初三奥数之利用函数解决问题

合集下载

中考数学函数题解题技巧

中考数学函数题解题技巧如下：
1、注重“类比”思想：类比函数在概念的得来、图象性质的研究、及基本解题方法上都有着本质上的相似，采用
类比的方法有助于学生理解和应用。

2、注重审题：审题时，应特别注意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件，结合所学知识进行解答。

3、注意图像：函数图像是解题的关键，通过观察图像可以得出规律、性质、特征等信息。

4、注重解题方法：函数题解题方法灵活多样，需要根据具体情况选择合适的解题方法，如代入法、消元法、降次
法等。

5、注意解题思路：在解题过程中，需要注重思路和方法，避免死记硬背和生搬硬套，通过思考和分析找到解题思
路。

6、注意细节：在解题过程中，需要注意细节，避免因为细节问题导致解题出错。

7、注意检查：在解题完成后，需要检查答案是否符合题意，并进行验证。

总之，在中考数学函数题的解题过程中，需要注重类比思想、审题、图像、解题方法、思路、细节等方面的技巧，通过不断练习和思考，提高解题能力。

初中数学函数解题技巧总结

初中数学函数解题技巧总结
引言
初中数学中的函数是一个重要的概念，是解决实际问题和推理推导的重要工具之一。

本文总结了一些初中数学函数解题的技巧，希望能够帮助同学们更好地理解和应用函数。

技巧一：函数图像的认识与应用
要解决函数题，首先需要对函数图像有一个基本的认识。

函数图像的特征包括图像的形状、对称性、增减性等，通过观察和理解这些特征，可以快速推导出函数的性质。

技巧二：函数的性质与变换
函数的性质是解题过程中的关键要素，包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。

对于给定的函数，要充分利用这些性质来进行推导和计算，从而得出正确的答案。

技巧三：利用函数关系解决实际问题
函数与实际问题的关系紧密，可以通过函数来解决一系列实际问题。

例如，通过建立变量之间的函数关系，可以求解两个未知数之间的关系，或者给定某些条件，可以求解函数取值的范围等。

技巧四：运用代数方法解题
解决函数题时，运用代数方法是常见且有效的途径。

通过列方程、消元、因式分解等代数方法，可以将函数问题转化为代数问题进行求解，从而得到准确的答案。

技巧五：实例分析与经验总结
要提高解题能力，不仅要理解函数的概念和性质，还需要进行实例分析和经验总结。

通过多做题目和总结经验，可以掌握更多的解题技巧，并提高解题的速度和准确性。

结论
初中数学函数解题技巧的总结包括对函数图像的认识与应用、函数的性质与变换、利用函数关系解决实际问题、运用代数方法解题以及实例分析与经验总结。

掌握这些技巧，同学们将能够更好地理解和应用函数，提高数学解题的能力。

希望本文能对同学们的学习有所帮助。

初中-数学-中考-专题02函数的实际应用

专题02函数的实际应用1、某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．2、某游泳馆推出了两种收费方式．方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．3、如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间具有函数关系3610h x=-+，乙离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．4、某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x 千克，付款金额为y元．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？5、甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg ．在乙批发店，一次购买数量不超过元50kg 时，价格为7元/kg ；一次购买数量超过50kg 时，其中有50kg 的价格仍为7元/kg ，超出50kg 部分的价格为5元/kg ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg x (0)x >．（1）根据题意填表：（2）设在甲批发店花费1y 元，在乙批发店花费2y 元，分别求1y ，2y 关于x 的函数解析式；（3）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为______kg ；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg ，则他在甲、乙两个批发店中的______批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的______批发店购买数量多．6、某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x （分），图1中线段OA 和折线B C D --分别表示甲、乙离开小区的路程y （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象（不完整）.根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当2530x ≤≤时s 关于x 的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）7、学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．（1）求A，B两种奖品的单价；（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．8、超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．（1）请写出y与x之间的函数表达式；（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？9、扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）10、在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售，笔记本一律按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？11、我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．12、某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．13、随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的关系式；（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p=12x+12来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？14、某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）506080周销售量y（件）1008040周销售利润w（元）100016001600注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②该商品进价是______元/件；当售价是______元/件时，周销售利润最大，最大利润是______元．（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．答案第1页，共8页参考答案1、【答案】见解答．【分析】本题考查了一次函数的应用．【解答】（1）设y 甲=k 1x ，根据题意得5k 1=100，解得k 1=20，∴y 甲=20x ；设y 乙=k 2x +100，根据题意得：20k 2+100=300，解得k 2=10，∴y 乙=10x +100．（2）①y 甲＜y 乙，即20x ＜10x +100，解得x ＜10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y 甲=y 乙，即20x =10x +100，解得x =10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y 甲＞y 乙，即20x ＞10x +100，解得x ＞10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．2、【答案】见解答．【分析】本题考查了一次函数的应用．【解答】（1）当游泳次数为x 时，方式一费用为：y 1=30x +200，方式二的费用为：y 2=40x ．（2）由y 1＜y 2得：30x +200＜40x ，解得x ＞20时，当x ＞20时，选择方式一比方式二省钱．3、【答案】165y x =-+，甲先到达地面．【分析】本题考查了一次函数的应用．【解答】（1）设y 关于x 的函数解析式是y kx b =+，6153b k b =⎧⎨+=⎩，解得，156k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即y 关于x 的函数解析式是165y x =-+．（2）当0h =时，30610x =-+，得20x ，当0y =时，1065x =-+，得30x =， ∵2030<，∴甲先到达地面．4、【答案】（1）当0≤x ≤5时，y =20x ；当x ＞5，y =20×0.8（x -5）+20×5=16x +20．（2）500元．【解答】（1）根据题意，得①当0≤x ≤5时，y =20x ；②当x ＞5，y =20×0.8（x -5）+20×5=16x +20．（2）把x =30代入y =16x +20，∴y =16×30+20=500；∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元．5、【答案】见解答．【分析】本题考查了一次函数的应用．【解答】（1）当x =30时，1306180y =⨯=，2307210y =⨯=，当x =150时，11506900y =⨯=，2507515050850y =⨯+-=（），故答案为：180，900，210，850．（2）16y x =(0)x >．当050x <≤时，27y x =；当50x >时，27505(50)y x =⨯+-，即25100y x =+．（3）①∵0x >∴6x 7x ≠，∴当21y y =时，即6x =5x +100，∴x =100，故答案为：100．②∵x =12050>，∴16120720y =⨯=；25120100=700y =⨯+，∴乙批发店购买花费少，故答案为：乙．③∵当x =50时乙批发店的花费是：350360<，∵一次购买苹果花费了360元，∴x >50，∴当1360y =时，6x =360，∴x =60，∴当2360y =时，5x +100=360，∴x =52，∴甲批发店购买数量多．故答案为：甲．6、【答案】见解答．答案第3页，共8页【解答】（1）由题意，得：甲步行的速度是24003080÷=（米/分），∴乙出发时甲离开小区的路程是8010800⨯=（米）．（2）设直线OA 的解析式为：(0)y kx k =≠，∵直线OA 过点()30,2400A ，∴302400k =，解得80k =，∴直线OA 的解析式为：80y x =，∴当18x =时，80181440y =⨯=，∴乙骑自行车的速度是()14401810180÷-=（米/分）．∵乙骑自行车的时间为251015-=（分），∴乙骑自行车的路程为180152700⨯=（米）．当25x =时，甲走过的路程是8080252000y x ==⨯=（米），∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是27002000700-=（米）．（3）乙步行的速度为：80-5=75（米/分），乙到达学校用的时间为：25+÷75=29（分），当25≤x ≤30时s 关于x 的函数的大致图象如图所示．7、【答案】见解答．【分析】本题考查了一次函数的应用．【解答】（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，根据题意，得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩， ∴3015x y =⎧⎨=⎩， ∴A 的单价30元，B 的单价15元；（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为（30-z ）个，购买奖品的花费为W 元，由题意可知，z ≥13（30-z ）， ∴z ≥152， W =30z +15（30-z ）=450+15z ，∵15＞0，W 随z 的减小而减小∴当z =8时，W 有最小值为570元，即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少．8、【答案】（1）1502y x =-+．（2）当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元．（3）当x 为20时w 最大，最大值是2400元．【分析】本题考查了二次函数的应用．【解答】（1）根据题意得，1502y x =-+．（2）根据题意得，()140(50)22502x x +-+=，解得：150x =，210x =，∵每件利润不能超过60元，∴10x =，答：当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元．（3）根据题意得，()21140(50)30200022w x x x x =+-+=-++()213024502x =--+， ∵102a =-<， ∴当30x <时，w 随x 的增大而增大， ∴当20x 时，2400w =增大，答：当x 为20时w 最大，最大值是2400元．9、【答案】见解答．【分析】本题考查了二次函数的应用、分式方程的应用．【解答】（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为()1x +元，今年的批发销售总额为()10120%12-=万元，答案第5页，共8页∴12000010000010001x x -=+，整理得2191200x x --=，解得24x =或5x =-（不合题意，舍去），故这种水果今年每千克的平均批发价是24元．（2）设每千克的平均售价为m 元，依题意由（1）知平均批发价为24元，则有()4124(180300)3m w m -=-⨯+260420066240m m =-+-，整理得()260357260w m =--+，∵600a =-<，∴抛物线开口向下，∴当35m =元时，w 取最大值，即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元． 10、【答案】见解答．【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用、二元一次方程组的应用．【解答】（1）设钢笔、笔记本的单价分别为x 、y 元，根据题意可得23384570x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：106x y =⎧⎨=⎩．答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元．（2）设钢笔单价为a 元，购买数量为b 支，支付钢笔和笔记本总金额为W 元， ①当30≤b ≤50时，100.1(30)0.113a b b =--=-+，w =b （-0.1b +13）+6（100-b ）20.17600b b =-++20.1(35)722.5b =--+， ∵当30b =时，W =720，当b =50时，W =700，∴当30≤b ≤50时，700≤W ≤722.5．②当50＜b ≤60时，a =8，86(100)2600W b b b =+-=+，∵700720W <≤，∴当30≤b ≤60时，W 的最小值为700元，∴当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元．11、【答案】（1）y =-10x 2+210x -800．（2）当天销售单价所在的范围为8≤x ≤13．（3）即每件文具售价为9元时，最大利润为280元．【分析】本题考查了二次函数的应用．【解答】（1）由题意，y =（x -5）（100-60.5x -×5）=-10x 2+210x -800，故y 与x 的函数关系式为：y =-10x 2+210x -800．（2）要使当天利润不低于240元，则y ≥240，∴y =-10x 2+210x -800=-10（x -10.5）2+302.5=240，解得，x 1=8，x 2=13，∵-10＜0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x ≤13．（3）∵每件文具利润不超过80%， ∴50.8x x-≤，得x ≤9， ∴文具的销售单价为6≤x ≤9，由（1）得y =-10x 2+210x -800=-10（x -10.5）2+302.5，∵对称轴为x =10.5，∴6≤x ≤9在对称轴的左侧，且y 随着x 的增大而增大，∴当x =9时，取得最大值，此时y =-10（9-10.5）2+302.5=280，即每件文具售价为9元时，最大利润为280元．12、【答案】见解答．【分析】本题考查了一次函数的应用、分段函数、二次函数的应用．【解答】（1）当6≤x ≤10时，设y 与x 的关系式为y =kx +b （k ≠0），根据题意得1000620010k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得2002200k b =-⎧⎨=⎩， ∴y =-200x +1200，当10＜x ≤12时，y =200，故y 与x 的函数解析式为：y =2002200(610)200(1012)x x x -+≤≤⎧⎨<≤⎩．答案第7页，共8页（2）由已知得：W =（x -6）y ，当6≤x ≤10时，W =（x -6）（-200x +1200）=-200（x -172）2+1250， ∵-200＜0，抛物线的开口向下，∴x =172时，取最大值， ∴W =1250，当10＜x ≤12时，W =（x -6）•200=200x -1200，∵y 随x 的增大而增大，∴x =12时取得最大值，W =200×12-1200=1200，综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元． 13、【答案】见解答．【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用．【解答】（1）设函数的解析式为：y =kx +b （k ≠0），由图象可得，700055000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得5007500k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的关系式：y =-500x +7500．（2）设销售收入为w 万元，根据题意得，w =yp =（-500x +7500）（12x +12），即w =-250（x -7）2+16000， ∴当x =7时，w 有最大值为16000，此时y =-500×7+7500=4000（元）．答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元． 14、【答案】见解答．【分析】本题考查了二次函数的应用．【解答】（1）①依题意设y =kx +b ，则有501006080k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2200k b =-⎧⎨=⎩，所以y 关于x 的函数解析式为y =-2x +200．②该商品进价是50-1000÷100=40，设每周获得利润w=ax2+bx+c，则有2500501000 3600601600 6400801600a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得22808000 abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴w=-2x2+280x-8000=-2（x-70）2+1800，∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；故答案为：40，70，1800；（2）根据题意得，w=（x-40-m）（-2x+200）=-2x2+（280+2m）x-8000-200m，∵对称轴x=1402m+，∴①当1402m+＜65时（舍），②当1402m+≥65时，x=65时，w求最大值1400，解得：m=5．。

