大学本科第一节 数学期望

※(1)离散型随机变量的数学期望是其可能
取值的加权平均值 ---为X取值的中心位置.
(2) E(X) = 所有取值乘相应概率的和.
2.常用离散型随机变量的数学期望
(1) 两点分布：X ～ B(1, p), 0 < p < 1，则
X 01 pi 1 p p
E(X)= 1p + 0(1-p) = p . （2）二项分布的期望
n
n p
(nn (n1)!1)!
p q k 1 [n1(k 1)]
k1 (k 1)! [n 1 (k 1)]!
k
1
m
n 1
np
m0
Cmnm!(1(nnpm11q)n!m1)!mpmqn1m
np1 np.
（ 3 ）泊松分布的期望:
X ～ P()，其中 > 0 ，则 E ( X ) .
P{ X k} k e
10
1.85 2 1.90 4 1.95 3 2.20 1
10
10
10
10
1.935
等于X可能取值与对应概率乘积之和。
定义1 设离散型随机变量X的概率分布是:
P{X= xk }= pk , k=1,2,…
如果 | xi | pi ，则称
i
E ( X ) xi pi
i 为X 的数学期望或平均值，记为E(X).
(1) 若 X~ U[a,b] , 则 E( X ) a b
2
此因：
f
X
(
x)
b
1
a
a xb
0
其他
b1
E( X ) x f (x)dx x dx
a ba
1
1
x2
b
b2 a2
ab.
b a 2 a 2(b a) 2
(2) 若X服从参数为的指数分布，则
E(X )
此因：f
※ 一般用下面的公式直接求E[g(X) ]。
定理 设X是一个随机变量，Y=g(X)，则
E (Y ) E[g ( X )]
k
g(xk ) pk
当X是离散型
g (x) f (x)dx 当X是连续型
当X为离散型时,P{X= xk}=pk ，k=1,2, …
当X为连续型时,X的密度函数为f(x).
3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);注不意一:由定E能(X推Y出)=XE,(YX独)E立(Y)
n
n
推广 : E[ ai X i ] ai E( X i )
i 1
i 1
4. 如果X与Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
n
n
推广 : E[ X i ] E( X i )（诸Xi独立时）
e
(x )2 2 2
2
E( X )
x
x f (x)dx x
1
e dx
(
x )2 2 2
2
t
1
t2
( t )e 2 dt
2
1
2
t2
te 2 dt
1
t2
e 2 dt
2
0 1 .
三、随机变量函数的数学期望
设已知随机变量X的分布，我们已会 计算X的期望。下面讨论如何求随机变量 X的某个函数g(X)的期望。 ※ 一种方法是，由X的分布求出g(X)的 分布来，按照期望的定义来计算E[g(X)] .
=4.25
E( X ) 1? (1 1) 2 (1 1) 15 .
84 28 8
例7 设随机变量X和Y相互独立,概率密度
函数分别为
4e 4 x fX (x) 0
求:E(XY)。
x0 其它
2e2y y 0 fY ( y) 0 其它
E(X )
x
1
e
x
dx
0
解: E ( XY )
解 设组织货源 t 吨.显然应要求
2000≤t≤4000. 国家收益Y(单位:万元)是X 的函数Y=g(X). 表达式为:
g(X
)
3t
3X (t
X
X)
t
X
t
由已知条件,X的概率密度函为
1
f
(
x)
2000
x [2000, 40002]000 t 4000 3t X t
0
x [2000, 40g0(0X]
解:
E(X 2)
x
2
1
x2
e 2 dx
x
x1ne
x2 2
2
2
limde
x
x nx2 2 x2
lim
x
xn
x2
0
1
x2
e2
xe 2
2
1
ex22
e 2 dx
2
0 1 1
例 5 设国际市场上对我国某种出口商品的
每年需求量是随机变量X(单位: 吨).X服从区 间[2000,4000]上的均匀分布.每销售出一吨商 品,可为国家赚取外汇3万元; 若销售不出,则 每吨商品需贮存费1万元.求:应组织多少货源, 才能使国家平均收益最大?
