 的中点．若 sin ∠ BAM ＝31 2 2【分析】因为 sin ∠BAM ＝3，所以 cos ∠BAM ＝3 .在△ABM 中，利用正弦定理，得BM ＝ AM ，所以 BM＝ sin ∠BAM ＝ 1 ＝ 1 .sin ∠BAM sin B AM sin B 3sin B 3cos ∠BACCM在 Rt △ACM 中，有 AM ＝ sin ∠CAM ＝ sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知 BM ＝ CM ，所以1＝ sin(∠BAC －∠BAM )．3cos ∠BAC化简，得 2 2sin ∠BACcos ∠BAC － cos 2∠BAC ＝ 1.2 2tan ∠BAC － 1 所以＝ 1，解得 tan ∠BAC ＝ 2.tan 2∠BAC ＋ 1再联合 sin 2∠BAC ＋ cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得 sin ∠BAC ＝ 63 .【答案】63三、解答题 (本大题共 6 小题，共 80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)π15． (本小题满分12 分)函数 f( x)＝ Asin( ωx－6)＋ 1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相π邻两条对称轴之间的距离为2.(1)求函数 f(x)的分析式；πα(2)设α∈ (0，2)， f(2)＝ 2，求α的值．【解】(1) ∵函数 f( x)的最大值为3，∴A＋ 1＝ 3，即 A＝ 2.π∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，∴最小正周期 T＝π，∴ω＝ 2，π∴函数 f(x)的分析式为y＝ 2sin(2x－6)＋ 1.απ(2)∵f(2)＝ 2sin(α－6)＋ 1＝ 2，π 1∴sin( α－6)＝2.π∵0< α<2，ππ π∴－6<α－6<3，π ππ∴α－6＝6，∴α＝3.16． (本小题满分12 分 )(2013 北·京高考 )在△ ABC 中， a＝ 3，b＝ 26，∠ B＝ 2∠ A，(1)求 cos A 的值；(2)求 c 的值．【解】(1) 因为 a＝ 3， b＝ 26，∠B＝ 2∠A，3 2 6所以在△ABC 中，由正弦定理得sin A＝sin 2A.2sin Acos A 2 66所以sin A＝3.故 cos A＝3 .63(2)由 (1) 知 cos A＝3，所以 sin A＝1－ cos2A＝3 .又因为∠ B＝ 2∠A，所以 cos B＝ 2cos2A－1＝1 3.所以 sin B＝1－ cos2 B＝232.在△ABC 中， sin C ＝ sin(A ＋ B)＝ sin Acos B ＋5 3cos Asin B ＝ 9 .asin C所以 c ＝ sin A ＝ 5.17． (本小题满分 14 分 )(2013 广·东高考 )已知函数 f(x)＝ 2cos x － π ，x ∈ R .12(1)求 f －π的值；63， θ∈3π π， 2π ，求 f2θ＋ 3 .(2)若 cos θ＝52π【解】(1) 因为 f( x)＝ 2cos x － 12 ，π π π所以 f －6 ＝ 2cos － 6－ 12π π 2 ＝ 2cos － 4 ＝2cos 4＝2× 2 ＝1.3π3(2)因为 θ∈ 2 ， 2 π， cos θ＝ 5，3 4所以 sin θ＝－1－ cos 2θ＝－1－ 5 2＝－ 5，37cos 2θ＝ 2cos 2θ－ 1＝ 2× 5 2－ 1＝－ 25，3 4 24sin 2θ＝ 2sin θcos θ＝ 2× 5× － 5 ＝－ 25.π π π 所以 f 2θ＋ 3 ＝ 2cos 2θ＋3－ 12π 22＝ 2cos 2θ＋4 ＝ 2× 2 cos 2θ－ 2 sin 2θ7 24 17＝ cos 2θ－ sin 2θ＝－ 25－－ 25 ＝25.3x 3xxx18． (本小题满分 14 分 )已知向量 a ＝ (cos2 ， sin 2 )，b ＝ (－ sin 2，－ cos 2)，此中 xπ∈[ ， π]．2(1)若 |a ＋ b|＝ 3，求 x 的值；(2)函数 f(x)＝ a ·b ＋|a ＋ b|2，若 c>f(x)恒建立，务实数 c 的取值范围． 【解】(1) ∵a ＋ b ＝ (cos3xx 3x x2 － sin 2， sin 2 － cos 2)，3x x23xx 2∴|a＋ b|＝cos 2－sin 2＋ sin 2－ cos 2＝2－ 2sin 2x，1由 |a＋ b|＝3，得 2－ 2sin2x＝3，即 sin 2x＝－2.π∵x∈ [2，π]，∴π≤ 2x≤ 2π.ππ7π11π所以 2x＝π＋6或 2x＝ 2π－6，即 x＝12或 x＝12.3x x3x x(2)∵a·b＝－ cos 2 sin2－sin 2 cos2＝－ sin 2x，∴f(x)＝ a ·b＋ |c＋ b|2＝ 2－ 3sin 2x，∵π≤ 2x≤ 2π，∴－ 1≤ sin 2x≤ 0，∴2≤ f(x)＝2－ 3sin 2x≤ 5，∴[f(x)] max＝5.又 c>f(x) 恒建立，所以 c>[ f(x)] max，则 c>5.∴实数 c 的取值范围为 (5，＋∞)．19．(本小题满分14 分)(2013 湖·北高考 )在△ ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是a，b，c，已知 cos 2A－ 3cos(B＋C)＝ 1.(1)求角 A 的大小；(2)若△ ABC 的面积 S＝ 5 3，b＝ 5，求 sin Bsin C 的值．【解】(1)由 cos 2A－3cos(B＋ C)＝1，得2cos2A＋ 3cos A－ 2＝ 0，即 (2cos A－ 1)(cos A＋ 2)＝ 0.解得 cos A＝12或 cos A＝－ 2(舍去 )．π因为 0<A<π，所以 A＝3.1133(2)由 S＝2bcsin A＝2bc·2＝4 bc＝ 53，得 bc＝ 20.又 b＝5，所以 c＝ 4.由余弦定理，得a2＝b2＋ c2－ 2bccos A＝ 25＋ 16－ 20＝21，故 a＝ 21.又由正弦定理，得b c bc2035. sin Bsin C＝ sin A·sin A＝a2·sin2A＝21× ＝a a478线 y＝ g(x)都过点 P(0,2) ，且在点 P 处有同样的切线 y＝ 4x＋ 2.(1)求 a， b， c， d 的值；(2)若 x≥－ 2 时， f(x)≤ kg(x)，求 k 的取值范围．【解】 (1) ∵曲线 y＝ f(x)和曲线 y＝g( x)都过点 P(0,2)，∴b＝ d＝ 2.∵f ′(x)＝ 2x＋ a，故 f′ (0)＝ a＝4.∵g′ (x)＝ e x(cx＋ d＋c) ，∴g′ (0)＝ 2＋ c＝4，故 c＝2.进而 a＝ 4， b＝2， c＝ 2，d＝ 2.(2)令 F(x)＝ kg(x)－ f(x)，则 F′ (x)＝ (ke x－ 1)(2x＋ 4)，由题设可得 F(0) ≥ 0，故 k≥ 1，令 F′ (x)＝ 0 得 x1＝－ ln k， x2＝－ 2，①若 1≤ k＜ e2，则－ 2＜ x1≤ 0，进而当 x∈ [－ 2， x1)时， F′ (x)＜ 0，1当 x∈ (x ＋∞ )时， F ′ (x)＞ 0，即 F(x)在 [ － 2，＋∞ ) 上最小值为2－ 2＝－ x1(x1＋ 2)≥ 0，此时F(x1) ＝ 2x1＋ 2－ x1－ 4x1f(x)≤ kg(x)恒建立；②若 k＝e2，F ′ (x)＝ (e x＋2－1)(2 x＋4)，故 F(x)在 [ － 2，＋∞ )上单一递加，因为 F(－ 2)＝ 0，所以 f(x)≤ kg(x)恒建立；③若 k＞e2，则 F(－ 2)＝－ 2ke－2＋ 2＝－ 2e－2 (k－ e2)＜ 0，进而当 x∈ [－ 2，＋∞ )时，f(x)≤ kg(x)不行能恒建立．综上所述k 的取值范围为[1， e2]．。
高考数学三轮增分练 高考小题分项练5 三角函数与解三角形 文
高考小题分项练5 三角函数与解三角形1．若点(sin 5π6，cos 5π6)在角α的终边上，则sin α＝________. 答案 －32解析 根据任意角的三角函数的定义，得sin α＝cos 56π1＝－32. 2．若tan α＝12，tan(α－β)＝－13，则tan(β－2α)＝________. 答案 －17解析 tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝tan β－α－tan α1＋tan β－αtan α＝13－121＋13·12＝－17. 3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB ＝5，则ω的值为________．答案 π3 解析 AB ＝5＝ 42＋T22，解得T ＝6＝2πω，ω＝π3. 4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，若函数y ＝f (x )的图象过原点，则φ＝________.答案 3π4解析 由题设可知f (x )＝sin[2(x ＋π8)＋φ]， 由题意f (0)＝0，即sin(π4＋φ)＝0， 注意到0<φ<π，所以φ＝3π4. 5．如果满足∠ABC ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的锐角△ABC 有且只有一个，那么实数k 的取值范围是__________．答案 (43，12]解析 当AC ＝BC ·sin∠ABC ，即k sin 60°＝12，k ＝83时，三角形为直角三角形，不合题意．当0<BC ≤AC ，即0<k ≤12时，三角形只有一解，其中要使△ABC 为锐角三角形，应有BC >AC tan∠ABC ＝12tan 60°＝43，所以实数k 的取值范围是43<k ≤12.6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π)的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为________________．答案 y ＝3sin(π4x ＋π4)解析 由图象知A ＝3，T 2＝5－1＝4，所以T ＝8. 因为T ＝2πω＝8，所以ω＝π4，所以f (x )＝3sin(π4x ＋φ)． 