中考数学考点：专题(50)函数的应用(含答案)

专题50 函数的应用聚焦考点☆温习理解1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．2．利用函数知识解应用题的一般步骤： (1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；(4)利用函数的性质解决问题；(5)写出答案．3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．名师点睛☆典例分类考点典例一、一次函数相关应用题【例1】 (2015.陕西省，第21题，7分)（本题满分7分）胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费。

假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x 人。

（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y （元）与x （人）之间的函数关系式；（2）若胡老师组团参加两日游的人数共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助胡老师选择收取总费用较少的一家。

【答案】（1）甲旅行社：x 85.0640y ⨯==x 544.乙旅行社：当20x ≤时，x 9.0640y ⨯==x 576.当x>20时，20)-x 0.75640209.0640y （⨯+⨯⨯==1920x 480+.（2）胡老师选择乙旅行社.【解析】×人数；乙总费用y=20个人九折的费用+超过的人数×报价×打折率，列出y关于x的函数关系式，（2）根据人数计算出甲乙两家的费用再比较大小，哪家小就选择哪家.考点：一次函数的应用、分类思想的应用．【点睛】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．【举一反三】(2015·黑龙江哈尔滨）小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家到这条公路的距离忽略不计）。

中考数学压轴题破解策略专题2《函数与方程、不等式的关系》

中考数学压轴题破解策略专题2《函数与方程、不等式的关系》中考数学压轴题破解策略专题2《函数与方程、不等式的关系》破解策略1．函数与方程的关系（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．2．函数与不等式的关系（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．。

中考数学核心考点强化突破函数的实际应用问题含解析

中考数学核心考点强化突破：函数的实际应用问题类型1 方案与最值问题1．江南农场收割小麦,已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷,2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．(1)每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？(2)大型收割机每小时费用为300元,小型收割机每小时费用为200元,两种型号的收割机一共有10台,要求2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,有几种方案？请指出费用最低的一种方案,并求出相应的费用．解析：(1)设每台大型收割机1小时收割小麦x 公顷,每台小型收割机1小时收割小麦y 公顷,根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝1.42x ＋5y ＝2.5,解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.5y ＝0.3.答：略． (2)设大型收割机有m 台,总费用为w 元,则小型收割机有(10－m)台,根据题意得：w ＝300×2m＋200×2(10－m)＝200m ＋4000.∵2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,∴⎩⎪⎨⎪⎧2×0.5m＋2×0.3（10－m ）≥8200m ＋4000≤5400解得：5≤m≤7,∴有三种不同方案．∵w＝200m ＋4000中,200＞0,∴w 值随m 值的增大而增大,∴当m ＝5时,总费用取最小值,最小值为5000元．答：有三种方案,当大型收割机和小型收割机各5台时,总费用最低,最低费用为5000元．2．某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m ．设饲养室长为x(m ),占地面积为y(m 2)．(1)如图1,问饲养室长x 为多少时,占地面积y 最大？(2)如图2,现要求在图中所示位置留2 m 宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大,小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m 就行了．”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确．解：(1)∵y ＝x ·50－x 2＝－12(x －25)2＋6252,∴当x ＝25时,占地面积最大,即饲养室长x 为25 m 时,占地面积y 最大；(2)∵y ＝x ·50－（x －2）2＝－12(x －26)2＋338,∴当x ＝26时,占地面积最大,即饲养室长x 为26 m 时,占地面积y 最大；∵26－25＝1≠2,∴小敏的说法不正确．3．(2017·河南)学校“百变魔方”社团准备购买A,B 两种魔方,已知购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元,购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同．(1)求这两种魔方的单价；(2)结合社员们的需求,社团决定购买A,B 两种魔方共100个(其中A 种魔方不超过50个)．某商店有两种优惠活动,如图所示．请根据以上信息,说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．解：(1)设A 种魔方的单价为x 元/个,B 种魔方的单价为y 元/个,根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6y ＝1303x ＝4y ,解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20y ＝15. 答：A 种魔方的单价为20元/个,B 种魔方的单价为15元/个．(2)设购进A 种魔方m 个(0≤m≤50),总价格为w 元,则购进B 种魔方(100－m)个,根据题意得：w 活动一＝20m×0.8＋15(100－m)×0.4＝10m ＋600；w 活动二＝20m ＋15(100－m －m)＝－10m ＋1500.当w 活动一＜w 活动二时,有10m ＋600＜－10m ＋1500,解得：m ＜45；当w 活动一＝w 活动二时,解得：m ＝45；当w 活动一＞w 活动二时,解得：45＜m≤50.综上所述：当45＜m≤50时,选择活动一购买魔方更实惠；当m ＝45时,选择两种活动费用相同；当m ＞45时,选择活动二购买魔方更实惠．类型2 建立函数模型问题4．小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1),完全开启后,水流路线呈抛物线,把手端点A,出水口B 和落水点C 恰好在同一直线上,点A 至出水管BD 的距离为12 c m ,洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示,现用高10.2 cm 的圆柱型水杯去接水,若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E,则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为__24－82__cm .解：建立如图的直角坐标系,过A作AG⊥OC于G,交BD于Q,过M作MP⊥AG于P,由题可得,AQ＝12,PQ ＝MD＝6,故AP＝6,AG＝36,∴Rt△APM中,MP＝8,故DQ＝8＝OG,∴BQ＝12－8＝4,由BQ∥CG可得,△ABQ∽△ACG,∴BQCG＝AQAG,即4CG＝1236,∴CG＝12,OC＝12＋8＝20,∴C(20,0),又∵水流所在抛物线经过点D(0,24)和B(12,24),∴可设抛物线为y＝ax2＋bx＋24,把C(20,0),B(12,24)代入抛物线,可得抛物线为y＝－320x2＋95x＋24,又∵点E的纵坐标为10.2,∴令y＝10.2,则10.2＝－320x2＋95x＋24,解得x1＝6＋82,x2＝6－82(舍去),∴点E的横坐标为6＋82,又∵ON＝30,∴EH＝30－(6＋82)＝24－8 2.5．湖州素有鱼米之乡之称,某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势,一次性收购了20000 kg淡水鱼,计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同,放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元(总成本＝放养总费用＋收购成本)．(1)设每天的放养费用是a万元,收购成本为b万元,求a和b的值；(2)设这批淡水鱼放养t 天后的质量为m(kg ),销售单价为y 元/ kg .根据以往经验可知：m 与t 的函数关系为m ＝⎩⎪⎨⎪⎧20000（0≤t≤50）100t ＋15000（50＜t≤100）；y 与t 的函数关系如图所示． ①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时,y 与t 的函数关系式；②设将这批淡水鱼放养t 天后一次性出售所得利润为W 元,求当t 为何值时,W 最大？并求出最大值．(利润＝销售总额－总成本)解：(1)由题意,得：⎩⎪⎨⎪⎧10a ＋b ＝30.420a ＋b ＝30.8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.04b ＝30. (2)①当0≤t≤50时,设y 与t 的函数解析式为y ＝k 1t ＋n 1,将(0,15)、(50,25)代入,可求得y 与t 的函数解析式为：y ＝15t ＋15；当50＜t≤100时,设y 与t 的函数解析式为y ＝k 2t ＋n 2,将点(50,25)、(100,20)代入,可求得y 与t 的函数解析式为：y ＝－110t ＋30；②由题意,当0≤t≤50时,W ＝20000(15t ＋15)－(400t ＋300000)＝3600t,∵3600＞0,∴当t ＝50时,W 最大＝180000(元)；当50＜t≤100时,W ＝(100t ＋15000)(－110t ＋30)－(400t ＋300000)＝－10(t －55)2＋180250,∵－10＜0,∴当t ＝55时,W 最大＝180250(元)．综上所述,放养55天时,W 最大,最大值为180250元．。

