静态场分析

第4章 静态场分析
2. 叠加定理
若 和1 分2 别满足拉普拉斯方程，则 和1 的线2 性组合
a1 b2 必然满足拉普拉斯方程。
证明： 2 2 (a1 b2 ) 2 (a 1) 2 (b2 ) a21 b22
已知 和1 满足2 拉普拉斯方程
静态场分析静态场的工程应用一静态场特性二泊松方程和拉普拉斯方程三静态场的重要原理和定理四镜像法五分离变量法六复变函数法静态场分析静态场的工程应用均匀电场中带电粒子的轨迹阴极射线示波器原理静态场分析喷墨打印机工作原理选矿器硫酸盐矿石英含石英硫酸盐矿静态场分析磁分离器回旋加速器静态场分析磁悬浮列车静态场分析磁录音原理
1 r2
2 2

2
z 2
球坐标系
2

1 R2
R
(R2
)
R
1
R2 sin


(sin
)
1
R2 sin2
2 2
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
三、静态场的重要原理和定理
1. 对偶原理
(1)概念：如果描述两 种物理现象的方程 具有相同的数学形 式，并具有对应的 边界条件，那么它 们解的数学形式也 将是相同的，这就 是对偶原理，亦称 为二重性原理。具 有同样数学形式的 两个方程称为对偶 方程，在对偶方程 中，处于同等地位 的量称为对偶量。
解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程， 采用圆柱坐标系
1 (r ) 0 积分 Aln r B
r r r
R2 R1
由边界条件 U A ln R1 B 0 Aln R2 B
A

U ln R1
R2
B


U ln R1
ln
R2
待求场域：上半空间 边界： 无限大导体平面 边界条件： 0
q
导体平面
在空间的电位为点电荷q 和镜像 电荷 -q 所产生的电位叠加，即


q
4π 0

1 r1

1 r2

导体平面边界上：
r1 r2
0
电位满足边界条件
z
r1
p
q
导体平面 d o
d q
r2 x
电磁场与电磁波
Jc E
E 0 J 0
——导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征， 是保守场
E Jc E 0
() 0
2 0 ——拉普拉斯方程
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
3. 恒定磁场的矢量泊松方程 恒定磁场基本方程
H dl l
(5)应用 • 电偶极子和磁偶极子辐射的对偶关系， • 某些波导中横电波(TE波)和横磁波(TM波)间的对偶关系
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
例1: 已知无限长同轴电缆内、外半径分别为R1 和R2 ，如图所 示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为U ， 外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。
第4章 静态场分析
电位：


q
4π 0
x2

y2
1 (z

d )2
1/ 2


x2

y2
1 (z

d
)2
1/ 2

上半空间的电场强度： E
Ex

q 4π0
x2

y2

x (z

d )2
3 / 2

x 2
——静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。
E D E V
() V 2 V ——泊松方程
无源区域
0
2 0 ——拉普拉斯方程
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
2. 恒定电场的拉普拉斯方程 恒定电场基本方程
l E dl 0 S Jc dS 0
21 22 0
所以： 2 0
利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为较简单问 题的组合，便于求解。
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
3. 惟一性定理
边值问题的分类 狄利克雷问题：给定整个场域边界上的位函数值
f (s)
聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 f (s)
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
应注意的问题：
① 镜像电荷位于待求场域边界之外。
② 将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀 空间中媒质特性与待求场域中一致。
③ 实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原 边界处的边界条件不变。
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
一、静态场特性
1. 静态场基本概念
– 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。
D 0, B 0, V 0
t
t
t
– 静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁
场的特例。
– 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的 电场。
第4章 静态场分析
镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于 待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上 感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变， 则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有 等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜 像电荷，这种求解方法称为镜像法。
理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。
(2)静电场与恒定电场 • 对偶方程 • 对偶量
静电场(无源区域) 恒定电场(电源外区域)
E 0
E
D 0
D E
2 0
q S D dS
E 0
E
Jc 0
J E
2 0
I S Jc dS
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
(3)静电场与恒定磁场 • 对偶方程 • 对偶量
静电场(无源区域)
E 0 D 0 D E
q S D dS
2 0
恒定磁场(无源区域)
H 0
B 0
B H
qm
B dS
S
2m 0
(4)有源情况下的对偶关系 • 对偶关系存在 • 不像上述两种情况那样一目了然
3. 点电荷对无限大介质平面的镜像
p
R
R
q
q
q
dd
1
2
1
2
设想用镜像电 荷代替界面上 极化电荷的作 用，并使镜像 电荷和点电荷 共同作用，满 足界面上的边 界条件。
当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′ 介质1中任一点的电位和电位移矢量分别为：
1