因为函数f (x )的图象过点(1,3)，所以3sin(π4＋φ)＝3， 即sin(π4＋φ)＝1.因为π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又因为0<φ<π，所以φ＝π4，所以函数f (x )的解析式是f (x )＝3sin(π4x ＋π4)． 7．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6) (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是__________． 答案 [－32，3] 解析 由题意可得ω＝2.∵x ∈[0，π2]， ∴ωx －π6＝2x －π6∈[－π6，5π6]， 由三角函数图象知：f (x )的最小值为3sin(－π6)＝－32，最大值为3sin π2＝3， ∴f (x )的取值范围是[－32，3]． 8．在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝π4，cos B ＝35，则边c ＝________.答案 7解析 由cos B ＝35，得sin B ＝45，由a sin A ＝b sin B ，得b ＝42，由cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得c 2－6c －7＝0，c ＝7或c ＝－1(舍)．9．设a ，b ，c 为△ABC 的三边长，a ≠1，b <c ，若log (c ＋b )a ＋log (c －b )a ＝2log (c ＋b )·a log (c －b )a ，则△ABC 的形状为________三角形．答案 直角解析 ∵log (c ＋b )a ＋log (c －b )a ＝2log (c ＋b )a ·log (c －b )a ，∴1log c －b a ＋1log c ＋b a ＝2，即log a (c －b )＋log a (c ＋b )＝2，∴log a (c 2－b 2)＝2，即c 2－b 2＝a 2，即c 2＝a 2＋b 2，故△ABC 的形状为直角三角形．10．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )在区间[0，2π3]上的值域为__________． 答案 [0，32] 解析 f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2) ＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·cos ωx＝1－cos 2ωx 2＋32sin 2ωx ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12. 因为T ＝2π2ω＝πω＝π， 所以ω＝1，即f (x )＝sin(2x －π6)＋12. 当x ∈[0，2π3]时，2x －π6∈[－π6，7π6], 所以sin(2x －π6)∈[－12，1]， 所以f (x )的值域为[0，32]． 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B ＝________. 答案 45°解析 由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，sin(A ＋B )＝sin 2C ，sin C ＝sin 2C ，于是sin C ＝1，C ＝90°.从而S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)＝14(b 2＋b 2)， 解得a ＝b ，因此B ＝45°.12．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数：①f 1(x )＝sin x ＋cos x ；②f 2(x )＝2sin x ＋2；③f 3(x )＝2(sin x ＋cos x )；④f 4(x )＝sin x ；⑤f 5(x )＝2cos x 2(sin x 2＋cos x 2)，其中“互为生成”函数的有________．(请填写序号) 答案 ①②⑤解析 f 1(x )＝2sin(x ＋π4)，f 3(x )＝2sin(x ＋π4)， f 5(x )＝sin x ＋cos x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1， 其中①②⑤都可以由y ＝2sin x 平移得到，它们是“互为生成”函数，③④不能由y ＝2sin x 平移得到，相互也不能平移得到，故填①②⑤.13．已知α∈(0，π2)，且tan(α＋π4)＝3，则lg(8sin α＋6cos α)－lg(4sin α－cos α)＝________. 答案 1解析 ∵α∈(0，π2)，且tan(α＋π4)＝3， ∴tan α＋11－tan α＝3，∴tan α＝12， ∴lg(8sin α＋6cos α)－lg(4sin α－cos α)＝lg 8sin α＋6cos α4sin α－cos α＝lg 8tan α＋64tan α－1＝lg 10＝1. 14．函数y ＝tan ωx (ω>0)与直线y ＝a 相交于A ，B 两点，且AB 最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx 的单调增区间为________________．答案 [2k π－π3，2k π＋2π3](k ∈Z ) 解析 由函数y ＝tan ωx (ω>0)的图象可知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f (x )＝2sin(x －π6)． 由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )．。
2021-2022年高考数学三轮冲刺专题提升训练三角函数(3)
2021年高考数学三轮冲刺专题提升训练三角函数（3）1、已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为的保值区间．若的保值区间是，则的值为（）A．1 B． C．D．2、设是定义在Ｒ上的偶函数，且满足，当时，，又,若方程恰有两解,则的范围是( )Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.3、已知函数定义域为，且方程在上有两个不等实根，则的取值范围是A. ≤B. ≤＜1 C. D. ＜14、已知函数，函数，若存在、使得成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．5、关于θ的方程在区间[0，2π]上的解的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．46、对于函数①，②，③.判断如下两个命题的真假：命题甲：在区间上是增函数；命题乙：在区间上恰有两个零点，且。
能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（）A．① B．② C．①③D．①②7、一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象可能是A．B．C． D．8、是两个定点，点为平面内的动点，且（且），点的轨迹围成的平面区域的面积为，设（且）则以下判断正确的是（）A．在上是增函数，在上是减函数B．在上是减函数，在上是减函数C．在上是增函数，在上是增函数D．在上是减函数，在上是增函数9、对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数。
例如：。
在直角坐标平面内，若满足，则的范围是（）A. B. C. D.10、定义方程的实数根x0叫做函数的“新驻点”，如果函数，，（）的“新驻点”分别为，，，那么，，的大小关系是：（）A． B． C． D．11、设，当函数的零点多于1个时，在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为_____________.12、定义：如果函数，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．如上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数上的平均值函数，则实数的取值范围是13、已知函数，若对任意的实数，均存在以为三边长的三角形，则实数的取值范围为．14、已知点是函数的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图像上的不同两点，则类似地有成立．15、16. 已知函数，则关于的方程给出下列四个命题：①存在实数，使得方程恰有1个实根；②存在实数，使得方程恰有2个不相等的实根；③存在实数，使得方程恰有3个不相等的实根；④存在实数，使得方程恰有4个不相等的实根.其中正确命题的序号是（把所有满足要求的命题序号都填上）.16、设函数的定义域为（0，+∞），且对任意正实数x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y)恒成立，已知f(2)=1且x>1时f(x)>0.（1）求；（2）判断y=f(x)在(0,+ ∞)上的单调性；（3）一个各项均为正数的数列其中s n 是数列的前n项和，求17、对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[]，使在[]上的值域为[]；那么把（）叫闭函数。
高考数学三轮冲刺大题提分三角函数与解三角形理
