通过肋片的导热

经过肋片的导热
纲要
在工程实质中，常常需要增添（对流）传热量，应用比较宽泛的较为有效
的一种方法就是增添换热面积，即采纳肋片——在资料耗费量增添较少的条件
下能许多地增大换热面积。

试从微分方程对肋片进前进行数学剖析，成立温度场。

肋片，又称翅片是指依赖于基础面上的扩展表面，图（1）给出了四种典型的肋片构造。

问题的描绘
经过肋片的导热有个特色，就是在肋片伸展的方向上有表面的对流传热及辐射传热，因此肋片中沿导热热流传达的方向上热流量是不停变化的。

剖析肋片的导热要回答两个问题：从基础面伸出部分（即肋片）的温度沿导热热量传达的方向是怎样变化的，以及经过肋片的散热热流量（亦可简称散热量）有多少。

在这将从导热微分方程出发来解决这些问题，但仅以等截面直肋为例，其余肋片暂不作剖析。

从图（ 1b）所示的构造中拿出一个肋片来剖析，如图（ 2a）所示。

肋片与基础表面订交处（称为肋根）的温度 t?为已知，为不失一般性，设 t?大于四周流体温度 t∞。

该肋片与四周环境之间有热互换，并已知包含对流传热及辐射传热在内的复合换热的表面传热系数 h。

此刻的任务是要确立肋片中的温度散布及经过该肋片的散热量。

模型的成立
基本假定与符号的说明
即在 依据所给问题的条件， 能够做以下假定，进而既能使问题获取适合简化，便于数学办理，又能保持实质问题的基本特色：（ 1）资料的导热系数 、表
面传热系数 h
以及沿肋高方向的横截面积
A
c
均各自为常数；（ 2）肋片温度在垂直
于纸面方向 （即长度方向）不发生变化，所以可取一个截面 （即单位长度）
来剖析；（ 3）表面上的换热热阻
1 h
远大于肋片中的导热热阻δ /λ，因此在任
一截面上肋片温度可以为是均匀的；（ 4）肋片顶端可视为绝热，即在肋的顶
dt
端
dx。

经过上述简化，所研究的问题就变为了一维稳态导热问题，如图（
2b ）所
示，而且能够假想，肋片各截面的温度沿高度方向是逐渐降低的（图
2c ）。

求解的任务就是要找出截面温度沿高度方向的变化规律。

数学模型描绘
此刻来成立肋片中温度场的数学模型描绘。

第一，导热微分方程式
2t
2t
2t
x
2
y
2
z
2
可简化为
d 2t 0
dx
2
（ a ）
此刻需要进一步确立的是源项
的表达式。

对于所研究的问题，肋片的两个侧
面其实不是计算地区的地界 （计算地区的界限是 x=0 及 x=H ），但经过该两表面有热量的传达。

在这类状况下， 能够把经过界限所互换的热量折算成整个截面
积上的体积源项。

取长度为 dx 的微元段来剖析。

设参加换热的截面周长为 P ，则表面的总散热量为
s
( pdx)h(t t )
（ b ）
相应的微元体积为
A
c
dx ，因此相应的折算源项为
s
hp(t t )
A c dx
A c
（ c ）
因为肋片向环境散热，相当于负的源项，因此取负号。

将式（
c ）代入式（a ），
得
d 2 t hp(t t )
dx 2
A c
（ d ）
相应的两个界限条件为
x 0,t t 0 ; x H ,
dt
dx
（ e ）
式（ d ）、（ e ）组成了温度场的完好的数学描绘。

模型的剖析求解
式（ d ）是对于温度的二阶非齐次常微分方程，为便于求解，引入过余温
度 t t
，可得对于过余温度的齐次方程，于是有
d 2 m 2
dx 2
x 0,
t t ; x H ,
d
dx
此中
m
hp ( A c
)
为一常量。

式（ f ）是一个二阶线性齐次常微分方程，其通解为
c 1e mx c 2 e mx
此中
c
1 、
c
2
由两个界限条件式（ g ）确立，即
c 1 c 2
0 , c 1 me
mH
c 2 me mH
最后可得肋片中的温度散布为
e mx e 2mH e mx
ch[ m( x H )]
e 2mH
1
ch(mH )
令
x
H
，即可从上式得出肋端温度的计算式。

