宾县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

宾县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
x ，则输出的所有x的值的和为（）
1．执行如图所示的程序，若输入的3
A．243B．363C．729D．1092
【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．
2．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）
3． 已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足111
22
n n n a a +=
+，则此数列的第4项是（ ） A ．1 B ．12 C. 34 D ．5
8
4． 如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，C 1D 1上的动点，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面ABB 1A 1的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（ ）
A ．5
B ．4
C ．4
D ．2
5． 若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6． 复数=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线为l：y=g（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），F（x）=f（x）﹣g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x0＜b，那么（）
A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点
B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点
C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）极值点
D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）极值点
8．已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∪B等于（）
A．{﹣1，0，1，2，4} B．{﹣1，0，2，4}
C．{0，2，4} D．{0，1，2，4}
9．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）
A．1 B．C．D．
10．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．4 B．8 C．12 D．20
【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 11．对于复数
,若集合具有性质“对任意,必有”,则当
时,等于 ( )
A1 B-1 C0 D
12．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ ）
A ．10米
B ．100米
C ．30米
D ．20米
二、填空题
13．命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是 ． 14．已知变量x ，y ，满足，则z=log 4（2x+y+4）的最大值为
．
15．过原点的直线l 与函数y=的图象交于B ，C 两点，A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点，则|
+
|= ．
16．若函数f （x ），g （x ）满足：∀x ∈（0，+∞），均有f （x ）＞x ，g （x ）＜x 成立，则称“f （x ）与g （x ）关于y=x 分离”．已知函数f （x ）=a x 与g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）关于y=x 分离，则a 的取值范围是 ．
17．已知集合M={x||x|≤2，x ∈R}，N={x ∈R|（x ﹣3）lnx 2=0}，那么M ∩N= ．
18．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是 ．
三、解答题
19．（本题满分15分）
设点P 是椭圆14
:2
21=+y x C 上任意一点，
过点P 作椭圆的切线，与椭圆)1(14:22222>=+t t y t x C 交于A ，B 两点．
PA=；
（1）求证：PB
∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
（2）OAB
【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上任意一点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l1，l2是椭圆的任意两条切线，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，已知几何体的底面ABCD 为正方形，AC ∩BD=N ，PD ⊥平面ABCD ， PD=AD=2EC ，EC ∥PD ．
（Ⅰ）求异面直线BD 与AE 所成角： （Ⅱ）求证：BE ∥平面PAD ；
（Ⅲ）判断平面PAD 与平面PAE 是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知椭圆C 的极坐标方程为2
2212
3cos 4sin ρθθ
=
+，点12,F F
为其左、右焦点，直线的参数方程为
22x t y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（为参数，t R ∈）. （1）求直线和曲线C 的普通方程；
（2）求点12,F F 到直线的距离之和.
23．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f（1）=1，且若∀a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，恒有＞
0，
（1）证明：函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数；
（2）解不等式；
（3）若对∀x∈[﹣1，1]及∀a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤m2﹣2am+1恒成立，求实数m的取值范围．
24．（本题满分12分）有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖”.其游戏规则是这样的：你可以在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注m元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，若你所押的点数
在3次掷骰子过程中出现1次，2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的
1倍，2倍，3倍的奖励.如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收. （1）求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；
（2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议.
