河北省石家庄市辛集中学2015-2016学年高中一年级数学下学期期中试题

2015-2016学年第二学期期中考试
高一数学试题
第一卷〔选择题共80分〕
一、选择题(本大题共16个小题，每题5分，共80分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符号题目要求的．)
1．假设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2
>4}，N ＝{x |3－x x ＋1>0}，那么M ∩∁U N 等于()
A ．{x |x <－2}
B ．{x |x <－2或x ≥3} C．{x |x ≥3} D．{x |－2≤x <3} 2．2014是等差数列4,7,10,13，…的第几项() A ．669 B ．670
C ．671
D ．672
3．在ABC ∆中，假设222sin A sin B sin C sinB sinC =++⋅，那么A 等于〔〕 A. )3
A π
B.()
23B π C. ()34C π D. )65
D π
4．一元二次不等式ax 2
＋bx ＋2>0的解集为(－12，13)，那么a ＋b 的值是()
A ．10
B ．－10
C ．14
D ．－14 5. 直线3240x y ++=与2340x y -+= ( )
A.平行
B.垂直
C.重合
D.关于直线y x =-对称 6．不论a 为何实数,直线(3)(21)70a x a y ++-+=恒过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，那么数列{lg }n a 的前8项和等于〔〕 A ．3 B ．4 C ． 5 D ．6
8. 设等比数列{}n a 中,前n 项和为n S ,7863==S S ，,那么=++987a a a ( )
A. 81
B.81-
C. 8
57 D. 855
9．锐角三角形的边长分别2、3、x ，那么x 的取值围是〔〕
A. ()
(
)
5,13A B. )()1,5B C. ()()1,5C D. ()
(
)
13,5D
10.设ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，假设cosC ccosB asinA b +=，那么ABC ∆的形状为〔〕 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352
a a +=
，245
4a a +=，那么n n S a =〔〕
A ．1
4n - B ．41n - C ．1
2
n - D ．21n
-
12．方程x 2
＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，那么m 的取值围是()
A. (－5，－4]
B. (－∞，－4]
C. (－∞，－2)
D. (－∞，－5)∪(－5，－4] 13．锐角A 是ABC ∆的一个角,,,a b c 是三角形中各角的对应边,假设221
sin cos 2
A A -=,那么以下各式正确的选项是( ) A. 2b c a +=
B. 2b c a +<
C. 2b c a +≤
D. 2b c a +≥
14．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，那么()A ．a ＜v ＜ab B ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b
2
D ．v ＝
a ＋b
2
附加题
15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121a a ==，(){}
2n n nS n a ++为等差数列，那么n a =〔〕 A ．
1
2n n - B ．1121n n -++C ．2121n n -- D ．11
2n n ++
16．等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，假设11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，那么
216
3
n n S a ++的最小值为〔〕
A ．4
B ．3
C ．232-
D ．
92
二、填空题(本大题共6个小题，每个小题5分，共30分．将正确答案填在题中横线上) 17.不等式1
x
≤x 的解集是________．
18.设a >0，b >0.假设3是3a 与3b
的等比中项，那么1a ＋1b
的最小值为.
19.设直线l 经过点(1,1)-,那么当点(2,1)-与直线l 的距离最远时, 直线l 的方程为. 20.数列{}n a 的前n 项和为n S ,假设*111,3,n n a a S n N +==∈,那么2014a =.
21.设△ABC 的角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .假设b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，那么角C ＝________. 22.lg lg 0a b +=，那么满足不等式
2
211
a b a b λ+≤++的实数λ的最小值是．
三、解答题〔本大题共4小题，共50分.解答时应定出文字说明、证明过程或演算步骤〕
23．(12分)三角形ABC 的顶点坐标为A 〔-1，5〕、B 〔-2，-1〕、C 〔4，3〕，M 是BC 边上的中点. 〔1〕求中线AM 的长；
〔2〕求AB 边的高所在直线方程.