X= X1+X2+…+Xn
n
所以 E(X)= E(Xi ) = np i 1
可见，服从参数为n和p的二项分布的随
机变量X的数学期望是np.
例9 将n个球放入M个盒子中,设每个球落入
各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的期望.
解: 引入随机变量:
1 若第i个盒子中有球
Xi
0
若 第 i个 盒 子 中 无 球
i 1
i 1
证明: (1),(2)略
(3) 设(X, Y) ～f(x,y), 则
E(X+Y) =
(x y) f (x, y)dxdy
x f (x, y)dxdy y f (x, y)dxdy
=E(X) + E(Y).
(4)
设(X,
Y)
～f(x,y)=
fX(x)
fY(y),则
(x)
1
x
e
0
x 0 , ( 0) x0 .
1
0
e
x
dx
1.
E(X )
x f (x)dx
x
1
e
x
dx
x
de
x
0
0
x
x
x
x e e dx 0 e 0
0
0
(3) 若X服从正态分布 N ( , 2 ),则
E(X )
此因： f (x)
1
使用这种方法必须先求出随机变量函 数g(X)的分布，比较复杂；
例如 设 X 1 P 0.1
求 E( X 2 )。
01 2 0.3 0.2 0.4
由 X2 0
1
4
P 0.3 0.1+0.2 0.4
得 E( X 2 )= 0 0.3+1（0.1+0.2）+4 0.4 =1.9
显然，E( X 2 )=（-1）2 0.1 +12 0.2 +02 0.3 +22 0.4 1.9.
概率论与数理统计
第四章 随机变量的数字特征
前面我们讨论了随机变量的分布律，如 果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全 部概率特征也就知道了.
但在许多实际问题中, 人们无法或不需要 去全面考察随机变量的全部变化情况, 而只要 知道它的某些取值特征即可。
例如, 在评价一批灯管的寿命时，通常只 要知道该批灯管的平均寿命;
i 1, 2, ,M
则X= X1+X2+…+XM , 于是 E(X)=E(X1)+E(X2)+ …+E(XM).
xy
fX
(x)
fY
(
y)dxdy
x4yxe4e4 x42x2ye22yy dxdy 00
4xe4xdx 2 ye2 ydy 1 1 1 .
0
0
42 8
四、数学期望的性质
E(aX + b) aE(X ) b
1. 设C是常数，则E(C)=C;
2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X);
※ 推广
求g(X)的期望的方法,可以原封不动地
推广到两个随机变量函数Z=g(X,Y)的情形.
设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分
布为：P{X=xi ,Y=yj}= pij i,j=1,2, …; 则:
E[g ( X ,Y )]
g ( xi , y j ) pij
ij
设二维连续型随机向量(X,Y)的密度函
数为f(x,y),则:
E[g(X ,Y )]
g(x, y) f (x, y)dxdy
分别取g(X,Y)=X, g(X,Y)=Y，则:
E(X)
xi pij
当(X,Y)是离散型
ij
x f ( x, y)dxdy 当(X,Y)是连续型
E(Y
)
y j pij
当(X,Y)是离散型
2.20米1人，1.95米3人，1.90米4人，1.85米 2人。从这10人中随机抽取1人，其身高 X 为随机变量，求其平均值？
X的概率分布为 ：
X 1.85 1.90 1.95 2.20
pi
24 10 10
31 10 10
X可能取值的平均值为：
1.85 2 1.90 4 1.953 2.201
定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数
为 f (x),如果积分 xf (x)dx 绝对收敛，即 x f (x)dx
则称积分
E(X) = x f ( x)dx
为X的数学期望，记为E(X)。
※ 连续型随机变量的数学期望是一个绝
对收敛的无穷限广义积分.
