四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学(理)试题

【考试时间：2019年3月25日星期一下午3:00~5:00】成都市2016级高中毕业班第二次诊断性检测数 学(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分。

第Ⅰ卷(选择题)1至2页，第Ⅱ卷(非选择题)3至4页。

共4页。

满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2．考试结束后，只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5个，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。

1.设全集U R =，集合{}13A x x =-<<,{}21B x x x =≤-≥或,则()U A C B ⋂= A.{}11x x -<< B.{}23x x -<< C.{}23x x -≤<D.{}21x x x ≤->-或2.已知双曲线()222:10y C x b b-=>的焦距为4,则双曲线C 的渐近线方程为A.y =B.2y x =±C.3y x =±D.y =3.已知向量)a =,(b =-,则向量b 在向量a 方向上的投影为A.C.－1D.14.已知,a b R ∈,条件甲：0a b >>；条件乙：11a b<,则甲是乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数； ②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定； ④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。

其中所有正确结论的编号为： A.①③B.①④C.②③D.②④6.若,,2παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,且sin α=()sin αβ-=,则sin β=A.10 B.2C.12D.1107.已知,a b 是两条异面直线,直线c 与,a b 都垂直,则下列说法正确的是 A.若c ⊂平面α，则a α⊥ B.若c ⊥平面α，则//a α,//b a C.存在平面α，使得c α⊥,a α⊂,//b aD.存在平面α，使得//c a ,a α⊥,b a ⊥8.将函数()f x 的图像上的所有点向右平移4π个单位长度,得到函数()g x 的图像,若函数()()s i n 0,0,2g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示,则函数()f x 的解析式为A.()5sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.()2cos 23f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭C.()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D.()7sin 212f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭9.已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称,且当01x ≤≤时,()3f x x =,则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.278-B.18-C.18D.27810.已知a R ∈且为常数,圆22:220C x x y ay ++-=,过圆C 内一点()1,2的直线l 与圆C 相切交于,A B 两点,当弦AB 最短时,直线l 的方程为20x y -=,则a 的值为 A.2B.3C.4D.511.用数字0,2,4,7,8,9组成没有重复数字的六位数,其中大于420789的正整数个数为 A.479B.480C.455D.45612.某小区打算将如图的一直三角形ABC 区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形DEF ,在其内建造文化景观.已知20AB m =,10AC m =,则DEF ∆区域内面积(单位：2m )的最小值为A.C.7D.7第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做。

第22~23题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

共20分。

把答案填写在答题卡相应位置上。

13.已知复数12iz i+=,则z =_____。

14.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上,若1AB AC AD ===,BC CD BD ===O 的表面积为_____。

15.在平面直角坐标系xOy 中,定义两点()()1122,,,A x y B x y 间的折线距离为()1212,d A B x x y y =-+-,已知点()()()0,0,,,0,1O C x y d C =,的取值范围为___.16.已知F 为抛物线2:4C x y =的焦点,过点F 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点,A B ,抛物线C 在,A B 两点处的切线分别是12,l l ,且12,l l 相交于点P ,则32PF AB+的小值是___. 三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解得应写出文字说明、证明过程或验算步骤。

17.（本题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为S ,公比1q >,且21a +为13,a a 的等差中 项,314S =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）记2log n n n b a a =,求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）为了让税收政策更好的为社会发展服务,国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后，发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》，明确“专项附加扣除”就是子女教育、继续教育大病医疗、住房贷款利息、住房租金赠养老人等费用，并公布了相应的定额扣除标准，决定自2019年1月1日起施行，某机关为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下2×2列联表：（1）根据列联表,能否有99%的把握认为满意程度与年龄有关?（2）为了帮助年龄在40岁以下的未购房的8名员工解决实际困难,该企业拟员工贡献积分x （单位：分）给予相应的住房补贴y （单位：元）,现有两种补贴方案，方案甲：1000700y x =+;方案乙：3000,055600,5109000,10x y x x <≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩.已知这8名员工的贡献积分为2分,3分,6分,7分,7分,11分,12分,12分,将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“A 类员工”.为了解员工对补贴方案的认可度,现从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，求恰好抽到3名“A 类员工”的概率。

