位育中学2021学年第一学期期中考试试卷高三数学

位育中学2021学年第一学期期中考试试卷
高三数学
一、填空题（每题4分，共56分）
1、已知全集{}1,2,3,4,5,6U
=，集合{}2,3A =，集合{}3,5B =，则B C A U ⋂=___________.
2、设集合11{3{0}3x x A x B x x
-=<<=<，则A B =____ _______. 3、反三角函数1
arcsin 2y x
=的值域为 .
4、不等式组2
230
231
x x x ⎧-->⎪⎨
+<⎪⎩的解为_________.
5、设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x =-，则(2)f -=__________.
6、已知函数log (3)a y ax =-在[0,2)上是关于x 的减函数，则实数a 的取值范围为 ．
7、已知tan 2α=，则
sin()cos()
sin()cos()
παπααα++-=-+-___ _____. 8、△ABC 中，若B A sin 2sin =，2=AC ，则=BC _________. 9、{a n }为等差数列，且,1247-=-a a 03=a ,则公差d=_________.
10、数列{}n a 为正项等比数列，若12=a ，且116-+=+n n n a a a ()2,≥∈n N n ，则此数列的前4项和=4S ________.
11、设x,y ∈R,且x 2
+y 2
=4,则22-+y x xy
的最小值为___________________.
12、若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，1
2)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为
__________．
13、在锐角ABC ∆中，2,,A B B C ∠=∠∠∠的对边长分别是,b c ，则b
b c
+的取值范围是___________.
14、已知数列{}n b 满足11=b ，x b =2（*
N x ∈），*11||(2,)n n n b b b n n N +-=-≥∈.
若前100项中恰好含有30项为0，则x 的值为________. 二、选择题（每题5分，共20分）
15、已知a,b 是互不相等的正数，则lim n n
n n
n a b a b →∞-+等于（ ）
A.1
B.1或－1
C.0
D.0或－1
16、△ABC 三内角满足2cos B sin A=sin C ，则△ABC 的形状为（ ）
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
17、如果奇函数()f x 在区间[](),0a b b a >>上是增函数，且最小值为m ，那么()f x 在区间[],b a --上是( )
A.增函数且最小值为m
B.增函数且最大值为m -
C.减函数且最小值为m
D.减函数且最大值为m -
18、已知R b a ∈、，那么“12
2
<+b a ”是“b a ab +>+1”的（ ） Ａ．充要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分不必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 三、解答题 19、（本题满分12分，每小题满分4分） 求下列函数的最值.
（1）已知0x >，求4
2y x x =--的最大值；
（2）已知2x >，求1
2
y x x =+-的最小值；
（3）已知102x <<，求()1
122
y x x =-的最大值.
班级_____________ 姓名_________________ 学号_____________
20、（本小题满分14分，每小题满分7分） 已知12)(-=x
x f 的反函数为)(1
x f -，)13(log )(4+=x x g .
(1)若)()(1
x g x f
≤-，求x 的取值范围D ；
(2)设函数)(2
1)()(1
x f x g x H --=，当[]0,1x ∈时，求函数)(x H 的值域.
21、（本小题满分14分，每小题满分7分）
在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且 cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列． （1）求B 的值；
（2）求2
2sin cos()A A C +-的范围．
22、（本小题满分16分，第（1）、（2）小题每题满分5分，第（3）小题满分6分） 已知1()log 1
a
mx
f x x -=-是奇函数（其中a>0,a ≠1). （1）求m 的值；（2）讨论()f x 的单调性；（3）当()f x 的定义域区间为（1，a-2）时，()f x 的值域为（1，+∞），求a 的值. 23、（本题满分18分，每小题满分6分） 已知数列{}n a 满足：123,(1,2,3,)n n a a a a n a n ++++=-=
（1）求123,,a a a 的值；
（2）求证：数列{1}n a -是等比数列；
（3）令(2)(1)n n b n a =--（1,2,3...n =），如果对任意*n N ∈，都有21
4
n b t t +≤，
求实数t 的取值范围.
位育中学2021学年第一学期期中考试试卷
高三数学答案
一、填空题（每题4分，共56分） 1、{2}；2、(-1,1)；3、[,0)(0,]22π
π-
⋃；4、
（-2,-1）；5、-1；6、3(1,]2；7、3；8、4；9、1
2
-；10、
152；11
、2-12、(－∞，－12)；13、1132⎛⎫
⎪⎝⎭
，；14、6或7.
