(易错题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测(有答案解析)(1)

一、选择题
1．已知sin cos sin cos θθθθ-=，则角θ所在的区间可能是（ ）．
A ．0,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．3,24
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．3,4ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
2．
已知sin 410
πα⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭，02πα<<，则tan α的值为（ ） A ．1
2
-
B ．
12
C ．2
D ．1
2
-
或2 3．
已知函数2()2sin cos (0)f x x x x ωωωω=->图像的相邻两条对称轴之间的距离为
2π
，则2f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ） A
．1B
．1--
C ．0
D
．-4．已知函数()f x 满足()cos 1cos21f x x -=-，则()f x 的解析式为（ ） A ．()()2
2420f x x x x =+-≤≤
B ．()()2
24f x x x x R =+∈
C ．()()2120f x x x =--≤≤
D ．()()21f x x x R =-∈
5．
已知sin cos x x +=，则1tan tan x x +
=（ ） A ．6- B ．7-
C ．8-
D ．9-
6．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．7
8-
B ．
78
C ．1516
-
D ．
1516
7．已知3cos 2
5α
=
，()0,2απ∈，则sin 4
απ+⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ） A
B
． C
D
．10
-
8．设等差数列{}n a 满足：
()
222222222727
18sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-．若当且仅当11n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取
值范围是（ ） A ．9,10ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．11,
10ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
C ．9,10ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．11,
10
ππ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
9．函数()log 42a y x =++(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则2sin 2θ=（ ）
A ．1213
-
B ．
1213 C ．2413
-
D ．
2413
10．函数()sin sin 22f x x x π⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
的最大值为（ ） A ．2 B ．1
C ．
18
D ．
98
11．若，则
的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知函数()()()()2
13cos cos 02f x x x x ωωωω=+-
>，若()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的取值范围为（ ） A ．(]0,2
B ．(]0,1
C ．2,13⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．20,3
⎛
⎤ ⎥⎝⎦
二、填空题
13．已知1cos 3α=
，且02
π
α-<<，则()()()
cos sin 2tan 23sin cos 22αππαπαππαα--+-=
⎛⎫⎛⎫
-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
______. 14．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2sin cos a B
b C
=，且()3
sin sin 4
A C
B -=-，则sin B =_______．
15．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________. 16．已知tanα＝2tan 8π，则3cos 8sin 8αππα⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭⎛⎫- ⎪⎝
⎭＝_____．
1722sin 4cos8-+________. 18．下列判断正确的有___________.
①如果θ是第一象限角，那么恒有sin
02
θ
>；
②sin 200a ︒=，则
tan 200︒
=
③若()f x 的定义域为R ，周期为4，且满足()()f x f x -=-，则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点； ④若0,
,0,66x y ππ⎛⎫
⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
，且cos tan x y x ⋅=，则x y <. 19．在△ABC 中，cosA 35=
，cosB 4
5
=，则cosC ＝_____.
20．已知α，()0,βπ∈，且()tan 3αβ-=，tan 11
β=-，2αβ
-的值为_______.
三、解答题
21．已知函数()2
22cos f x x x m =++在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为6. （1）求常数m 的值以及函数()f x 当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时的最小值 （2）将函数()f x 的图象向下平移4个单位，再向右平移4
π
个单位，得到函数()g x 的图象 （i ）求函数()g x 的解析式；
（ii ）若关于x 的方程2()0g x t -=在0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，有两个不同实数解，求实数t 的取值范围.
22．函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=+⋅>且满足___________. ①函数()f x 的最小正周期为π；②已知12x x ≠，()()121
2
f x f x ==，且12x x -的最小值为
2
π
，在这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答问题. （1）确定ω的值并求函数()f x 的单调区间；
（2）求函数()f x 在0,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上的值域. 23．在ABC 中，A B C <<且 tan A ，tan B ，tan C 均为整数. （1）求A 的大小； （2）设AC 的中点为D ，求
BC
BD
的值. 24．①角α的终边上有一点()2,4M ；②角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐
标为
13；③2α为锐角且
22sin 42cos 22sin 2α
αα=-.在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并加以解答.
问题：已知角α的顶点在原点O ，始边在x 轴的非负半轴上，___________.求
cos 23πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分.
25．已知00,2
x x π
+是函数22
()cos sin (0)6f x x x πωωω⎛
⎫
=--
> ⎪⎝
⎭
的两个相邻的零点. （1）求12f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间.
26．已知函数21()cos2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫=
+⋅- ⎪⎝⎭，3()224g x x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
.
（1）对任意的[]12,0,x x t ∈，当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值；
（2）在满足（1）的条件时，若方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=在区间
,4t π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上有解，求实数a 的取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
先化简已知得sin24πθθ⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
，然后根据各个选项确定等式两端的取值范围从而得到答案. 【详解】
由sin cos sin cos θθθθ-=得，sin24πθθ⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
， 对于A ， 当0,4πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，,044π
πθ⎛⎫-
∈- ⎪⎝⎭，sin 04πθ⎛
⎫-< ⎪⎝
⎭， 而0,
22θπ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
∈，sin20θ>，两个式子不可能相等，故错误；
对于B ，当,42ππθ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭时，0,44ππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭
，sin 4πθ⎛⎛⎫-∈ ⎪ ⎝
⎭⎝⎭
，()0,24πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ，22,ππθ∈⎛⎫
⎪⎝⎭
，()sin20,1θ∈，存在θ
使得
sin24πθθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，故正确；
对于C ， 3,24ππθ⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭时，42,4πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭
，sin 4πθ⎫⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
，(2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,
22πθπ
⎛∈⎫
⎪⎝
⎭
，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以错误；
对于D ， 当3,4πθπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，3,
424πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭
，sin 42πθ⎛⎫⎛
⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
(2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,222ππθ⎛∈⎫
⎪⎝⎭
，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以
错误 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，关键点是根据各个选项确定等号两端式子的取值范围，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
2．C
解析：C 【分析】
由同角间的三角函数关系先求得cos()4π
α-，再得tan()4π
α-，然后由两角和的正切公式
可求得tan α． 【详解】 ∵02
πα<<
，∴4
4
4
π
π
π
α-
<-
<
，
∴cos 4πα⎛
⎫-
=
⎪⎝
⎭ ∴sin 14tan 43cos 4παπαπα⎛
⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-=
= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝
⎭， ∴tan tan 44ππαα⎡⎤
⎛
⎫=-
+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
1tan 11
432111tan 34παπα⎛
⎫-++ ⎪⎝⎭===⎛
⎫-
-- ⎪⎝
⎭.
故选：C ． 【点睛】
思路点睛：本题考查三角函数的求值．考查同角间的三角函数关系，两角和的正切公式．三角函数求值时首先找到“已知角”和“未知角”之间的联系，选用恰当的公式进行化简求值．注意三角公式中“单角”与“复角”的区别与联系，它们是相对的．不同的场景充当的
角色可能不一样．如题中4
π
α-
在tan tan
4tan 41tan tan 4
π
απαπ
α-⎛⎫
-
=
⎪⎝
⎭+作为复角，但在
tan tan 44ππαα⎡⎤
⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦中充当“单角”角色．
3．D
解析：D 【分析】
先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定1ω=，再求2f π⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【详解】
因为(
)2
1cos 22sin cos sin 22
x f x x x x x ωωωωω-=-=-
πsin 222sin 23x x x ωωω⎛
⎫=+=+- ⎪⎝
⎭
由题意知()f x 的最小正周期为π22π⨯=，所以2π
2πω
=，即1ω=， 所以(
)π2sin 23f x x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
π2sin 23f ππ⎛⎫⎛
⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
故选：D. 【点睛】
本题考查了三角函数的性质，关键点是根据已知条件先化简正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.
4．A
解析：A 【分析】
利用换元法，设[]cos 12,0x t -=∈-，将原函数转化成关于t 的关系式，进行整理即得
()f x 的解析式.
【详解】
函数()f x 满足()2
2
cos 1cos212cos 112cos 2f x x x x -=-=--=-，
设cos 1x t -=，则cos 1x t =+，由[]cos 1,1x ∈-知[]2,0t ∈-， 故原函数可转化为()()2
221224f t t t t =+-=+，[]2,0t ∈-，
即()f x 的解析式为()()2
2420f x x x x =+-≤≤.
故选：A. 【点睛】
方法点睛：求函数解析式的方法
（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出()f x ，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；
（2）换元法：主要用于解决已知复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的表达式求()f x 的解析式的问题，令()g x t =，解出x ，然后代入()f g x ⎡⎤⎣⎦中即可求得()f t ，从而求得()f x ，要注意新元的取值范围；
（3）配凑法：配凑法是将()f g x ⎡⎤⎣⎦右端的代数式配凑成关于()g x 的形式，进而求出
()f x 的解析式；
（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.
5．C
解析：C 【分析】
将等式sin cos x x +=
sin cos x x 的值，利用切化弦可求得1
tan tan x x
+
的值. 【详解】
由sin cos 2
x x +=
，可得()23sin cos 12sin cos 4x x x x +=+=，得1sin cos 8x x =-，
因此，221sin cos sin cos 1
tan 8tan cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x
++=+===-.
故选：C. 【点睛】
方法点睛：应用公式时注意方程思想的应用，对于sin cos αα+、sin cos αα-、
sin cos αα这三个式子，利用()2
sin cos 12sin cos αααα±=±可以知一求二．
6．B
解析：B
【分析】 化简sin 2cos 2()63
a ππ
α⎛⎫
-=- ⎪⎝
⎭，再利用二倍角公式化简求值. 【详解】
22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛
⎫-=-+=--=- ⎪⎝
⎭
=2
17
12sin ()123
168
π
α--=-⨯
=. 故选：B 【点睛】
方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.
7．C
解析：C 【分析】 根据
2α是4α的二倍角求出sin α的值，再求cos 4α和sin 4
απ+⎛⎫
⎪⎝⎭
的值. 【详解】
因为2α是4
α的二倍角，所以2311cos 152sin 4225
α
α--===， 又()0,2απ∈，所以0,42a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以sin 4545
αα===cos ；
所以
sin sin sin cos cos sin 4444444απ
απαπαπ+⎛⎫⎛⎫
=+=+== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
. 故选：C. 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式，考查了同角公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.
8．D
解析：D 【解析】
因为
222222222727
18sin cos cos cos sin sin 1sin()
a a a a a a a a -+-=+，所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得
2272718cos 2cos()cos()
1sin()
a a a a a a a -+-+=+，再运用
积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+，即72181
[cos 2cos 2]
21sin()a a a a -=+，再
由差化积公式可得
727218sin()sin()
1sin()
a a a a a a --+=+．由于{}n a 是等差数列，因此1827a a a a +=+，即1827sin()sin()a a a a +=+，所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注
意到()1,0d ∈-，则()55,0d ∈-，所以52
10
d d π
π
=-⇒=-
，故对称轴方程故等差数
列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+，即221()()222020
n d d S n a n n a n ππ
=+-=-++，其对称轴是1202a n ππ+=，由题设可得1202123222a ππ+<<，即11110
a π
π<<，应选答案
D ．
点睛：解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简，再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10
d π
=-
，然后将等差数列的前n 项和公式1(1)
2
n n n S na d -=+
变形为221()()222020
n d d S n a n n a n ππ
=
+-=-++，借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<，进而求得数列首项的取值范围是11110
a ππ<<． 9．C
解析：C 【分析】
先根据对数函数性质得()3,2A -，进而根据正弦的二倍角公式和三角函数的定义求解即可得答案. 【详解】
解：根据对数函数的性质得函数()log 42a y x =++(0a >，且1a ≠)的图象恒过
()3,2A -，
由三角函数的定义得：
13r =
=
，sin θθ=
=，
所以根据二倍角公式得：242sin 24sin cos 413θθθ⎛===- ⎝. 故选：C. 【点睛】
本题考查对数函数性质，三角函数定义，正弦的二倍角公式，考查运算能力，是中档题.
10．D
解析：D 【分析】
利用诱导公式与二倍角的余弦公式化简，再结合二次函数配方法求解即可. 【详解】
因为()sin sin 2sin cos 22f x x x x x π⎛⎫
=++
=+ ⎪⎝
⎭
， 2
219sin 12sin 2sin 48x x x ⎛
⎫=+-=--+ ⎪⎝
⎭
所以()f x 的最大值为9
8
， 故选:D. 【点睛】
本题主要考查诱导公式与二倍角的余弦公式的应用，考查了二次函数的性质，属于基础题.
11．C
解析：C 【解析】 试题分析：因
，故应选C ．
考点：同角三角函数的关系及运用．
12．D
解析：D 【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()f x ，根据()f x 在,64ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，建立不等关系，解出ω的取值范围． 【详解】 因为()31cos 21sin 2sin 22226x f x x x ωπωω+⎛⎫=
+-=+ ⎪⎝
⎭，由题意得,362
,
2
62ωππ
πωπππ⎧-+≥-⎪⎪⎨
⎪+≤⎪⎩解得23ω≤，又0>ω，所以203ω<≤. 故选：D 【点睛】
本题考查正弦函数单调性的应用，考查三角恒等变换，属于中档题．
二、填空题
13．【分析】用同角间的三角函数关系计算用诱导公式化简后再计算然后计算
可得【详解】∵且∴∴故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式同角间的三角函数关系三角函数求值问题首先要进行化简应用诱导公式化简应用
解析：-【分析】
用同角间的三角函数关系计算sin α，用诱导公式化简后再计算．然后计算tan α，可得． 【详解】
∵1cos 3α=，且02πα-<<，
∴sin 3α==-， ∴
()()(
)cos sin 2tan 2cos sin (tan )sin tan 3cos (sin )cos sin cos 22αππαπααααα
αππααααα--+---=====---⎛⎫⎛⎫
-+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
．
故答案为：-． 【点睛】
方法点睛：本题考查诱导公式，同角间的三角函数关系．三角函数求值问题，首先要进行化简，应用诱导公式化简，应用同角间的三角函数关系化简，最后才代入求值．应用诱导公式应牢记：奇变偶不变，符号看象限，应用同角间的三角函数关系应注意在应用平方关系求函数值需确定角的范围，以确定正弦余弦值的正负．
14．【分析】代入展开整理得①化为与①式相加得转化为关于的方程求解即可得出结论【详解】因为所以所以因为所以则整理得解得故答案为:【点睛】本题考查正弦定理的边角互化考查三角函数化简求值属于中档题 解析：
12
【分析】
sin sin()B A C =+代入()3sin sin 4
A C
B -=-，展开整理得3
2cos sin 4A C =，①
2sin cos a B b C
=化为22sin cos sin A C B =，与①式相加得 ()23
2sin cos cos sin sin 4
A C A C
B +=+，转化为关于sin B 的方程，求解即可得出结论.
【详解】
因为()3sin sin 4
A C
B -=-，所以()()3
sin sin 4A C A C -=+-，
所以3
2cos sin 4A C =，因为2sin cos a B b C
=，
所以22sin cos sin A C B =，
则()2
32sin cos cos sin sin 4
A C A C
B +=+
， 整理得2
3
sin 2sin 04B B -+=，解得1sin 2
B =. 故答案为:1
2
. 【点睛】
本题考查正弦定理的边角互化，考查三角函数化简求值，属于中档题.
15．【分析】首先根据诱导公式将然后结合两角和正弦公式的逆用化简即可求值【详解】sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°co
解析：
2
【分析】
首先根据诱导公式将sin347cos77︒=-︒、cos148sin58︒=-︒，然后结合两角和正弦公式的逆用化简，即可求值 【详解】
sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·
(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°) ＝sin 135°
＝
2
故答案为：2
【点睛】
本题考查了利用三角函数的诱导公式、两角和正弦公式化简求值，注意有大角要根据诱导公式将其转化为小角，进而应用三角恒等变换化简求值
16．3【分析】由诱导公式对原式化简用两角和差公式展开分子分母同除即可得结果【详解】故答案为：3【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式三角恒等变换等基本数学知识考查了运算求解能力属于基础题目
解析：3 【分析】
由诱导公式对原式化简
3cos()sin()88sin()sin()
88
ππααππαα-
+=--，用两角和差公式展开，分子分母同除
cos cos
8
π
α，即可得结果.
【详解】
3cos()sin()sin cos cos sin tan tan 888883sin()sin()sin cos cos sin tan tan
88888
πππππαααααπππππααααα-
+++====---- 故答案为：3 【点睛】 本题考查了三角函数的诱导公式、三角恒等变换等基本数学知识，考查了运算求解能力，属于基础题目.
17．【分析】利用同角三角函数的基本关系式二倍角公式结合根式运算化简求得表达式的值【详解】依题意由于所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式二倍角公式考查根式运算属于基础题
解析：4
【分析】
利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，结合根式运算，化简求得表达式的值. 【详解】
=
4==，由
于342
π
π<<
=
故答案为：4 【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，考查根式运算，属于基础题.
18．③【分析】①利用来判断；②利用来判断；③通过来判断；④通过当时有恒成立来判断【详解】解：①由已知则此时在第一或第三象限有可能小于零错误；②是第三象限角所以则与矛盾错误；③由已知为奇函数故则又所以则有
解析：③ 【分析】 ①利用2
4
k k θ
π
π
π
来判断；
②利用sin 2000a ︒=<来判断；
③通过(0)0f =，(2)0f =来判断； ④通过当0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，有tan sin ααα>>恒成立来判断. 【详解】
解：①由已知22,2
k k k Z π
πθ
π
，则,2
4
k k k
Z θ
π
π
π
，此时2
θ
在第
一或第三象限，sin
2
θ
有可能小于零，错误；
②200︒是第三象限角，所以sin 2000a ︒
=<， 则2
tan 20001a
︒
=
<-，与
tan 2000︒>矛盾，错误；
③由已知()f x 为奇函数，故(0)0f =，则(4)(4)(8)(0)0f f f f -====， 又(2)(24)(2)(2)f f f f =-=-=-，所以(2)0f =，则有(2)(2)(6)0f f f =-==， 则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点，正确；
④当0,2
πα⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
时，有tan sin ααα>>恒成立，
证明：单位圆中当0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，如图点P 为角α的终边与单位圆的交点，
由图可知OPA 的面积小<扇形OPA 的面积小<OTA 的面积 则
2111
11sin 111tan 222ααα⋅⋅⋅<⋅⋅<⋅⋅⋅，整理得tan sin ααα>>. 若0,
,0,66x y ππ⎛⎫
⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
，tan cos tan tan x x x y y >=⋅>，所以x y >，故错误. 故答案为：③ 【点睛】
本题考查函数周期性的应用，考查当0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，有tan sin ααα>>恒成立这个性质的灵活应用，考查角所在象限和三角函数值符号的关系，是中档题.
19．0【分析】计算得到再利用和差公式计算得到答案【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数关系和差公式意在考查学生的计算能力
解析：0 【分析】 计算得到43
sin ,sin 55
A B ==，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】
34cos ,cos 55A B ==，则43
sin ,sin 55
A B ==.
()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.
故答案为：0. 【点睛】
本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.
20．【分析】根据正切差角公式代入可求得将角配凑后可求得根据及可得的范围即可求得的范围进而求得的值【详解】因为由正切差角公式展开可得代入化简可求得则因为所以即所以则所以故答案为:【点睛】本题考查了正切差角 解析：23
π
-
【分析】
根据正切差角公式,
代入tan 11β=-
可求得tan α=
.将角配凑后可求得(
)tan 2αβ-=
根据tan 1α=
<
及tan 0β=<可得,αβ的范围,即可求得2αβ-的范围,进而求得2αβ-的值.
【详解】 因为(
)tan 3αβ-=
,tan 11
β=- 由正切差角公式展开可得(
)tan tan tan 1tan tan 3
αβαβαβ--=
=
+⋅
代入tan β=
tan 3α=⎝⎭
化简可求得tan α=
则()()tan 2tan αβααβ-=+-⎡⎤⎣⎦
()
()
tan tan 1tan tan ααβααβ+-=
-⋅-
93
+==
因为tan 19
α=< 所以04
π
α<<
,即022
π
α<<
tan 0β=< 所以
2
π
βπ<<
则20παβ-<-<
所以223
παβ-=- 故答案为: 23
π- 【点睛】
本题考查了正切差角与和角公式的应用,配凑角的形式求正切值,根据三角函数值判断角的取值范围,属于中档题.
三、解答题
21．（1）3, 3（2）（i ）()2sin(2)3
g x x π
=-（ii ）4t ≤<
【分析】
（1）化简函数解析式，根据自变量范围求函数最值即可；
（2）先由平移变换得到函数()g x 解析式，再由数形结合求t 的取值范围. 【详解】 （1）
2()22cos 2cos 212sin(2)16
f x x x m x x m x m π
=++=+++=+++，
又72666
x πππ≤+≤ 6
x π
∴=
时，max ()216f x m =++=，
解得3m =，
当x π=时，min 1()2()3132
f x =⨯-++=. （2）（i ）()f x 的图象向下平移4个单位，再向右平移
4
π
个单位得函数 ()2sin[2()]442sin(2)463
g x x x πππ
=-++-=-，
（ii ）由2()0g x t -=可得()2
t g x =
， 在同一直角坐标系内作出(),2
t
y g x y ==
的图象，
322
t
≤
<时，即234t ≤<时，图象有2个交点， 即2()0g x t -=有2个根. 【点睛】
关键点点睛：求方程2()0g x t -=在0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时有2个根，可转化为()
,2t y g x y ==有2个不同的交点，数形结合求解即可，属于中档题. 22．条件选择见解析；（1）1ω=，单调增区为,()63k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
，单调减区间
为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦；（2）30,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【分析】
化简()f x 1
sin 262
x πω⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭. （1）若选① ，根据周期公式可得ω；若选②，由12
min
22
T x x π
-=
=，可得周期和ω，
再根据正弦函数的单调性可得()f x 单调区间； （2）由x 的范围求出26
x π
-及1
sin 262
x π⎛⎫-
+ ⎪⎝
⎭的范围可得答案. 【详解】
1cos 2()3cos 2
x
f x x x ωωω-=
+ 3112cos 2222
x x ωω=
-+
1sin 262x πω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭.
（1）若选① ，则有T π=，222π
ωπ
∴==，即1ω=，
若选②，则有12
min
22
T x x π
-=
=， 222π
ωπ
∴=
=，即1ω=，
综上1
()sin 262
f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭， 于是由222()2
6
2
π
π
π
ππ-+≤-
≤
+∈k x k k Z ，
解得()6
3
π
π
ππ-
+≤≤
+∈k x k k Z ，
即()f x 单调增区为,()63k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
，
由
3222()2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤-
≤
+∈， 解得
5()3
6
k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈， 所以()f x 单调减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
.
（2）
1()sin 262f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭，
若0,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，则2,662x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
， 则1
3sin 20,622x π⎛
⎫⎡⎤-
+∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
， 所以()f x 值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查了()()sin f x A x b ωϕ=++的性质，有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期、对称性有关的问题，考查了计算能力.
23．（1）45A =︒；（2）
1BC
BD
=
【分析】
（1）A B C <<，A 不能是钝角，且若tan 2A ≥，与A B C π++=矛盾，可得
45A =︒；
（2）由（1）结合两角和与差的正切公式，以及tan B ，tan C 均为整数，可得
tan ,tan B C ，再利用正弦定理结合平面向量求出BD ，进而得出答案．
【详解】 （1）
A B C <<，A ∴不能是钝角，tan 0A >
若tan 2A ≥，
tan 60︒=tan y x =在0,
2π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
内单调递增，60A ∴>︒ 又A B C <<，,B C ∴都大于60︒，与A B C π++=矛盾
tan 1A ∴=，即45A =︒
（2）
45,135A B C =︒∴+=︒，()tan tan1351B C +=︒=-
又()tan tan tan 11tan tan B C
B C B C
++==--，即tan tan 1tan tan B C B C -=+
由tan B ，tan C 均为整数，且B C <，可得tan 2,tan 3B C ==
则cos ,sin 55B B ==；cos ,sin 105
C C ==
由正弦定理
sin 45sin sin a b c B C ==︒，可得,55
b a
c a ==
又AC 的中点为D ，则2
21
4
BA BC BD AC ⋅=-
， 即2
21
cos 4
c a ABC BD AC ⋅⋅∠=-
2
214a BD ⎫
⋅=-⎪⎪⎝⎭
解得BD a =，故1BC a
BD a
== 【点睛】
关键点点睛：本题考查三角恒等变换，考查同角三角函数的关系，考查正弦定理以及平面向量的应用，解决本题的关键点是充分利用A B C <<且tan A ，tan B ，tan C 均为整数，结合两角和与差的正切公式以及同角三角函数的关系，得出所求的比值，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题． 24．答案见解析 【分析】
选条件①，则根据三角函数定义得cos
α=
，sin α=，进而根据二倍角公式得
3
cos25α=-，4sin 25
α=，再结合余弦的和角公式求解即可；
选条件②，由三角函数单位圆的定义得1cos 3α=，sin α=，进而根据二倍角公式
得7cos 29α=-
，sin 29
α=，再结合余弦的和角公式求解即可； 选条件③，由二倍角公式得
222
sin 42tan 22cos 22sin 212tan 2αα
ααα
==--，并结合题意得1
tan 2
2
α=
，故cos 2α=，sin 2α=
【详解】
解：方案一：选条件①. 由题意可知
2cos ||OM α===4
sin ||OM α===
. 所以2
3cos 22cos 15αα=-=-，4sin 22sin cos 5
ααα==.
所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333
ππ
π
ααα⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
3145252=-⨯-⨯
= 方案二：选条件②.
因为角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为13
，
所以1cos 3α=
，sin 3
α==
.
所以2
7
cos 22cos 19
αα=-=-，sin 22sin cos ααα==
所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333
πππ
ααα⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
71929=-⨯-
718
+=-
. 方案三：选条件③.
22222sin 42sin 2cos 22tan 22cos 22sin 2cos 22sin 212tan 2αααα
ααααα
===---，
结合2α为锐角，解得1tan 22α=
，
所以cos 2α=
，sin 2α=. 所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππ
ααα⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭
122=
10
=. 【点睛】
本题解题的关键在于根据三角函数的定义求得cos ,sin αα，进而根据三角恒等变换求解，考查运算求解能力，是基础题.
25．（1
）
2；（2）70,,,1212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 【分析】
化简三角函数的解析式，
（1）12π
代入解析式计算可得答案；
（2）根据三角函数的单调性可得答案.
【详解】
化简解析式得
1cos 21cos 23()22
wx wx f x π⎛⎫-- ⎪+⎝⎭=- 11cos 2cos 2cos sin 2sin 2233wx wx wx ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
3cos 22243wx wx wx π⎛⎫==+ ⎪⎝
⎭， 周期002()2T x x π
π=+-=，22T w
ππ==，所以1w =，
()223f x x π⎛⎫∴=
+ ⎪⎝⎭. （1
）21221232
f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）因为222232k x k π
π
π
ππ-+≤+≤+k Z ∈，
所以51212
k x k ππππ-+≤≤+， 又[]0,x π∈()f x ∴的单调递增区间为70,
,,1212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 【点睛】
本题考查了三角函数的化简与性质，关键点是利用二倍角公式、两角和的正弦公式对函数
进行化简为()223f x x π⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭，要熟练掌握三角函数的性质，考查了学生的基本运算.
26．（1）
4
π；（2）32a <. 【分析】
（1）构造()()()h x f x g x =-，由单调性的定义得出()h x 在区间[0,]t 上为增函数，结合正弦型函数的单调性，得出正实数t 的最大值.
（2）方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=有解，可分离参数为2()112()1()1h x a h x h x +==-++，在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上有解，再根据()h x 的值域，求解实数a 的取值范围.
【详解】
解：（1）依题可知：
1()cos 2sin cos 2
f x x x x =+
sin 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭， 又∵()()()()1212f x f x g x g x -<-，∴()()()()1122f x g x f x g x -<-， 令()()()h x f x g x =-，
则3()222424h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
222424x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ sin 2x =.
∵()()12h x h x <，∴()h x 在[]0,t 上单调递增， ∵22222k x k ππππ-
≤≤+，∴()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈， ∴4t π≤，即t 的最大值为4
π. （2）∵[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=，
∴(2)[()()]10a f x g x a --+-=， ∴2()112()1()1
h x a h x h x +==-++， 即12sin 21a x =-+在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上有解， ∵1sin 21x -<<，∴32a <
. 【点睛】
函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。