附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：19.(本小题满分12分)如图①，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，224CD AB EF ===，M 为DF 中点现将四边形BEFC 沿EF 折起,使平面BEFC ⊥平面AEFD ，得到如图②所示的多面体在图②中，（Ⅰ）证明：EF MC ⊥；（Ⅱ）求三棱锥M AB D --的余弦值。

20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长为，离心率为13。

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程;（Ⅱ）设椭圆C 的左，右焦点分别为1F ，2F 左，右顶点分别为A ，B ，点M ，N ，为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且12//F M F N ，记直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，求12320k k +=，求直线1F M 的方程。

21．（本小题满分12分）已知函数()1ln 1f x x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，a R ∈。

（Ⅰ）若()0f x ≥，求实数a 取值的集合； （Ⅱ）证明：()12ln 2x e x e x x+≥-+-。

请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(为参数,倾斜角),曲线C 的参数方程为42cos 2sin x y ββ=+⎧⎨=⎩(β为参数,[]0,βπ∈)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。

（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线的极坐标方程;（Ⅱ）若直线与曲线C 恰有一个公共点P ，求点P 的极坐标。

23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x m x m =---+的最大值为3，其中0m >。

（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若,a b R ∈，0ab >，222a b m +=，求证：221a b b a+≥。

成都市2016级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）参考答案及评分意见第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分） 1.A ；2.D ；3.A ；4.A ；5.C ；6.B ；7.C ；8.C ；9.B ；10.B ； 11.C ； 12.D.第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分） 13.-1；14.3π；15.2⎤⎥⎣⎦；16.6.三.解答题：（共70分）17.解：（Ⅰ）由题意，得()21321a a a +=+.又312314S a a a =++=， ∴()222114a a +=-，∴24a =，……2分∵344414S q q =++=，∴2q =或12q =， ……4分∵1q >，∴2q =.……5分 ∴222422n n n n a a q--===.……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），知2n n a =.∴2log 2nn n n b a a n ==.……7分 ∴()1231122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯. ……8分 ∴()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯.……9分 ∴2341222222n n n T n +-=+++++-⨯……10分()()11212212212n n n n n ++-=-⨯=---.……11分 ∴()1122n n T n +=-+.……12分18.解：（Ⅰ）根据列联表可以求得2K 的观测值：()280253010258011.429354540407k ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯.……3分∵11.429 6.635>.∴有99%的把握认为满意程度与年龄有关.……5分（Ⅱ）据题意，该8名员工的贡献积分及按甲、乙两种方案所获补贴情况为：由表可知，“A 类员工”有5名.……8分设从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，恰好抽到3名“A 类员工”的概率为P .则315348C C P C = ……10分37=. ……12分19.解：（Ⅰ）由题意，可知在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ， ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴EF AB ⊥，EF CD ⊥. ……1分 ∴折叠后，EF DF ⊥，EF CF ⊥.……2分 ∵DFCF F =，∴EF ⊥平面DCF .……4分 又MC ⊂平面DCF ，∴EF MC ⊥.……5分（Ⅱ）∵平面BEFC ⊥平面AEFD ，平面BEFC 平面AEFD EF =，且DF EF ⊥，∴DF ⊥平面BEFC ，∴DF CF ⊥，∴DF ，CF ，EF 两两垂直.以F 为坐标原点，分别以FD ，FC ，FE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz .……6分∵1DM =，∴1FM =.∴()1,0,0M ，()2,0,0D ，()1,0,2A ，()0,1,2B . ∴()0,0,2MA =，()1,1,0AB =-，()1,0,2DA =-.……8分设平面MAB ，平面ABD 的法向量分别为()111,,m x y z =，()222,,n x y z =.由00MA m AB m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得111200z x y =⎧⎨-+=⎩.