大题精做1 三角函数与解三角形1.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(),2a c b =-m ，()cos ,cos C A =n ，且⊥m n ． （1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，ABC △a ． 【答案】（1）π3A =；（2）13a =． 【解析】（1）由⊥m n ，可得0⋅=m n ，即2cos cos cos b A a C c A =+， 即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即()2sin cos sin B A A C =+，∵()()sin sin πsin A C B B +=-=，∴2sin cos sin B A B =，即()sin 2cos 10B A -=， ∵0πB <<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2A =， ∵0πA <<，∴π3A =．（2）由ABC S =△1sin 2ABC S bc A =△4bc =，又5b c +=，由余弦定理得()22222cos 313a b c bc A b c bc =+-=+-=，∴a =2．如图，在ABC △中，π4A ∠=，4AB =，BC D 在AC 边上，且1cos 3ADB ∠=-．（1）求BD 的长； （2）求BCD △的面积．3．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=． （1）求B ；（2）若3b =，ABC △的周长为3+ABC △的面积．4．已知函数()22cos cos sin f x x x x x =+-． （1）求函数()y f x =的最小正周期以及单调递增区间；（2）已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()1f C =，2c =，()sin sin 2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．1．【答案】（1）3；（2）【解析】（1）在ABD △中，∵1cos 3ADB ∠=-，∴sin ADB ∠，由正弦定理sin sin BD AB BAD ADB =∠∠，∴4sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠． （2）∵πADB CDB ∠+∠=，∴()1cos cos πcos 3CDB ADB ADB ∠=-∠=-∠=．∴()sin sin πsin CDB ADB ADB ∠=-∠=∠=，sin CDB ∠ 在BCD △中，由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠， 得21179233CD CD =+-⨯⨯，解得4CD =或2CD =-（舍）．∴BCD △的面积11sin 34223S BD CD CDB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=． 2．【答案】（1）2π3B =；（2）ABC S =△【解析】（1）∵()2cos cos 0a c B b A ++=，∴()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ++=，()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=，()sin 2cos sin 0A B B C ++=， ∵()sin sin A B C +=．∴1cos 2B =-，∵0πB <<，∴2π3B =．（2）由余弦定理得221922a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭，229a c ac ++=，∴()29a c ac +-=，∵3a b c ++=+3b =，∴a c +=3ac =， ∴11sin 322ABC S ac B ==⨯=△． 3．【答案】（1）函数最小正周期为π，单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）ABC S △【解析】（1）()22πcos cos sin 2cos 22sin 26f x x x x x x x x ⎛⎫=⋅+-=+=+ ⎪⎝⎭，2ππ2T ==，即函数最小正周期为π， 由πππ2π22π262k x k -≤+≤+得ππππ36k x k -≤≤+， 故所求单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）由()1f C =，得π2sin 216C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ππ22π66C k +=+或π5π22π66C k +=+，∴πC k =或ππ3C k =+， ∵()0,πC ∈，∴π3C =， 又∵()()()sin sin sin sin 2sin cos C B A B A B A B A +-=++-=， ∴2sin cos 2sin2B A A =，即sin cos 2sin cos B A A A =，①当cos 0A =时，即π2A =，则由π3C =，2c =，可得ABC S =△，②当cos 0A ≠时，则sin 2sin B A =，即2b a =，则由2221cos 22a b c C ab +-==，解得a ，b∴1sin 2ABC S ab C ==△综上：ABC S =△。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》经典测试题及答案
数学高考《三角函数与解三角形》复习资料一、选择题1．在ABC ∆中，若2sin sin cos 2CA B =，则ABC ∆是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形【答案】B 【解析】试题分析：因为2sin sin cos2CA B =，所以，1cos sin sin 2C A B +=，即2sin sin 1cos[()],cos()1A B A B A B π=+-+-=,故A=B ，三角形为等腰三角形，选B 。
考点：本题主要考查和差倍半的三角函数，三角形内角和定理，诱导公式。
点评：简单题，判断三角形的形状，一般有两种思路，一种是从角入手，一种是从边入手。
2．已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示，其中()01f =，5||2MN =，则点M 的横坐标为（ ）A ．12B ．25-C ．1-D ．23-【答案】C 【解析】 【分析】 由(0)1f =求出56πϕ=，由5||23MN πω=⇒=，再根据()2f x =可得答案.【详解】由函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象，可得(0)2sin 1f ϕ==，56πϕ∴=， 22512||2243MN ππωω⎛⎫==+⋅= ⎪⎝⎭，∴函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 得52,0362x k k ππππ+=+=得1x =-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程求出3πω=，属于中档题.3．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年【答案】D 【解析】 【分析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan 0.6610β-==， tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g ．0.4550.4570.461<<Q ，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D ． 【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．4．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ），sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，， 所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞． 故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选D 【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．5．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（）A ．B ．CD 【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式可确定()max f x =sin 2cos θθ-=平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】()()sin 2cos f x x x x ϕ=-=+Q ，其中tan 2ϕ=-()max f x ∴sin 2cos θθ-=又22sin cos 1θθ+= cos θ∴=【点睛】本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.6．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则5π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A ．12-B ．2C ．D ．12【答案】B 【解析】 分析：要求53f π⎛⎫⎪⎝⎭，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，再应用其解析式求解 详解：()f x Q 的最小正周期是π552333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x Q 是偶函数33f f ππ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，533f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sin f x x =，则5 sin 3332f f πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．7．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2b C c B b +=，则ab=( )A ．B ．2CD ．