因
ch0 1 ，故得
（ f ）
（ g ）
（ h ）
（ i ）
（ j ）
H
ch( mH )
（ k ）
由肋片散入外界的所有热流量都一定经过
x
处的肋根截面。

将式（
j ）
的 代入傅立叶定律的表达式，即的此热流量为
hp
A c 0 mth(mH )
m 0
th(mH )
（ l ）
式（ j ）、（ k ）、（l ）中的双曲函数 ch(mH ) 和 th(mH )
的数值可从数学手册中查
出。

模型的改良与推行
以上依据肋片末梢端面绝热的近似界限条件
[ 式（ g ）] 获取的理论解，应
用于大批实质肋片能够获取适用上足够精准的结果。

对于一定考虑肋片末梢端
面散热的少量场合，其理论解能够参看文件。

值得指出，在计算 时，有一种奇妙的简化办理方法可取代较繁的理论解。

以图 1 所示的直肋为例， 若是肋厚
H H
为 ，则能够用假想高度
2 取代实质高 H ，而后仍按式（ l ）计算。

这
种办理，其实是鉴于这样一种想法， 即为了照料末梢端面的散热而把端面面积铺展到侧面上去。

值得指出，实质上沿整个肋表面换热系数经常是不均匀的， 这时能够按其均匀值来计算。

假如出现严重的不均匀性， 则问题的求解就需要采纳其余的数学剖析方法。

肋效率与肋面总效率
前方指出，采纳肋片主若是为了增添换热量， 我们自然很关怀采纳一个肋片能增添多少换热量？为了表征肋片散热的有效程度， 引进一个称为肋效率的
新参数
f。

它有以下的物理意义：
实质散热量
f
假定整个肋表面处于肋基温度下的散热量
（ m）已知肋效率 f 即可计算出肋片的实质散热量。

对于等截面直肋，其肋效率为
hp m 0th( mH )
th(mH )
f
mH
hpH 0（ n）
对于直肋，假定肋片长度l 比其厚度
要大得多，所以可取单位长度来研
究。

此中参加换热的周界
p 2
，于是有
mH hp H2h H2h H
A c1
（ o）
对于其余形状肋片的效率暂不作剖析。

肋面总效率
以上议论的是单个肋片的效率，实质上肋片老是成组地被采纳的，如图图
所示。

设流体的温度为t
f ，流体与整个表面的表面传热系数为
h，肋片的表面极为
A
f ，两个肋片之间的根部表面积为A
r ，根不温度为
t
0 ，则所有肋片与根部面积之和
为A
0 ，则
A
A
f
A
r 。

计算该表面的对流换热量时，若以
t
t
f 为温差，则有：
此中
称为肋面总效率。

明显，肋面总效率高于肋片效率，在换热器设计中有所应用。

肋片的采纳与最小重量肋片
在大部分条件下，特别是对于航天器而言，研究在必定的散热量下的最小
重量的肋片拥有重要意义，在此不作剖析。

在实质应用的时候应正确的理解该模型，才能娴熟地运用，并能够将一些表面上看来与肋片风马牛不相及的问题与肋片导热问题联系起来，比如温度计套管的丈量精准问题，在此暂不作剖析。

附图：
图（ 1）肋片
的典型构造
图（ 2）经过肋片的热量传达
图（ 3）肋化表面表示图
双曲函数：
sh(x)
e x e sinh x
2
双曲正弦：
ch(x)
e x e cosh x
2
双曲余弦：
x
x
th( x)
sinh x e x e tanh x
e x e
双曲正切：cosh x x x
参看文件：
[1]姜启源编数学模型 . 北京：高等教育第一版社 1993
[2]杨世铭，陶文铨 . 传热学 (第四版） . 北京：高等教育第一版社 2006
[3]高等数学及其教课软件（上册）（第二版）. 上海交通大学、集
美大学编北京：科学第一版社2005
[4]杨启帆、李浙宁、王聚丰、涂黎晖编着 . 数学建模事例集北京：高等教育第一版社。