上海控江中学数学高二下期末测试题(专题培优)

一、选择题
1．如图，,,,A B C D 是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（ ）
A ．A
B CD B
C DA +=+ B ．AC B
D BC AD +=+ C ．AC DB DC BA +=+ D ．AB DA AC DB +=+
2．函数f (x )＝3sin(2x －6π
)在区间[0，2
π]上的值域为( ) A ．[32-，3
2
] B ．[3
2
-，3] C ．[3333
D ．[33
3] 3．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(A 、ω、ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当
2
3
x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A ．()()()220f f f -<<
B ．()()()220f f f <-<
C ．()()()202f f f -<<
D ．()()()022f f f <-<
4．已知关于x 的方程20ax bx c ++=，其中,,a b c 都是非零向量，且,a b 不共线，则该方程的解的情况是（ ） A ．至少有一个解 B ．至多有一个解 C ．至多有两个解
D ．可能有无数个解
5．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足BM 2MA =，则CM CA ⋅=( ) A ．
32
B ．3
C ．6
D ．
152
6．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ） A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
7．ABC ∆中，M 是AC 边上的点，2AM MC =，N 是边的中点，设1AB e =，
2AC e =，则MN 可以用1e ，2e 表示为（ ）
A ．
121126
e e - B ．1211
26
e e -
+ C ．
121126
e e + D ．
1217
26
e e + 8．已知函数()()π2cos 332
f x x ϕϕ⎛
⎫=++≤ ⎪⎝
⎭，若ππ,612x ⎛⎫
∀∈- ⎪⎝⎭
，()f x 的图象恒在
直线3y =的上方，则ϕ的取值范围是( ) A ．ππ,122⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．ππ,63
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．π0,4
⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
D ．ππ,63⎛⎫
-
⎪⎝⎭
9．已知函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭的周期为π，则下列选项正确的是 A ．函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝
⎭
对称
B ．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称 C ．函数()f x 的图象关于直线π
3
x =
对称 D ．函数()f x 的图象关于直线π
12
x =-
对称 10．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若
3,4
4ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，且3sin 45
πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
，则0x 的值为( )
A ．
310
B ．
210
C ．210
-
D ．310
-
11．已知2tan θ＝ ，则222sin sin cos cos θθθθ＋－ 等于( ) A ．－
43
B ．－
65
C ．
45
D ．
95
12．已知函数()()sin 0,0,,2f x A x A x R π
ωϕωϕ⎛⎫
=+>><
∈ ⎪⎝
⎭
在一个周期内的图象如图所示.则()y f x =的图象，可由函数cos y x =的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（ ）
A ．先把各点的横坐标缩短到原来的
12
倍，再向左平移6π
个单位
B ．先把各点的横坐标缩短到原来的
12
倍，再向右平移12π
个单位
C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6
π
个单位 D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12
π
个单位
13．已知()()f x sin x ωθ=+（其中()()12120,0,,''0,2f x f x x x πωθ⎛⎫
>∈==- ⎪⎝
⎭
，的最小值为
(),23f x f x π
π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，将()f x 的图象向左平移6π
个单位得()g x ，则()g x 的
单调递减区间是（ ） A ．(),2k k k Z πππ⎡
⎤
+∈⎢⎥⎣
⎦
B ．()2,63k k k ππ⎡
⎤
π+π+∈⎢⎥⎣⎦
Z C ．()5,3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
D ．()7,12
12k k k Z π
πππ⎡⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
14．如图，在ABC ∆中，23AD AC =
，1
3
BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则=λμ( )
A ．3-
B ．3
C ．2
D ．2-
15．已知tan 3a =，则2
1
cos sin 22
a a +=（） A ．25
-
B ．3
C ．3-
D ．
25
二、填空题
16．若34
π
αβ+=
，则()()1tan 1tan αβ--=_____________． 17．已知sin76m ︒=，则cos7︒=________.（用含m 的式子表示）
18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1a =，3
B π
=，当ABC ∆的面积等
3tan C =__________．
19．已知向量a ，b 满足1a =，且()
2a a b b -==，则向量a 与b 的夹角是__________．
20．已知两个单位向量a 、b 的夹角为60，(1)c ta t b =+-，若b c ⊥，则实数t ＝__________.
