高二数学开学摸底考试卷新教材人教A版05(解析版)

2020年秋季高二开学摸底考试（五）
一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1、（2020·浙江省学军中学高一期末）已知函数2,01,()2,12,1,2,2
x x f x x x ⎧
⎪≤≤⎪
=<<⎨⎪⎪≥⎩，则
3[()]2f f f ⎧
⎫⎨⎬⎩
⎭的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3-
D ．
1
2
【答案】A
【解析】由题意得,3()=22f ,1(2)=
2f ,1()=2=1122
f ⨯, 所以3[()]=[(2)]=()=12
12f f f f f f ⎧
⎫⎨⎬⎩⎭
,故选：A.
2、（2020·广东省深圳中学高三期末）已知0.7log 0.8a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b a c << B ．a c b <<
C ．a b c <<
D ．c a b <<
【答案】A
【解析】对于0.7log 0.8a =，0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=
1.1 1.1log 0.9log 10b =<=，0.901.1 1.11c =>=，所以：b a c <<，故选：A
3、（2020·湖南省长郡中学高一期末）函数332
x
x x
y =+的值域为（ ） A ．（0，＋∞） B ．（－∞，1） C ．（1，＋∞） D ．（0，1）
【答案】D
【解析】
31
32213x
x
x x
y ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，()20,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，故令()211,3x
t ⎛⎫
=+∈+∞ ⎪⎝⎭，1y t
=在()1,+∞为减函数，当1t =时，1y =，故()0,1y ∈，故选：D
4、（2020·重庆巴蜀中学高一期末）tan 50tan 80tan 80tan 50tan 30
︒︒
︒︒︒
--的值为（ ）
A ．
B
C ．D
【答案】D
【解析】()tan 50tan80tan 50tan801
tan80tan 50tan 30tan 30tan 301tan80tan 50tan 30
︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒
===-+-- 故选：D .
5、（2020·湖南省长沙一中高一期末）已知两条不同直线a 、b ，两个不同平面α、β，有如下命题： ①若//a α，b α⊂ ，则//a b ； ②若//a α，//b α，则//a b ； ③若//αβ，a α⊂，则//a β； ④若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a b 以上命题正确的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
【答案】C
【解析】①若a ∥α，b ⊂α，则a 与b 平行或异面，故①错误； ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ，则a 与b 平行，相交或异面，故②错误； ③若//αβ，a ⊂α，则a 与β没有公共点，即a ∥β，故③正确； ④若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 无公共点，∴平行或异面，故④错误． ∴正确的个数为1．故选C ．
6、（2020·黑龙江省黑龙江实验中学高二期末）由直线30x y ++=上一点P 向 圆 C ：()()2
2
231x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ） A ．
14
B ．13
C ．
12
D ．1
【答案】D
【解析】点P 为直线上到圆心C 距离最小的点时，切线长最小，故有
min PC ==．切线长最小值
1=．故选：D ．
7、（2020·河南省郑州外国语中学高一月考）设D E 、分别是ABC 的边AB BC 、上的点，
12
AD AB BE BC 23
=
=，，若12DE AB AC λλ=+（12λλ，为实数），则12λλ+的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．12 D ．1
4
【答案】C
【解析】由题意，如图，
因为12
AD AB BE BC 23
=
=，， 所以()
212121
323236
DE BE BD BC BA AC AB BA AC AB =-=-=--=-，，
又12DE AB AC λλ=+（12λλ，为实数）， 所以121
263，λλ=-=，所以12121
632
λλ+=-+=，故选C ．
8、（2020·河北省正定中学高一期中）若函数,1
()42,12x a x f x a x x ⎧≥⎪
=⎨⎛⎫
-+< ⎪⎪⎝
⎭⎩，且满足对任意的实数12x x ≠都有
()()1212
0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(1,)+∞
B ．(1,8)
C ．(4,8)
D ．[4,8)
【答案】D
【解析】由于()f x 足对任意的实数12x x ≠都有
()()1212
0f x f x x x ->-成立，所以()f x 在R
上递增，所以
1
1
402422a a a a ⎧⎪>⎪
⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩
，即184