(整理版)函数的应用举例·例题解析

函数的应用举例·例题解析1．几何问题类用函数思想解决几何(如平面几何、立体几何及解析析几何)问题，这是常常出现的数学本身的综合运用问题．【例1】如图2．9－1，一动点P自边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界运动一周，再回到A点．假设点P的路程为x，点P到顶点A的距离为y，求A、P两点间的距离y与点P的路程x之间的函数关系式．解(1)当点P在AB上，即0≤x≤1时，AP＝x，也就是y＝x．(2)当点P在BC边上，即1＜x≤2时，AB=1，AB＋BP＝x，BP＝x－1，根据勾股定理，得AP2＝AB2＋BP2222x xy=AP=1+(x1)2∴．-=-+(3)当点P在DC边上，即2＜x≤3时，AD＝1，DP＝3－x．根据勾股定理，得AP2=AD2＋DP2．2610x x-=-+∴y=AP=1+(3x)2(4)当点P在AD边上，即3＜x≤4时，有y=AP＝4－x．∴所求的函数关系式为2．行程问题类【例2】，A、B两地相距150公里，某人开汽车以60公里/小时的速度从A 地到达B地，在B地停留一小时后再以50公里/小时的速度返回A地，求汽车离开A 地的距离x表示为时间t的函数．解根据题意：(1)汽车由A到B行驶t小时所走的距离x=60t，(0≤t≤2.5)(2)汽车在B地停留1小时，那么B地到A地的距离x＝＜x≤3.5)(3)由B地返回A地，那么B地到A地的距离x=150－50(t－3.5)＝325－＜x≤6.5)总之≤≤＜≤－＜≤x =60t(0t 2.5)150(2.5t 3.5)32550t(3.5t 6.5)⎧⎨⎪⎩⎪ 3．工程设计问题类工程设计问题是指运用数学知识对工程的定位、大小、采光等情况进行合理布局、计算的一类问题．【例3】要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图2．9－2所示)，在窗框为定长l 的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？解设半圆的直径为x ，矩形的高度为y ，窗户透光面积为S ，那么窗框总长＋＋，l =x 2x 2y π ∴＋＋·－y =2(2+)x4S =x xy =x 2(2+)x 4x =22l l l l --+-+++πππππππ8848242422()()x 当时，，此时，x =24+S =y =4+max 2l l l πππ242()+=x 答窗户中的矩形高为，且半径等于矩形的高时，窗户的透光l 4+π面积最大．说明应用二次函数解实际问题，关键是设好适当的一个变量，建立目标函数．【例4】要使火车平安行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600米，如果某段铁路两端相距156米，弧所对的圆心角小于180°，试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围．解设园的半径为R ，圆弧弓形高CD=x(m)．在Rt △BOD 中，DB ＝78，OD=B －x∴(R －x)2＋782=R 2解得 R =x 2+60842x由题意知R ≥600∴≥x x260842+600 得x 2－1200x ＋6084≥0(x ＞0)，解得x ≤5.1或x ≥1194.9(舍)∴圆弧弓形高的允许值范围是(0，5.1]．4．营销问题类这类问题是指在营销活动中，计算产品本钱、利润(率)，确定销售价格．考虑销售活动的盈利、亏本等情况的一类问题．在营销问题中，应掌握有关计算公式：利润=销售价－进货价．【例5】将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，假设每件售价涨价元，其销售量就减少10件．问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润．解设每件售价提高x 元，那么每件得利润(2＋x)元，每天销售量变为(200－20x)件，所获利润y=(2＋x)(200－20x)=－20(x －4)2＋720当x=4时，即售价定为14元时，每天可获最大利润为720元．5．单利问题类单利是指本金到期后的利息不再参加本金计算．设本金为P 元，每期利率为r ，经过n 期后，按单利计算的本利和公式为S n =P(1＋nR)．【例6】某人于1996年6月15日存入银行1000元整存整取定期一年储蓄，月息为9‰，求到期的本利和为多少？解这里P=1000元，r=9‰，n ＝12，由公式得S 12＝P(1＋12r)＝1000×(1＋9×12)=1108元．答本利和为1108元．6．复利问题类复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，那么复利函数式为y=P(1＋r)x．【例7】某企业方案发行企业债券，每张债券现值500元，按年利率％的复利计息，问多少年后每张债券一次归还本利和1000元？(参考，＝0.0274)．解设n年后每张债券一次归还本利和1000元，由1000=500(1＋％)n，解得≈11．答11年后每张债券应一次归还本利和1000元．7．函数模型类这个问题是指在问题中给出函数关系式，关系式中有的带有需确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定之后，然后使问题本身获解．【例8】某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、万件、万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=ab x＋c(其中a、b、c为常数)，4月份该产品的产量为万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．解设二次函数y1＝f(x)=px2＋qx＋x(p≠0)则＋＋＋＋＋＋f(1)=p q r=1f(2)=4p2q r=1.2 f(3)=9p3q r=1.3⎧⎨⎪⎩⎪⇒⎧⎨⎪⎩⎪P=0.05 q=0.35r=0.7－∴y1=f(x)=－2＋＋f(4)=－×16＋×4＋又y=ab x＋c得·＋·＋·＋－a b c=1a b c=1.2a b c=1.3a=0.8b=12c=1.423⎧⎨⎪⎩⎪⇒⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴－＋当时，－＋经比较可知：用－＋作模拟函数较好．y =0.8(12) 1.4x =4y =0.8(12) 1.4=1.35y =0.8(12) 1.4x 4x 【例9】有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次是和万元，它们与投入资金万元的关系是，＝，今P Q()x()P =x 4Q 34x 投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？解设投入甲产品资金为x 万元，投入乙产品资金为(3－x)万元，总利润为y 万元．y =P Q =14x (0x 3)t =3x x =3t (0t )y =14(3t )t =1422＋＋≤≤令则－≤≤，∴－＋3433343221162----+x t () 当时，此时，－．t =32y =2116x =3t =34max 2 答对甲、乙产品分别投资为万元和万元，获最大利润为2116万元． 8．增长率(或降低率)问题类这类问题主要是指工农业生产中计算增长率、产值等方面的一类计算题．【例10】某工厂1988年生产某种产品2万件，方案从1989年开始，每年的产量比上一年增长20％，问哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万元(lg2＝，lg3＝0.4771)解设过x 年后，产量超过12万件．那么有2(1＋20％)x ＞12解得x ＞答从1998年开始年产量可超过12万件．9．相关学科问题类这类问题是指涉及相关学科(如物理、化学等)知识的一类数学问题．【例11】在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，…，a n ，共n 个数据，我们规定所测量的物理量的“最正确近似值〞a 是这样一个量：与其它近似值比拟，a 与各数据差的平方和最小，依此规定，求从a 1，a 2，…，a n 推出的a 值．解 a 应满足：y=(a －a 1)2＋(a －a 2)2＋…＋(a －a n )2＝－＋＋…＋＋＋＋…＋na 2(a a a )a a a a 212n 1222n 2此式表示以a 为自变量的二次函数，∵n ＞0．∴当时，有最小值．此时a =2(a +a ++a )2n=a y a =a 12n 11 ++++++a a na a n n n 22 10．决策问题类决策问题，是指根据已掌握的数据及有关信息，利用数学知识对某一事件进行分析、计算，从而作出正确决策的题．【例12】某厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A 地10台，B 地8台，从甲地调运一台至A 地、B 地的运费分别为400元和800元，从乙地调运一台至A 地、B 地的运费分别为300元和500元．(1)设从乙要调x 台至A 地，求总运费y 关于x 轴的函数关系式．(2)假设总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费．解 (1)y=300x ＋500(6－x)＋400(10－x)＋800[12－(10－x)]=200(x ＋43)(0≤x ≤6，x ∈N)(2)当x=0，1，2时，y ≤9000，故共有三种方案，总运费不超过9000元．(3)在(1)中，当x ＝0时，总运费最低，调运方案为：乙地6台全调B 地，甲地调2台至B 地，10台至A 地，这时，总运费y ＝8600元．。