宾县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】当3x =时，y 是整数；当2
3x =时，y 是整数；依次类推可知当3(*)n x n N =∈时，y 是整数，则
由31000n
x =≥，得7n ≥，所以输出的所有x 的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选D ．
2． 【答案】A
【解析】解：设g （x ）=，则g （x ）的导数为：
g ′（x ）=
，
∵当x ＞0时总有xf ′（x ）﹣f （x ）＜0成立， 即当x ＞0时，g ′（x ）＜0，
∴当x ＞0时，函数g （x ）为减函数，
又∵g （﹣x ）=
=
=
=g （x ），
∴函数g （x ）为定义域上的偶函数， ∴x ＜0时，函数g （x ）是增函数，
又∵g （﹣2）=
=0=g （2），
∴x ＞0时，由f （x ）＞0，得：g （x ）＜g （2），解得：0＜x ＜2， x ＜0时，由f （x ）＞0，得：g （x ）＞g （﹣2），解得：x ＜﹣2， ∴f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）． 故选：A ．
3． 【答案】B 【解析】
4． 【答案】 D
【解析】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴， 建立空间直角坐标系，
设AE=a ，D 1F=b ，0≤a ≤4，0≤b ≤4，P （x ，y ，4），0≤x ≤4，0≤y ≤4，
则F（0，b，4），E（4，a，0），=（﹣x，b﹣y，0），
∵点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，
∴当E、F分别是AB、C1D1上的中点，P为正方形A1B1C1D1时，
PE取最小值，
此时，P（2，2，4），E（4，2，0），
∴|PE|min==2．
故选：D．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．
5．【答案】C
【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n﹣1）＞20的最小n值，
∵P=1+3+…+（2n﹣1）=×n=n2＞20，∴n≥5，
故输出的n=5．
故选：C．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．
6．【答案】A
【解析】解：===，
故选A．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．
7．【答案】B
【解析】解：∵F（x）=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），
∴F'（x）=f'（x）﹣f′（x0）
∴F'（x0）=0，
又由a＜x0＜b，得出
当a＜x＜x0时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＜0，
当x0＜x＜b时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＞0，
∴x=x0是F（x）的极小值点
故选B．
【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即当函数取到极值时导函数一定等于0，反之当导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定是否有极值．
8．【答案】A
【解析】解：∵A={﹣1，0，1，2}，B={0，2，4}，
∴A∪B={﹣1，0，1，2}∪{0，2，4}={﹣1，0，1，2，4}．
故选：A．
【点评】本题考查并集及其运算，是基础的会考题型．
9．【答案】D
【解析】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得
=
当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，
当时，y′＞0，函数在上为单调增函数
所以当时，所设函数的最小值为
所求t的值为
故选D
【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．
10．【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为
123123
1
=⨯⨯，故选C. 11．【答案】B 【解析】由题意，可取，所以
12．【答案】C
【解析】解：如图，过炮台顶部A 作水平面的垂线，垂足为B ，设A 处观测小船C 的俯角为45°，
设A 处观测小船D 的俯角为30°，连接BC 、BD Rt △ABC 中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米
Rt △ABD 中，∠ADB=30°，可得BD=AB=30
米
在△BCD 中，BC=30米，BD=30米，∠CBD=30°，
由余弦定理可得：
CD 2=BC 2+BD 2﹣2BCBDcos30°=900 ∴CD=30米（负值舍去） 故选：C
【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题所以，命题“∀x ∈R ，x 2
﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是：
．
故答案为：．
14．【答案】
【解析】解：作的可行域如图：
易知可行域为一个三角形，
验证知在点A（1，2）时，
z1=2x+y+4取得最大值8，
∴z=log4（2x+y+4）最大是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
15．【答案】4．
【解析】解：由题意可得点B和点C关于原点对称，∴|+|=2||，
再根据A为抛物线x2=﹣8y的焦点，可得A（0，﹣2），
∴2||=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质，属于基础题，利用|+|=2||是解题的关键．
16．【答案】（，+∞）．
【解析】解：由题意，a＞1．
故问题等价于a x＞x（a＞1）在区间（0，+∞）上恒成立．
构造函数f（x）=a x﹣x，则f′（x）=a x lna﹣1，
由f′（x）=0，得x=log a（log a e），
x＞log a（log a e）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
0＜x＜log a（log a e），f′（x）＜0，f（x）递减．
则x=log a（log a e）时，函数f（x）取到最小值，
故有﹣log a（log a e）＞0，解得a＞．