取11x =，则()1,1,0m =.……9分由0DA n AB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得2222200x z x y -+=⎧⎨-+=⎩.取22x =，则()2,2,1n =.……10分∵cos ,3m n m n m n ===， ……11分∴二面角M AB D --. ……12分20.解：（Ⅰ）由题意，得2b =13c a =. ……2分 又222a c b -=，∴3a =，b =1c =.……3分∴椭圆C 的标准方程为22198x y +=. ……4分（Ⅱ）由（Ⅰ），可知()3,0A -，()3,0B ，()11,0F -. 据题意，直线1F M 的方程为1x my =- .……5分记直线1F M 与椭圆的另一交点为M '，设()()111,0M x y y >，()22,M x y '. ∵12//F M F N ，根据对称性，得()22,N x y --.……6分联立2289721x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()228916640m y my +--=，其判别式0∆>， ∴1221689m y y m +=+，1226489y y m =-+.① ……7分由12320k k +=，得121232022y y my my +=++，即12125640my y y y ++=.②……8分由①②，解得1212889m y m =+，2211289my m -=+.……10分∵10y >，∴0m >. ∴()()12222128112648989m m y y m m--==++.∴m =. ……11分∴直线1F M的方程为1x y =-，即0y -+=. ……12分 21.解：（Ⅰ）由已知，有()221a x af x x x x-'=-=.……1分当0a ≤时，1ln 202f a ⎛⎫=-+<⎪⎝⎭，与条件()0f x ≥矛盾； ……2分当0a >时，若()0,x a ∈，则()0f x '<，()f x 单调递减； 若(),x a ∈+∞，则()0f x '>，()f x 单调递增.……3分∴()f x 在()0,+∞上有最小值()1ln 1ln 1f a a a a a a ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭. ……4分由题意()0f x ≥，∴ln 10a a +-≥. 令()ln 1g x x x =-+.∴()111x g x x x-'=-=. 当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减.∴()g x 在()0,+∞上有最大值()10g =.∴()ln 10g x x x =-+≤. ∴ln 10a a -+≤.……5分∴ln 10a a -+=，∴1a =，综上，当()0f x ≥时，实数a 取值的集合为{}1.……6分（Ⅱ）由（Ⅰ），可知当1a =时，()0f x ≥，即1ln 1x x≥-在()0,+x ∈∞恒成立. 要证()212ln 2x e x x e x x+≥-++-，只需证当0x >时，()2210xe x e x ----≥.……7分令()()()2210xh x e x e x x =----≥.则()()22xh x e x e '=---. 令()()22xu x e x e =---.则()2xu x e '=-.由()0u x '=，得ln 2x =.……8分当[)0,ln 2x ∈时，()0u x '<，()u x 单调递减； 当[)ln 2,x ∈+∞时，()0u x '>，()u x 单调递增.即()h x '在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增.……9分而()()01230h e e '=--=->，()()ln 210h h ''<=， ∴()00,ln 2x ∃∈，使得()00h x '=.……10分当()00,x x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()0,1x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增.……11分又()0110h =-=，()()11210h e e =----=，∴对0x ∀>，()0h x ≥恒成立，即()2210xe x e x ----≥.综上所述，()212ln 2x e x x e x x+≥-++-成立. ……12分22.解：（Ⅰ）由曲线C 的参数方程42cos 2sin x y ββ=+⎧⎨=⎩，得()2244x y -+=.……2分∵[]0,βπ∈，∴曲线C 的普通方程为()()22440x y y -+=≥. ……3分∵直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，α为倾斜角），∴直线l 的倾斜角为α，且过原点O （极点）. ……4分 ∴直线l 的极坐标方程为θα=，R ρ∈.……5分（Ⅱ）由（Ⅰ），可知曲线C 为半圆弧.若直线l 与曲线C 恰有一个公共点P ，则直线l 与半圆弧相切. ……6分 设(),P ρθ，由题意，得21sin 42θ==.故6πθ=.……8分而22224ρ+=，∴ρ= ……9分 ∴点P的极坐标为6π⎛⎫⎪⎝⎭.……10分23.解：（Ⅰ）∵0m >，∴()3,22,23,2m x m f x x m x m x m m x m m x m -≥⎧⎪=--+=---<<⎨⎪≤-⎩.……3分∴当2x m ≤-时，()f x 取得最大值3m . ……4分 ∴1m =.……5分（Ⅱ）由（Ⅰ），得221a b +=，()222223344212a b a b a b a bab b a ababab+-++===-. ……7分∵2212a b ab +=≥，当且仅当a b =时等号成立， ∴102ab <≤. ……8分令()12h t t t =-，102t <≤. 则()h t 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减.∴()112h t h ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭.……9分∴当102ab <≤时，121ab ab-≥. ∴331a b b a+≥.……10分。