D1_4无穷小无穷大
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x → x0
∴ ∀M > 0, ∃δ > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ时 1 , 恒பைடு நூலகம் f ( x ) < M
1 由于 f ( x ) ≠ 0, 从而 > M. f ( x) 1 ∴ 当x → x 0时, 为无穷大 . f ( x)
内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
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时,
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x→x0
lim f (x) = A
证: lim f (x) = A
x→x0
f (x) = A + α , 其中α 为 x → x0
时的无穷小量 .
∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 < x − x0 < δ 时,有 f (x) − A < ε
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证
设 lim f ( x ) = ∞ .
x → x0
∴ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ时 1 1 恒有 f ( x ) > , 即 < ε. ε f ( x) 1 ∴ 当x → x 0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) = 0, 且 f ( x ) ≠ 0.
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结束
注:
1.无穷小是变量，它反映变量趋于零的一种变化 状态,即使绝对值很小的常数（零除外）也不是 无穷小,因为这些常数的极限不是零。 2. 说f(x)为无穷小，必须指明自变量的变化趋向。
定义1. 定义 若 则称函数 为
(或
x →∞) 时 , 函数
(或
则
x →∞) 时的无穷小 . 无穷小
说明: 说明 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 C 当 C 显然 C 只能是 0 !
α = f (x) − A
x→x0
lim α = 0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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二、 无穷大
定义2 定义 . 若任给 M > 0 , 总存在 任给 一切满足不等式 (正数 X ) , 使对 正数 ① 则称函数 当
( x > X ) 的 x , 总有
( x →∞) 时为无穷大, 记作
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渐近线
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三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 定理 在自变量的同一变化过程中, 若 若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f (x) 1 为无穷大. . 为无穷小, 且 f (x) ≠ 0, 则 f (x) (x (自证)
说明: 说明 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
( lim f (x) = ∞ )
x→∞
若在定义中将 ①式改为 则记作
x→x0 ( x→∞ )
( f (x) < −M ),
( lim f (x) = −∞)
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注意: (1). 无穷大(∞)不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
（2）切勿将 lim f ( x ) = ∞认为极限存在 .
第四节 无穷小与无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系
第一章
机动
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一、 无穷小
定义1 定义 . 若 为
(或x →∞)
时 , 函数
则称函数
(或x →∞)
例如 :
时的无穷小 . 无穷小
函数 函数 当 函数
当
时为无穷小; 时为无穷小; 当 时为无穷小.
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x → x0
(3). 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 例如 当 但 所以 时, 不是无穷大 !
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结束
例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 的一切 x , 有
1 只要取 δ = , 则对满足 M
所以 说明: 说明 若 为曲线 则直线 x =x0 的铅直渐近线 .
Th1 Th2
思考与练习 P42 题1 , 3
P42 题3 提示:
作业 P42 2 ; 7
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∴ ∀M > 0, ∃δ > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ时 1 , 恒பைடு நூலகம் f ( x ) < M
1 由于 f ( x ) ≠ 0, 从而 > M. f ( x) 1 ∴ 当x → x 0时, 为无穷大 . f ( x)
内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
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时,
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x→x0
lim f (x) = A
证: lim f (x) = A
x→x0
f (x) = A + α , 其中α 为 x → x0
时的无穷小量 .
∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 < x − x0 < δ 时,有 f (x) − A < ε
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设 lim f ( x ) = ∞ .
x → x0
∴ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ时 1 1 恒有 f ( x ) > , 即 < ε. ε f ( x) 1 ∴ 当x → x 0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) = 0, 且 f ( x ) ≠ 0.
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注:
1.无穷小是变量，它反映变量趋于零的一种变化 状态,即使绝对值很小的常数（零除外）也不是 无穷小,因为这些常数的极限不是零。 2. 说f(x)为无穷小，必须指明自变量的变化趋向。
定义1. 定义 若 则称函数 为
(或
x →∞) 时 , 函数
(或
则
x →∞) 时的无穷小 . 无穷小
说明: 说明 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 C 当 C 显然 C 只能是 0 !
α = f (x) − A
x→x0
lim α = 0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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二、 无穷大
定义2 定义 . 若任给 M > 0 , 总存在 任给 一切满足不等式 (正数 X ) , 使对 正数 ① 则称函数 当
( x > X ) 的 x , 总有
( x →∞) 时为无穷大, 记作
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三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 定理 在自变量的同一变化过程中, 若 若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f (x) 1 为无穷大. . 为无穷小, 且 f (x) ≠ 0, 则 f (x) (x (自证)
说明: 说明 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
( lim f (x) = ∞ )
x→∞
若在定义中将 ①式改为 则记作
x→x0 ( x→∞ )
( f (x) < −M ),
( lim f (x) = −∞)
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注意: (1). 无穷大(∞)不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
（2）切勿将 lim f ( x ) = ∞认为极限存在 .
第四节 无穷小与无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系
第一章
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一、 无穷小
定义1 定义 . 若 为
(或x →∞)
时 , 函数
则称函数
(或x →∞)
例如 :
时的无穷小 . 无穷小
函数 函数 当 函数
当
时为无穷小; 时为无穷小; 当 时为无穷小.
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(3). 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 例如 当 但 所以 时, 不是无穷大 !
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例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 的一切 x , 有
1 只要取 δ = , 则对满足 M
所以 说明: 说明 若 为曲线 则直线 x =x0 的铅直渐近线 .
Th1 Th2
思考与练习 P42 题1 , 3
P42 题3 提示:
作业 P42 2 ; 7
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