a a a >⎧⎪<⎨⎪≥⎩，解得48a ≤<.故选：D.
二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分） 9、（2020·重庆巴蜀中学）设α是第三象限角，则2
α
所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】BD 【解析】
α是第三象限角，
360180360270k k α∴⋅︒+︒<<⋅︒+︒，k Z ∈，
则180901801352
k k α
⋅︒+︒<<⋅︒+︒，k Z ∈，令2k n =，n Z ∈
有360903601352
n n α
⋅︒+︒<
<⋅︒+︒，n Z ∈；在二象限；21k n =+，n z ∈， 有3602703603152
n n α
⋅︒+︒<
<⋅︒+︒，n Z ∈；在四象限；故选：B D ．
10、（2020·福建省厦门一中高一月考）下列四式中能化简为AD 的是（ ） A ．()
AB CD BC ++ B ．()()
AB MB CM BC +++ C ．()MB AD BM +- D ．()
OC OA CD -+
【答案】AD
【解析】()
AB CD BC ++AB BC CD AD =++=，A 正确；
()()AB MB CM BC AB MB CM BC AB BC CM MB +++=+++=+++AC CB AB =+=，B 错误； ()2MB AD BM MB AD MB MB AD +-=++=+，C 错误；
()AO A OC OA CD OC CD OC CD A O D -+=++=++=，D 正确．故选：AD ．
11、（2020·广东省深圳中学高一期末）下列说法中，正确的有（ ）
A ．直线y ＝ax ﹣3a +2 （a ∈R ）必过定点（3，2）
B ．直线y ＝3x ﹣2 在y 轴上的截距为2
C ．直线
x +1＝0 的倾斜角为30° D ．点（5，﹣3）到直线x +2＝0的距离为7 【答案】ACD
【解析】对A,化简得直线()32y a x =-+,故定点为()3,2.故A 正确. 对B, 32y x =-在y 轴上的截距为2-.故B 错误. 对C,
直线10x +=
的斜率为3,故倾斜角θ
满足[)tan 01803
θθ=∈︒，, 即30θ=︒.故C 正确.
对D, 因为直线2x =-垂直于x 轴,故
()5,3-到2x =-的距离为()527--=.故D 正确.故选：ACD.
12、（2020·福建省厦门双十中学高二开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22
40x y x +-=.
若直线()1y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取可以是() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】AB
【解析】2
2
2
2
40(2)4x y x x y +-=∴-+=
P 所作的圆的两条切线相互垂直，所以P ，圆点C ，两切点构成正方形
=PC 即22
(2)8x y -+=
P 在直线()1y k x =+
上，圆心距d =
≤
计算得到k -≤≤，故答案选AB
三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
13、（2020·山西省忻州一中高一期末）已知样本9、10、11、x 、y 的平均数是10，方差是2，则xy =______. 【答案】96
【解析】由平均数公式得
91011105
x y
++++=，即20x y +=，
()()()()()
2
2
2
2
2
91010101110101025
x y -+-+-+-+-=，即()()22
10108x y -+-=，
即()2
2
202008x y x y +-++=，可得()2
2
208200208x y x y +=++-=，
()2
2222022082x y x y xy xy =+=++=+，解得96xy =.故答案为：96.
14、（2020·广东省金山中学高一期末）函数2
21()3
x x y +=的单调递减区间为________；值域是________.
【答案】[1,)-+∞ (0,3]
【解析】2
12,()3
u
u x x y =+=在实数R 上是单调递减，
222(1)1u x x x =+=+-在[1,)-+∞上单调递增，
在(,1)-∞-上单调递减，根据复合函数的单调性， 函数()f x 的单调递减区间是[1,)-+∞，
22111
2(1)11()()333u u x x x y -=+=+-≥-=≤=，，
0,()y f x >∴的值域为(0,3].
故答案为：（1）[1,)-+∞；（2）(0,3].
15（2020·湖南省长郡中学高一期末）若存在正整数ω和实数ϕ使得函数2()sin ()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示,则ω的值为__________.
【答案】2
【解析】由2
1cos(22)()sin ()2x f x x ωϕωϕ-+=+=
及图象知：函数的半周期在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
之间，即1121222πω<⨯
<，得2
π
πω>>
，正整数2ω=或3；
由图象经过点(1,0)，所以()1cos(22)
102
f ωϕ-+==，知222()k k Z ωϕπ+=∈，
222k ωϕπ∴=-+，
由图象知1(0)2f >
，即
1cos21cos21
222
ϕω--=>，得cos20ω<， 又ω为正整数2或3，可得：cos40<，cos60>，所以可得：2ω=．故答案为：2