q
4π1R

q
H Jc E 0
D V
B 0 Jc 0
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
二、泊松方程和拉普拉斯方程
1. 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 静电场基本方程
l E dl 0
D dS S
V V dV
D E
E 0
D V

y2

x (z

d )2
3 / 2

Ey

q 4π0
x2

y2

y (z

d )2
3/2


x 2

y2

y (z

d )2
3/2


Ez

q 4π0
x2

y2
zd (z
d )2
3/2


x 2

y2
R2 R1
1

U ln R2
ln
R2 r
R1
E1

U r ln R2
aˆr
R1
2

U ln R2
R1
ln
R2 r
(2)单位长度同轴线漏电流密
度为
Jc
E2

U
r ln R2
ar
E2

U r ln R2
aˆrΒιβλιοθήκη R1则漏电流为R1
I
S
Jc
dS

2U
ln R2
R1
电磁场与电磁波
4π1R
D1

q 4πR2
aˆR

q 4πR2
aˆR
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
当待求区域为介质2所在区域时，
设一镜像电荷q″位于区域1中，且 位置与 q 重合，同时将整个空间视 为均匀介质2。于是区域2中任一点 的电位和电位移矢量分别为：
2

q q
4π 2 R
D2


S Jc dS
S B dS 0
B A
B H Jc
B H
H Jc B 0
——恒定磁场是无散有旋场。
A Jc
A ( A) 2 A Jc 洛仑兹规范 A 0
2 A Jc ——矢量泊松方程
)

dS
H dl
l

S Jc dS
l E dl
S
B dS t
l E dl 0
DdS S
V V dV
D dS S
V V dV
S B dS 0
S B dS 0
S
JC
dS


V
V
t
dV
S Jc dS 0
– 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。
– 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静 磁场。
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
2. 静态场的麦克斯韦方程组 – 静态场与时变场的最本质区别： 静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。
H dl l

S
(
JC

D t
当计算上半空间的磁场时
zd (z
d
)2
3/2


电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
• 导体表面感应电荷
S

Dn
0Ez
2π(x2
qd y2 d )2 3/ 2
• 导体表面上感应电荷总量

qS Sdxdy




2π(x2

限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷
仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为 l
待求场域 ( y 中0) 的电位
l ln r2 2π0 r1
上半空间的电场
E

l 2π 0 r1
ar1

l 2π 0 r2
ar 2
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
R2
则：

U ln R2
ln
R2 r
R1
E
E

U r ln R2
aˆr
R1
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
例2: 如图所示，在电缆中填充电导媒质，其他 条件同“例1”，求: (1)内外导体间的电位 及电场强度。(2)单位长度上该同轴线的漏 电流。
解: (1)由于内、外导体的电导率很高，可以认为 电力线仍和导体表面垂直，和静电场的边界 条件一致，利用对偶原理，可以立即得到
n
混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合



f1(s) n

f2(s)
惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解
是惟一的。
用反证法可以证明。
惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论
根据。镜像法就是惟一性定理的直接应用。
电磁场与电磁波
四、镜像法
H m H 0
2m 0 ——标量拉普拉斯方程
注意：标量磁位只有在无源区才能应用，而矢量磁位则无 此限制。
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
拉普拉斯算子 2
直角坐标系
2

2
x2

2
y 2

2
z 2
圆柱坐标系
2

1 r
r
(r

r
)

电磁场与电磁波
电介质中的电场分布：
q
q
第4章 静态场分析
q
q q
1
2
1
1
q 1 2 q 1 2
2 2
q 1 2 q 1 2
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
4. 线电流对无限大磁介质平面的镜像
设想用镜像 电流代替磁化 电流的作用， 并在界面上保 持原有边界条 件不变
qd y2

d
2
)3/2 dxdy

q
• 导体表面上感应电荷对点电荷的作用力
F


q2
16π0
d
2
az
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
y
y
r1 P(x, y, z)
l
l
h
0
0 x 0
h
r2
o
x
h
l
将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无
电磁场与电磁波
第4章 静态场分析
2A Jc
分解
2 Ax J x 2 Ay J y
Jc 0
2 Az J z
2 A 0 ——矢量拉普拉斯方程
在没有电流分布的区域内，磁场也成了无旋场，具有位场 的性质，引入标量磁位 m来表示磁场强度。即 H m
q q 4πR2
aˆR
p
R
q q
1
2
在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位和电位移矢量法向分量相 等的边界条件：
1 2
q q q q
1
2
D1n D2n q q q q
q q 1 2 q 1 2