流体力学chp2-32
流体力学的基本方程式
流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。
它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。
流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。
下面将逐一介绍这些方程式及其应用。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。
它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。
连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。
2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。
它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。
动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。
3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。
它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。
能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。
能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。
流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。
在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。
《流体力学C(机)》PPT课件
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§1.2 流体的主要物理性质
1.惯性：维持原有运动状态的能力称为惯性。表征某一流体惯
性大小的可用该流体的质量或密度：
m（
V
lim m ）dm
V 0 V dV
（1-1）
—流体的密度，kg/m3；
m —流体的质量，kg；
V —流体的体积，m3。
2.重力：流体受地球引力作用的特征，用容重表示：
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《流体力学》 ------电子教案
总学时：32学时 其中课堂教学32学时 教材《流体力学泵与风机》 蔡增基 龙天渝 主编 中国建筑工业出版社出版
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目 第一章 绪论
第二章 流体静力学
第三章 流体动力学基础
第四章 流动阻力和能量损失
第五章 孔口管嘴管路流动
录 第六章 相似原理和因次分析
1.1定义：在任何微小剪切力的持续作用下能够连续不断变形的
物质，称为流体。
1.2特征：易流动性。
由此可用各种方法和容器输送，压力向各个方向传递。
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2. 液体与气体的区别
液体的流动性小于气体； 液体具有一定的体积，并取容器的形状； 气体充满任 何容器，而无一定体积。
流体和固体具有上述不同性质是由于分子间的作用力不同造成的。在相同体积的固体和流体中，流 体所含的分子数目比固体少得多，分子间的空隙就大得多，因此流体分子间的作用力小，分子运动强烈， 从而决定了流体具有流动性和不能保持一定形状的特性。 流体中所包括的液体和气体除具有上述共同 特性外，还具有如下的不同特性：液体的分子距和分子的有效直径差不多是相等的，当对液体加压时， 只要分子距稍有缩小，分子间的斥力就会增大以抵抗外压力。所以，液体的分子距很难缩小，即液体很 不易被压缩，以致一定重量的液体具有一定的体积，液体的形状取决于容器的形状，并且由于分子间吸 引力的作用，液体有力求自身表面积收缩到最小的特性。所以，当容器的容积大于液体的体积时，液体 不能充满容器，故在重力的作用下，液体总保持一个自由表面(或称自由液面)，通常称为水平面。
流体力学知识点总结汇总
流体力学知识点总结 第一章 绪论1 液体和气体统称为流体，流体的基本特性是具有流动性，只要剪应力存在流动就持续进行，流体在静止时不能承受剪应力。
2 流体连续介质假设：把流体当做是由密集质点构成的，内部无空隙的连续体来研究。
3 流体力学的研究方法：理论、数值、实验。
4 作用于流体上面的力（1）表面力：通过直接接触，作用于所取流体表面的力。
作用于A 上的平均压应力作用于A 上的平均剪应力应力法向应力切向应力（2）质量力：作用在所取流体体积内每个质点上的力，力的大小与流体的质量成比例。
（常见的质量力：重力、惯性力、非惯性力、离心力）单位为5 流体的主要物理性质 （1） 惯性：物体保持原有运动状态的性质。
质量越大，惯性越大，运动状态越难改变。
常见的密度（在一个标准大气压下）： 4℃时的水20℃时的空气（2） 粘性ΔFΔPΔTAΔAVτ法向应力周围流体作用的表面力切向应力A P p ∆∆=A T ∆∆=τAF A ∆∆=→∆lim 0δAPp A A ∆∆=→∆lim 0为A 点压应力，即A 点的压强ATA ∆∆=→∆lim 0τ 为A 点的剪应力应力的单位是帕斯卡（pa ），1pa=1N/㎡，表面力具有传递性。
B Ff m =2m s 3/1000mkg =ρ3/2.1mkg =ρ牛顿内摩擦定律： 流体运动时，相邻流层间所产生的切应力与剪切变形的速率成正比。