1【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理及题设可知，sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，又A B C π++=，可得sin 2sin A B =，再由正弦定理，可得解【详解】由正弦定理：2sin sin b cR B C==，又cos cos 2b C c B b += 得到sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=在ABC ∆中，A B C π++=故sin()2sin A B π-=，即sin 2sin A B =故sin 2sin a A b B == 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理在边角互化中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题8．已知πππsin()cos()0,322ααα++-=-<<则2πcos()3α+等于（ ）A B ．35-C ．45D ．35【答案】C 【解析】 【分析】首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求值. 【详解】解析：∵ππsin cos 32αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13sin sin sin 22ααααα+==6πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+，∴2π4co (s 35)α+=. 故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.9．函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图象是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式，再由函数表达式得到函数的单调性和周期，进而得到选项. 【详解】根据两角和差公式展开得到： y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎝⎭⎭=-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为π，故选B. 故答案选B . 【点睛】这个题目考查了三角函数的恒等变换，题型为已知函数表达式选择函数的图像，这种题目，一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域，或者值域，进行排除；也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等，之后结合选项选择.10．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=． 再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象， 故选B ． 【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．11．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2cos2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．78-B ．78C ．18-D ．18【答案】A【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin 4αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】解：因为2cos2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭所以()222cos sin sincos cossin 44ππαααα-=-所以()())2cos sin cos sin cos sin 2αααααα-+=- ,cos sin 02παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭Q ，所以cos sin αα+=所以()21cos sin 8αα+=，即221cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28α+= 所以7sin 28α=- 故选：A 【点睛】本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；12．函数()2sin sin cos y x x x =+的最大值为（ ）A ．1B 1CD ．2【答案】A 【解析】由题意，得()22sin sin cos 2sin 2sin cos sin2cos21y x x x x x x x x =+=+=-+π2114x ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭；故选A.13．直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（ ）A ．(0,]4πB ．(0,]2πC ．3(0,]4π D ．3(0,]2π【解析】 【分析】根据直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到12ω=，则()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后求得其单调增区间，再根据()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，由(,)m m -是增区间的子集求解. 【详解】因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期， 所以12ω=，()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由12242k x k πππππ-<+<+，得322()22k x k k ππππ-<<+∈Z ， 所以()f x 在3,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数， 由3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭， 解得02m π<≤.故选：B 【点睛】本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题14．已知2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．35-C ．35D ．53【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式计算得到35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan tan 1472πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得答案. 【详解】由诱导公式可知24333sin 3sin 33sin 777πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得333sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，313tan tan 314725tan 7πππααπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.15．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则()f x 的最大值为（ ） A ．2BC．D或【答案】D 【解析】 【分析】根据函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则有()(0)2f f π-=，解得a ，得到函数再求最值.【详解】因为函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称， 所以()(0)2f f π-=，即220a a +-=， 解得2a =-或1a =，当2a =-时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫=--=-⎪⎝⎭，此时()f x的最大值为；当1a =时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，此时()f x；综上()f x或. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（ ） A ．152km B ．30kmC ．15kmD ．153km【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离． 【详解】设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，可得60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，45BC =30ABC ∴∠=︒，120BAC ∠=︒在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠，可得sin 1153sin 23BC ABC AC km BAC ∠===∠ 故选D 【点睛】本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．17．已知曲线1:sin C y x =，21:cos 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项. 