21．已知3(
,),sin 2
5π
απα∈=
，则tan()4
π
α-=___________ . 22．已知已知sin π3
(
)25
α+=，α∈π(0,)2，则sin(π＋α)等于__________
23．已知向量a b ，均为单位向量，a 与b 夹角为
3
π
，则|2|a b -=__________． 24．已知向量()()1
21a b m =-=，，，，若向量a b +与a 垂直，则m =______． 25．已知1tan 2α=，则2(sin cos )cos 2ααα
+=____________ .
三、解答题
26．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
2cos (cos cos )C a B b A c +=.
（1）求C ；
（2）若c =，ABC 的面积为ABC 的周长.
27．在已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02
A π
ωϕ>><<）的图象与x
轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
. (1)求()f x 的解析式；
(2)当,122x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域． 28．已知函数()2sin()1(0)6
f x x π
ωω=-
->的周期是π.
（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在[0,
]2
π
上的最值及其对应的x 的值.
29．已知函数() 22.3f x x sinxcosx π⎛
⎫
-⎪⎝
⎭
=- （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间. 30．已知
32
4π
π
βα<<<
，()12cos 13αβ-=，()3sin 5
αβ+=-求sin2α的值.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
2．B
3．B
4．B
5．D
6．D
7．A
8．C
9．B
10．C
11．D
12．B
13．A
14．B
15．D
二、填空题
16．2【解析】试题分析：即所以答案应填：考点：和差角公式
17．【解析】【分析】通过寻找与特殊角的关系利用诱导公式及二倍角公式变形即可【详解】因为即所以所以所以又【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用意在考查学生分析解决问题的能力
18．【解析】由题意即则所以由余弦定理所以所以应填答案点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边进而运用余弦定理求出边然后再运用余弦定理求出进而求出最
后求出
19．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小
20．【解析】由题意得即解得t=2；故答案为2
21．【解析】∵∴∴∴故答案为
22．【解析】由题意得
23．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为
24．【解析】利用平面向量的加法公式可得：由平面向量垂直的充要条件可得：解方程可得：
25．3【解析】【分析】由题意首先展开三角函数式然后结合同角三角函数基本关系转化为的式子最后求解三角函数式的值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查三角函数式的化简求值问题三角函数齐次式的计算同角三
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证． 【详解】
DC BC BD =-，DC AC AD =-，
∴AC AD BC BD -=-，
∴AC BD BC AD +=+．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的加减法及其几何意义，属于容易题．
2．B
解析：B 【解析】 【详解】 分析：由0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求出26x π-的取值范围，从而求出26sin x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，从而可得()f x 的值域.
详解：
[]0,,20,2x x ππ⎡⎤
∈∴∈⎢⎥⎣⎦
， 52,666x π
ππ⎡⎤∴-
∈-⎢⎥⎣⎦
， 12,162sin x π⎛
⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
()332,362f x sin x π⎛
⎫⎡⎤∴=-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
即()f x 在区间0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,32⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，故选B. 点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.