16、（2020·上海市七宝中学高二期末）当实数,a b 变化时，两直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=与
22:20l m x y n ++=都通过一个定点，则点(,)m n 所在曲线的方程为_________；
【答案】226n m =-
【解析】因为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，对任意的实数,a b 都成立，
所以21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得2
3x y =-⎧⎨
=⎩
， 所以直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=过定点()2,3-，
因为 2l 也通过定点()2,3-，将()2,3-代入2
20++=m x y n ，
得226n m =-.故答案为：226n m =-
四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）
17、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）非空集合()(){}
2
|312310A x x a x a =-++-<，集合
(){}
223|220B x x a a x a a =-++++<
（Ⅰ）当3a =时，求A
B ；
（Ⅰ）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.
【答案】（I ）{}|38A
B x x =<<；（Ⅰ）(]1,11,22
⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
【解析】（I ）当3a =时，{
}2
|10160A x x x =-+<()(){}
|280x x x =--<
{}|28x x =<<；
{}2|14330B x x x =-+<()(){}|3110x x x =--<
{}|311x x =<<；
人教版高中测试卷系列
故{}|38A
B x x =<<.
（Ⅰ）()(){}
|2310A x x x a =---<⎡⎤⎣⎦.
()(){}
2|20B x x a x a ⎡⎤=--+<⎣⎦.
∵2
2172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝
⎭，
∴22a a +>.
∴{
}
2
|2B x a x a =<<+.
A B ⊆.
①当1a =时，312a -=，
A =∅，不符合题意；
②当1a >时，312a ->，
{}|231A x x a =<<-，要使A B ⊆， 需要212312a a a a >⎧
⎪
≤⎨
⎪-≤+⎩
∴12a <≤.
③当1a <时，312a -<，
{}|312A x a x =-<<，要使A B ⊆， 需要213122a a a a <⎧⎪
≤-⎨⎪≤+⎩
∴
1
12
a ≤<. 综上所述，实数a 的范围是(]1,11,22⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
.
18、（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB BB =，且160ABB ∠=︒，D 为AC 的中点.
（1）求证：1//B C 平面1A BD ；
（2）求证：1AB B C ⊥.
【解析】（1）连接1AB ，交1AB 于点E ，连接DE ．
在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是平行四边形，
因为11AB A B E =，
所以E 是1AB 的中点，所以1//DE B C ．
又DE ⊂面1A BD ，面1B C ⊄面1A BD ．
所以1//B C 平面1A BD ．
（2）取AB 的中点Q ，连接QC 、1QB ．
囚为1AB BB =，160ABB ∠=︒．所以1ABB △是正三角形，11BB B A =．
因为Q 是AB 的中点，所以1AB B Q ⊥．
因为CA CB =，Q 是AB 的中点，所以AB CQ ⊥． 又1B Q
CQ Q =，1B Q ，CQ ⊂面1CQB ，
所以AB ⊥面1CQB ．
因为1B C ⊂面1CQB ，
所以1AB B C ⊥．
19、(2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟)已知()
π02α∈，，()
ππ
2β∈，，1cos 3
β=-，()7sin 9
αβ+=.
（1）求sin α的值；
（2）求tan +
2βα⎛⎫
⎪⎝
⎭
的值. 【解析】（1）因为1,,cos 23πβπβ⎛⎫
∈=-
⎪⎝⎭
,
所以sin β== 又0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,故3,22
ππαβ⎛⎫+∈
⎪⎝⎭
,
所以cos()
αβ
+===,
所以sin sin[()]sin()cos cos()sin
ααββαββαββ
=+-=+-+
711
93933
⎛⎫
⎛⎫
=⨯---⨯=
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
（2）由（1）得,
1
sin
3
α=,0,
2
π
α⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
,
所以cos
3
α===,
所以
sin
tan
cos
α
α
α
==,
因为
222
22
222
cos sin1tan
222
cos cos sin
22
cos sin1tan
222
βββ
ββ
β
βββ
--
=-==
++
且
1
cos
3
β=-,
即
2
2
1tan