【详解】A 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向右平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 错误；B 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向右平移3π个单位长度后得：11121sin sin cos cos 232622632y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；C 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向左平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；D 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向左平移3π个单位长度后得：1111sin sin cos cos 232622623y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.18．40cos2d cos sin xx x xπ=+⎰（ ）A ．1)B 1C 1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x xx x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0xx x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ． 【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.19．在ABC △中，若a ＝3，c ＝7，∠C ＝60°，则边长b 为 A ．5 B ．8 C ．5或－8 D ．－5或8【答案】B 【解析】由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得24993b b =+-，即()()850b b -+=， 因为b ＞0，所以b ＝8.故选B ．20．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π=【答案】D 【解析】 【分析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π=代入 3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D .【详解】()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 周期22,1T A ππ==正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ，()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，C 正确； 6x π=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，6x π=不是3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.。
高考数学冲刺分层训练专题3-2、三角函数小题(二)
专题3-2、三角函数小题（二）一、单选题1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在ABC 中，“ABC 是钝角三角形”是“tan tan 1A B <”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【详解】若ABC 是钝角三角形，为钝角时，tan C =−0,tan 0,B >1时，当tan 为钝角，ABC 为钝角三角形0=时，tan 为钝角，ABC 为钝角三角形，所以是必2．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）已知sin 21cos θθ=+，则tan θ=（ ）A ．43B ．23−C ．43−D ．233．（2023·广东梅州·统考一模）已知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫−=⎪⎝⎭（ ） A ．79− B ．79 C．D4．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知0w >，函数()π3sin 24f x wx ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则w 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]0,2C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）将函数()2sin 21f x x =−图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，并沿x 轴向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数()g x 的图象．若对于任意的1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在2π,04x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则ϕ的值可能是（ ）A ．π6B ．5π24C ．π4D ．2π36．（2023·湖南常德·统考一模）将函数()2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图像向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图像，若函数(y g x =）的一个极值点是π6，且在ππ,36⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的值为（ ） A ．23B ．43C ．83D ．1637．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知函数()()2sin 2N ,2f x x +⎛⎫=+∈< ⎪⎝⎭ωϕωϕ的最小正周期3π3π,42T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图像向右平移π6个单位长度，所得图像关于原点对称，则下列关于函数()f x 的说法错误的是（ ）A ．函数()f x 的图像关于直线5π12x =−对称 B ．函数()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在13π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上有两个极值点D ．方程()1f x =在[]0,π上有3个解8．（2023·江苏南通·二模）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧．若在B ，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC = 100 m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10° ≈ 0.985）A ．49.25 mB ．50.76 mC ．56.74 mD ．58.60 m设球的半径为,3,tan10RR AB R AC ==︒3100tan10RBC R =−=︒， 100100sin101tan10R ︒∴==9．（2023·广东·校联考模拟预测）若函数()2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减函数，则ω的取值范围是（ ）A ．5,3⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦B ．5,03⎡⎫−⎪⎢⎣⎭C ．7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．70,3⎛⎤⎥⎝⎦【详解】函数10．（2023·江苏常州·校考一模）意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，其中第12章提出兔子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，….记该数列为{}n F ，则121F F ==，21n n n F F F ++=+，*n ∈N .如图，由三个图（1）中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图（2））的图形，根据改图所揭示的几何性质，计算22202520212022202320232024F F F F F F −=+（）A ．1B ．3C ．5D ．7由此可推断出20212022,F F所以()2202320241sin 602F F +整理可得(2202520223F F =⨯+所以2220252021F F F F F F −+=3A B C ．D ．12．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数()sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且()2f f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω=（ ）A ．53B ．43C ．23D ．1313．（2023·江苏南通·二模）记函数()()sin 04f x x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭>的最小正周期为T ．若ππ2T <<，且π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ω= （ ）A ．34B ．94C ．154D ．274二、多选题14．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的有（ ）A ．()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．