重庆市万州区高二数学上学期期中试题-人教版高二全册数学试题

重庆市万州区2017-2018学年高二数学上学期期中试题
注意事项：
1.选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
2.非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
3.有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共150分.考试时间120分钟
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置） 1．“1x <-”是“210x ->”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知经过点()3,P m 和点(),2Q m -的直线的斜率等于2，则m 的值为（ ）
A.
4
3
B. 1
C. 2
D. 1- 3．直线013=-+y x 的倾斜角为（ ）
A ．
3π B ．6
π C ．32π D ．65π
4．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ①④
D. ②④
5．如图所示的直观图中，O′A′=O′B′=2，则其平面图形的面积是( )
A.4
B.24
C.22
D.8 221C 4470x y x y ++-+=：，6
．
两
圆
222C 410130
x y x y +--+=：的公切线的条数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．若直线()2200,0ax by a b -+=>>被圆2
2
2410x y x y ++-+=截得的弦长为
4，则
14
a b
+的最小值是（ ） A.16 B.9 C.12 D.8
8．已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥
O ABC -体积的最大值为
163
3
，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π 9．如图所示，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，以下四个结论中正确的是（ ）
A ．直线MN 与BC 1所成角为90°
B ．直线AM 与BN 互相平行
C ．直线MN 与DC 1互相垂直
D ．直线MN 垂直于平面A 1BCD 1 10.
在
空
间
直
角
坐
标
系
Oxyz
中,已知
()()()()
2,0,02,2,20,2,01,1,2A B C D ，，，.若123,,S S S 分别是三棱锥
D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11．已知某几何体的外接球的半径为，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该
几何体的体积为（ ）
A. 16
B. 163
C. 8
3
D. 8
12．(文科做)已知圆()()22
:341C x y -+-=和两点(),0A m -，
()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的
最大值为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
12.（理科做）如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数
()()110,1x f x m m m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆
()
()2
2
1225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么
b
a
的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3443， B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3443， C ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡3443， D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3443，
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．命题2000:,-210p x R x x ∃∈+≤是_______命题（选填“真”或“假”）．
14．如右图,直四棱柱1111-ABCD A BC D 的底面是边长为1的正方形,侧棱长1=2AA ,则异面直线11A B 与1BD 的夹角大小等于 。

15.（文科做）已知三条直线280,4310ax y x y ++=+=和210
x y -=中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a 的值为____________． 15．（理科做）已知点()()2,0,0,2A B -，若点C 是圆2220x x y -+=上的动点，则
ABC △面积的最小值为 ．
16．（文科做）在三棱锥P-ABC 中侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，Q 为底面△ABC 内一点，若点Q 到三个侧面的距离分别为3,4,5，则过点P 和Q 的所有球中，表面积最小的球的表面积为 .
16．（理科做）已知AC BD 、为圆22:9O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为
(1,3)M ,则四边形ABCD 的面积的最大值为 。