3．B
解析：B 【解析】
依题意得，函数f （x ）的周期为π，
∵ω＞0，∴ω=2π
π
=2．
又∵当x=
2
3
π 时，函数f （x ）取得最小值， ∴2×2
3
π +φ=2kπ+
32π ，k ∈Z ，可解得：φ=2kπ+6
π
，k ∈Z ， ∴f （x ）=Asin （2x+2kπ+6π）=Asin （2x+6
π
）． ∴f （﹣2）=Asin （﹣4+6π）=Asin （6
π
﹣4+2π）＞0． f （2）=Asin （4+6
π
）＜0， f （0）=Asin 6π
=Asin 56
π＞0， 又∵
32π＞6π
﹣4+2π＞56π＞2π，而f （x ）=Asinx 在区间（2
π，32π）是单调递减的，∴f （2）＜f （﹣2）＜f （0）． 故选：B ．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据平面向量基本定理可知(),c a b R λμλμ=+∈，从而将方程整理为
()()2
0x a x b λμ+++=，由,a b 不共线可得20
0x x λμ⎧+=⎨+=⎩
，从而可知方程组至多有一个
解，从而得到结果. 【详解】
由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈
则方程20ax bx c ++=可变为：20ax bx a b λμ+++= 即：(
)()2
0x
a x
b λμ+++=
,a b 不共线 20
0x x λμ⎧+=∴⎨+=⎩
可知方程组可能无解，也可能有一个解
∴方程20ax bx c ++=至多有一个解
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为
零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
结合题意线性表示向量CM ，然后计算出结果 【详解】 依题意得：
121211215
)333333333232
CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．
【点睛】
本题考查了向量之间的线性表示，然后求向量点乘的结果，较为简单
6．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
()()4,22,422258c m m a c m m m =++⋅=+++=+,
()()44222820b c m m m ⋅=+++=+,
5,2025a b ===,
c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角 ,
c a c b
c a c b ⋅⋅=⋅⋅,=,解得2m =, 故选D. 【考点定位】
向量的夹角及向量的坐标运算.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用向量的线性运算求解即可. 【详解】
由题, ()
12111111
322626
MN MC CN AC AB AC AB AC e e =+=
+-=-=-.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题型.
8．C
解析：C 【解析】
分析：根据函数()f x 的解析式，利用x 的取值范围，结合题意求出ϕ的取值范围．
详解：函数函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，ππ,612x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，
324
x π
π
ϕϕϕ+∈-
++（，），
又()f x 的图象恒在直线3y =的上方，
222333304
2cos x cos x π
πϕϕϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪∴++∴+∴⎨⎪+≤⎪⎩（）＞，（）＞，， 解得04
π
ϕ≤≤
；
∴ϕ的取值范围是π0,4
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
．
故选C ．
点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫
=+> ⎪⎝
⎭
的周期为π，求解ω可得解析式，对各选项逐一考察即可． 【详解】
函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫
=+> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，则 即22T π
πωω=
∴=＝， ，则()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
由对称轴方程：26
2
x k k Z π
π
π+=
+∈，（）
得：126
x k π
π=
+，（k∈Z） 经考查C ，D 选项不对．
由对称中心的横坐标：26
x k k Z π
π+=∈，（），
得：1212
x k k Z π
π=
-∈，（） 当k=0时，可得图象的对称中心坐标为,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
故选B ． 【点睛】
本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，求出解析式是解决本题的关键．属于中档题．
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可． 【详解】
3,44ππα⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭
， ,42π
παπ⎛⎫∴+
∈ ⎪⎝⎭
， 3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos 45πα⎛
⎫∴+=- ⎪⎝
⎭，
则0cos cos cos cos sin sin 444444x ππππππαααα⎡⎤
⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫==+
-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
4355=-=， 故选C ． 【点睛】
本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．
11．D
解析：D 【解析】 ∵tanθ＝2，
∴原式＝22222sin sin cos cos sin cos θθθθθθ＋－＋＝22211
tan tan tan θθθ+－＋＝82141＋－＋＝9
5.
本题选择D 选项.
点睛：关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据图象可知1A =，根据周期为π知=2ω，过点(
,1)12
π
求得3
π
ϕ=
，函数解析式
()sin(2)3f x x π
=+，比较解析式cos sin()2y x x π
==+，根据图像变换规律即可求解.