故答案为：（，+∞）．
【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．17．【答案】{1，﹣1}．
【解析】解：合M={x||x|≤2，x∈R}={x|﹣2≤x≤2}，
N={x∈R|（x﹣3）lnx2=0}={3，﹣1，1}，
则M∩N={1，﹣1}，
故答案为：{1，﹣1}，
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
18．【答案】．
【解析】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），
∴设直线l方程为y=k（x﹣1），
由，消去x得．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．
∵|AF|=3|BF|，
∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入①得﹣2y2=，且﹣3y22=﹣4，
消去y
得k2=3，解之得k=±．
2
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．
三、解答题
19．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
∴点P 为线段AB 中点，PB PA =；…………7分
（2）若直线AB 斜率不存在，则2:±=x AB ，与椭圆2C 方程联立可得，)1,2(2--±t A ，)1,2(2-±t B ，
故122
-=∆t S OAB ，…………9分
若直线AB 斜率存在，由（1）可得
148221+-=+k km x x ，144422221+-=k t m x x ，1
41141222212
+-+=-+=k t k x x k AB ，…………11分
点O 到直线AB 的距离2
22
1141k
k k
m d ++=
+=，…………13分
∴122
1
2-=⋅=
∆t d AB S OAB ，综上，OAB ∆的面积为定值122-t ．…………15分 20．【答案】
【解析】解：（1）∵
椭圆
的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， P 是椭圆C
上任意一点，且椭圆的离心率为，
∴
=
，解得
，
∴椭圆C
的方程为
．…
（2）①当l 1，l 2的斜率存在时，设l 1：y=kx+m ，l 2：y=kx+n （m ≠n ）
，
△=0，m2=1+2k2，同理n2=1+2k2m2=n2，m=﹣n，
设存在，
又m2=1+2k2，则|k2（2﹣t2）+1|=1+k2，k2（1﹣t2）=0或k2（t2﹣3）=2（不恒成立，舍去）∴t2﹣1=0，t=±1，点B（±1，0），
②当l1，l2的斜率不存在时，
点B（±1，0）到l1，l2的距离之积为1．
综上，存在B（1，0）或（﹣1，0）．…
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）PD⊥平面ABCD，EC∥PD，
∴EC⊥平面ABCD，
又BD⊂平面ABCD，
∴EC⊥BD，
∵底面ABCD为正方形，AC∩BD=N，
∴AC⊥BD，
又∵AC∩EC=C，AC，EC⊂平面AEC，
∴BD⊥平面AEC，
∴BD⊥AE，
∴异面直线BD与AE所成角的为90°．
（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，
∴BC∥AD，
∵BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
∵EC∥PD，EC⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EC∥平面PAD，
∵EC∩BC=C，EC⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，∴
∴平面BCE∥平面PAD，
∵BE⊂平面BCE，
∴BE∥平面PAD．
（Ⅲ）假设平面PAD与平面PAE垂直，作PA中点F，连结DF，
∵PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥CD ，PD ⊥AD ， ∵PD=AD ，F 是PA 的中点， ∴DF ⊥PA ， ∴∠PDF=45°，
∵平面PAD ⊥平面PAE ，平面PAD ∩平面PAE=PA ，DF ⊂平面PAD ， ∴DF ⊥平面PAE ， ∴DF ⊥PE ，
∵PD ⊥CD ，且正方形ABCD 中，AD ⊥CD ，PD ∩AD=D ， ∴CD ⊥平面PAD ． 又DF ⊂平面PAD ， ∴DF ⊥CD ，
∵PD=2EC ，EC ∥PD ， ∴PE 与CD 相交， ∴DF ⊥平面PDCE ， ∴DF ⊥PD ，
这与∠PDF=45°矛盾，
∴假设不成立即平面PAD 与平面PAE 不垂直．
【点评】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生推理能力和空间思维能力．
22．【答案】（1）直线的普通方程为2y x =-，曲线C 的普通方程为22
143
x y +=；（2）． 【解析】
试题分析：（1）由公式cos sin x
y
ρθρθ=⎧⎨
=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，利用消参法可化参数方程为普通方程；
考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．23．【答案】
【解析】解：（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）
∵＞0，
即＞0，
∵x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0．
则f（x）是[﹣1，1]上的增函数；
（2）由于f（x）是[﹣1，1]上的增函数，
不等式即为
﹣1≤x+＜≤1，
解得﹣≤x＜﹣1，
即解集为[﹣，﹣1）；
（3）要使f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，
只须f（x）max≤m2﹣2am+1，即1≤m2﹣2am+1对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，
亦即m2﹣2am≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=﹣2ma+m2，
只须，
解得m≤﹣2或m≥2或m=0，即为所求．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查了独立重复试验中概率的求法，对立事件的基本性质；对化归能力及对实际问题的抽象能力要求较高，属于中档难度.。