初三奥数辅导追问求根公式

一、追问求根公式类型综述1．指数函数方程类：()1)()(=xQ x P的形式其（整数）解情况有三大类：注：有值肯定有意义！横线的地方表示多数情况下此类题考的方向，也有例外．2．含绝对值方程类：)()(xPxQ=或表示成0)()(=±xQxP的形式其解有两类：即分别讨论)(xQ＞0与)(xQ＜0的情况．这里有技巧：①次数（P（x））＜次数（Q（x））时先讨论)(xP＞O，x的取值范围，然后放在)(xQ里进行分析，去绝对值符号；②次数（P（x））＞次数（Q（x））时分Q（x）＞0与Q（x）＜0两种情况进行讨论解题：3．含有公因式的方程类：)()()()(xLxPxQxP⋅=⋅的形式其解有两类：在保证各函数有意义前提下，①0)(=xP时的解；②0)(≠xP时新方程)()(xLxQ=的解．注：切忌眼高手低．【例4】解方程1)1(+=+⋅ttt解之得：11-=或t4．次数待定的关于x的方程类：mx2 +=)(xP0 的形式其解有两类：即分析方程最高次项系数为0；与不为0的情况，【例5】解关于x的方程xa)1(-202=+-aax解：)i当,01=-a即1=a时，原方程即为2112=⇒=+-xx)ii当,01≠-a即1≠a时，=∆)2(a2aa⋅--)1(4a4=①0≥∆时，方程有解．即4a0≥⇒0≥a 时，方程有解121-±=a aa x 、 ②∆＜0时，即a ＜0时，方程无解． 5．两个函数公共根类型：),1(0)( =x F a 与)2(0)( =x F b 有公共根，求),(b a G 的值．这里有两类：①有且只有一个公共根；②有一个公共根．解题方法是：)i 设出公共根，用的式子、含b a 将此公共根表示出来，联立（1）与（2），求解．)ii 利用因式分解，各自求出方程根的表达式，再联立考虑．【例6】是否存在某个实数m ，使得方程 x 202=++mx 和 x 202=++m x 有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个公共根，并求出实数m 的值；如果不存在，请说明理由．解：假设存在此实数根，不妨设为x 0 ，则2)2(02020020020-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++m x m m x x mx x （*）由于只有一个公共根，则显然,2≠m 若不然，（*）式就有无数个解，且2=m 代入∀已知方程均无解，故此唯一实数根x 0,1= 且.2=m【例7】设关于x 的二次方程x a )1(-2a (-2a x ()2++2)1(0)2 =+a 及x b )1(- 2 b (-2b x ()2++2)2(0)2 =+b （其中a 、b 皆为正整数，且)b a ≠有一公共根，求abab b a b a --++的值．解：因为已知二次方程，且a 、b 皆为正整数所以a ＞1b Λ＞1 ；进而由（1）得：[]0)()2()1(=-⋅+--a x a x aa x =⇒1 ，122-+=a a x 由（2）得：[]0)()2()1(=-⋅+--b x b x bb x =⇒3 ，124-+=b b x ,b a ≠ （已知）∴1212-+=-+=a a b b b a 或均31102=-⋅-=---⇒）（），即（b a b a ab 由整数因数法得 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=-=-244211313111b a b a b a b a 或或．．．．．．．．（*）而目标代数式a b abb a b a --++a b a b a b ab a b a b b a b a ba b a b a b a =++=++=11将（*）式值代入得：2564224=⨯6．一元二次方程根与系数关系：已知,0)(=x P 求)(x Q 的值．类型课本P1，例2．及P3，2小题 7．二元二次函数类型：已知.0),(,0),(21==y x y x F F求),(y x G 值．课本P3，3小题．8．一元二次函数根与图象类型：数形结合，表格法记ax x f =)(2c bx ++，假设0)(=x f 有解，可能有唯一解、两个解．那么)(x f 的图像为：x 3．23 3．243．25 3．26 ax 2c bx ++06.0- 02.0-0．030．07判断方程ax 2c bx ++0=)0(≠a 一个解x 的范围是（）9．一元多次方程类型：实数范围内可以因式分解的类型，引入)(x f 符号有四类：①公式法：例如)(x f =0；其中)(x f 可以写成完全平方、平方差、立方差、等等形式的．②双十字相乘法：③求根法：④待定系数法．（详见：初二数学因式分解拔高）二、判别式注意几个地方：1．已知关于x 的方程，还是关于x 的一元几次方程．6P ，例1、（1）；8P ，4题．（若变关于x 的一元二次方程为关于x 的方程有实数根呢？）,9P 11题，13题，14题；10P ，18题．2．取完全正确限制条件．6P ，例1、（1）．8P ，2题．5题（角大写字母对应小写字母边）． 3．降主为宾，提宾为主．6P ，例1、（2）． 4．数形结合，考虑周全． 7P ，例2，例5．5．欲擒故纵法． ,9P 14题．（涉及到补集问题） 6．判别式与概率,9P 10题三、充满活力的韦达定理前提：取完全正确限制条件．1．韦达定理内容及延伸11P ，右侧．；14P ，13题．； 2．运用韦达定理求参数的值或范围．11P ，例1，（1）．；12P ，例4．；13P ，1题．2题．4题．5题．6题．； 14P ，10题．15题．16题；24P ，1题，2题．3．运用韦达定理求代数式的值或范围．11P ，例1，（2）．；12P ，例4．；13P ，7题．；14P ，10题．16题．； 4．根与三角形．13P ，3题．5题．；14P ，11题．14题．； 5．数轴标根法这属于不等式的问题，在次数稍高判别式中用处比较大．例如，0)2)(1)(3)(2)(1(≥++---x x x x x 怎么解呢？ 6．引入函数名)(x f 结合图像解题法 12P ，例5．；14P ，15题．； 7．奇质数、偶质数12P ，例2．；14P ，12题．； 8．整数因数法浅谈（涉及因式分解）．14P ，9题．；四、一元二次方程的应用注意：1．若已知t ＞0，t -12＞0；又已知t 2=（t -12）2则直接⇒t =t -12⇒t =6．2．归纳推理（1）、平面中任意n 条直线相交，则所得交点个数最多个，最少个。

中考奥数：求函数解析式的几种常用方法

中考奥数：求函数解析式的几种常用方法中考奥数：求函数解析式的几种常用方法[题型一]配凑法例1.已知f(■+1)=x+2■，求f(x)。

分析：函数的解析式y=f(x)是自变量x确定y值的关系式，其实质是对应法则f：x→y，因此解决这类问题的关键是弄清对“x”而言，“y”是怎样的规律。

解：∵f(■+1)=x+2■=(■+1)2-1(■+11)∴f(x)=x2-1(x1)小结：此种解法为配凑法，通过观察、分析，将右端“x+2■”变为接受对象“■+1”的表达式，即变为含(■+1)的表达式，这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求。

[题型二]换元法例2.已知f(1-cosx)=sin2x，求f(x)。

分析：视1-cosx为一整体，应用数学的整体化思想，换元即得。

解：设t=1-cosx∵-1cosx1 ∴01-cosx2 即0t2∴cosx=1-t∴sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t∴f(t)=-t2+2t(0t2)即f(x)=-x2+2x(0x2)小结：①已知f[g(x)]是关于x的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得f(x)的解析式。

注意：换元后要确定新元t的取值范围。

②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。

常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为广泛。

[题型三]待定系数法例3.设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0，3)，求f(x)的解析式。

分析：由于f(x)是二次函数，其解析式的基本结构已定，可用待定系数法处理。

解：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)由f(x+2)=f(2-x)可知，该函数图象关于直线x=2对称∴-■=2，即b=-4a……①又图象过点(0，3) ∴c=3……②由方程f(x)=0的两实根平方和为10，得(-■)2-■=0即b2-2ac=10a2……③由①②③解得a=1，b=-4，c=3∴f(x)=x2-4x+3小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。

初三函数题型及解题方法

初三函数题型及解题方法初三函数是一个重要的高中数学学科，学习这个学科的学生应该具备一定的函数基础知识，以及函数题型及解题方法。

函数题也是考察学生数学基础的核心考试内容之一，它的出题越多，越值得学生们重视。

因此，本文将要介绍如何正确解决初三函数题。

初三函数题一般分为三类：映射函数型、反函数型和综合函数型。

一、映射函数型映射函数型中，学生可能会遇到求函数值、求最值、求导数等问题。

解决方法是：1、求函数值：学生需要根据给定的函数公式，得出被测量点的函数值。

2、求最值：学生需要根据函数的特征，如单调性和平滑性，得出函数的最大值或最小值。

3、求导数：学生需要根据函数的定义，利用微分运算计算出函数的导数值。

二、反函数型反函数型中的题目是求函数的反函数，解决方法是：1、首先计算原函数的导数。

2、然后利用反函数的定义：若函数y=f(x)满足f(x)>0，则函数y=f^(-1)(x)满足f^(-1)(x)<0；若函数y=f(x)满足f(x)=0，则函数y=f^(-1)(x)满足f^(-1)(x)=0。