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）知命题[]2
:1,2,0p x x a ∀∈--≥，命题:q x R ∃∈，
使2(2)10x a x +++=.若命题“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围. 18．（本小题满分12分）如图所示是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图及其正视图和侧视图(单位:cm). (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;
(2)按照给出的数据,求该多面体的体积.
19．（本小题满分12分）如图，ABC ∆的顶点(3,2)A ，C ∠的平分线CD 所在直线方程为10y -=，AC 边上的高BH 所在直线方程为4290x y +-=．
（1）求顶点C 的坐标； （2）求ABC ∆的面积．
20. （本小题满分12分）已知圆C ：x 2＋y 2
＋2x ＋a ＝0上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称．
(1)求实数m 的值；
(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，OA →·OB →
＝－3(O 为坐标原点)，求圆C 的方程． 21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA=PD=，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD=2AB=2BC=2，O 为AD 中点． （1）求证：PO ⊥平面ABCD ；
（2）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；
（3）线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为？
若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
（文科做）已知圆O ：x 2＋y 2
＝9及点C(2，1)．
(1)若线段OC 的垂直平分线交圆O 于A ，B 两点，试判断四边形OACB 的形状，并给予证明；
(2)过点C 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求直线l 的方程． （理科做）已知圆C 1：(x ＋1)2
＋y 2
＝1和圆C 2：(x －4)2
＋y 2
＝4.
(1)过点P(－2，－2)引圆C 2的两条割线l 1和l 2，直线l 1和l 2被圆C 2截得的弦的中点分别为M ，N ，求过点P ，M ，N ，C 2的圆被直线PC 1所截的弦长；
(2)过圆C 2上任意一点Q(x 0，y 0)作圆C 1的两条切线，设两切线分别与y 轴交于点S ，T ，求线段ST 长度的取值范围.
参考答案
1．A 2．A 3．D 4．D 5． A 6．C 7．B 8．B 9．C 10．C 11．C 12．(文科)B （理科）C
13．真 14．60° 15．(文科)－1 （理科）32- 16．（文科）50π（理科）14 17．【解析】若p 为真，则2x a ≤在[]2,1-∈x 上恒成立，即0≤a 若q 为真，则04)2(2≥-+=∆a ，即04≥-≤a a 或 命题“p 且q ”为真命题，即p 为真且q 为真， 故a 的取值范围为(]{}04,⋃-∞- 18．(1)加上俯视图后的三视图如图所示.
(2)该多面体的体积V=V 长方体-V 三棱锥=4×4×6-×(×2×2)×2=(cm 3
).
19． 【解析】（1）∵AC BH ⊥，∴12AC k =
，∴直线AC 的方程为11
22
y x =+， 由112210
y x y ⎧
=+⎪⎨⎪-=⎩，11x y =⎧⇒⎨
=⎩，∴(1,1)C ． （2）由12BC AC k k =-=-
，所以直线BC 的方程为13
22
y x =-+， 由42901322x y y x +-=⎧⎪⎨=-+⎪⎩2
12
x y =⎧⎪
⇒⎨=⎪⎩，∴1(2,)2B ．
∴22||(31)(21)5AC =
-+-=，
又∵点B 到直线AC 的距离5
d =
∴1
||12
ABC S AC d ∆=
=． 20.【解析】(1)圆C 的方程为(x ＋1)2
＋y 2
＝1－a ，圆心C(－1，0)． ∵圆C 上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称，
∴直线l ：mx ＋y ＋1＝0过圆心C ， ∴－m ＋1＝0，解得m ＝1.
(2)联立⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
＋y 2
＋2x ＋a ＝0，
x ＋y ＋1＝0，消去y ，得
2x 2
＋4x ＋a ＋1＝0，
Δ＝16－8(a ＋1)>0，∴a<1. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝a ＋1
2
，
∴y 1y 2＝(－x 1－1)(－x 2－1)＝a ＋1
2－1，
∴OA →·OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝a ＋1－1＝a ＝－3，
∴圆C 的方程为x 2
＋y 2
＋2x －3＝0. 21．【解析】（1）证明：在△PAD 卡中PA=PD ，O 为AD 中点，所以PO ⊥AD ． 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD=AD ，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．
（2）解：连接BO ，在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AD=2AB=2BC ， 有OD ∥BC 且OD=BC ，所以四边形OBCD 是平行四边形， 所以OB ∥DC ．
由（1）知PO ⊥OB ，∠PBO 为锐角，
所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角．
因为AD=2AB=2BC=2，在Rt △AOB 中，AB=1，AO=1，所以OB=， 在Rt △POA 中，因为AP=，AO=1，所以OP=1， 在Rt △PBO 中，PB=
，所以cos ∠PBO=
， 所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为
．
（3）解：假设存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为．
设QD=x ，则S △DQC =x ，由（2）得CD=OB=，
在Rt △POC 中，PC=，
所以PC=CD=DP ，S △PCD =
=
， 由V p ﹣DQC =V Q ﹣PCD ，得x=，所以存在点Q 满足题意，此时=．
22. （文科做）【解析】(1)四边形OACB 为菱形，证明如下：
易知OC 的中点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12，
直线OC 的斜率为12，故OC 的垂直平分线为y ＝－2x ＋52，代入x 2＋y 2＝9，得5x 2
－10x －114＝
0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则
x 1＋x 2
2
＝1，∴
y 1＋y 2
2＝－2×1＋52＝1
2
，
∴AB 的中点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12， ∴四边形OACB 为平行四边形．
又OC ⊥AB ，∴四边形OACB 为菱形．
(2)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标分别为(2，5)，(2，－5)，
∴S △OPQ ＝1
2
×2×25＝25；
当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫k ≠12， 则圆心O 到直线l 的距离d ＝|1－2k |
k 2＋1，
由平面几何知识得|PQ |＝29－d 2
，
∴S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2·d ＝（9－d 2）d 2
≤
⎝ ⎛⎭
⎪⎫9－d 2＋d 2
22
＝92， 当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2
＝92时，S △OPQ 取得最大值92.
∵25＜92，∴S △OPQ 的最大值为9
2
，
此时，由4k 2
－4k ＋1k 2＋1＝9
2
，解得k ＝－7或k ＝－1，
∴直线l 的方程为7x ＋y －15＝0或x ＋y －3＝0.
（理科做）【解析】(1)依题意，过点P ，M ，N ，C 2的圆即为以PC 2为直径的圆， 其圆心为(1，－1)，半径为
12
62＋22
＝10， 因为直线PC 1的方程为2x －y ＋2＝0，
所以圆心(1，－1)到直线PC 1的距离为|2＋1＋2|
5＝5，
所以所求弦长为210－5＝2 5.
(2)设过Q (x 0，y 0)与圆C 1相切的直线为y ＝k (x －x 0)＋y 0，则|－k －kx 0＋y 0|
1＋k
2
＝1，即(k ＋kx 0
－y 0)2＝1＋k 2
，
整理成关于k 的方程为(x 20＋2x 0)k 2－(2y 0＋2x 0y 0)k ＋y 2
0－1＝0，①
Δ＝(2y 0＋2x 0y 0)2－4(y 20－1)(x 20＋2x 0)＝4x 20＋4y 2
0＋8x 0， 所以k ＝2y 0＋2x 0y 0±4x 2
0＋4y 2
0＋8x 02（x 2
0＋2x 0）
. 直线y －y 0＝k (x －x 0)与y 轴的交点为(0，y 0－kx 0)，
设S (0，y 0－k 1x 0)，T (0，y 0－k 2x 0)，则|ST |＝|k 2－k 1|x 0， 而k 1，k 2是①的两根，所以|ST |＝|k 2－k 1|x 0＝4x 2
0＋4y 2
0＋8x 0
x 0＋2.
又(x 0－4)2
＋y 2
0＝4，
所以|ST |＝4x 20＋4y 2
0＋8x 0x 0＋2＝40x 0－48x 0＋2＝22·5x 0－6
x 0＋2.
令5x 0－6＝t (t ∈[2，26])，则|ST |＝22·5t 16＋t 2＝
102
t ＋
16
t
， 设函数f (t )＝t ＋16
t
(t ∈[2，26])，易知函数f (t )在区间[2，4]上单调递减，在区间[4，
26]上单调递增，所以f (t )max ＝f (2)＝10，f (t )min ＝f (4)＝8， 所以|ST |∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2，524.。