2. 常见连续型随机变量的期望
令 Xi=“第i次试验中的“成功” 次数,” i=1,2, …,n
则概率分布为
X1 0 1
X2 0 1
…
P 1 p p P 1 p p
X1 0 1
P 1 p p
X2 0 1
P 1 p p
… Xn 0 1
P 1 p p
显然，X1, X2, …, Xn,独立同分布，并且
E(Xi)= 1 p 0 (1 p) = p
k 0
n
E( X ) k Cnk pk qnk
k 0
n
k
n!
pk qpnkqknk
k1 (k k!1()n!(nk)!k)!
n1
Ck n1
p
k
q
n1
k
( p + q)n11
k 0
n
E( X ) k Cnk pk qnk
k 0
n k 1
k(k
n! k!1()n!(nk)!k
p)!k
qpnkqknk
ij
y f ( x, y)dxdy 当(X,Y)是连续型
例6 设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分
布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望及E(X).
Y X
1
2
1
1/8
1/4
2
1/2
1/8
解: E(Z)=g(1(21,1))0.125+(g1(2 1,22))0.25
+g(2(22,1))0.5+(g2(22,2)) 0.125
k! k 0,1, 2, ,
k e
k0 k !
1
E( X ) k k 0
k e
k! k 1 e
k
k 1
k
k!
e .
(k 1)!
m
k 1
k 1
m0
m e
m!
1
.
二、连续型随机变量的数学期望
对连续型随机变量，我们类似离散型 随机变量的数学期望来给出期望的定义。
1. 定义
X ~ B(n, p)，其中 0 < p < 1，则
E( X ) np.
当X ~ B(n, p)时，其中 0 < p < 1，则
P X k Cnk pk qnk , k 0,1, 2, , n.
n
Cnk pk qnk ( p + q)n 1,
k 0
n1
Ck n1
p
k
q
n1k
( p + q)n11
g(xk ) pk ,
X 离散型
E(Y ) E[g( X )] k1
g(x) f
(x)dx,
X 连续型
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)] 时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的 分布就可以了. 这给求随机变量函数的期 望带来很大方便.
例 4 X～N(0 ,1)，求: E(X2)
E(XY) =
xfxXy( xf X) (yx)ffYY ((y)dxdy
xf X
( x)dx
பைடு நூலகம்yfY
( y)dy
E(X
)
E(Y ).
注意：性质3对任意的随机变量都成立；
性质4必须独立，逆定理不成立。
如: (X ,Y )
f
(x,
y)
1/,
0,
x2 y2 1 x2 y2 1
则 E( X ) x f (x, y)dxdy 0
再如, 在评价一批棉花的质量时, 通常 要注意纤维的平均长度, 也要注意纤维长 度与平均长度之间的偏离程度偏离程度小, 则质量就较好. 等等
本章我们讨论随机变量的数字特征：
1. 随机变量取值的平均值---数学期望；
2. 随机变量取值的方差。
3. 两个随机变量取值的相关系数。
第一节 数学期望
一、离散型随机变量的数学期望 1. 期望的概念 如何定义随机变量的数学期望呢？ 看下例： 一个篮球队有10人，其身高分别为：
)
4 X
t
X t
E[g ( X )] g (x) f (x)dx
4000
1
g ( x)dx
2000 2000
1 2000
t
(4x t) dx
2000
4000 t
3t
dx
1 (2t 2 14000t 8 106 )
2000
可算得当t=3500时, E(Y)=E(g(X)) 达到最大，因此，应组织3500吨货源.
解解gx????3t3xtx??xt?xt?由已知条件x的概率密度函为1200040002000020004000xfxx??????????gx4xt?2612140008102000tt?????4000200012000gxdx??4000200012000ttdxdx??????????3tegx?fxdx??????3200040004txtgxxtttx?????????可算得当t3500时eyegx达到最大因此应组织3500吨货源
R2
1 E(Y) 0, E(XY) 0.
E( XY ) E( X )E(Y )
但X与Y不独立 ？
－1
【完 】
五、数学期望性质的应用
例8 求二项分布的数学期望
解 设 X~B(n,p)，则 X=“n次独立试验中 “成功” 的总次数”.
其中每次试验，只有“成功”与“失败”两个结果，且
“成功”的概率为p, “失败”的概率为1-p.