3、根据定义求出反函数的导数，即可得到反函数的表达式。

三、综合函数型综合函数型中的题目比较复杂，要求学生将映射函数与反函数结合起来，解答求反函数与求函数最值等问题。

解决方法是：1、根据所给函数公式计算出其原函数以及反函数的表达式。

2、根据定义求出原函数与反函数的导数表达式。

3、利用函数是单调函数或函数最值的定义，求出其最大值或最小值。

总之，解决初三函数题要根据题目的不同，掌握正确的解题方法，以便把握住函数的特点，有效解决函数题。

学生们在复习的过程中，要多练习，多加强初三函数的专项训练，以期达到高分的考试成绩。

本文就介绍了初三函数题的基本类型及解题方法，希望能为学生们提供一定的参考和帮助，从而能够在考试中取得理想的成绩。

中考数学三轮专题冲刺7：利用函数图像解决实际问题综合(含答案)

中考数学第三轮压轴题专题冲刺复习：利用函数图像解决实际问题综合1、甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，甲车匀速前往B 地，到达B 地立即以另一速度按原路匀速返回到A 地；乙车匀速前往A 地，设甲、乙两车距A 地的路程为y （千米），甲车行驶的时间为x （时），y 与x 之间的函数图象如图所示（1）求甲车从A 地到达B 地的行驶时间；（2）求甲车返回时y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）求乙车到达A 地时甲车距A 地的路程．2、由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y 1（万m 3）与干旱持续时间x （天）的关系如图中线段l 1所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y 2（万m 3）与时间x （天）的关系如图中线段l 2所示（不考虑其它因素）．（1）求原有蓄水量y 1（万m 3）与时间x （天）的函数关系式，并求当x=20时的水库总蓄水量．（2）求当0≤x ≤60时，水库的总蓄水量y （万m 3）与时间x （天）的函数关系式（注明x 的范围），若总蓄水量不多于900万m 3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x 的范围．3、某物流公司引进A 、B 两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A 种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B 种机器人也开始搬运，如图，线段OG 表示A 种机器人的搬运量A y （千克）与时间x （时）的函数图像，线段EF 表示B 种机器人的搬运量B y （千克）与时间x （时）的函数图像，根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）求B y 关于x 的函数解析式；（2）如果A、B两种机器人各连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？4、有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A、B两点之间的距离是米，甲机器人前2分钟的速度为米/分；（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；（3）若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为米/分；（4）求A、C两点之间的距离；（5）直接写出两机器人出发多长时间相距28米．5、快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：（1）请直接写出快、慢两车的速度；（2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式；（3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案．6、某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=（1）李红第几天生产的粽子数量为260只？（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若李红第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）7、某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准.按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（3m）之间的关系如图所示.（1）求y关于x的函数解析式；（2）若某用户二、三月份共用水340m（二月份用水量不超过325m），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少3m？8、某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为元；（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？9、某周日上午8：00小宇从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动．11：00时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12：00前回到家，他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/小时的平均速度快步返回．同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家x（小时）后，到达离家y（千米）的地方，图中折线OABCD 表示y与x之间的函数关系．（1）活动中心与小宇家相距千米，小宇在活动中心活动时间为小时，他从活动中心返家时，步行用了小时；（2）求线段BC所表示的y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不必写出x所表示的范围）；（3）根据上述情况（不考虑其他因素），请判断小宇是否能在12：00前回到家，并说明理由．10、甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费用y （元）与绿化面积x （平方米）是一次函数关系，如图所示．乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．（1）求如图所示的y 与x 的函数解析式：（不要求写出定义域）；（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．11、湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；（2）设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据20000kg 1030.42030.8a b a b t m kg y kg以往经验可知：与的函数关系为；与的函数关系如图所示．①分别求出当和时，与的函数关系式；②设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）12、如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A —C—B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1， C2两段组成，如图2所示.(1)求a的值；(2)求图2中图象C2段的函数表达式；(3)当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围.13、在甲、乙两城市之间有一服务区，一辆客车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地．两车同时出发，匀速行驶，客车、货车离服务区的距离y1（千米），y 2（千米）与行驶的时间x（小时）的函数关系图象如图1所示．m t()()200000501001500050100tmt t≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩y t 050t≤≤50100t<≤y tt W tW（1）甲、乙两地相距千米．（2）求出发3小时后，货车离服务区的路程y 2（千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系式．（3）在客车和货车出发的同时，有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地（取货的时间忽略不计），邮政车离服务区的距离y 3（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图线如图2中的虚线所示，直接写出在行驶的过程中，经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等？14、雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实验商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量1y （百件）与时间t （t 为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示；网上商店的日销售量2y （百件）与时间t （t 为整数，单位：天）的关系如下图所示.y与t （1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映1y与t的函数关系式及自变量t的取值范围；的变化规律，并求出1y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）求2（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值.15、荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m ＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．参考答案2021年中考数学第三轮压轴题专题冲刺复习：利用函数图像解决实际问题综合1、甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，甲车匀速前往B 地，到达B 地立即以另一速度按原路匀速返回到A 地；乙车匀速前往A 地，设甲、乙两车距A 地的路程为y （千米），甲车行驶的时间为x （时），y 与x 之间的函数图象如图所示（1）求甲车从A 地到达B 地的行驶时间；（2）求甲车返回时y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）求乙车到达A 地时甲车距A 地的路程．【解答】解：（1）300÷（180÷1.5）=2.5（小时），答：甲车从A 地到达B 地的行驶时间是2.5小时；（2）设甲车返回时y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，∴，解得：，∴甲车返回时y 与x 之间的函数关系式是y=﹣100x+550；（3）300÷[（300﹣180）÷1.5]=3.75小时，当x=3.75时，y=175千米，答：乙车到达A 地时甲车距A 地的路程是175千米．2、由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y 1（万m 3）与干旱持续时间x （天）的关系如图中线段l 1所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y 2（万m 3）与时间x （天）的关系如图中线段l 2所示（不考虑其它因素）．（1）求原有蓄水量y 1（万m 3）与时间x （天）的函数关系式，并求当x=20时的水库总蓄水量．（2）求当0≤x ≤60时，水库的总蓄水量y （万m 3）与时间x （天）的函数关系式（注明x 的范围），若总蓄水量不多于900万m 3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x 的范围．【解答】解：（1）设y1=kx+b，把（0，1200）和（60，0）代入到y1=kx+b得：解得，∴y1=﹣20x+1200当x=20时，y1=﹣20×20+1200=800，（2）设y2=kx+b，把（20，0）和（60，1000）代入到y2=kx+b中得：解得，∴y2=25x﹣500，当0≤x≤20时，y=﹣20x+1200，当20＜x≤60时，y=y1+y2=﹣20x+1200+25x﹣500=5x+700，y≤900，则5x+700≤900，x≤40，当y1=900时，900=﹣20x+1200，x=15，∴发生严重干旱时x的范围为：15≤x≤40．3、某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量Ay（千克）与时间x（时）的函数图像，线段EF表示B种机器人的搬运量By（千克）与时间x（时）的函数图像，根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）求By关于x的函数解析式；（2）如果A、B两种机器人各连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？解：（1）设B y 关于x 的函数解析式为1B y k x b =+（10k ≠），由线段EF 过点(1,0)E 和点(3,180)P ，得1103180k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得19090k b =⎧⎨=-⎩，所以B y 关于x 的函数解析式为9090B y x =-（16x ≤≤）；（2）设A y 关于x 的函数解析式为2A y k x =（20k ≠），由题意，得21803k =，即260k = ∴60A y x =；当5x =时，560300A y =⨯=（千克），当6x =时，90690450B y =⨯-=（千克），450300150-=（千克）；答：如果A 、B 两种机器人各连续搬运5小时，那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了150千克4、有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A 、B 、C 三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A 、B 两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C 点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y （米）与他们的行走时间x （分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A 、B 两点之间的距离是 70 米，甲机器人前2分钟的速度为 95 米/分；（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF 所在直线的函数解析式；（3）若线段FG ∥x 轴，则此段时间，甲机器人的速度为 60 米/分；（4）求A 、C 两点之间的距离；（5）直接写出两机器人出发多长时间相距28米．【解答】解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2=95米/分；（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y=kx+b，∵1×（95﹣60）=35，∴点F的坐标为（3，35），则，解得，，∴线段EF所在直线的函数解析式为y=35x﹣70；（3）∵线段FG∥x轴，∴甲、乙两机器人的速度都是60米/分；（4）A、C两点之间的距离为70+60×7=490米；（5）设前2分钟，两机器人出发xs相距28米，由题意得，60x+70﹣95x=28，解得，x=1.2，前2分钟﹣3分钟，两机器人相距28米时，35x﹣70=28，解得，x=2.8，4分钟﹣7分钟，两机器人相距28米时，（95﹣60）x=28，解得，x=0.8，0.8+4=4.8，答：两机器人出发1.2s或2.8s或4.8s相距28米．