即以应力表示τ—粘性切应力，是单位面积上的内摩擦力。
由图可知—— 速度梯度，剪切应变率（剪切变形速度） 粘度μ是比例系数，称为动力黏度，单位“pa ·s ”。
动力黏度是流体黏性大小的度量，μ值越大，流体越粘，流动性越差。
运动粘度 单位：m2/s 同加速度的单位说明：1）气体的粘度不受压强影响，液体的粘度受压强影响也很小。
2）液体 T ↑ μ↓ 气体 T ↑ μ↑ 无黏性流体无粘性流体，是指无粘性即μ=0的液体。
无粘性液体实际上是不存在的，它只是一种对物性简化的力学模型。
流体力学课后习题答案第二章
第二章 流体静力学2-1 密闭容器测压管液面高于容器内液面h=1.8m,液体密度为850kg/m3, 求液面压强。
解：08509.8 1.814994Pa p gh ρ==⨯⨯=2-2 密闭水箱，压力表测得压强为4900Pa,压力表中心比A 点高0.4米，A 点在液面下1.5m ，液面压强。
解：0()490010009.8(0.4 1.5) 49009800 1.15880PaM B A p p g h h ρ=+-=+⨯⨯-=-⨯=-2-3 水箱形状如图，底部有4个支座。
试求底面上的总压力和四个支座的支座反力，并讨论总压力和支座反力不相等的原因。
解：底面上总压力（内力，与容器内的反作用力平衡）()10009.81333352.8KN P ghA ρ==⨯⨯+⨯⨯=支座反力支座反力（合外力）3312()10009.8(31)274.4KN G g V V ρ=+=⨯⨯+=2-4盛满水的容器顶口装有活塞A ，直径d=0.4m ，容器底直径D=1.0m ，高h=1.8m 。
如活塞上加力为2520N(包括活塞自重)。
求容器底的压强和总压力。
解：压强2252010009.8 1.837.7kPa (0.4)/4G p gh A ρπ=+=+⨯⨯= 总压力 237.71/429.6KN P p A π=⋅=⨯⋅=2-5多管水银测压计用来测水箱中的表面压强。
图中高程单位为m ，试求水面的绝对压强。
解：对1-1等压面02(3.0 1.4)(2.5 1.4)p g p g ρρ+-=+-汞对3-3等压面 2(2.5 1.2)(2.3 1.2)a p g p g ρρ+-=+-汞将两式相加后整理0(2.3 1.2)(2.5 1.4)(2.5 1.2)(3.0 1.4)264.8kPap g g g g ρρρρ=-+-----=汞汞绝对压强 0.0264.8+98=362.8kPa abs a p p p =+=2-6水管A 、B 两点高差h 1=0.2m ，U 形管压差计中水银液面高差h 2=0.2m 。
流体力学基本知识PPT优秀课件
第一节 流体的主要物理性质 第二节 流体静压强及其分布规律 第三节 流体运动的基本知识 第四节 流动阻力和水头损失 第五节 孔口、管嘴出流及两相流体简介
2021/6/3
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第一节 流体的主要物理性质
一、密度和容重 密度：对于均质流体，单位体积的质量称为
流体的密度。 容重：对于均质流体，单位体积的 重量称为
等压面：流体中压强相等的各点所组成 的面为等压面。
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压强的度量基准：
（1）绝对压强：是以完全真空为零点计算的 压强，用PA表示。
（2）相对压强：是以大气压强为零点计算的 压强，用P表示。
相对压强与绝对压强的关系为： P=PA-Pa (1-9)
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第三节 流体运动的基本知识
水力学基本方程式。式中γ和p0都是常数。
方程表示静水压强与水深成正比的直线分布 规律。方程式还表明，作用于液面上的表面 压强p0是等值地传递到静止液体中每一点上。 方程也适用于静止气体压强的计算，只是式 中的气体容重很小，因此，在高差h不大的 情况下，可忽略项，则p=p0。例如研究气 体作用在锅炉壁上的静压强时，可以认为气 体空间各点的静压强相等。
表面压强为： p=△p/△ω (1-6)
点压强为： lim p=dp/dω ( Pa) 点压强就是静压强
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流体静压强的两个特征：
（1）流体静压强的方向必定沿着作用面的 内法线方向。
（2）任意点的流体静压强只有一个值，它 不因作用面方位的改变而改变。
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二、流体静压强的分布规律
一、流体运动的基本概念
（一）压力流与无压流 1.压力流：流体在压差作用下流动时，流体 整个周围都和固体壁相接触，没有自由表 面。 2.无压流：液体在重力作用下流动时，液体 的部分周界与固体壁相接触，部分周界与 气体接触，形成自由表面。
工程流体力学课后习题参考答案(周云龙洪文鹏教材版)