【详解】
由()()sin 0,0,,2f x A x A x R π
ωϕωϕ⎛
⎫
=+>><
∈ ⎪⎝
⎭
在一个周期内的图象可得1A =,11244126T πππω=⋅
=+，解得=2ω，图象过点(,1)12
π
，代入解析式得1sin(2)12π
ϕ=⨯+，
因为2
πϕ<，所以3π
ϕ=，故()sin(2)3f x x π=+，
因为cos sin()2y x x π==+，将函数图象上点的横坐标变为原来的1
2
得
sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，再向右平移12π
个单位得sin[2()]sin(2)()
1223y x x f x πππ=-+=+=的图象，故选B. 【点睛】
本题主要考查了由sin()y A x ωϕ=+部分图像求解析式，图象变换规律，属于中档题.
13．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得f （x ）的解析式，利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律求得G （x ）的解析式，利用余弦函数的单调性求得则G （x ） 的
单调递减区间． 【详解】
∵f （x ）＝sin （ωx +θ），其中ω＞0，θ∈（0，2
π
），f '（x 1）＝f '（x 2）＝0，|x 2﹣x 1|min 2
π
=，
∴
12•T 2ππω==， ∴ω＝2，
∴f （x ）＝sin （2x +θ）． 又f （x ）＝f （
3
π
-x ）， ∴f （x ）的图象的对称轴为x 6
π
=，
∴2•
6π+θ＝k π2π+，k ∈Z ，又02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，， ∴θ6
π
=
，f （x ）＝sin （2x 6
π
+
）． 将f （x ）的图象向左平移
6π个单位得G （x ）＝sin （2x 36
ππ
++）＝cos2x 的图象， 令2k π≤2x ≤2k π+π，求得k π≤x ≤k π2
π
+，则G （x ）＝cos2x 的单调递减区间是[k π，
k π2π+]，
故选A ． 【点睛】
本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．
14．B
解析：B 【解析】 ∵21,33AD AC BP BD =
∴=121
()393
AD AB AC AB -=- ∴22
39
AP AB BP AB AC =+=
+ 又AP AB AC λμ=+，∴22,,339λ
λμμ
=== 故选B.
15．D
【解析】 【分析】
根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，可得22
2
221cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a
++=+=+
221tan 132
1tan 135a a ++=
==++，故选D ．
【点睛】 本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
二、填空题
16．2【解析】试题分析：即所以答案应填：考点：和差角公式 解析：2 【解析】
试题分析：34
π
αβ+=
，tan()1αβ∴+=-，tan tan 11tan tan αβαβ+∴
=--，即tan tan (1tan tan )αβαβ+=--，
()()1tan 1tan 1(tan tan )tan tan αβαβαβ∴--=-++
1(1tan tan )tan tan 2αβαβ=+-+=.所以答案应填：2．
考点：和差角公式．
17．【解析】【分析】通过寻找与特殊角的关系利用诱导公式及二倍角公式变形即可【详解】因为即所以所以所以又【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用意在考查学生分析解决问题的能力
【解析】 【分析】
通过寻找76︒，7︒与特殊角90︒的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可． 【详解】
因为sin76m ︒=，即()sin 9014m ︒-︒=，所以cos14m ︒=， 所以22cos 71m ︒-=，所以2
1cos141cos 722
m
+︒+︒==，
又cos 7ο=
=
本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力．
18．【解析】由题意即则所以由余弦定理所以所以应填答案点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边进而运用余弦定理求出边然后再运用余弦定理求出进而求出最后求出
解析：-
【解析】
由题意
1sin 23ac π=4c =⇒=，则b ==，
所以由余弦定理cos
C =
=sin C ==
tan (C =
=-- 点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边4c =，进而运用余弦定理求出
边b ==，然后再运用余弦定理求出
cos
C =
=，进而求出sin C ==
tan (
C =
=- 19．【解析】【分析】先根据条件得再根据向量夹角公式求结果【详解】因为且所以因此【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法从图形判断角的大小 解析：120︒
【解析】 【分析】
先根据条件得a b ⋅，再根据向量夹角公式求结果. 【详解】
因为1a =，且()
2a a b ⋅-=，所以2
-2,121,a a b a b ⋅=∴⋅=-=- 因此112π
cos ,,1223
a b a b a b a b
⋅-==
=-∴=⨯⋅. 【点睛】
求平面向量夹角方法：一是夹角公式cos a b a b
θ⋅=
⋅；二是坐标公式
cos θ=
；三是几何方法，从图形判断角的大小.