二、选择题（每题5分，共20分）
15、B ；16、A ；17、B ；18、C. 三、解答题
19、解：（1）0x >，44x x ∴+≥，42242y x x ⎛
⎫∴=-+≤-=- ⎪⎝
⎭，
∴当且仅当4
(0)x x x
=>，即2x =时，max 2y =-.
（2）
2x >，20x ->，而
11
222422
y x x x x =+
=-++≥=--， 当且仅当1
2(2)2
x x x -=
>-，3x =时，min 4y =. （3）1
02x <<，120x ∴->，则()2
112121112124424416x x y x x +-⎛⎫=⨯-≤=⨯= ⎪⎝⎭
，
当且仅当212x x =-，即14x =
时，max 1
16
y =. 20、解：(1)∵12)(-=x
x f ，∴)1(log )(21
+=-x x f
(x ＞-1)
由)(1
x f
-≤g （x ） ∴⎩⎨⎧+≤+〉+1
3)1(0
12
x x x ，解得0≤x ≤1 ∴D ＝［0，1］ (2)H （x ）＝g （x ）－
)12
3(log 21113log 21)(21221+-=++=-x x x x f ∵0≤x ≤1 ∴1≤3－1
2
+x ≤2
∴0≤H （x ）≤21 ∴H （x ）的值域为［0，2
1］ 21、解：（1）
cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，
∴ cos cos 2cos a C c A b B +=．
由正弦定理得，2sin ,2sin ,2sin .a R A b R B c R C === 代入得，2sin cos 2cos sin 4sin cos R A C R A C R B B +=， 即：sin()sin 2A C B +=，
∴ sin sin 2B B =．
又在ABC ∆中，22B B B
B π=+=或． 0B π<<，∴ 3
B π
=.
（2）
3
B π
=
，23
A C π∴+=
． ∴2
22sin cos()1cos 2cos(2)3
A A C A A π
+-=-+-
131cos 2cos 2212cos 222A A A A A =--
+=+-1)3
A π
=+-
203A π<<
，233
A ππ
π-
<-<sin(2)13A π<-≤． 22sin cos()A A C ∴
+-的范围是1
(,12
-+
22、 解
11(1)
()()log log 11
a
a
mx mx
f x f x x x +--+=+---2
22
1log 01a m x x x -==-对定义域内的任意的恒成立
22222
1111(1)01,110, 1.111
m x mx x m x m m m x x x ---∴=⇒-=⇒=±===-<∴=----当时
()1(2)
()log ,(,1)(1,),log 1a a x f x f x x +⎛
⎫=∴-∞-+∞= ⎪-⎝⎭
2定义域为又1+x-1
①当a>1时，()f x 在（-∞,-1)和(1,+∞)上都是减函数； ②当
0<a<1时, (
)f x 在（-∞,-1)和(1,+∞)上都是增函数. (3)∵1<x<a-2,∴a>3,()f x 在(1,a-2)上为减函数，
21
(2)1,log 1410,322).
a a f a a a a a a -∴-==⇒-+=-==命题等价于即解得
23、解：（1）1231
37
,,248
a a a === （2）由题可知：1231n n n a a a a a n a -+++
++=- ① 123111n n n a a a a a n a +++++
++=+- ②
②-①可得121n n a a +-= 即：111(1)2n n a a +-=-，又1112
a -=- 所以数列{1}n a -是以12-为首项，以
1
2为公比的等比数列
（3）由(2)可得1
1()2n n a =-，
2
2
n n n b -=
由111112212(2)302222
n n n n n n n n n n n
b b +++++-------=-==>可得3n <
由10n n b b +-<可得3n > 所以 12345n b b b b b b <<=>>>>
故n b 有最大值341
8
b b ==
所以，对任意*n N ∈，有1
8
n b ≤
如果对任意*n N ∈，都有21
4n b t t +≤，即214
n b t t ≤-成立， 则2max 1()4n b t t ≤-，故有：21184
t t ≤-， 解得12t ≥
或1
4
t ≤- 所以，实数t 的取值范围是1
1(,][42
-∞-+∞，）。