工程流体力学课后习题参考答案《工程流体力学》（第二版）中国电力出版社周云龙洪文鹏合编一、绪论1-1 kg/m31-2 kg/m31-3m3/h1-41/Pa 1-5 Pa·s1-6 m2/s1-7 (1)m/s1/s(2)Pa·s (3) Pa1-8 (1)(Pa)(2)(Pa)1-9 (1) (N)(2) (Pa)(3)1-10Pa·s Pa·s1-11( N·m) 1-12 m/sm2NkW1-13 Pa·sm2NkW1-141-15 m2N1-16 m2m/sr/min1-17Pa·sN1-18 由1-14的结果得N·m1-191-20 mm 1-21mm 二、流体静力学2-1kPa2-2PaPa2-3 且m(a) PaPa(b) PaPa(c) PaPa2-4 设A点到下水银面的距离为h1，B点到上水银面的距离为h2即m 2-5kg/m3Pa2-6 Pa 2-7(1)kPa(2)PakPa2-8设cm m mkPa2-9 (1)Pa(2)cm2-10Pa m2-11整理得m2-12Pa2-13cm 2-142-15整理：kPa 2-16设差压计中的工作液体密度为Pam2-17Pa2-18kPa2-19 (1) N(2) N2-21 设油的密度为NNN对A点取矩m（距A点）2-22 设梯形坝矩形部分重量为，三角形部分重量为（1）(kN)(kN)m（2）kN·m<kN·m稳固2-23总压力F的作用点到A点的距离由2-24 m m2-25 Nm(距液面)2-26Nm (距液面)或m(距C点)2-27第一种计算方法：设水面高为m，油面高为m；水的密度为，油的密度为左侧闸门以下水的压力：N右侧油的压力：N左侧闸门上方折算液面相对压强：(Pa)则：N由力矩平衡方程(对A点取矩)：解得：（N）第二种计算方法是将左侧液面上气体的计示压强折算成液柱高（水柱高），加到水的高度中去，然后用新的水位高来进行计算，步骤都按液面为大气压强时计算。
流体力学计算公式
流体力学计算公式1、单位质量力：mF f B B = 2、流体的运动粘度：ρμ=v （μ[动力]粘度，ρ密度） 3、压缩系数：dpd dp dV V ρρκ?=?-=11（κ的单位是N m 2）体积模量为压缩系数的倒数 4、体积膨胀系数：dTd dT dV V v ρρα?-=?=11（v α的单位是C K ?1,1） 5、牛顿内摩擦定律：为液体厚）为运动速度，以应力表示为y u dy du dy du A T (,μτμ== 6、静止液体某点压强：为该点到液面的距离）h gh p z z g p p ()(000ρρ+=-+=7、静水总压力：)h (为受压面积，为受压面形心淹没深度为静水总压力，A p ghAA p p c ρ==8、元流伯努利方程;'2221112w h gp z g u g p z ++=++ρρ('w h 为粘性流体元流单位重量流体由过流断面1-1运动至过流断面2-2的机械能损失，z 为某点的位置高度或位置水头，gp ρ为测压管高度或压强水头，g u ρ2是单位流体具有的动能，u gh gp p g u 22'=-=ρ，u gh C gp p g C u 22'=-=ρC 是修正系数，数值接近于1） 9、总流伯努利方程:w h gv g p z g v g p z +++=++222221221111αραρ(α为修正系数通常取1）10、文丘里流量计测管道流量：)21)(41()()(42122211g d d d k h k g p z g p z k Q -=?=+-+=πμρρμ 11、沿程水头损失一般表达式：gv d l h f 22λ=（l 为管长，d 为管径，v 为断面平均流速，g 为重力加速度，λ为沿程阻力系数）12、局部水头损失一般表达式：对应的断面平均流速）为为局部水头损失系数，v gv h j (22= 13、圆管流雷诺数：为圆管直径）为运动粘度，为流速，d v (u vud R e = 14、非圆管道流雷诺数：χA R R v uR R e ==水力半径为水力半径,(A 为过流断面面积，x 为过流断面上流体与固体接触的周界，矩形断面明渠流的水力半径：h b bh R 2+=，b 为明渠宽度，h 为明渠水深）15、均匀流动方程式：gRJ lh gR gR l gA l h f f ρρ?ρ?ρχ?====000或（R 为水力半径，J 为水力坡度，l h J f=）16、流束的均匀流动方程：''J gR ρτ=(τ为所取流束表面的剪应力，'R 为所取流束的水力半径，'J 为所取流束的水力坡度，与总水流坡度相等）17、过流断面上的流速分布的解析式：)(4220r r gJ u -=μρ 18、平均流速：20208r gJ r Q A Q v μρπ===，断面平均流速与最大流速的关系：max 21u v = 19、沿程水头损失：为沿程摩阻系数其中λλ,22Re 6422gv d l g v d l h f ==，沿程摩阻系数：Re64=λ 20、谢才公式：RJ C RJ g v ==λ8（v 为断面平均流速，R 为水力半径，J 为水力坡度，C 为谢才系数） 21、曼宁公式：)(15.061s m R nC =（n 为综合反映壁面对水流阻滞作用的系数，称为粗糙系数，R 为水力半径）22、局部水头损失：22122211)1(,)1(-=-=A A A A ξξ,21,A A 分别为扩大前断面1-1和正常状态断面2-2的面积，21,ξξ分别为突然扩大前、后两个断面的平均流速对应的两个局部水头损失系数。
流体力学课件：Chapter 2 基本方程
x
uxdydz
••
( 2）在y方向上流体质量差为：
u
y
y
)
dxdydz
3）在z方向上流体质量差为：
(u
z
z
)
dxdyd
z
y
4）六面体内流体质量减少量为
：
t
dxdydz
dx
O
微元体流动
dz
•
dy
u
x
(ux x
)
dx
dydz
x
根据质量守恒定律：质量减少量应等于流出流入六面体的流体质量差即：
t
dxdydz
若对上板施加力F，并使上板以速度U保持匀速直线运动， 则内摩擦力T = F。通过牛顿平板实验得出：
T AU h
其中h为两平板间的距离，A为平板面积。
因流体质点粘附于固体壁上，故下板上流体质点的速度为 零，紧贴上板的液体质点速度为U。当h及U不太大时，板 间沿法线方向的点流速可看成线性分布，即：
u y
根据牛顿第二定律 F = m a
有哪些力？ 如何推导？
随体导数
作用在流体上的力
一、质量力 质量力指作用在流体全部质点上并与受作用的流体质量
成比例的力。如重力、惯性力等。 在流体力学中，往往不直接用质量力，而用单位质量流体上 的质量力，简称单位质量力 。则：
f F m
二. 表面力 表面力是指作用于流体表面上并与作用表面积成比例的力。
擦力来抗拒此相对运动。
切应力τ的大小与流体的粘性以及沿运动垂直方向上的