若()()1212f x f x ==，则21π,Z 3k x x k −=∈C ．函数()f x 的图象可以由cos2y x =向右平移π3个单位得到D ．若函数(0)2x y f ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个极大值点，则(]7,13ω∈15．（2023·江苏·统考一模）已知函数()()ππsin sin cos 066f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=++−+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的有（ ）A ．将函数2sin y x ω=的图象向左平移π6个单位长度，总能得到()y f x =的图象B ．若3ω=，则当2π0,9x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为[]1,2C ．若()f x 在区间()0,2π上恰有3个极大值点，则131966ω<≤D ．若()f x 在区间π5π,312⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则1615ω≤≤16．（2023·山东枣庄·统考二模）已知函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象过点0,2A M ⎛⎫⎪⎝⎭和()π,0N ，()f x 的最小正周期为T ，则（ ）A ．T 可能取12π7B ．()f x 在()0,4π上至少有3个零点C ．直线8π11x =可能是曲线()y f x =的一个对称轴 D ．若函数()f x 的图象在[]0,2π上的最高点和最低点共有4个，则116ω=17．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数()()2sin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，()()1232f x f x ==−，则（ ）A ．函数()y f x =在[]2,4上单调递减B ．函数()y f x =在[]3,6上的值域为[]1,1−C ．()21π3cos 64x x ⎡⎤−=⎢⎥⎣⎦D ．曲线()y f x =在=1x −18．（2023·湖南株洲·统考一模）关于函数()()cos sin 0f x x a x a =+≠有以下四个选项，正确的是（ ）A ．对任意的a ，()f x 都不是偶函数B ．存在a ，使()f x 是奇函数C ．存在a ，使()()πf x f x +=D ．若()f x 的图像关于π4x =对称，则1a =19．（2023·湖南郴州·统考三模）设函数()sin (0)g x x ωω=>向左平移π5ω个单位长度得到函数()f x ，已知()f x 在[]0,2π上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 在()0,2π上有且只有5个极值点C ．()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭20．（2023·广东广州·统考一模）已知函数()sin(2)22f x x ϕϕ⎛⎫=+−<< ⎪⎝⎭的图像关于直线π8x =对称，则（ ）A ．函数()y f x =的图像关于点π,08⎛⎫− ⎪⎝⎭对称B ．函数()y f x =在[0,]π有且仅有2个极值点C ．若()()122f x f x −=，则12x x −的最小值为π4D ．若ππ1882f f αβ⎛⎫⎛⎫−−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()()cos21cos2αβαβ−=++21．（2023·广东湛江·统考一模）已知0ω>，函数()cos 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列选项正确的有（ ）A ．若()f x 的最小正周期2T =，则πω=B ．当2ω=时，函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得到()cos 2g x x =的图象C ．若()f x 在区间2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．若()f x 在区间()0,π上只有一个零点，则ω的取值范围是17,66⎛⎤⎥⎝⎦22．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知函数()2cos 233ππf x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（ ） A ．()f x 的周期为π B ．()f x 为奇函数C ．()g x 的图象关于点17π,024⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()g x 的取值范围为⎡−⎢⎣⎦23．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数()()()sin 0,0,ππf x A x A ωϕωϕ=+>>−<<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．π3ϕ=−B ．()π12f x f ⎛⎫≤− ⎪⎝⎭C ．()f x 在4ππ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 在[]0,2π上有且仅有四个零点三、填空题24．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在ABC 中，设,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边，S 表示ABC 的面积，其公式为S =若sin sin a B C =，b =2S =，则c =______. 【详解】在ABC 中，由正弦定理得，故3sin sin B =2sin ,C a ∴32S =可得25．（2023·浙江·模拟预测）已知函数()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()4π03f x f x ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，()f x 在ππ,366⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则正整数ω的最大值为____________．【详解】()f x ≤4π()3f x f x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭122ππ436k T +∴=−2π2π,21T k k ω∴==+2k ω∴=+26．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪上单调递增，则ω的取值范围是_________．所以欲使得()f x 是增函数，则必须对于ππ42t <≤ ，即ππ44x ω<+ππ⎛27．（2023·山东济南·一模）已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围为__________． ()f x 在即ω的取值范围为故答案为：28．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知ππ,sin 2cos 2sin cos 122βαβααβ−<−<+=−=，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪___________.29．（2023·湖南张家界·统考二模）已知α为锐角，11sin α，则α=__________．30．（2023·广东佛山·统考一模）已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0ω>，π2ϕ<）.T 为()f x的最小正周期，且满足1132f T f T⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若函数()f x在区间()0,π上恰有2个极值点，则ω的取值范围是______.。
2019高考数学三轮冲刺 大题提分 大题精做1 三角函数与解三角形 文
大题精做1 三角函数与解三角形[2019·贵阳一中]在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，且．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，可得，即，即，即，∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴．（2）由，可得，∴，又，由余弦定理得，∴．1．[2019·通州期末]如图，在中，，，，点在边上，且．（1）求的长；（2）求的面积．2．[2019·济南外国语]的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，的周长为，求的面积．3．[2019·宜昌调研]已知函数．（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；（2）已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，，求的面积．1．【答案】（1）3；（2）．【解析】（1）在中，∵，∴，由正弦定理，∴．（2）∵，∴()1cos cos πcos 3CDB ADB ADB ∠=-∠=-∠=．∴()sin sin πsin CDB ADB ADB ∠=-∠=∠=，在中，由余弦定理，∴的面积11sin 3422S BD CD CDB =⋅⋅∠=⨯⨯= 2．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，，，∵．∴，∵，∴．（2）由余弦定理得，，∴，∵，，∴，∴，∴．3．【答案】（1）函数最小正周期为，单调递增区间为；（2）．【解析】（1）()22πcos cos sin 2cos 22sin 26f x x x x x x x x ⎛⎫=⋅+-=+=+ ⎪⎝⎭， ，即函数最小正周期为，由得，故所求单调递增区间为．（2）由，得，∴或，∴或，∵，∴，又∵()()()sin sin sin sin 2sin cos C B A B A B A B A +-=++-=， ∴，即，①当时，即，则由，，可得，②当时，则，即，则由，解得，，∴．综上：．。