1
2
3
1tan
2
β
β
-
=-
+
,解得2
tan2
2
β
=,
因为,
2
π
βπ
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
,所以,
242
βππ
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
,所以tan0
2
β
>,
所以tan
2
β
=
所以
tan tan
24
tan
1
21tan tan1
22
β
α
β
α
β
α
+
⎛⎫
+===
⎪
⎝⎭-⋅-
20、（2020·北京四中高一期末）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取
了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均分成[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]五组，得到频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）如果有4名学生的成绩在10米到12米之间，求参加“掷实心球”项目测试的人数； （Ⅰ）若测试数据与成绩之间的关系如下表：
根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率． （Ⅰ）在（Ⅰ）的条件下，从该市初二年级男生中任意选取两人，假定两人的成绩是否优秀之间没有影响，求两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率．
【解析】（Ⅰ）由题意可知(0.20.150.0750.025)21a ++++⨯=,解得0.05a =. 所以此次测试总人数为
4
400.052
=⨯.
故此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人
（Ⅰ）设“从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀”为事件A . 由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生, 成绩优秀的频率为(0.150.05)20.4+⨯=, 则估计()0.4P A =.
（Ⅰ）记事件i A ：第i 名男生成绩优秀，其中1,2i =.两人中恰有一人成绩优秀可以表示为1221A A A A +， 因为12,A A 相互独立，21
,A A 相互独立， 所以1212()()()0.24P A A P A P A ==，2121()()()0.24P A A P A P A ==， 又因为1221
,A A A A 互斥， 所以12211221()()()0.48P A A A A P A A P A A +=+=. 所以两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.48.
21、（2020·山东省青岛二中高一期末）已知奇函数()2121
x x
a f x ⋅-=+的定义域为[]2,3a
b --. (1)求实数a ,b 的值;
(2)若[]2,3x a b ∈--,方程()()2
0f x f x m +-=⎡⎤⎣⎦有解,求m 的取值范围.
【解析】（1）因为奇函数定义域关于原点对称，所以230a b --+=.
又根据定义在0x =有定义，所以()00210021
a f ⋅-==+，解得1a =，1
b =.
（2）[]3,3x ∈-，令()21
21x x f x t -==+，7799t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝
⎭
则方程()()2
0f x f x m +-=⎡⎤⎣⎦有解等价于2
0t t m +-= 779
9t ⎛⎫
-≤≤ ⎪⎝⎭有解 也等价于2
y t t =+ 7
79
9t ⎛⎫-
≤≤ ⎪⎝⎭与y m =有交点.
画出图形根据图形判断：
由图可知：1112481
m -
≤≤时有交点，即方程()()2
0f x f x m +-=⎡⎤⎣⎦有解.
22、 已知圆C ：22
(1)x y a ++=(0a >)，定点(,0)A m ，(0,)B n ，其中,m n 为正实数. （1）当3a m n ===时，判断直线AB 与圆C 的位置关系；
（2）当4a =时，若对于圆C 上任意一点P 均有PA PO λ=成立(O 为坐标原点)，求实数,m λ的值；
（3）当2,4m n ==时，对于线段AB 上的任意一点P ，若在圆C 上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求实数a 的取值范围．
【解析】(1) 当3a =时,圆心为(1,0)-,
当3m n ==时,直线AB 方程为30x y +-=,
所以,
圆心到直线距离为d =
=,
所以,直线与圆相离.
（2）设点(,)P x y
，则PO =
PA =
∵PA PO λ=，∴()
22222()x m y x y λ-+=+，
()()2
22221120x y mx m λ
λ-+-+-=，
由2
2(1)
4x y ++=得，22230x y x ++-= ∴2232x y x +=-，
代入得， ()
()2213220x mx m λ--+-=， 化简得()()
22221310m x m λλ-+-+-=，
因为P 为圆C 上任意一点，所以，()2
22
10,
310,
m m λλ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩ 又,0m λ>，解得3m =，2λ=．
附赠材料：怎样提高做题效率
做题有方,考试才能游刃有余
提到考试,映入我眼帘的就是一大批同学在题海里埋头苦干的情景。