速度梯度du/dy成正比——牛顿粘性定律
du
dy
3、牛顿流体与非牛顿流体 凡遵守牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，反之称为
流体力学(连续性方程)
流体力学——微分形式的基本方程内容主要内容微分形式的连续性方程和动量方程；作用在流体微元上的体积力和表面力；重力场、应力场、压强场；边界条件和初始条件等微分形式的流体力学基本方程描述空间点邻域内的物理量关系，求解这些方程可得到物理量在空间分布的细节，上一章讨论了运动参数的空间分布，这一章将把力的分布形式加入基本方程。
本章内容内容¾微分形式的连续性方程¾作用在流体元上的力¾微分形式的动量方程¾纳维-斯托克斯（N-S）方程¾边界条件与初始条件¾压强场流体运动的连续性17世纪初，英国年轻科学家哈维（W.Harvey）运用伽利略倡导的定量研究原则，测量出人的心脏每小时泵出约540磅（245Kg）的血，相当于人体重的两倍多，这么多血来自何方流向何方呢？哈维通过实验和逻辑思维否定了统治人类1400多年的陈旧观念，大胆提出从动脉到静脉的血液循环理论，虽然当时还不知道毛细血管的存在。
直至45年后从发明的显微镜里首次观察到毛细血管，证实了哈维的理论。
血液循环理论是流体连续性原理的胜利，在科学史上有里程碑的意义。
(图B3.1.1)微分形式的连续性方程如图B3.1.1所示，设流体流过以M(x,y,z)为基点，以dx,dy,dz为边长的控制体元。
在δt时间内沿x方向净流出控制体（流出质量减去流入质量）的质量为取极限后可得利用质点导数概念，可改写为方程适用于：任在直角坐标系中为可压缩流体定常运动因，由（B3.1.6在直角坐标系中为表面力表面力为流场中假想面一侧的流体（或固体）对另一侧流体的接触力，如压强、粘性切应力等作用在流体面积元上的表面力（）除了与空间位置、时间有关外，还与面积元的方位有关。
作用在过M (x,y,z )点，外法线单位矢为n 的面积元上的单位面积表面力（图B3.2.2）为：A t z y x A δδδs n F p 0lim ),,,(→=(B3.2.5)称为表面应力，脚标n 代表面积元的方位sF δA δn p设简称为重力势，是单位质量流体元具有的重力势能向应力，静止流体中的表面应力始终与作用面垂直。
流体力学课后习题答案自己整理孔珑4版
《工程流体力学》课后习题答案孔珑第四版第2章流体及其物理性质 (5)2-1 (5)2-3 (5)2-4 (7)2-5 (7)2-6 (8)2-7 (8)2-8 (9)2-9 (9)2-11 (10)2-12 (10)2-13 (11)2-14 (11)2-15 (12)2-16 (13)第3章流体静力学 (14)3-1 (14)3-2 (14)3-3 (15)3-5 (15)3-6 (16)3-10 (17)3-21 (20)3-22 (21)3-23 (22)3-25 (22)3-27 (23)第4章流体运动学及动力学基础 (24)4-2 (24)4-5 (24)4-6 (25)4-8 (25)4-11 (26)4-12 (26)4-14 (27)4-22 (28)4-24 (29)4-26 (30)第6章作业 (31)6-1 (31)6-3 (31)6-7 (32)6-11 (33)6-12 (33)6-17 (34)第2章流体及其物理性质2-1已知某种物质的密度ρ=2.94g/cm3，试求它的相对密度d。
【2.94】解：ρ=2.94g/cm3=2940kg/m3，相对密度d=2940/1000=2.942-2已知某厂1号炉水平烟道中烟气组分的百分数为，α(CO2)=13.5%α(SO2)=0.3%，α(O2)=5.2%，α(N2)=76%，α(H2O)=5%。
试求烟气的密度。
解：查课表7页表2-1，可知ρ(CO2)=1.976kg/m3，ρ(SO2)=2.927kg/m3，ρ(O2)=1.429kg/m3，ρ(N2)=1.251kg/m3，ρ(H2O)=1.976kg/m3，ρ(CO2)=1.976kg/m3，3ρ=∑i iαρ=341kg/m.12-3上题中烟气的实测温度t=170℃，实测静计示压强Pe=1432Pa，当地大气压Pa=100858Pa。
试求工作状态下烟气的密度和运动粘度。
流体力学课件(白兴睿)
d
d0
起始段
主体段
C
B
A
R
M
α r0
核心
0
D X0
边
E
界
层
Sn
F
S
X
三、紊流射流的运动特征
从图6-2、6-3可得出：
• 由两图中可见：无论主体段或起始段内，轴心速度最大， 从轴心向边界层边缘，速度逐渐减小至零。
• 距喷嘴距离越远，即x值增大，边界层厚度越大，而轴心 速度则越小，也就是说，随着x的增大，速度分布曲线不 断地扁平化了。
可得：R r0
x0 s x0
1
r0
s
/ tg
1 3.4a
s r0
3.4
as r0
0.294
又因为
R r0
x0 / r0 s / r0 x0 / r0
x0 s
1/ tg
3.4a(x0 s) 3.4ax
以直径表示：D 6.8( as 0.17)Q00 r0202
任意横截面上的动量流量则需积分：
R
v 2 ydyv
R 2v2 ydy
0
0
列动量守恒式：
r0202
R 2 2 ydy
0
再见
四、紊流射流的动力特征
• 实验证明：射流中任意点上的静压强均等 于周围气体的压强。
• 因各面上所受静压强均相等，则x轴向外力 之和为零。
• 据动量方程可知，各横截面上动量相等— —动量守恒，这就是射流的动力学特征。
+y
12
dy
R
R
M
¦Α r
化工流体力学第二章习题解答精选全文
