高等代数与解析几何上期末试卷

《高等代数与解析几何》期末试卷B
一、填空题（每空3分，共18分）
1.已知,3,,1π
>=<==→→→→b a b a 则=+→
→b a 23_______． 2.21,,,γγβα皆为3维列向量，),5,(),3,3,(2121γγβγγ=∂=B A ，且5,18==B A ，则=-B A _______．
3.已知向量组)5,0,2(),1,2,1(),3,2,1(321=∂--=∂=∂，则321,,∂∂∂线性_______．
4.过点)1,1,1(M ，且与两平面0134:1=-+-∏z y x 和05:2=-+∏z y x 都垂直的平面的方程为_______．
5.{}m i r K r i K a a a W ⊆+=∈=+1,...,1,)0,...,0,,...,(11，则=W dim _______．
6.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=k k k k A 111111111111，且矩阵A 的秩3)(=A r ，则=k _______．
二、计算题（共6题，共56分）
1.（10分）设),3,2(),2,1,3(),3,2,1(321t =∂-=∂=∂
（1）当t 为何值时，321,,∂∂∂线性无关。

（2）当t 为何值时，321,,∂∂∂线性相关，并将3∂表示成21,∂∂的线性组合。

2.（10分）计算行列式
x
a x a x a a D n n n 0...001...0000...100 (0112)
1
-----=
3.（8分）求通过点)0,2,1(-M ，与直线0
22131:
-=-=+z y x L 相交且与平面 042:=++-∏z y x 平行的直线的方程。

4.（10分）求过直线⎩⎨⎧=-+-=-+-0
220332:z y x z y x L 且与平面0422:=-+-∏z y x 垂直的平面的方程。

5.（8分）求下列向量组的秩以及它的一个极大无关组：
.)4,5,3,4,1(,)3,1,1,1,2(,)7,8,29,7,0(,)4,5,15,4,1(4321--=∂--=∂-=∂--=∂
6.（10分）当λ为何值时，下列线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？并在有解时求出其解。

⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++22
332
1321321x x x x x x x x x λλλλ
三、证明题（共3题，共26分）
1.（8分）设→→→c b a ,,为两两不共线的向量，证明：0=++→→→c b a 当且仅当
→
→→→→→⨯=⨯=⨯a c c b b a 。

2.（8分）设032:1=++c by ax l ，032:2=++a cy bx l ，032:3=++b ay cx l ，则这三条直线交于一点的充要条件为0=++c b a 。

3.（10分）证明：向量组m ∂∂∂,...,,21线性无关的充分与必要条件是向量组1∂，21∂+∂，...，m ∂++∂+∂...21线性无关。

四、附加题（共1题，共10分）
1.过同一平面上四点D C B A ,,,向另一平面作垂线，垂足为'
''',,,D C B A ，试证四面体BCD A '与四面体'''D C AB 的体积相等。