-江苏高考数学立体几何真题汇编之欧阳美创编

A
B
C D
E
F 2008-2018江苏高考数学立体几何
真题汇编
（2008年第16题）
在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、
BD 的中点，
求证：（1）直线EF ∥平面ACD
（2）平面EFC ⊥平面BCD
证明：（1）
⎭⎪
⎬⎪
⎫E ，F 分别为AB ，BD 的中点⇒EF ∥AD 且AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ⇒直线EF ∥平面ACD
（2）⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪
⎫CB ＝CD F 是BD 的中点⇒CF ⊥BD ⎭⎪
⎬⎪
⎫AD ⊥BD EF ∥AD ⇒EF ⊥BD ⇒直线BD ⊥平面EFC 又BD ⊂平面BCD ，
所以平面EFC ⊥平面BCD
（2009年第16题）
如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，
A 1D ⊥
B 1
C .
求证：（1）EF ∥平面ABC
C ₁
P
A
B
C
D
D P
A
B
C
F
E
（2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C
证明：（1）由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 因为EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC
（2）由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知A 1B 1C 1，
又A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥ 又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ，CC 1、B 1C ⊂平面
BB 1C 1C
故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ⊂平面A 1FD ， 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C （2010年第16题）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°．
（1）求证：PC ⊥BC ；
（2）求点A 到平面PBC 的距离．
证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，
BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ．
由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ，
又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ．
因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC ．
解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、
DF ，则：
易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等．
又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍．
由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于
PC ，
因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于
F ．
易知DF ＝2
2
，故点A 到平面PBC 的距离等于2．
（方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ．
因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°． 从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1．
由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝1
3S
△ABC ×PD ＝1
3
．
因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC ． 又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD2＋DC2＝2．
由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝2
2．
由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝1
3，得h ＝2，
故点A 到平面PBC 的距离等于2． （2011年第16题）
如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝
AD ，∠BAD ＝60°，
E 、
F 分别是AP 、AD 的中点
求证：（1）直线EF ∥平面PCD ；
（2）平面BEF ⊥平面PAD
证明：（1）在△PAD 中，∵E ，F 分别为AP ，AD 的中点，∴BC ∥AB ，
又∵EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴直线EF ∥
平面PCD
（2）连接BD . ∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∴△PAD 为正三角形
∵F 是AD 的中点，∴BF ⊥AD ，
∵平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面
PAD ∩平面ABCD ＝AD ，
∴BF ⊥平面PAD 又∵BF ⊂平面BEF ，
∴平面BEF ⊥平面PAD
（2012年第16题）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE．
证明：（1）∵是ABC－A1B1C1直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC 又∵AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD
又∵AD⊥DE，CC1，DE⊂平面ADE，CC1∩DE＝E
∴平面ADE⊥平面BCC1B1
（2）∵A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1
∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1
∴CC1⊥A1F
又∵CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1
∴A1F⊥平面BCC1B1，
由（1）知AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD
又∵AD⊂平面ADE，A1F ⊄平面ADE，
∴A1F∥平面ADE
（2013年第16题）
如图，在三棱锥S－ABC中，平面平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AB＝AS，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E,G分别是棱SA,SC的中点．
S
G
A
B C
E
F
求证：（1）平面EFG ∥平面ABC ；
（2）BC ⊥SA ．
证：（1）∵SA ＝AB 且AF ⊥SB ，
∴F 为SB 的中点．
又∵E ，G 分别为SA ，SC 的中点， ∴EF ∥AB ，EG ∥AC ．
又∵AB ∩AC ＝A ，AB 面SBC ，AC ⊂面ABC ，
∴平面EFG ∥平面ABC ．
（2）∵平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝
BC ，
AF ⊂平面ASB ，AF ⊥SB ．
∴AF ⊥平面SBC ． 又∵BC ⊂平面SBC ，
∴AF ⊥BC ．
又∵AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，
∴BC ⊥平面SAB ． 又∵SA ⊂平面SAB ，
∴BC ⊥SA ．
（2014年第16题）
如图，在三棱锥P －ABC 中，D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点．
已知PA ⊥AC ，PA ＝6，BC ＝8，DF ＝5．
求证：（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
证明：
（1）∵D,E为PC,AC中点
∴DE∥PA
∵PA ⊄平面DEF，DE⊂平面DEF
∴PA∥平面DEF
（2）∵D,E为PC,AC中点
∴DE＝PA
2
＝3
∵E,F为AC,AB中点
∴EF＝BC
2
＝4
∴DE2＋EF2＝DF2∴∠DEF＝90°，∴DE⊥EF
∵DE∥PA，PA⊥AC
∴DE⊥AC
∵AC∩EF＝E
∴DE⊥平面ABC
∵DE⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABC．
（2015年第16题）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，
1
A 11
B 1
C ∩BC 1＝E
求证：（1）DE ∥平面AA 1CC 1
(2)BC 1⊥AB 1
证明：（1）由题意知，E 为B 1C 点，因此DE ∥AC .
又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，DE ∥平面AA 1C 1C
（2）因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC
因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1，
又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩
CC 1＝C ，
所以AC ⊥平面BCC 1B 1，
又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC
因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C 因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面
B 1A
C ，
又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥A B 1
（2016年第16题）
如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 分别为AB 、BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1． 求证：
A1
B1 C1
D
E
F
A
B C
（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．
证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC
在△ABC中，因为D、E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC，于是DE∥A1C1
又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，
∴直线DE∥平面A1C1F
（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1，
∵A1C1⊂平面A1B1C1，
∴A1A⊥A1C1
又∵A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，
∴A1C1⊥平面ABB1A1
∵B1D⊂平面ABB1A1，
∴A1C1⊥B1D
又∵B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，
∴B1D⊥平面A1C1F
∵B1D⊂平面B1DE
∴平面B1DE⊥平面A1C1F
A
B
C
D
E
F
（2017年第15题）
如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD 上，且EF⊥AD.
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC
证明：（1）在平面内，∵AB⊥AD，EF⊥AD
∴EF∥AB
又∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC
∴EF∥平面ABC
（2）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD
BC⊂平面BCD，BC⊥BD
∴BC⊥平面ABD
∵AD⊂平面ABD
∴BC⊥AD
又∵AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC
∴AD⊥平面ABC
又∵AC⊂平面ABC，
∴AD⊥AC
（2018年第15题）
欧阳美创编 2021.01.01 欧阳美创编 2021.01.01
欧阳美创编 2021.01.01 欧阳美创编 2021.01.01
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1. 求证：（1）AB ∥平面A 1B 1C ；
（2）平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC
证明：（1）平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1
⎭
⎪⎬⎪
⎫AB ∥A1B1A1B1⊂平面A1B1C AB ⊄平面A1B1C ⇒ AB ∥平面A 1B 1C
（2）
⎭⎪⎬⎪
⎫平行六面体ABCD －A1B1C1D1AB ∥A1B1⇒四边形A 1B 1BA 为菱形⇒AB 1⊥A 1B
⎭⎪⎬⎪
⎫平行六面体ABCD －A1B1C1D1⇒BC ∥B1C1AB1⊥B1C1⇒AB 1⊥BC
⎭
⎪⎬⎪
⎫AB1⊥A1B
AB1⊥BC A1B ∩BC ＝B AB1⊂平面A1BC BC ⊂平面A1BC ⇒AB 1⊥平面A 1BC ⎭
⎪⎬⎪
⎫AB1⊥平面A1BC AB1⊂平面A1B1BA ⇒平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC。