高二数学人教A版选择性必修第二册第五章5.3.2 第1课时 函数的极值同步练习及解析答案

高中数学人教A 版（新教材）选择性必修第二册5.3.2
第1课时 函数的极值
一、选择题
1．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．－x 0是－f (－x )的极小值点 B ．对任意x ∈R ，f (x )≤f (x 0) C ．－x 0是f (－x )的极小值点 D ．x 0是－f (x )的极大值点
2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(0，＋∞)
C ．(0，1)
D ．(－1，0)
3．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示则( )
A ．1
2为f (x )的极大值点
B ．－2为f (x )的极大值点
C ．2为f (x )的极大值点
D ．4
5
为f (x )的极小值点
4．当x ＝1时，三次函数有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( ) A ．y ＝x 3＋6x 2＋9x B ．y ＝x 3－6x 2＋9x C ．y ＝x 3－6x 2－9x
D ．y ＝x 3＋6x 2－9x
5．已知a 为常数，函数f (x )＝x ln x －ax 2＋x 有两个极值点，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，e
2 B ．(0，e) C ．⎝⎛⎭⎫e 2，e
D ．⎝⎛⎭⎫
e 2，e 2
6．(多选题)定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是
( )
A ．－3是f (x )的一个极小值点
B ．－2和－1都是f (x )的极大值点
C ．f (x )的单调递增区间是(－3，＋∞)
D ．f (x )的单调递减区间是(－∞，－3)
7．(多选题)若函数f (x )＝x 3＋2x 2＋a 2x －1有两个极值点，则a 的值可以为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题
8．已知函数f (x )＝13x 3－1
2
x 2＋cx ＋d 无极值，则实数c 的取值范围为________．
9．若可导函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f ′(1)＝________，1是函数f (x )的________值．
10．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．
11．已知函数f (x )＝(x 2－mx －m )e x ＋2m (m ∈R ，e 是自然对数的底数)在x ＝0处取得极小值，则m ＝________，这时f (x )的极大值是________．
12．已知函数f (x )＝x e 2x －1，则函数f (x )的极小值为________，零点有________个． 三、解答题
13．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －1，曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝－8x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式；
(2)求y ＝f (x )在区间(－1，4)上的极值．
14．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；
(2)试判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由． 15．已知函数f (x )＝2x 2－kx ＋k
e x (k ∈R )．
(1)k 为何值时，函数f (x )无极值？
(2)试确定k 的值，使f (x )的极小值为0.
参考答案
一、选择题 1．答案：A
答案：对于A ，函数－f (－x )与函数f (x )的图象关于原点对称，因此－x 0是－f (－x )的极小值点；对于B ，极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域上f (x 0)是否最大；对于C ，函数f (－x )与函数f (x )的图象关于y 轴对称，因此－x 0是f (－x )的极大值点；对于D ，函数f (x )与函数－f (x )的图象关于x 轴对称，因此x 0是－f (x )的极小值点，故D 错误． 2．答案：D
解析：∵f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若a <－1，∴f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，－1)上单调递增，∴f (x )在x ＝a 处取得极小值，与题意不符；若－1<a <0，则f (x )在(－1，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减，从而在x ＝a 处取得极大值，符合题意；若a >0，则f (x )在(－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D. 3．答案：A
解析：对于A 选项，当－2＜x ＜1
2
时，f ′(x )＞0，
当12＜x ＜2时，f ′(x )＜0，1
2为f (x )的极大值点，A 选项正确； 对于B 选项，当x ＜－2时，f ′(x )＜0，
当－2＜x ＜1
2时，f ′(x )＞0，－2为f (x )的极小值点，B 选项错误；
对于C 选项，当1
2
＜x ＜2时，f ′(x )＜0，
当x ＞2时，f ′(x )＞0，2为f (x )的极小值点，C 选项错误；
对于D 选项，由于函数y ＝f (x )为可导函数，且f ′⎝⎛⎭⎫45＜0，4
5不是f (x )的极值点，D 选项错误． 故选A. 4．答案：B
解析：∵三次函数过原点，故可设为y ＝x 3＋bx 2＋cx ，∴y ′＝3x 2＋2bx ＋c . 又x ＝1，3是y ′＝0的两个根，
∴⎩⎨⎧
1＋3＝－2b 3
，
1×3＝c
3
，即⎩
⎪⎨⎪⎧
b ＝－6，
c ＝9，∴y ＝x 3－6x 2＋9x ， 又y ′＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，∴当x ＝1时，f (x )极大值＝4 ， 当x ＝3时，f (x )极小值＝0，满足条件，故选B.] 5．答案：A
解析：[f ′(x )＝ln x ＋2－2ax ，函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )有两个零点，即函数y ＝ln x 与函数y ＝2ax －2的图象有两个交点，当两函数图象相切时，设切点为(x 0，y 0)，对函数y
＝ln x 求导(ln x )′＝1x ，则有
⎩
⎪⎨⎪⎧
y 0＝ln x 0，
y 0＝2ax 0－2，
1
x 0＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
y 0＝－1，
x 0
＝1e ，
a ＝e 2，
要使函数图象有两个交点，
则0＜2a ＜e ，即0＜a ＜e
2
.故选A.
]
6．答案：ACD
解析：当x ＜－3时，f ′(x )＜0，x ∈(－3，＋∞)时f ′(x )≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3)．故选ACD. 7．答案：AB
解析：∵f (x )＝x 3＋2x 2＋a 2x －1，∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋a 2.
∵函数f (x )＝x 3＋2x 2＋a 2x －1有两个极值点，则f ′(x )＝3x 2＋4x ＋a 2与x 轴有两个交点， 即Δ＝42－4×3×a 2＞0解得－233＜a ＜23
3，故满足条件的有AB.故选AB.
二、填空题
8．答案：⎣⎡⎭⎫14，＋∞
解析：∵f ′(x )＝x 2－x ＋c ，要使f (x )无极值，则方程f ′(x )＝x 2－x ＋c ＝0没有变号的实数解，从而Δ＝1－4c ≤0，∴c ≥1
4
.
9．答案：0 极大
解析：[由题意可知，当x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＞1时，f ′(x )＜0， ∴f ′(1)＝0，1是函数f (x )的极大值．] 10．答案：4
解析：求导得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝2取得极值， 所以f ′(2)＝3·22＋6a ·2＋3b ＝0，即4a ＋b ＋4＝0. ① 又因为图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行， 所以f ′(1)＝3＋6a ＋3b ＝－3，即2a ＋b ＋2＝0， ②
联立①②可得a ＝－1，b ＝0，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． 当f ′(x )＞0时，x ＜0或x ＞2；当f ′(x )＜0时，0＜x ＜2，
∴函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0，2)， 因此求出函数的极大值为f (0)＝0＋c ，极小值为f (2)＝－4＋c ， 故函数的极大值与极小值的差为0－(－4)＝4，故答案为4. 11．答案：0 4e －
2
解析：由题意知f ′(x )＝[x 2＋(2－m )x －2m ]e x ，由f ′(0)＝－2m ＝0，解得m ＝0， 则f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－2，
故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－2，0)， 所以函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，且有f (－2)＝4e －
2. 12．答案：－1
2e
－1 1
解析：∵f (x )＝x e 2x －1，f ′(x )＝e 2x ＋2x e 2x ＝(1＋2x )e 2x ， 令f ′(x )＝0，可得x ＝－1
2
，如下表所示：
所以，函数y ＝f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12e －1，f (x )＝0⇒e 2x ＝1
x
， 则函数y ＝f (x )的零点个数等于函数y ＝e 2x 与函数y ＝1
x
的图象的交点个数，如图所示：
两个函数的图象有且只有一个交点，即函数y ＝f (x )只有一个零点． 三、解答题
13．解： (1)因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程的斜率k ＝f ′(x )|x ＝1＝f ′(1)＝3＋2a ＋b . 又因为k ＝－8，所以2a ＋b ＝－11. ① 又因为f (1)＝1＋a ＋b －1＝－8×1＋1， 所以a ＋b ＝－7， ②
联立①②解得a ＝－4，b ＝－3. 所以f (x )＝x 3－4x 2－3x －1.
(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2－8x －3＝3⎝⎛⎭⎫x ＋1
3(x －3)， 令f ′(x )＝0得，x 1＝－1
3
，x 2＝3.
当－1＜x ＜－1
3，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；
当－1
3≤x ＜3，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；
当3≤x ＜4，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．
所以f (x )在区间(－1，4)上的极小值为f (3)＝－19，极大值为f ⎝⎛⎭⎫－13＝－1327. 14．解： f ′(x )＝3ax 2 ＋2bx ＋c ， (1)法一：∵x ＝±1是函数的极值点， ∴x ＝±1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根．
由根与系数的关系知⎩⎨⎧
－2b
3a
＝0， ①c
3a ＝－1， ②
又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1， ③
由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－3
2
.
法二：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0， ① 3a －2b ＋c ＝0， ②
又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1， ③
由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－3
2
.
(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝3
2(x －1)(x ＋1)．
当x ＜－1或x ＞1时f ′(x )＞0，当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.
∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数． ∴当x ＝－1时，函数取得极大值，x ＝－1为极大值点； 当x ＝1时，函数取得极小值，x ＝1为极小值点．
15．解： (1)∵f (x )＝2x 2－kx ＋k e x ，∴f ′(x )＝－2x 2＋(k ＋4)x －2k
e x .
要使f (x )无极值，只需f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立即可． 设g (x )＝－2x 2＋(k ＋4)x －2k ，∵e x ＞0，∴f ′(x )与g (x )同号． ∵g (x )的二次项系数为－2，∴只能满足g (x )≤0恒成立，
∴Δ＝(k ＋4)2－16k ＝(k －4)2≤0，解得k ＝4，∴当k ＝4时，f (x )无极值． (2)由(1)知k ≠4，令f ′(x )＝0，得x 1＝2，x 2＝k
2
.
①当k
2＜2，即k ＜4时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
由题意知f ⎝⎛⎭⎫k 2＝0，可得2·⎝⎛⎭⎫k 22－k ·k 2＋k ＝0，∴k ＝0，满足k ＜4. ②当k
2＞2，即k ＞4时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
由题意知f (2)＝0，可得2×22－2k ＋k ＝0，∴k ＝8，满足k ＞4. 综上，当k ＝0或k ＝8时，f (x )有极小值0.
高一下数学作业030
平面与平面平行
姓名: _________
班级: _________
考号: _________
客观题（1~4为单选题；5~6为多选题）
1.已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（ ） A .平面α内有一条直线与平面B 平行
B .平面α内有两条直线与平面β平行
C .平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D .平面α与平面β不相交
2.已知a ，b ，c ，d 是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a ∥b ∥c ∥d ，a ⊂α，b ⊂α， c ⊂β，d ⊂β，则α与β的位置关系是（ ） A .平行
B .相交
C .平行或相交
D .以上都不对
3.已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，
过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且P A = 6，AC = 9，PD = 8，则BD 的长为（ ） A .16
B .24或
5
24
C .14
D .20
4.如图，在多面体ABC - DEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，EF ∥DG ， 且AB = DE ，DG = 2EF ，则（ ） A .BF ∥平面ACGD
B .CF ∥平面ABED
C .BC ∥FG
D .平面ABED ∥平面CGF
5.（多选）设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线， 下列各条件，可以判断α∥β的是（ ） A .l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥β，l ，m 交于一点 B .l ⊂α，m ⊂β，且l ∥β，m ∥α C .l ∥α，m ∥β，且l ∥m
D .l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β，且l ，m 互为异面直线
6.（多选）正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别是A 1B 1，B 1C 1，BB 1的中点，则（
）
A .FG ∥平面 AA 1D 1D
B .EF ∥平面B
C 1
D 1 C .FG ∥平面BC 1D 1
D .平面EFG ∥平面BC 1D 1
填空题
7.已知A ，B 两点是平面α外两点，则过A ，B 与α平行的平面有_________个。

8.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F ，G ，B 分别为P A ，PD ，PC ，PB 的中点. 在此几何体中，给出下面四个结论: ①平面EFGH ∥平面ABCD ； ②直线P A ∥平面BDG ； ③直线EF ∥平面PBC ； ④直线EF ∥平面BDG .
其中正确的序号是 _________
9.在棱长为a 的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是校A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是校AD 上一点，AP =
3
a
，若P ，M ，N 组成的平面与棱CD 交于点Q ，则PQ =_________ .
第8题
第10题
10.如图所示，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1C ，C 1B 1，C 1D 1的中点，点H 在四边形A 1ADD 1的边及其内部运动，则H 满足条件 _________ 时，有BH ∥平面MNP . 主观题
11.（15分）如图所示，在直四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是梯形，AB ∥CD ，CD = 2AB ， P ， Q 分别是CC 1，C 1D 1的中点，求证：平面AD 1C ∥平面BPQ .
12.（15分）如图所示，已知在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，∠BAC = 120°，AB = AC = AA 1 = 1，点D 为B 1C 1的中点，点E ，F ，G 分别在线段AB ，AC ，AD 上，且BE = CF = AG 。

（1）求证：EF ∥平面BCC 1B 1；
（2）是否存在满足题意的点E ，F ，G ，使得平面EFG ∥平面BCC 1B 1？若存在，说明理
由并求出此时线段EF 的长度；若不存在，说明原因.
平面与平面平行答案
1.D
2.C
3.B
4.A
5.AD
6.AC
7.0或1 8.①②③ 9.
a 3
2
2 10.在AD 1上 11.证明略
12.（1）证明略；（2）存在，EF =34152。