解二元一次方程组中的德育渗透教学案例

解二元一次方程组（1）中的德育渗透教学案例
【这是浙教版教材七（下）4·3中的其中某个教学片断】
师：同学们，刚才我们已学习了二元一次方程组的一种解法即代入消元法，下面我们运用所学的知识一起来研究一个有趣的数学题目。

生1（迫不及待地）：老师是什么问题啊？
师：同学们，《孙子算经》是我国南北朝时期一部重要的数学著作。

是我国古代《算经十书》之一，许多问题浅显有趣。

其中“鸡兔同笼”流传尤为广泛，它还漂洋过海流传到了日本等国呢！
【学生们现出自豪的神情并急切地要求老师给出题目】
师：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？意思是：有若干只鸡和兔在同个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。

求笼中各有几只鸡和兔？同学们你们会解吗？
……【同学们一阵思考讨论后】
生2：老师，我会解。

（用小学算术方法求解）
生3：老师我有另外的解法。

（学生用一元一次方程求解）
……【学生小组讨论非常激烈】
生4：用今天所学的二元一次方程组的方法，这个问题就更容易解决了。

设鸡有x只，
兔有y只，则根据题意有：
35
2494
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，用代入消元法解这个方程组得
23
12
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩。

师：同学们的解法都很好，特别是生4的解法，他把我们今天所学的知识都应用进来了，使我们更容易理解。

那你们知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？
【学生们流露出迫切想知道的神情】
师：原来孙子提出了大胆的设想。

他假设砍去每只鸡和每只兔1
2
的脚，则每只鸡就变
成了“独脚鸡”，而每只兔就变成了“双脚兔”。

这样，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚就由94只变成了47只；而每只“鸡”的头数与脚数之比变为1：1，每只“兔”的头数与脚数之比变为1：2。

由此可知，有一只“双脚兔”，脚的数量就会比头的数量多1。

所以，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与他们的头的数量之差，就是兔子的只数。

生5：孙子真伟大啊，《孙子算法》真棒！
师：孙子的这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。

这种思维方法叫化归法。

生6：老师，什么是化归法啊？
师：化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。

我现在问你们一个问题：今天我们的方程组是怎么来解的啊？
生7：用代入消元法啊。

就是先把方程组变形，使得一个未知数能用含另一个未知数的代数式表示，然后把它代到另一个方程，变成一个一元一次方程来解。

师：对，我们今天学习的是用代入消元法来解二元一次方程组的。

它的数学思想就是把二元一次方程组转化为我们已很熟悉的一元一次方程，而一元一次方程我们很容易解决。

其实代入消元法的思想就是孙子的化归法啊。

只不过我们发现用今天的二元一次方程组来表示，更清楚明了罢了。

生8：原来我们今天的解法的思想我们祖先早就会运用了啊。

真了不起！
师：是啊，我们祖先用他们的聪明才智创造了世界奇迹。

《孙子算法》中还有一个很著名的数学问题，它的发现比西方要早很多，那个问题的推广及解法被称为中国剩余定理，它在近代抽象代数中占有非常重要的地位。

希望同学们能够学习先人，努力学习，争取创造更多的“中国定理”哦！（同学们鼓掌，出现了本节课的又一个小高潮）【同学们热情高涨】
师：同学们，老师现在还有一题类似的题目，有没有兴趣再来解一下啊？！
生（争前恐后地举手）：想！
师：今有牛五，羊二，直金十两。

牛二，羊五，直金八两。

牛羊各直金几何？
【本节课气氛非常好，学生的积极被极大地调动，在解决本节教学问题的同时，有效而又无痕地渗透了德育。

正所谓的“润物细无声”啊！】
……
一、课题名称：
凤凰国标教材七年级数学上册江苏科学技术出版社第十章10.3 解二元一次方程组
二、设计理念：
通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美，让学生在尝试、探索、比较等活动中，发现解二元一次方程组的两种基本方法——代入消元法和加减消元法，充分体会消元化归思想。

三、学情分析：
1、知识背景：学生已学过解二元一次方程。

2、能力背景：能比较熟练地来解二元一次方程。

3、预测目标：能熟练地用代入消元法来解一元一次方程组。

四、教材分析：
解方程组的教学中要突出化归或转化思想，因此要通过创设丰富的情境，这样有利于学生自主探索和合作交流氛围，激发学生学习的主动性和探究热情，以培养学生分析问题和解决问题的能力。

五、教学目标：
1、知识目标：①掌握用代入法解二元一次方程组的步骤。

②熟练运用代入法解简单的二元一次方程组。

2、技能目标：①培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较简单的方程进行变形。

②训练学生的运算技巧，养成检验的习惯
3、情感目标：通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美．
六、教学重点：
1、使学生会用代入法解二元一次方程组。

2、灵活运用代入法的技巧。

3、如何“消元”，把“二元”转化为“一元”。

七、教学难点：灵活运用代入法的技巧
八、教具准备：
①多媒体课件
②“三案”
③习题
九、教学过程：
1、创设情境，复习导入
（1）已知方程x-2y=4,先用含x的代数式表示y,再用含y的代数式表示x,并比较哪一种比较简单。