20．【解析】由题意得即解得t=2；故答案为2 解析：
12
【解析】
由题意得,1cos602
a b a b ⋅=⨯⨯=
， 0b c ⋅=,即()()()2
11
1111022
b ta t b ta b t b t t t ⎡⎤⋅+-=⋅+-=
+-=-=⎣⎦， 解得t =2； 故答案为2.
21．【解析】∵∴∴∴故答案为 解析：7-
【解析】 ∵3,,sin 25παπα⎛⎫
∈=
⎪⎝⎭
∴4
cos 5α=- ∴3tan 4
α=- ∴tan 1tan 741tan πααα
-⎛⎫
-
==- ⎪
+⎝
⎭ 故答案为7-
22．【解析】由题意得
解析：4-5
【解析】 由题意得3π44cos ,(0,)sin ,sin(π)sin 5255
ααααα=
∈∴=+=-=- 23．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为
【解析】 【分析】 【详解】
由已知得到向量a ，b 的数量积为1
cos 3
2
a b π
⋅==
，所以
22
2|2|444213a b a a b b -=-⋅+=-+=，所以23a b -
=，故答案为.
24．【解析】利用平面向量的加法公式可得：由平面向量垂直的充要条件可得：解方程可得： 解析：7
【解析】
利用平面向量的加法公式可得：()1,3a b m +=-+，
由平面向量垂直的充要条件可得：()
()()()1,31,2160a b a m m +⋅=-+⋅-=--++=， 解方程可得：7m =.
25．3【解析】【分析】由题意首先展开三角函数式然后结合同角三角函数基本关系转化为的式子最后求解三角函数式的值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查三角函数式的化简求值问题三角函数齐次式的计算同角三
解析：3 【解析】 【分析】
由题意首先展开三角函数式，然后结合同角三角函数基本关系转化为tan α的式子，最后求解三角函数式的值即可. 【详解】
由题意可得：22222
(sin cos )sin 2sin cos cos cos 2cos sin αααααα
ααα
+++=- 2
2tan 2tan 11tan ααα++=-1
11
4
114
++=-
3=. 【点睛】
本题主要考查三角函数式的化简求值问题，三角函数齐次式的计算，同角三角函数基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题 26． （1）3
C π
=（
2）7+
【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理，将2cos (cos cos )C a B b A c +=，转化为
2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，再利用两角和与差的三角的三角函数得到
sin (2cos 1)0C C -=求解.
（2）根据ABC 的面积为1sin 2
ab C =12ab =，再利用余弦定理
得()2
3a b ab =+-，求得+a b 即可. 【详解】
（1）因为2cos (cos cos )C a B b A c +=， 所以2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， 所以()2cos sin sin C A B C +=， 所以sin (2cos 1)0C C -=， 所以1cos 2
C =
， 又因为()0,C π∈， 所以3
C π
=
.
（2）因为ABC 的面积为
所以
1
sin 2
ab C = 所以12ab =.
由余弦定理得：
若2222cos c a b ab C =+-，
()2
3a b ab =+- 所以7a b +=
所以ABC 的周长7【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
27．
（1）()2sin(2)6
f x x π=+ （2）[-1，2] 【解析】
试题分析：根据正弦型函数图象特点，先分析出函数的振幅和周期，最低点为
2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得2A =,周期T π=，则2==2T πω，又函数图象过2,23M π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，代入得42sin 23πϕ⎛⎫
+=-
⎪⎝⎭
，故1126k k Z πϕπ=-+∈，，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而确定
6
π
ϕ=
，得到()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，再求其单调增区间．
(2)分析72,636x π
ππ⎡⎤
+
∈⎢⎥⎣⎦
，结合正弦函数图象，可知当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2；当7266x π
π+=
,即2
x π
=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]
1,2-．
试题解析：（1）依题意,由最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭
,得2A =,又周期T π=,∴2ω=． 由点2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在图象上,得42sin 23πϕ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
, ∴
4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈,1126k k Z πϕπ∴=-+∈，． ∵0,2πϕ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，∴6
π
ϕ=
,∴()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
． 由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
,k Z ∈，得3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈，．
∴函数()f x 的单调增区间是(),3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
．
(2)
,122x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．
当26
2
x π
π
+=
,即6
x π
=
时,()f x 取得最大值2；
当726
6x π
π+
=
,即2
x π
=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-． 点睛：本题考查了三角函数的图象和性质，重点对求函数解析式，单调性，最值进行考查，属于中档题．解决正弦型函数解析式的问题，一定要熟练掌握求函数周期，半周期的方法及特殊值的应用，特别是求函数的初相时，要注意特殊点的应用及初相的条件，求函数值域要结合正弦函数图象，不要只求两个端点的函数值．
28．
（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x π=时，
()max 1f x =.
【解析】 【分析】
（1）先由周期为π求出2ω=,再根据2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-+≤-
≤
+,k Z ∈进行求解即
可；
（2）先求出526
6
6x π
π
π-≤-
≤
,可得12sin 226x π⎛
⎫-≤-≤ ⎪⎝
⎭,进而求解即可
【详解】
（1）解：∵2T π
πω
=
=,∴2ω=,
又∵0>ω,∴2ω=,∴()2sin 216f x x π⎛
⎫
=-- ⎪⎝
⎭
, ∵2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-+≤-≤
+,k Z ∈,
∴222233
k x k π
π
ππ-+≤≤+,k Z ∈, ∴6
3
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+,k Z ∈,
∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z π
π
ππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
（2）解：∵02
x π
≤≤,∴02x ≤≤π,∴526
6
6
x π
π
π
-
≤-
≤
, ∴1sin 2126x π⎛
⎫-
≤-≤ ⎪⎝
⎭, ∴12sin 226x π⎛
⎫
-≤-≤ ⎪⎝
⎭, ∴22sin 2116x π⎛⎫
-≤-
-≤ ⎪⎝
⎭
, 当0x =时,()min 2f x =-,
当226x ππ-
=,即3
x π
=时,()max 1f x = 【点睛】
本题考查求正弦型函数的单调区间,考查正弦型函数的最值问题,属于基础题
29．
（1）π；（2）()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
. 【解析】 【分析】
（1）利用两角差公式、倍角公式和辅助角公式，把()f x 化为()sin 23f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，从而求出最小正周期.
（2）令222,232k x k k Z πππππ-
≤+≤+∈，求出x 的范围，即得()f x 的单调递增区
间.
【详解】
（1）() 223f x x sinxcosx π⎛
⎫ ⎪⎝-⎭
=-
1
cos 2cos sin 2sin sin 2cos 22sin 2332x x x x x x ππ⎫⎫=+-=+-⎪⎪⎪⎭⎭
12sin 2sin 2223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭. ()f x ∴的最小正周期为π.
（2）由（1）知()sin 23f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭. 令222,232k x k k Z ππ
π
ππ-≤+≤+∈，得51212k x k ππππ-
≤≤+， ()f x ∴的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦. 【点睛】
本题考查三角函数的性质和三角恒等变换，属于基础题.
30． －5665
. 【解析】
试题分析：
由题意结合同角三角函数关系可得sin (α－β)＝
513.cos (α＋β)＝－45，然后利用两角和差正余弦公式有：sin 2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]=5665－
. 试题解析： 因为2π＜β＜α＜34π，所以π＜α＋β＜32π，0＜α－β＜4
π.
所以sin (α－β)＝513.
cos (α＋β)
45，
则sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]
＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)
＝
3
5
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
×
12
13
＋
4
5
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
×
5
13
＝
56
65
－.
点睛：给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．。