5、快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：（1）请直接写出快、慢两车的速度；（2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式；（3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案．【解答】解：（1）快车速度：180×2÷（）=120千米/时，慢车速度：120÷2=60千米/时；（2）快车停留的时间：﹣×2=（小时），+=2（小时），即C（2，180），设CD的解析式为：y=kx+b，则将C（2，180），D（，0）代入，得，解得，∴快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式为y=﹣120x+420（2≤x ≤）；（3）相遇之前：120x+60x+90=180，解得x=；相遇之后：120x+60x﹣90=180，解得x=；快车从甲地到乙地需要180÷120=小时，快车返回之后：60x=90+120（x﹣﹣）解得x=综上所述，两车出发后经过或或小时相距90千米的路程．6、某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=（1）李红第几天生产的粽子数量为260只？（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若李红第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）【解答】解：（1）设李红第x天生产的粽子数量为260只，根据题意得20x+60=260，解得x=10，答：李红第10天生产的粽子数量为260只；（2）根据图象得当0≤x≤9时，p=2；当9＜x≤19时，设解析式为y=kx+b，把（9，2），（19，3）代入得，解得，所以p=x+，①当0≤x ≤5时，w=（4﹣2）•32x=64x ，x=5时，此时w 的最大值为320（元）； ②当5＜x ≤9时，w=（4﹣2）•（20x+60）=40x+120，x=9时，此时w 的最大值为480（元）；③当9＜x ≤19时，w=[4﹣（x+）]•（20x+60）=﹣2x2+52x+174=﹣2（x ﹣13）2+786，x=13时，此时w 的最大值为786（元）；综上所述，第13天的利润最大，最大利润是786元．7、某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准.按照新标准，用户每月缴纳的水费y （元）与每月用水量x （3m ）之间的关系如图所示.（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若某用户二、三月份共用水340m （二月份用水量不超过325m ），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少3m ？【答案】：（1）当015x <<时，设y mx =，则1527m =，所以 1.8m =， 1.8y x =当15x ≥时，设y kx b =+，则15272039k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得 2.49k b =⎧⎨=-⎩，所以y 与x 的关系式是 1.8,0152.49,15x x y x x <<⎧=⎨-≥⎩.8、某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为元；（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？【答案】（1）观察图象可知：当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为240元．故答案为240．（2）∵3600÷240=15，3600÷150=24，∴收费标准在BC段，设直线BC的解析式为y=kx+b，则有10240 25150k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得6300kb=-⎧⎨=⎩，∴y=﹣6x+300，由题意（﹣6x+300）x=3600，解得x=20或30（舍弃）答：参加这次旅游的人数是20人．9、某周日上午8：00小宇从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动．11：00时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12：00前回到家，他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/小时的平均速度快步返回．同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家x（小时）后，到达离家y（千米）的地方，图中折线OABCD 表示y与x之间的函数关系．（1）活动中心与小宇家相距22 千米，小宇在活动中心活动时间为 2 小时，他从活动中心返家时，步行用了0.4 小时；（2）求线段BC所表示的y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不必写出x所表示的范围）；（3）根据上述情况（不考虑其他因素），请判断小宇是否能在12：00前回到家，并说明理由．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（1，22），点B的坐标为（3，22），∴活动中心与小宇家相距22千米，小宇在活动中心活动时间为3﹣1=2小时．（22﹣20）÷5=0.4（小时）．故答案为：22；2；0.4．（2）根据题意得：y=22﹣5（x﹣3）=﹣5x+37．（3）小宇从活动中心返家所用时间为：0.4+0.4=0.8（小时），∵0.8＜1，∴所用小宇12：00前能到家．10、甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示．乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．（1）求如图所示的y 与x 的函数解析式：（不要求写出定义域）；（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．【解答】解：（1）设y=kx+b ，则有，解得， ∴y=5x+400．（2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为5500+4×200=6300元，∵6300＜6400∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．11、湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；（2）设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：与的函数关系为；与的函数关系如图所示．①分别求出当和时，与的函数关系式；20000kg 1030.42030.8a b a b t m kg y kg m t ()()200000501001500050100t m t t ≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩y t 050t ≤≤50100t <≤y t②设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）试题解析：（1）由题意得解得答：a 的值为0.04，b 的值为30.当50＜t ≤100时，设y 与t 的函数关系式为y=k 2t+n 2把点（50，25）和（100，20）的坐标分别代入y=k 2t+n 2，得解得 t W tW 1030.42030.8a b a b +=⎧⎨+=⎩0.0430a b =⎧⎨=⎩2222255020100k n k n =+⎧⎨=+⎩2211030k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴y 与t 的函数关系式为y=t+30 ②由题意得，当0≤t ≤50时，W=20000×（t+15）-（400t+300000）=3600t ∵3600＞0，∴当t=50时，W 最大值=180000（元）当50＜t ≤100时，W=（100t+15000）（t+30）-（400t+300000）=-10t 2+1100t+150000=-10（t-55）2+180250∵-10＜0，∴当t=55时，W 最大值=180250综上所述，当t 为55天时，W 最大，最大值为180250元.12、如图1，在△ABC 中，∠A=30°，点P 从点A 出发以2cm/s 的速度沿折线A —C —B 运动，点Q 从点A 出发以a(cm/s)的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动.设运动时间为x(s)，△APQ 的面积为y(cm 2)，y 关于x 的函数图象由C 1 ， C 2两段组成，如图2所示.(1)求a 的值；(2)求图2中图象C 2段的函数表达式；(3)当点P 运动到线段BC 上某一段时△APQ 的面积，大于当点P 在线段AC 上任意一点时△APQ 的面积，求x 的取值范围.【答案】（1）解：在图1中，过P 作PD ⊥AB 于D ，∵∠A=30°，PA=2x ， ∴PD=PA ·sin30°=2x · =x ，∴y= = .由图象得，当x=1时，y= ，则 = . 110-15110-∴a=1.（2）解：当点P在BC上时（如图2），PB=5×2-2x=10-2x. ∴PD=PB·sinB=(10-2x)·sinB，∴y= AQ·PD= x·（10-2x）·sinB.由图象得，当x=4时，y= ,∴×4×（10-8）·sinB= ，∴sinB= .∴y= x·（10-2x）·= .（3）解：由C1， C2的函数表达式，得= ，解得x1=0（舍去），x2=2，由图易得，当x=2时，函数y= 的最大值为y= . 将y=2代入函数y= ，得2= .解得x1=2，x2=3，13、在甲、乙两城市之间有一服务区，一辆客车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地．两车同时出发，匀速行驶，客车、货车离服务区的距离y1（千米），y2（千米）与行驶的时间x（小时）的函数关系图象如图1所示．（1）甲、乙两地相距480 千米．（2）求出发3小时后，货车离服务区的路程y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式．（3）在客车和货车出发的同时，有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地（取货的时间忽略不计），邮政车离服务区的距离y3（千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图线如图2中的虚线所示，直接写出在行驶的过程中，经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等？【解答】解：（1）360+120=480（千米）故答案为：480；（2）设3小时后，货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=kx+b，由图象可得，货车的速度为：120÷3=40千米/时，则点B的横坐标为：3+360÷40=12，∴点P的坐标为（12，360），，得，即3小时后，货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=40x﹣120；（3）v客=360÷6=60千米/时，v邮=360×2÷8=90千米/时，设当邮政车去甲地的途中时，经过t小时邮政车与客车和货车的距离相等，120+（90﹣40）t=360﹣（60+90）tt=1.2（小时）；设当邮政车从甲地返回乙地时，经过t小时邮政车与客车和货车的距离相等，40t+60t=480解得t=4.8，综上所述，经过1.2或4.8小时邮政车与客车和货车的距离相等．14、雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实验商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天y（百件）与时间t（t为整数，单位：的跟踪调查，其中实体商店的日销售量1y（百件）与时间t（t为天）的部分对应值如下表所示；网上商店的日销售量2整数，单位：天）的关系如下图所示.y与t （1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映1y与t的函数关系式及自变量t的取值范围；的变化规律，并求出1y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）求2（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值.【答案】（3）依题意得y=y 1+y 2，当0≤t ≤10时，得到y 最大=80；当10＜t ≤30时，得到y 最大=91.2，于是得到结论．试题解析：（1）根据观察可设y 1=at 2+bt+c ，将（0，0），（5，25），（10，40）代入得：0,25525,1001040c a b a b =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得1,56,0a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， ∴y 1与t 的函数关系式为：y 1=﹣15-t 2+6t （0≤t ≤30，且为整数）；（2）当0≤t ≤10时，设y 2=kt ，∵（10，40）在其图象上，∴10k=40，∴k=4， ∴y 2与t 的函数关系式为：y 2=4t ，当10≤t ≤30时，设y 2=mt+n ，将（10，40），（30，60）代入得1040,3060m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得1,30m n =⎧⎨=⎩，∴y 2与t 的函数关系式为：y 2=t+30，综上所述，()()24010301030,t t t y t t t ⎧≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，且为整数且为整数；（3）依题意得y=y 1+y 2，当0≤t ≤10时，y=15-t 2+6t+4t=15-t 2+10t=15-（t ﹣25）2+125，∴t=10时，y 最大=80；当10＜t ≤30时，y=15-t 2+6t+t+30=15-t 2+7t+30=15-（t ﹣352）2+3654， ∵t 为整数，∴t=17或18时，y 最大=91.2，∵91.2＞80，∴当t=17或18时，y 最大=91.2（百件）．15、荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m ＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．【解答】解：（1）设解析式为y=kt+b，将（1，198）、（80，40）代入，得：，解得：，∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）；（2）设日销售利润为w，则w=（p﹣6）y，①当1≤t≤40时，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450，=2450；∴当t=30时，w最大②当41≤t≤80时，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，=2301，∴当t=41时，w最大∵2450＞2301，∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．（3）由（2）得：当1≤t≤40时，w=﹣（t﹣30）2+2450，令w=2400，即﹣（t﹣30）2+2450=2400，解得：t1=20、t2=40，由函数w=﹣（t﹣30）2+2450图象可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，而当41≤t≤80时，w最大=2301＜2400，∴t的取值范围是20≤t≤40，∴共有21天符合条件．（4）设日销售利润为w，根据题意，得：w=（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣t2+（30+2m）t+2000﹣200m，其函数图象的对称轴为t=2m+30，∵w随t的增大而增大，且1≤t≤40，∴由二次函数的图象及其性质可知2m+30≥40，解得：m≥5，又m＜7，∴5≤m＜7．。