我并不排斥大家用题海战术,但是做题也不能瞎做蛮干。

有许多同学,同一道题做十遍
考试的时候还是错。

那么,这样的做题又有什么意义呢?
北京四中特级教师李俊和是这样对他的学生说的:“每一次做题的时候都先想想,最终目的是什么?我们不能为了做题而做题,求的应该是一种解题思维和题方法。

不愧是有多年教育经验的老师,李俊和老师真是一语道破了学习中的关键之处。

光解题没方法,做100道都不及别人做1道。

试题训练法
我们需要做哪些题,做多少题。

试题训练法是巩固学习成果的有效方法,是学习中不可忽视的环节。

但是盲目地做大量的习题而不去深入思考,不仅浪费时间,而且还可能把自己搞糊涂。

那么,哪些习题值得一做呢?
第一种是涉及教材知识的重点题。

例题是课本中最重要的题,做例题有利于巩固基础知识;其次,与教材中重点有关的练习题也是必须做的,这些涵盖了教材里的主要内容。

第二种是关于难点的练习题。

与课堂上老师特意强调的难点部分相关的习题一定不能放过。

难点部分通常也是难懂的地方,不弄懂就不可能真正掌握知识。

而且,如果你在平时的训练中只做那些没有难度的习题,你的能力不仅得不到提高,而且时间久了还会让你感到学习枯燥无味,成就感和新鲜感就更不用提了
第三种是关于疑点的练习题。

这里的疑点就是自己还没有弄懂的地方。

这个环节的问题不解决,很容易造成学习“欠债”的现象。

所以,有关这方面的习题训练一定不能放过,应该坚持去做。

对于自己一看就会的题目,以后就不要再做了,这说明这个题目的知识点你已经掌握得很熟练了,等到考试前再复习一下就可以了。

对于那些不懂或者费了很大劲才做出来的题目,要在题目前面做个记号,把这个题目作为重点进行理解,加深记忆,直到一看见这个题目，就知道解题思
路的熟练程度,才说明你彻底把这个知识点掌握了。

此外,同学们在日常做题时不要讲究做了多少题目,而应关注自己真正理解了多少个知识点。

一味追求题目数量,对提高学习成绩是没有多大的帮助的,适度即可。

每位同学的学习基础不同,接受课程内容的程度也不同,训练的内容要有所区别。

不要见到题就做,也不要见到难题就不放。

应该说,做题要因人而异,适合自己的题目才是最好的。

提高做题效果
每一道题都应该有收获
做题是运用所学知识解决问题、提高学习技能的过程。

所以,我们做的每道题目都应该是有收获的。

如果每次做题都只是为了做题而做题,不问效果那么不但起不到学习的作用,反而会白白浪费很多时间。

那么,怎样才能提高做题的效果呢?大家不妨参考一下湖北省优秀教师傅显全老师介绍的好方法:
一：答题步骤要完整规范
有不少同学在做题时不注意这一点,认为只要结果正确就可以了。

在做练习时,他们总是会为了节省时间,将一些步骤省略。

但是考试时,一些大的计算题、文字题和证明题都是按照步骤得分的,在解题过程中该出现的步骤没有出现,那就没有得分。

所以,我们在答题时一定要注意答完整、答规范。

二、争取一遍答对
我们在平时做题时,要努力争取每次答题一遍就对。

这种好习惯的养成会为我们今后的中考带来巨大的成功。

因为中考时的答题时间很紧张一般很难再有检查的机会。

北京附中的优秀学生胡波同学就曾说:“做练习应该要和考试一样,考试则应该和平时的练习一样。

其实,这就是在告诉我平时做作业时应该不粗心、不马虎,要求自己一次就做对。

三、做题做到熟练
现在,为数不少的同学在学习过程中满足于“已经懂了”“这样的题目已经做过了”的心态,而很少去追问自己:理解得深不深?做题的速度够不够快?保证永远不会做错吗?所以说,各位同学还是应该多在解题的熟练程度上下功夫,不要仅仅满足于“会做。