高考数学三轮冲刺大题提分大题精做1三角函数与解三角形理0318217
大题精做1 三角函数与解三角形[2019·贵阳一中]在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(),2a c b =-m ，()cos ,cos C A =n ，且⊥m n ．（1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，ABC △a ．【答案】（1）π3A =；（2）13a =． 【解析】（1）由⊥m n ，可得0⋅=m n ，即2cos cos cos b A a C c A =+，即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即()2sin cos sin B A A C =+，∵()()sin sin πsin A C B B +=-=，∴2sin cos sin B A B =，即()sin 2cos 10B A -=，∵0πB <<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2A =， ∵0πA <<，∴π3A =．（2）由ABC S △1sin 2ABC S bc A =△4bc =， 又5b c +=，由余弦定理得()22222cos 313a b c bc A b c bc =+-=+-=，∴a =1．[2019·通州期末]如图，在ABC △中，π4A ∠=，4AB =，BC =点D 在AC 边上，且1cos 3ADB ∠=-．（1）求BD 的长；（2）求BCD △的面积．2．[2019·济南外国语]ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=．（1）求B ；（2）若3b =，ABC △的周长为3+ABC △的面积．3．[2019·宜昌调研]已知函数()22cos cos sin f x x x x x =+-．（1）求函数()y f x =的最小正周期以及单调递增区间；（2）已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()1f C =，2c =，()sin sin 2sin 2C B A A +-=，求ABC△的面积．1．【答案】（1）3；（2）【解析】（1）在ABD △中，∵1cos 3ADB ∠=-，∴sin ADB ∠=， 由正弦定理sin sin BD AB BAD ADB =∠∠，∴4sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠． （2）∵πADB CDB ∠+∠=，∴()1cos cos πcos 3CDB ADB ADB ∠=-∠=-∠=． ∴()sin sin πsin CDB ADB ADB ∠=-∠=∠=sin CDB ∠= 在BCD △中，由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠， 得21179233CD CD =+-⨯⨯，解得4CD =或2CD =-（舍）． ∴BCD △的面积11sin 3422S BD CD CDB =⋅⋅∠=⨯⨯= 2．【答案】（1）2π3B =；（2）ABC S =△ 【解析】（1）∵()2cos cos 0a c B b A ++=，∴()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ++=，()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=，()sin 2cos sin 0A B B C ++=，∵()sin sin A B C +=．∴1cos 2B =-， ∵0πB <<，∴2π3B =． （2）由余弦定理得221922a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭，229a c ac ++=，∴()29a c ac +-=， ∵3a b c ++=+3b =，∴a c +=3ac =，∴11sin 322ABC S ac B ==⨯=△ 3．【答案】（1）函数最小正周期为π，单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）ABC S =△ 【解析】（1）()22πcos cos sin 2cos 22sin 26f x x x x x x x x ⎛⎫=⋅+-=+=+ ⎪⎝⎭， 2ππ2T ==，即函数最小正周期为π， 由πππ2π22π262k x k -≤+≤+得ππππ36k x k -≤≤+， 故所求单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ． （2）由()1f C =，得π2sin 216C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ππ22π66C k +=+或π5π22π66C k +=+，∴πC k =或ππ3C k =+， ∵()0,πC ∈，∴π3C =， 又∵()()()sin sin sin sin 2sin cos C B A B A B A B A +-=++-=，∴2sin cos 2sin 2B A A =，即sin cos 2sin cos B A A A =，①当cos 0A =时，即π2A =，则由π3C =，2c =，可得ABC S =△， ②当cos 0A ≠时，则sin 2sin B A =，即2b a =，则由2221cos 22a b c C ab +-==，解得a =，b =，∴1sin 2ABC S ab C ==△综上：ABC S =△精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2018年高考数学三轮冲刺 提分练习卷 三角函数与三角形(无答案)文
三角函数与三角形1．已知23cos tan 3θθ=+，且k θπ≠（k Z ∈），则()sin 2πθ⎡⎤-⎣⎦等于（ ） A. 13- B.13 C. 23 D. 23- 2．若4cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 2325 B. 2325- C. 725 D. 725-3．函数()()2sin (012,)2f x x πωϕωϕ=+<<<，若()0f =，且函数()f x 的图象关于直线12x π=-对称，则以下结论正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为3x π=B. 函数()f x 的图象关于点7,09π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C. 函数()f x 在区间11,424ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内是增函数 D. 由2cos2y x =的图象向右平移512π个单位长度可以得到函数()f x 的图象 4、已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，则cos β＝________. 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且a ＝1，c ＝ 3.若C ＝π3，则角A ＝________. 6、函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的递减区间是________. 7.已知函数()()2cos sin cos 1f x x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；2 （Ⅱ）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间．8.已知a , b , c 分别为△ABC 三个内角A , B , Ccos 1sin A C+=. （1）求角A 的大小；（2）若5b c +=,且△ABC求a 的值. 9.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足2cos 3b C a c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若b =ac 的取值范围.10.已知向量()sin ,1a x =-， 13cos ,2b x ⎛⎫=-⎪⎭，函数()()2f x a b a =+⋅-. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）已知a ， b ， c 分别为ABC ∆内角A， B ， C 的对边，其中A 为锐角， a =1c =，且()1f A =，求ABC ∆的面积S .11.已知函数()231sin cos 2222f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）已知在ABC ∆中， ,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()1f A =， 2a =，求ABC ∆面积的最大值.。
高考数学三轮冲刺提分练习卷三角函数与三角形(无答案)文(2021年整理)
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三角函数与三角形1．已知23cos tan 3θθ=+,且k θπ≠（k Z ∈)，则()sin 2πθ⎡⎤-⎣⎦等于( ） A. 13- B. 13 C 。
23 D 。
23- 2．若4cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ） A 。
2325 B 。