(十)——函数类实际应用题

专题复习：函数类实际应用题一、专题精讲数学来源于生活，各地中考题常常出现用函数解决实际应用问题的题目，涉及的背景材料十分广泛，在解题时应注意审题，运用所学的知识将其转化为函数模型. 将所学的知识真正灵活运用是解题的关键.函数的实质是研究两变量之间的对应关系，函数类实际应用题是把题目中两个变量之间的关系抽象为函数模型，如一次函数、分段函数、反比例函数、二次函数等，进而应用函数知识进行分析、研究和解决相关问题.解题策略：理解变量之间的关系，构建函数模型，用函数知识解决实际问题.二、典型例题1、图表信息题【例1】（2012•海南）星期六，小亮从家里骑自行车到同学家去玩，然后返回，下图是他离家的路程y（千米）与时间x（分钟）的函数图象.下列说法不一定．．．正确的是( )A．小亮家到同学家的路程是3千米B．小亮在同学家逗留的时间是1小时C．小亮去时走上坡路，回家时走下坡路D．小亮回家时用的时间比去时用的时间少【分析】从函数的图象可知，小亮家到同学家的路程是3千米；小亮在同学家逗留的时间是80－20=60（分钟）=1小时；小亮回家时用的时间为95－80=15（分钟），去时用的时间为20分钟，所以小亮回家时用的时间比去时用的时间少.故选项A，B，D都正确.对于选项C，虽然小亮回家时用的时间比去时用的时间少，这只能说明小亮回家时骑自行车的速度加快了，不一定就是小亮去时走上坡路，回家时走下坡路.故选C.2、一次函数的应用【例2】（2012•广州）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式．（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？【分析】（1）未超过20吨时，水费y=1.9×相应吨数；超过20吨时，水费y=1.9×20+超过20吨的吨数×2.8；（2）该户的水费超过了20吨，关系式为：1.9×20+超过20吨的吨数×2.8=用水吨数×2.2．【解】（1）当x≤20时，y=1.9x；当x＞20时，y=1.9×20+2.8（x﹣20）=2.8x﹣18；（2）∵5月份水费平均为每吨2.2元，用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费．∴用水量超过了20吨．2.8x﹣18=2.2x，解得x=30．答：该户5月份用水30吨．点评：考查一次函数的应用；得到用水量超过20吨的水费的关系式是解决本题的关键．【例3】（2012•宁夏）某超市销售一种新鲜“酸奶”，此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出.这种“酸奶”的保质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理.（1）该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售.若设售出酸奶的瓶数为x（瓶），销售酸奶的利润为y（元），写出这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式。

初三超难奥数题

初三超难奥数题引言初三是学生们迈向高中的重要一年，面临着升学考试的压力和挑战。

奥数作为一种培养学生逻辑思维和解决问题能力的方法，也成为了很多学生备战升学考试的重要手段。

在初三阶段，有一些超难的奥数题目，让我们一起来探讨一下吧。

题目1：鸡兔同笼题目描述在一个笼子里有鸡和兔子，共有35个头，94只脚。

问笼子里分别有多少只鸡和兔子？解题思路假设鸡的数量为x，兔子的数量为y。

根据题意可以得到以下两个方程式：x + y = 35 （1）2x + 4y = 94 （2）将方程（1）乘以2，并与方程（2）相减可以消去x得到：2(x + y) - (2x + 4y) = 70 - 94-2y = -24y = 12将y=12代入方程（1）可以求出x：x + 12 = 35x = 23所以笼子里有23只鸡和12只兔子。

题目2：三角形面积题目描述已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足条件：a+b+c=10。

求当面积最大时，三边长的取值。

解题思路根据海伦公式，三角形的面积S可以表示为：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中s为半周长，即s = (a+b+c)/2。

根据题意s=5。

要使得面积最大，需要使得(s-a)(s-b)(s-c)最大。

根据均值不等式可得：(s-a)(s-b)(s-c) ≤ [(s-a)+(s-b)+(s-c)]^3/27代入s=5可得：(a+b+c/3)^3 ≥ (5-a)(5-b)(5-c)由于a+b+c=10，所以(a+b+c/3)^3 = 1000。

当且仅当a=b=c时等号成立。

所以当且仅当a=b=c=10/3时取得最大面积。

题目3：完美立方题目描述一个整数称为完美立方，如果它是一个正整数的立方和。

例如1^3 + 2^3 + 3^3 = 36是一个完美立方。

请找出10000以内的所有完美立方。

解题思路我们可以使用三重循环来遍历所有可能的组合，并判断其是否为完美立方。

for a in range(1, 22):for b in range(a, 22):for c in range(b, 22):if a**3 + b**3 + c**3 <= 10000:if a**3 + b**3 + c**3 == (a+b+c)**3:print(a, b, c)通过上述代码，我们可以找出10000以内的所有完美立方。

全国初三奥数试题及答案

全国初三奥数试题及答案试题一：代数问题题目：若\( x \)和\( y \)满足\( x^2 - 5xy + 6y^2 = 0 \)，求\( x \)和\( y \)的值。

解答：首先将方程分解为\( (x - 2y)(x - 3y) = 0 \)，从而得到\( x = 2y \)或\( x = 3y \)。

将\( x = 2y \)代入原方程，得到\( y = 0 \)，进而\( x = 0 \)。

将\( x = 3y \)代入原方程，得到\( y = 0 \)或\( y = 1 \)，对应\( x = 3 \)。

所以，\( x \)和\( y \)的值可以是\( (0, 0) \)或\( (3, 1) \)。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为3和4，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度可以通过计算\( \sqrt{3^2 + 4^2} \)得到。

计算结果为\( \sqrt{9 + 16} =\sqrt{25} = 5 \)。

所以，斜边的长度是5。

试题三：组合问题题目：有5个不同的球和3个不同的盒子，将球放入盒子中，每个盒子至少有一个球，有多少种不同的放法？解答：首先，我们需要将5个球分成3组，每组至少有一个球。

这可以通过组合数\( C(5, 2) \)来计算，即从5个球中选择2个球组成一组的方法数。

计算得到\( C(5, 2) = 10 \)种分组方法。

然后，将这3组球分配到3个盒子中，有\( 3! \)种分配方法。

所以，总的放法数为\( 10 \times 3! = 60 \)种。

试题四：数列问题题目：一个等差数列的第3项是5，第5项是15，求这个数列的首项和公差。

解答：设等差数列的首项为\( a \)，公差为\( d \)。

根据等差数列的性质，我们有\( a + 2d = 5 \)和\( a + 4d = 15 \)。

解这个方程组，我们得到\( a = -5 \)和\( d = 5 \)。

初中函数应用题解题技巧

初中函数应用题解题技巧
1. 嘿，你知道吗？初中函数应用题的解题技巧之一就是要认真审题呀！比如说这样一道题：小明以每小时 5 千米的速度行走，走了 x 小时，问走
了多少路程。

这多简单呀，速度乘以时间不就是路程嘛！大家可别马虎哦！
2. 哎哟喂，要善于找出关键信息啊！像有道题说商店里某种商品进价
10 元，售价 15 元，利润是多少？这不明摆着用售价减进价嘛，可别傻傻
分不清呀！
3. 嘿呀，一定要根据题目条件列方程呀！比如有这样的：一个数的 3
倍比它本身大 10，问问这个数是多少。

咱就设这个数是 x，那不就可以列
3x=x+10 嘛！
4. 哇塞，要学会画图呀！像有道题说甲乙两人在相距 100 米的两地同
时出发相向而行，问多久相遇。

画个图，一目了然啊，多直观呀！
5. 嘿，有的时候得换个角度思考呀！以前遇到过一道题，怎么都想不明白，后来换个思路，哇，一下子就懂了呢！
6. 哎呀呀，多做些练习题也是很重要的呀！就像学走路，多走才能熟练嘛。

多练几道题，再遇到类似的就不怕啦！
7. 哼，可别小瞧那些简单的题哦，它们可是基础呢！像那种求面积的，可别弄错公式啦！
8. 哈哈，掌握了这些技巧，初中函数应用题还怕它干嘛！咱就大胆去做，肯定能搞定！。

初三数学奥数题及答案

初三数学奥数题及答案题目一：数列问题题目描述：已知数列 {a_n} 的前几项为 a_1 = 1, a_2 = 3, a_3 = 6, a_4 = 10, ... 求 a_5 的值以及数列的通项公式。

解题思路：观察数列的前几项，可以发现每一项与前一项的差值依次为 2, 3, 4, ... 这是一个等差数列的差值，差值为 1, 2, 3, ...。

因此，可以推断出数列 {a_n} 的通项公式为 a_n = 1 + n * (n - 1) / 2。

答案：根据通项公式，a_5 = 1 + 5 * (5 - 1) / 2 = 1 + 20 / 2 = 11。

题目二：几何问题题目描述：在三角形 ABC 中，已知 AB = 5, AC = 7, BC = 6。

求三角形 ABC 的面积。

解题思路：利用海伦公式，首先计算半周长 s = (AB + AC + BC) / 2 = (5 + 7 + 6) / 2 = 9。

然后根据海伦公式S = √(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC)) 计算面积。

答案：S = √(9 * (9 - 5) * (9 - 7) * (9 - 6)) = √(9 * 4 * 2* 3) = 6√6。

题目三：组合问题题目描述：有 10 个不同的球，要将它们放入 3 个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球。