（2）选择题：
二元一次方程组：3x-2y=4
5x-2y=6 的解是
A.x=1
B. x=-1
C. x=1
D. x=-1
y=-1 y=1/2 y=-1/2 y=-1/2
[设计理念]：
第（1）题为用代入法解二元一次方程组打下基础；第（2）题既复习了上节课的重点，又成为导入新课的材料．
通过上节课的学习，我们会检验一对数值是否为某个二元一次方程组的解．那么，已知一个二元一次方程组，应该怎样求出它的解呢？这节课我们就来学习．这样导入，可以激发学生的求知欲．
2、探索新知，讲授新课
香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？
学生活动：分别列出一元一次方程和二元一次方程组，两个学生板演。

设买了香蕉x千克，那么苹果买了(9-x) 千克，根据题意，得5x+3*(9-x)=33
设买了香蕉x千克，买了苹果y千克，得
x+y=9 (1)
5x+3y=33 (2)
上面的一元一次方程我们会解，能否把二元一次方程组转化为一元一次方程呢，由方程①可以得到x=9-y ③，把方程②中的x转换成9-y , 也就是把方程③代入方程②，就可以得到5(9-y)+3y=33 ．这样，我们就把二元一次方程组转化成了一元一次方程，由这个方程就可以求出y了．
解：由①得：x=9-y ③
把③代入②，得：5(9-y)+3y=33
∴y=6
把y=6代入③，得：x=3
∴x=3
y=6
[设计理念]：
解二元一次方程组与解一元一次方程相比较，向学生展示了知识的发生过程，这对于学生知识的形成十分重要．
上面解二元一次方程组的方法，就是代入消元法．你能简单说说用代入法解二元一次方程组的基本思路吗？
学生活动：小组讨论，选代表发言，教师进行指导．纠正后归纳：设法消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．
例1 解方程组y=1-x (1)
3x+2y=5 (2)
（1）观察上面的方程组，应该如何消元？（把①代入②）
（2）把①代入②后可消掉y，得到关于x 的一元一次方程，求出x．
（3）求出x 后代入哪个方程中求y 比较简单？（①）
学生活动：依次回答问题后，教师板书
解：把①代入②，得3x+2(1-x)=5
3x+2-2x=5
∴x=3
把x=3 代入①，得y=-2
∴x=3
y=-2
如何检验得到的结果是否正确？
学生活动：口答检验．
教师：要把所得结果分别代入原方程组的每一个方程中．
[设计理念]：
给出例1后提出的三个问题，恰好是学生的思维过程，明确了解题思路；教师板演例1，规范了解二元一次方程组的解题格式；通过检验，可使学生养成严谨认真的学习习惯．
例2解方程组2x+5y=-21
X+3y=8
要把某个方程化成如例1中方程①的形式后，代入另一个方程中才能消元．方程②中x 的系数是1，比较简单．因此，可以先将方程②变形，用含y 的代数式表示x ，再代入方程①求解．
学生活动：尝试完成例2．
教师巡视指导，发现并纠正学生的问题，把书写过程规范化．
解：由②，得x=8-3y ③
把③代入①，得2(8-3y)+5y=-21
∴-y=-37
∴y=37
把y=37 代入③，得x=8-3*37
∴x=-103
∴x=-103
y=37
检验后，师生共同讨论：
（1）由②得到③后，再代入②可以吗？（不可以）为什么？（得到的是恒等式，不能求解）
（2）把y=37 代入①或②可以求出x 吗？（可以）代入③有什么好处？（运算简便）
学生活动：根据例1、例2的解题过程，尝试总结用代入法解二元一次方程组的一般步骤，讨论后选代表发言．之后，看课本第12页，用几个字概括每个步骤．
教师板书：
（1）变形（y=ax+b）
（2）代入消元（y）
（3）解一元一次方程得（x ）
（4）把x代入y=ax+b求解
练习：P13 1．（1）（2）；P14 2．（1）（2）．
3、总结、扩展
1、解二元一次方程组的思想：二元消成一元或二元转化成一元．
2、用代入法解二元一次方程组的步骤．
3、用代入法解二元一次方程组的技巧：①变形的技巧②代入的技巧．
通过这节课的学习，我们要熟练运用代入法解二元一次方程组，并能检验结果是否正确．
4、作业
P97 第一大题（1-4）小题
[设计理念]：巩固本节课所学内容，掌握其内容.
十、教学反思
本节课的教学体现了《数学课程标准》的基本理念，以教材为依据，结合学生的实际情况，遵循探究式教学新授课基本模式，基本实现了课前制定的教学目标。

1、解二元一次方程组是“二元一次方程组”一章中很重要的知识 , 占有重要
的地位、通过本节课的教学 , 使学生会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，了解“消元”思想。

2、从学生作业反馈，对两种消元法的步骤和方法能很好的掌握。

但是学生解题
中错误较多。

问题出现在进行代入消元后的一元一次方程解错了。

如去分母时忘了用最小公倍数乘遍每一项，移项要变号，数与多项式相乘要乘遍每项。

这样导致整个方程组的解错。

3、多媒体的视觉冲击以及教师在教学中创设的富有启发意义的问题情境，激发
了学生学习数学的兴趣，使学生们能对数学学习保持长久的兴趣与探索的欲望；而精心设计的录像故事在本质上就是为学生们的学习与参与提供一个交流互动与反思的平台，丰富了学生对数学概念的深层理解。