2325- C. 725 D. 725- 3．函数()()2sin (012,)2f x x πωϕωϕ=+<<<，若()03f =-，且函数()f x 的图象关于直线12x π=-对称，则以下结论正确的是（ ) A 。
函数()f x 的最小正周期为3x π= B. 函数()f x 的图象关于点7,09π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C. 函数()f x 在区间11,424ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内是增函数 D. 由2cos2y x =的图象向右平移512π个单位长度可以得到函数()f x 的图象 4、已知cos α＝17，sin(α＋β）＝错误!，0<α<错误!，0<β<错误!，则cos β＝________。
5、在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ，c 且a ＝1，c ＝错误!。
若C ＝错误!，则角A ＝________。
高考数学三轮冲刺 大题提分 大题精做1 三角函数与解三角形 文-人教版高三全册数学试题
大题精做1 三角函数与解三角形[2019·某某一中]在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(),2a c b =-m ，()cos ,cos C A =n ，且⊥m n ．（1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，ABC △a ．【答案】（1）π3A =；（2）a = 【解析】（1）由⊥m n ，可得0⋅=m n ，即2cos cos cos b A a C c A =+，即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即()2sin cos sin B A A C =+，∵()()sin sin πsin A C B B +=-=，∴2sin cos sin B A B =，即()sin 2cos 10B A -=， ∵0πB <<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2A =， ∵0πA <<，∴π3A =． （2）由3ABC S =△，可得1sin 32ABC S bc A ==△，∴4bc =， 又5b c +=，由余弦定理得()22222cos 313a b c bc A b c bc =+-=+-=，∴a =1．[2019·通州期末]如图，在ABC △中，π4A ∠=，4AB =，17BC =，点D 在AC 边上，且1cos 3ADB ∠=-．（1）求BD 的长；（2）求BCD △的面积．2．[2019·某某外国语]ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=．（1）求B ；（2）若3b =，ABC △的周长为3+ABC △的面积．3．[2019·某某调研]已知函数()22cos cos sin f x x x x x =+-．（1）求函数()y f x =的最小正周期以及单调递增区间；（2）已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()1f C =，2c =，()sin sin 2sin 2C B A A +-=，求ABC△的面积．1．【答案】（1）3；（2）【解析】（1）在ABD △中，∵1cos 3ADB ∠=-，∴sin ADB ∠， 由正弦定理sin sin BD AB BAD ADB =∠∠，∴4sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠． （2）∵πADB CDB ∠+∠=，∴()1cos cos πcos 3CDB ADB ADB ∠=-∠=-∠=． ∴()sin sin πsin CDB ADB ADB ∠=-∠=∠=，sin CDB ∠ 在BCD △中，由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠， 得21179233CD CD =+-⨯⨯，解得4CD =或2CD =-（舍）． ∴BCD △的面积11sin 34223S BD CD CDB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=． 2．【答案】（1）2π3B =；（2）334ABC S =△． 【解析】（1）∵()2cos cos 0a c B b A ++=，∴()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ++=，()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=， ()sin 2cos sin 0A B B C ++=，∵()sin sin A B C +=．∴1cos 2B =-， ∵0πB <<，∴2π3B =． （2）由余弦定理得221922a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭，229a c ac ++=，∴()29a c ac +-=， ∵3a b c ++=+3b =，∴a c +=3ac =，∴11sin 322ABC S ac B ==⨯=△． 3．【答案】（1）函数最小正周期为π，单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）233ABC S =△． 【解析】（1）()22πcos cos sin 2cos 22sin 26f x x x x x x x x ⎛⎫=⋅+-=+=+ ⎪⎝⎭， 2ππ2T ==，即函数最小正周期为π， 由πππ2π22π262k x k -≤+≤+得ππππ36k x k -≤≤+， 故所求单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）由()1f C =，得π2sin 216C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴ππ22π66C k +=+或π5π22π66C k +=+，∴πC k =或ππ3C k =+， ∵()0,πC ∈，∴π3C =， 又∵()()()sin sin sin sin 2sin cos C B A B A B A B A +-=++-=， ∴2sin cos 2sin2B A A =，即sin cos 2sin cos B A A A =， ①当cos 0A =时，即π2A =，则由π3C =，2c =，可得233ABC S =△， ②当cos 0A ≠时，则sin 2sin B A =，即2b a =，则由2221cos 22a b c C ab +-==，解得a ，b =，∴1sin 2ABC S ab C ==△．综上：ABC S =△。
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三角函数与三角形
1．已知23cos tan 3θθ=+，且k θπ≠（k Z ∈），则()sin 2πθ⎡⎤-⎣⎦等于（ ） A. 13- B.
13 C. 23 D. 23- 2．若4cos 35πα⎛⎫+
= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 2325 B. 2325- C. 725 D. 725
-
3．函数()()2sin (012,)2f x x πωϕωϕ=+<<<
，若()0f =，且函数()f x 的图象关于直线12x π=-对称，则以下结论正确的是（ ）
A. 函数()f x 的最小正周期为3x π=
B. 函数()f x 的图象关于点7,09π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称 C. 函数()f x 在区间11,424ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭内是增函数 D. 由2cos2y x =的图象向右平移512
π个单位长度可以得到函数()f x 的图象 4、已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2
，则cos β＝________. 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且a ＝1，c ＝ 3.若C ＝π3
，则角A ＝________. 6、函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的递减区间是________. 7.已知函数()()2cos sin cos 1f x x x x =+-．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间．
8.已知a , b , c 分别为△ABC 三个内角A , B , C cos 1sin A C
+=. （1）求角A 的大小；
（2）若5b c +=,且△ABC 求a 的值. 9.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足2cos 3b C a c π⎛⎫-
=+ ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；
（2）若b =ac 的取值范围.
10.已知向量()sin ,1a x =-， 13cos ,2b x ⎛
⎫=-
⎪⎭，函数()()
2f x a b a =+⋅-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）已知a ， b ， c 分别为ABC ∆内角A ， B ， C 的对边，其中A 为锐角， a =
1c =，且()1f A =，求ABC ∆的面积S .
11.已知函数()231sin cos 2222
f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）已知在ABC ∆中， ,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()1f A =， 2a =，求ABC ∆面积的最大值.。