可编辑修改精选全文完整版习题2-2 一元流动用拉格朗日变数表示x =x (a,t ),p =p(a,t ),试证明：拉格朗日变数表示压力p 的当地变化率为：(,)(,)(,)(,)/p a t p a t x a t x a t t t a t ∂∂∂∂⎡⎤-⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦证明：压力的导数为Dp p u p Dt t∂=+•∇∂ p 的当地变化率为p Dp u p t Dt ∂=-•∇∂ 式中：Dp Dt 用拉氏变数表示为(,)p a t t ∂∂ u 用拉氏变数表示为(,)x a t t∂∂ p ∇用拉氏变数表示为(,)p a t a a t ∂∂•∂∂ 所以有：(,)(,)(,)(,)/p p a t p a t x a t x a t t t t a t ∂∂∂∂∂⎡⎤=-⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦习题2-3已知速度分布,t t x y u y u x e e -==++，求迹线方程。
解：x dx u y dt== 又t t y dy u x e e t -==++∂ 22t t d x dy x e e dt dt-∴==++ 积分可得：()()12121212t t t t t t t t x C e C e te te y C e C e te te ----=++-=+++如果t=0时，质点位置(,)a b ,则可得：12,22a b a bC C +-==2-4解：流线x ydxdyu u dx dy A Bt C∴==+可得：'Cy x C A Bt ∴=++上式为一直线轨线：()223'331(1)2(2)dxA Btdt x At Bt C dyCdt y Ct C y C y t C C C ∴=+=++==+-==+ 式2代入式（1）可得：()()2''3321(3)2y y x A C B C C C C =++++可见轨线为抛物线。
2-5解：Q AU =（1）等截面A=const ， Q=const 所以：0x duuua u dt t x ∂∂==+=∂∂（2)变截面 A=A(x), ()x Qu A x ='22'3()()()()()x x u du u a u dt t xQ Q A x A x A x Q A x A x ∂∂==+∂∂⎛⎫=- ⎪⎝⎭=- 2-6解：22222211220.03750.0375d x d y d z a i j k dt dt dtt i t k=++=+ x=8时，t=12.9则加速度为0.1350.135a i k =+2-7解： 双曲正切函数()21tanh tanh 'cosh x xx x e e x x e e x ---==+2=tanh 1cosh UtlU t l θθθ∂=∂令 x x u u a u t x ∂∂=+∂∂其中：222222211cosh 2cosh 11cosh 2cosh u U x U U U t l l l U x U l l θθθθ∂=-∂=- tanh tanh tanh 22x x u U U u U x x l l θθθ∂⎡⎤==•-⎢⎥∂⎣⎦可得加速度计算：2222222211tanh tanh tanh cosh 2cosh 22111(1)22cosh tanh x x u u U x U U U a u U x t x l l l l U x Ut Ut l l l l θθθθθ∂∂⎡⎤=+==--•-⎢⎥∂∂⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）当x=L 时，其加速度为 222112cosh 2tanh U a Ut Ut l l l ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当a=0时，222222222110cosh 2tanh cosh 2tanh cosh cosh 2tanh 2sinh sinh 2Ut Ut l l Ut Ut l l θθθθθ-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===或 其中：22sinh 2e e θθθ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭(222100=52Ut ln 5e e e l θθθ-+-=±=±解得：所对应时间：(ln 52l t U =± 2-9流体质点的速度与质点到OX 轴的距离成正比，并且与OX 轴平行。
流体力学基本方程的推导和应用
流体力学基本方程的推导和应用流体力学是研究流体运动规律的学科，它的基础是一组基本方程。
这些方程描述了流体的质量守恒、动量守恒和能量守恒。
在本文中，我们将推导这些基本方程，并探讨它们在实际应用中的作用。
首先，我们来推导流体力学的质量守恒方程。
根据质量守恒定律，单位时间内通过某一截面的质量应该等于流入该截面的质量减去流出该截面的质量。
设流体的密度为ρ，流体在x方向上的速度为u，流体通过截面的面积为A，则单位时间内通过该截面的质量为ρuA。
假设流体在该截面上的流入速度为u，流出速度为u+Δu，则单位时间内流入该截面的质量为ρuA，单位时间内流出该截面的质量为ρ(Δu)A。
根据质量守恒定律，我们可以得到以下方程：ρuA - ρ(Δu)A = 0通过简化和除以Δt，我们可以得到质量守恒方程的微分形式：∂(ρuA)/∂t + ∂(ρu^2A)/∂x = 0接下来，我们来推导流体力学的动量守恒方程。
根据牛顿第二定律，流体的动量变化率等于作用在流体上的力。
设流体的密度为ρ，流体在x方向上的速度为u，流体在y方向上的速度为v，流体在z方向上的速度为w，则单位体积内的动量为ρu，ρv和ρw。
假设流体受到的力为Fx，Fy和Fz，则根据动量守恒定律，我们可以得到以下方程组：∂(ρu)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρuw)/∂y + ∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y + ∂(ρuw)/∂z = Fx∂(ρv)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρv^2)/∂y + ∂(ρvw)/∂z = Fy∂(ρw)/∂t + ∂(ρuw)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρw^2)/∂z + ∂(ρvw)/∂z = Fz通过简化和除以Δt，我们可以得到动量守恒方程的微分形式：∂(ρu)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρuw)/∂y + ∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y + ∂(ρuw)/∂z = Fx∂(ρv)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρv^2)/∂y + ∂(ρvw)/∂z = Fy∂(ρw)/∂t + ∂(ρuw)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρw^2)/∂z + ∂(ρvw)/∂z = Fz最后，我们来推导流体力学的能量守恒方程。
《流体力学》徐正坦主编课后答案第二章
《流体力学》徐正坦主编课后答案第二章本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第二章习题简答2-1 题2-1图示中的A 、B 点的相对压强各为多少(单位分别用N/m 2和mH 2O 表示)题2-1图解：()OmH Pa gh P OmH Pa gh p B B A A 2232940038.910005.0490035.38.91000==⨯⨯==-=-=-⨯⨯==ρρ2-2 已知题2-2图中z = 1m ， h = 2m ，试求A 点的相对压强。
解：取等压面1-1，则Pagh gz P ghgz P A A 3108.9)21(8.91000⨯-=-⨯⨯=-=-=-ρρρρ2-3 已知水箱真空表M 的读数为，水箱与油箱的液面差H =1.5m ，水银柱差m 2.02=h ，3m /kg 800=油ρ，求1h 为多少米解：取等压面1-1，则()()()()()mghHgPghhghghPhhHgPPHgHgaa6.58.980010002.05.198009802.01332802212121=⨯-+⨯-+⨯=-+-+=++=+++-油油ρρρρρρρ2-4为了精确测定密度为ρ的液体中A、B两点的微小压差，特设计图示微压计。
测定时的各液面差如图示。
试求ρ与ρ'的关系及同一高程上A、B两点的压差。
解：如图取等压面1-1，以3-3为基准面，则()abggb-=ρρ'（对于a段空气产生的压力忽略不计）得()⎪⎭⎫⎝⎛-=-=babab1'ρρρ取等压面2-2，则gHbagHgHpppgHpgHpBABAρρρρρ=-=-=∆-=-''2-5 图示密闭容器，压力表的示值为4900N/m2，压力表中心比A点高0.4m，A点在水面下1.5m,求水面压强。
解：PagHghPPghPgHP5880)5.14.0(98004900-=-⨯+=-+=+=+ρρρρ2-6 图为倾斜水管上测定压差的装置，已知cm20=z，压差计液面之差cm12=h，求当（1）31kg/m920=ρ的油时;（2）1ρ为空气时;A、B两点的压差分别为多少解：（1）取等压面1-1OmH Pa ghgZ gh P P ghgZ P gh P A B B A 21119.092.1865)12.02.0(980012.08.9920==-⨯+⨯⨯=-+=---=-ρρρρρρ（2）同题（1）可得OmH Pa ghgZ P P gZP gh P A B B A 208.0784)12.02.0(9800==-⨯=-=--=-ρρρρ2-7 已知倾斜微压计的倾角︒=30α，测得0.5m =l ，容器中液面至测压管口高度m 1.0=h ,求压力p 。
经典流体力学 第三章 02
用途：测量有压管道中的断面平均流速和流量 构造：由渐缩管、喉管和渐扩管组成
原理：在管道中形成流速差，根据能量方 程，必然引起压强的变化，通过压 差的量测来求流速和流量
计算公式：由能量方程求得
Q = µK ∆h
K＝π 4
d12
2g ( d1 )4 −1
d2
μ为文透里流量系数，由于存在有能量损失， μ<1.0，由
2 2m 1
v 3m
3
3
0+
0+0
=
−3+
0+
v32 2g
+
0.6
v32 2g
+
0.5
v32 2g
（b）
可得：
v
2 3
2g
=
v
2 2
2g
=
v2 2g
= 1 .43 m
代入式（a）得
p2 γ
=
−4.29 m 或 p 2
=
−9.8 × 4.29
=
−42 .04 kPa
可见虹吸管顶部，相对压强为负值，即出现真空。为使之不产生空化， 应控制虹吸管顶高（即吸出高），防止形成过大真空。
测管水头线和中心线之间的垂直距离反映了沿流各断 面的压强水头的变化，测管水头线可能是一条下降曲 线，也可能是一条上升曲线，这取决于水头损失和流 体动能与势能间的互相转化情况。
测压管水头线沿程的变化可用测压管水头线坡度JP
表示
Jp
= − dH p dL
d(z + p)
=−
r
dL
规定JP为正表示下降，JP为负表示上升，所以式中有 个负号。
dL dL
dL
chp2_part3
一、平面问题基本未知量
平面应力问题
1、应力分量
平面应变问题
x x, y, y (x, y),
x, y
xy
, (x, y) x
x, y,
y
xy x, y, z
（3个）
2、应变分量
独立的（3个）
x, y, x
x, y,
y
xy x, y, z
x, y, x, y, x, y
B.边界上的面力转变为应力分量其正负号规定:正面正向、 负面负向为正，其余为负。
举例：
fx ql fy 0
y
fx 0, fy ql fx 0, fy ql
x
右 : ( )x s ql, ( )xy s 0 fx ql 左 : ( )x s ql, ( )xy s 0 fy 0 上 : ( )y s ql, ( )yx s 0
x
O
xy x0 0
n
y
2）左边界（x=ytg）
cosn, x cos
y
m cosn, y cos( )
2
sin
y
f x 0, f y 0
x n
O
y
根据：
y
x s m xy
s
fx
xy
m
s
y
s
fy
y
x
s
cos
xy
sin 0
s
xy
二、圣维南原理的应用条件
1、必须用等效力系代替。 2、圣维南原理应用的边界必须是弹性体的次要边界（小边界)
举例 P
P 图 (a )
q P A
P
q 图 (b )
图 (c )
流体力学公式范文
流体力学公式范文流体力学是研究流体运动和相应力学现象的学科。
流体力学包括两个主要分支：流体静力学和流体动力学。
流体力学的基础是质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律。
本文将介绍一些重要的流体力学公式。
1.质量守恒定律：质量守恒定律是流体力学的基本假设，它表明在流体中质量是守恒的。
质量守恒定律可以用以下公式表示：∇·ρv+∂ρ/∂t=0其中，ρ是流体的密度，v是速度矢量，∇·表示散度运算符，∂/∂t表示时间导数。
这个公式表示了在空间中其中一点的质量密度的变化率等于质量流入速度减去质量流出速度。
2.动量守恒定律：动量守恒定律是流体力学中最重要的定律之一，它描述了流体中的力和速度的关系。
动量守恒定律可以用以下公式表示：ρ(Dv/Dt)=∇·T+F其中，ρ是流体的密度，Dv/Dt表示速度矢量的物质导数，∇·表示散度运算符，T是应力张量，F是外力矢量。
这个公式表示了流体的动量变化率等于应力和外力的合力。
3.流体静力学公式：流体静力学是研究静止流体的力学性质的学科。
静态流体受到压力力的作用。
流体静力学的基础公式是帕斯卡定律和亥姆霍兹定律。
帕斯卡定律表明，在静止的不可压缩流体中，压强在任何方向上都是均匀的。
帕斯卡定律可以用以下公式表示：∇p=-ρ∇φ其中，p是压强，ρ是流体的密度，∇表示梯度运算符，φ是位势函数。
这个公式表示了压强梯度等于质量密度的负梯度。
亥姆霍兹定律描述了静态流体中压力的变化与密度和高度的关系。
亥姆霍兹定律可以用以下公式表示：dp/dz = - ρg其中，dp/dz是压力的竖直梯度，ρ是流体的密度，g是重力加速度。
这个公式表示了压力的竖直梯度等于密度乘以重力加速度。
4.流体动力学公式：流体动力学是研究流体运动的力学性质的学科。
在流体动力学中，重要的公式有雷诺运动定理和伯努利定理。
雷诺运动定理描述了流体的运动形式。
雷诺运动定理可以用以下公式表示：∂v/∂t+v·∇v=-1/ρ∇p+ν∇^2v+f其中，∂v/∂t是速度的时间导数，v·表示速度的散度，∇v是速度的梯度，ρ是流体的密度，p是压强，ν是运动粘度，∇^2表示拉普拉斯算子，f是体积力。
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∂p ∂p ∂p δ x δ yδ z − j δ x δ yδ z − k δ x δ yδ z −i ∂x ∂y ∂z
∂p ∂p ⎞ ⎛ ∂p = −⎜i + j +k ⎟ δ xδ yδ z = − ∇ pδ xδ yδ z ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x
压强梯度
流体力学
静止流体平衡微分方程2
大气压强随当地经纬 度，海拔高度及季节 时间的不同而不同
pa
H
1标准大气压 1.013×105Pa
H = 760mmHg
流体力学
单管测压计
pAm = ρgh1
单管测压计缺点 被测压强不能太大 只能测量液体压强 被测压强必须高于当地大气压强
流体力学
U 型管测压计1
pAm = ρ 2 gh2 − ρ1 gh1
静止流体受力平衡
f ⋅ ρδxδyδz − ∇pδxδyδz = 0
静止流体平衡方程－欧拉平衡方程
f −
1
ρ
∇p = 0
静止流体中压强的变化由质量力引起
流体力学
力势函数
⎧ ⎪ fx − ⎪ ⎪ ⎨ fy − ⎪ ⎪f − ⎪ z ⎩ 1 ∂p =0 ρ ∂x 1 ∂p =0 ρ ∂y 1 ∂p =0 ρ ∂z ⎧ ∂f x ∂f y ⎪ ∂y = ∂x ⎪ ρ = 常数 ⎪ ∂f y ∂f z = ⎨ ∂y ⎪ ∂z 均质不可压 ⎪ ∂f z ∂f = x ⎪ ∂x ∂z ⎩
yC = hC sin 60
10 0.25π × 24 yD = + sin 60 10 sin 60 × 0.25π × 22
= 11.6366(m )
2) 求力矩
M = F ( y D − yC ) = 1.07 × 105 (N ⋅ m )
流体力学
平面上的流体静压力－例题2
例：如果假设水箱是封闭的，自由液面上压力ps 例：如果假设水箱是封闭的，自由液面上压力ps = 50kPa(表压)，其他条件几何尺寸均和上例 = 50kPa(表压)，其他条件几何尺寸均和上例 相同，试重新求解上题。 相同，试重新求解上题。
流体力学
平面上的流体静压力－例题1
解：1) 闸门所受总压力
F = ρ g hC A
1 = 10 × 9.8 × 10 × × π × 42 = 1.23 × 106 (N ) 4
3
压力中心位于OO’上
I xC y D = yC + yC A
F
由 I xC
流体力学
1 4 = πR 4
平面上的流体静压力－例题1
流体力学
O
1 p y dxdz 2
A x
pz
流体静压强的特性2
表面力
1 pz dxdy 2
pn ΔA
z C
所受合力为零
py
pn
dz
px
dy B y
O
p = f ( x, y, z )
x
dx A
pz
p = f ( x , y , z ) 流体中不存 理想流体中压强的特性？ 理想流体压强
在切向力
流体力学
⎧ 1 ∂p ⎪ 0 − ρ ∂x = 0 ⎪ 1 ∂p ⎪ =0 ⎨ 0− ρ ∂y ⎪ ⎪ − g − 1 ∂p = 0 ⎪ ρ ∂z ⎩
方程
dp = − ρg dz
压强只是 z 的函数，z 方向压强梯度为负
流体力学
不可压缩流体压强分布1
均质不可压缩流体
dp = − ρg dz
p1 = p2 + ρgh
流静压强
ΔP p = lim ΔS → 0 Δ S
ΔP
B
ΔS
流体静压强的方向垂直于 作用面，并指向流体内部
p
s
流体力学
流体静压强的特性1
静止流体任意点处静压强的大小与其作 用面方位无关，只是作用点位置的函数 质量力
1 f ⋅ ρ dxdydz 6
py
dx z C
pn
dz
px
dy B y
表面力
1 p x dydz 2
压力中心 yD D
I XC ρ g sin α yD = yC + ( p0 + ρ g sin α yC ) A
表压压力中心 yD D
I XC yD = yC + yC A
流体力学
p0 = pa 压 力 中 心 总 是 y D > yC 位于形心之下 hD > hC
压力中心（xD，yD）3
表压压力中心 xD D
⎛ ω 2r 2 ⎞ p = p0 + ρg ⎜ ⎜ 2g − z ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
pA − pB = ρ 2 gh2 + ρ 3 gh3 − ρ1 gh1
流体力学
倾斜式测压计（微压计）
通常用来测量气体压强
pAm = ρ 2 gl sin θ − ρ1 gh2
倾斜管放大了测量距 离，提高了测量精度
l = 1 h sin θ
流体力学
U 型管测压计例题
如图所示多管式压强计，若B容器中空气的表压 如图所示多管式压强计，若B容器中空气的表压 pBm =－2.74×1044Pa，h = 500mm，h11= 200mm， pBm =－2.74×10 Pa，h = 500mm，h = 200mm， h22 = 250mm，h33 = 150mm，求容器A上部的表压 h = 250mm，h = 150mm，求容器A上部的表压 pAm pAm
流体力学
2.4 静压强的计算与测量
基准
绝对真空 当地大气压强
绝对压强 p
可压缩问题
流体力学
计示压强 （表压） pm
不可压缩问题
真空压强 pv
绝对压强、表压、真空压强
绝对压强总为正 表压有正有负
pm = p − pa
表压为负，取其绝 对值，为真空压强
pv = pa − p
流体力学
大气压强的测量
pv
流体力学
几何意义和能量意义4
测压管水头线 测压管水头线 连接各点测压管水头的液面线，若测压管 开口通大气，则液面线各点压强均为 pa
流体力学
几何意义和能量意义5
物理意义
z
p ρg z + p ρg
z + p ρg = C
单位重量液体的位置势能 单位重量液体的压强势能 单位重量液体的总势能
同种静止液体中单位重量液体的总势能相等
流体力学
作用在平面上的总压力1
a/2 o y x a/2
b/2
b/2
A = ba 1 3 I xC = ba 12 1 3 I yC = ab 12 I xyC = 0
R x y
A = πR 2 I xC = I yC =
πR 4
4
I xyC = 0
流体力学
作用在平面上的总压力2
z O W hC h C dF A y F p0
× dx × dy × dz 求和
dW + dp
ρ
=0
不可压缩流体平衡方程
p = p0 − ρ (W − W0 )
流体力学
等压面
等压面微分方程
dp = 0 ⇒ f ⋅ ds = 0
O x z
f
ds
y
等压面处处与质量力垂直
dW = 0
流体力学
等压面即为等势面
2.3 重力场中的平衡流体
条件
连通的静止流体，只在 z 向有 重力作用，z 正方向垂直向上
f −
1
ρ
∇p = 0
fx = 0 , fy = 0 fz = − g
fx = ω2x , fy = ω2 y fz = − g
只有重力作用
流体力学
等角速转动
小结4
不可压缩静止流体内压强分布
p1 = p2 + ρgh
注意U型管的计算 等角速转动液体内压强分布及等压面方程
z=
流体力学
ω2
2g
r2 + C
流体力学
第 2 章习题
习题
2-2 2-4 2-18 (1)、(3)
流体力学
等压面思考题
一圆桶中盛有水，静止时自由面为______ 当圆桶以匀角速度绕中心轴旋转时，自由 面为_______。 A、斜面 B、曲面 C、水平面
流体力学
平板静压力思考题
四种敞口盛水容器的底面积相同，水位高 相同。容器中水的重量比为（自左向右） 9:1:10:2，确定底部所受总压力 A、9:1:10:2 B、相同 C、与形状有关
力势函数
W (x, y, z)
∂W ∂W ∂W fx = − , fy = − , fz = − ∂x ∂y ∂z
流体力学
平衡微分方程的积分
⎧ ∂ W 1 ∂p ⎪ − ∂x − ρ ∂x = 0 ⎪ ⎪ ∂ W 1 ∂p − =0 ⎨− ρ ∂y ⎪ ∂y ⎪ − ∂ W − 1 ∂p = 0 ⎪ ∂z ρ ∂z ⎩
流体力学
几何意义和能量意义2
几何意义
位势头或 位势头或 位置水头 位置水头 测压管高度或压强水头 测压管高度或压强水头
z
p ρg
液体中某点在压强作用下液体沿测压管上 升的高度
流体力学
几何意义和能量意义3
z + p ρg
测压管水头 测压管水头
测压管内液面相对于基准面的高度
z + p ρg = C
同一种静止液体中各 点测压管水头均相等
流体力学
小结1
流体静压强的特性
垂直于作用面，指向流体内部 大小与作用面方位无关，只是作用 点位置的函数
绝对压强、计示压强、真空压强