求不同的放法总数。

解题思路：首先，将 10 个球分成 3 组，其中两组有 3 个球，另一组有 4 个球。

使用组合公式 C(n, k) 计算分组的方法数，然后将分组的结果分配到 3 个盒子中。

答案：首先计算分组的方法数，C(10, 3) = 120。

然后将 3 组分配到3 个盒子中，有 3! = 6 种方法。

因此，总的放法数为 120 * 6 = 720。

题目四：函数问题题目描述：已知函数 f(x) = x^2 - 6x + 8，求 f(x) 的最小值。

解题思路：观察函数 f(x)，可以看出它是一个开口向上的二次函数。

第35课时函数在实际中的应用举例(含解答)

函数在实际中的应用函数在中考中具有重要的地位，近几年中考中出现很多与实际问题相结合的函数题目，注意实际问题和函数的转化。

例1．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。

（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式。

（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？分析：（1）已知，顶点（0，3.5）过一点（1.5，3.05）用顶点式。

（2）已知横坐标－2.5，求出纵坐标，就是抛出点的高度。

解：（1）由题意知抛物线顶点坐标为（0，3.5）且过（1.5，3.05）点，∴设y=a(x-0)2+3.5即y=ax2+3.5，将（1.5, 3.05）代入，3.05=2.25a+3.52.25a=-0.45a=-∴y=-x2+3.5（2）当x=-2.5时，y=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.252.25-1.8-0.25=0.20(m)答：球出手时，他距离地面高度是0.20m。

说明：求抛物线的解析式时，一定要正确找到抛物线上的点，并注意根据坐标系的位置，确定坐标的符号。

例2．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系上经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。

在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距离水面10米，入水处距池边的距离为4m，同时，运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。

（1）求这条抛物线的解析式。

（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是图中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。

分析：挖掘已知条件，由已知条件和图形可以知道抛物线过（0，0）（2，-10），顶点的纵坐标为。

中考数学复习讲义：专题十九借助函数关系解决图形问题

利用函数关系解决图形问题一、借助函数关系解决面积问题1. (2022陕西黑白卷)问题提出(1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC，S△ABC＝363，点P为AB上的动点，求CP的最小值；问题解决(2)如图②，以AB为直径的半圆O是一片草地，某园艺规划师计划在AB上找一点C，与点A，B围成一个三角形区域，在△ABC中种植花卉，其中AC＝40米，BC＝30米．按照设计要求，在AB上取一点P，AC，BC上分别取点E，F，且点E，F到AB的距离相等，为提高人们的观赏性，在点P，E，F围成的三角形区域内种植甲花卉，其他区域内种植乙花卉，已知甲花卉的价格为40元/平方米，乙花卉的价格为80元/平方米，请问是否存在符合设计要求且使得总费用最少的△EPF？若存在，请求出最少费用及此时EF的长；若不存在，请说明理由．2.一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.（1）求证：ΔAEF～ΔABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？3.如图，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，矩形DEFG的边EF在BC边上，顶点D，G分别在AB，AC边上．设EF＝x，矩形DEFG的面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求矩形DEFG面积的最大值．4.如图，四边形ABCD为某老式住宅的地基平面示意图，其中∠A＝∠B＝90°，AD＝9 m，AB ＝14 m，BC＝23 m．某设计师受业主委托将该住宅翻新改造，为了固定房屋主体结构，设计师打算在AB，CD边上分别选取两点E，F，使得EF∥BC，再在BC上选取点G，H，连接EG，FH 交于点O(点O在四边形ABCD内部)，且满足EG⊥FH，EG∥CD，设AE＝x(m)，房屋主体结构所在四边形EFGH的面积为S(m2).(1)请求出S与x的函数关系式；(2)求S的最大值及此时AE的长．6.如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D为BC上一点，分别过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，以ED，DF为邻边在△ABC内作四边形DEGF，设BD＝x，四边形DEGF的面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求四边形DEGF面积的最大值．二、借助函数关系解决线段问题1. 问题提出(1)如图①，在等边△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且∠ADE＝60°，若AB＝3，BD＝1，则CE的长为________；问题解决(2)某开发商准备依托AB，BC两条街道建立一个四边形游乐场ABCD，规划游乐场的平面示意图如图②，已知AB＝500 m，BC＝300 m，根据规划要求，将点C处修建为停车场(大小忽略不计)，在空地上的点D处建立标志性建筑摩天轮，在AB，BC上的点E，F处建立游乐场入口，为了整体布局与美观，要使得DE∥BC，DC∥AB，∠DEF＝∠A，在满足规划要求时，停车场与入口F是否存在最短距离(即CF最短)？若存在，请求出CF的最小值以及此时摩天轮到停车场的距离；若不存在，请说明理由．第1题图2.如图，ΔABC是一块锐角三角形材料，边BC=6c＝6cm，高AD=4cm＝4cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，要使矩形EGFH的面积最大，EG的长应是多少?3.李大爷计划用18米长的绳子围成如图所示的矩形围栏，其中AD 为墙(AD 足够长).若AB ＝x ，矩形ABCD 的面积为y.(1)求y 与x 之间的关系式；(2)当矩形ABCD 的面积最大时，求AB 的长．4.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，连接AC ，∠ABC ＝120°，点E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，AD 上的点，且四边形EFGH 为矩形，设BE ＝x ，矩形EFGH 的面积为y.（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当S 矩形EFGH ＝21S 菱形ABCD 时，求AE 的长．5.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，D是AC边上一点(不与点A，C重合)，过点D作DE⊥BC于点E，若BE＝x，BD2＝y.(1)求x的取值范围；(2)求y与x之间的函数关系式．6.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点P为AD边上一点(不与点A，D重合)，连接BP，PQ⊥BP交CD于点Q.若AP＝x，DQ＝y.(1)求y与x的关系式；(2)求DQ的最大值．7. 如图，是一直径为100 m的圆形空地，空地中建设一正方形停车场ABCD，为了满足停车场中所停车辆的充电需求，计划在劣弧BC上一点P处安装一个小型变压器，在正方形ABCD的四个顶点处修建充电桩，同时从点P处埋设电路直通A，B，C，D四个充电桩，若设变压器到最近的两个充电桩所埋设的电路PB，PC的总长度为x(m)，到A，D两个充电桩所埋设的电路PA，PD的总长度为y(m).(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若变压器P与充电桩C的距离为60 m，则埋设的电路长度一共有多长？。

初三数学奥数问题总结归纳

初三数学奥数问题总结归纳在初三的数学学习过程中，奥数问题一直是学生们比较头疼的一块内容。

奥数问题通常要求思维灵活、创新能力强，这对学生的数学思维能力和解题技巧提出了更高的要求。

以下是对初三数学奥数问题进行总结归纳的内容。

一、数论问题数论问题是奥数中常见的类型之一。

数论问题主要关注整数之间的关系，通过寻找规律和运用性质来解题。

例如，以数列为题材的数论问题要求学生找到数列中的规律并加以利用。

如下所示：【例题1】设数列{an}满足a1=2,a2=7,以后的每一项都是前两项的和。

求a2019。

解析：观察前几项的数列可以发现，每一项都是前两项的和。

可以写成递推公式an=an-1+an-2。

根据已知条件，采用代入法，不断替代，就可以求出a2019的值。

二、几何问题几何问题是奥数中另一个常见的类型。

几何问题要求学生在平面上通过推理和创造性思维解决各种几何形状和关系的问题。

例如，下面是一个求解等腰三角形性质的问题：【例题2】在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB延长线上一点，连接CD并延长到BC交于E，已知角CED的度数为x，求角A。

解析：根据等腰三角形的性质可知角B=角C。

然后，利用角的对应角性质，找到与角CED对应的角。

最后，利用角度和为180°的性质，将已知条件代入方程式，求解角A的值。

三、代数问题奥数中的代数问题一般涉及到方程式的转化、代数式的化简等内容。

学生需要通过巧妙的变化和运算，找到问题的解。

例如，下面是一个关于一元二次方程的问题：【例题3】求解方程x^2-3x+2=0。

解析：根据一元二次方程的解的性质，我们可以通过因式分解的方法，转化成(x-1)(x-2)=0。

然后，利用零乘法，我们可以得到两个解：x=1和x=2。

四、排列组合问题排列组合问题在奥数中也经常出现。

这类问题要求学生了解排列、组合等基本概念，并能够在实际情境中运用。

例如，以下是一个排列组合问题的示例：【例题4】从1、2、3、4、5五个数字中任意选取三个数字，组成一个三位数。

初三年级奥数知识点：用配方法求解一元二次方程

初三年级奥数知识点：用配方法求解一元二次方程 1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

通过配方解决数学问题的方法叫配方法。

其中，用的最多的是配成完全平方式。

配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、配方法的应用对所有一元二次方程都适用，但特别对于二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程用配方法会更为简单。

【配方法】一般步骤：第一步：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项;第二步：方程两边同时除以二次项系数;第三步：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为的形式;第四步：用直接开平方解变形后的方程.习题用配方法解下列方程1. x2-2x-3=02. 2x2+12x+10=03. x2-4x+3=04. x2/4 +x-3=05. 9x2-6x-8=06. x2+12x-15=07. 2x2+1=3x8. 3x2-6x+4=09. 3x2+6x-4=010. 4x2-6x-3=0配方技巧一：公式法利用一些现有公式对某一类型的代数式直接配方如：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2二：函数法数学中的很多东西都是交集的，对于某些特定的二次函数(只有一个顶点，且该定点在x轴上)，令其顶点坐标为(a,0),则该函数对应的关于自变量的代数式就能够配方为(x-a)2配方法对于代数式x2-2x+1能够配方为(x-1)2。