24. (12分)在平面四边形ABCD 中，7
7
2cos 321=∠===CAD AB CD AD ，
，，. （1）求AC 的长； （2）假设14
7
cos -=∠BAD ，求ABC ∆的面积.
25. (12分)各项均为正数的等比数列{}n a ，首项11
2
a =
，前n 项和为n S ，且335544,,S a S a S a +++成等差数列．
〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕求数列{}n na 的前n 项和n T ．
26.(14分)正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2
(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，数a 的取值围.
高一数学参考答案
1—5 BCBDB 6—10 BBAAA 11—16 DACAAA 13．C 【解析】由221
sin cos 2
A A -=得,1cos22A =-,又A 为锐角,故02A π<<,
于是223A π=
,即3
A π
=.于是由余弦定理有2222()3a b c bc b c bc =+-=+-, B
即22
2
2
3()()()44
b c a b c b c +≥+-+=,解得2a b c ≥+,选C.
14. 解析：设甲、乙两地之间的距离为s .
∵a ＜b ，∴v ＝
2s
s a ＋
s b
＝2sab (a ＋b )s ＝2ab a ＋b ＜2ab 2ab ＝ab . 又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2
a ＋
b ＞a 2
－a
2
a ＋
b ＝0，∴v ＞a .
答案：A
15．A 试题分析：设
(2)n n n b nS n a =++，有14b =，28b =，那么4n b n =，即
(2)
(2)44n n n n n nS n a n S a n +++=⇒=-
当2n ≥时，11(1)
41
n n n S a n --+=--，
所以12(1)11n n n n a a n n -++=-，即121n n a a n n -⋅=-，所以{}n a n 是以1
2为公比，1为首项的等比数列，所以11()2n n a n -=，12n n n a -=. 应选A.
16．A 试题分析：因为1313,,a a a 成等比数列，所以
()
()()2
2
2311311112122a a a a d a a d d a d =⋅⇒+=⋅+⇒=，又0d ≠，11a =，所以2d =，所以
()2
12121,2
n n
n n a n S n +-=-=
=，所以2216216322
n n S n a n ++=
++ ()()()()2
2121989
9
122124111
1
n n n n n n n n n +-+++===++-≥+⋅
=++++，当且仅当()911n n +=
+时，即2n =时取等号,应选A ．
17.解析：1x ≤x 等价于x －1x ≥0⇒x 2－1
x
≥0，所以不等式的解集为{x |－1≤x <0，或x ≥1}．
答案：{x |－1≤x <0，或x ≥1}
18. 4 解析：因为3a
·3b
＝3.所以a ＋b ＝1.
1
a ＋1
b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋a
b
≥2＋2
b a ·a
b
＝4.
当且仅当b a ＝a b 即a ＝b ＝1
2
时“＝〞成立
19. 3250x y -+=
20.201234⨯【解析】由*111,3,n n a a S n N +==∈……①, 可推出,21133,3,2n n a a a S n -===≥……②
①-②式得,14,2n n a a n +=≥,于是224n n a a -=⨯,2n ≥,故2012201434a =⨯.
21.23π[解析]∵3sin A ＝5sin B ，∴3a ＝5b .①又∵b ＋c ＝2a ，②∴由①②可得，a ＝53b ，c ＝7
3
b ，∴cos C ＝
b 2＋a 2－
c 2
2ab
＝b 2＋(53b )2－(73
b )2
2×5
3
b ×b ＝－12，∴C ＝23
π.
22.由lg lg 0a b +=得ab=1，那么
2222221112a b a b a b a ab b ab a b ab
+=+=≤=+++++,所以λ≥1,即实数λ的最小值是1.
23. (1〕52〔2〕6220x y +-=
24.〔1〕在ACD ∆中，由余弦定理可列得：
7
7212142⨯
⨯⨯-+=AC AC ，即：037742
=--AC AC ，………………3分 解得：7=AC .………………5分 （2）由772cos =
∠CAD ，易得：7
3
sin =∠CAD ，………………6分 由147cos -
=∠BAD ，易得：7
233sin =∠BAD ，………………7分 故CAD DAB CAD DAB CAD DAB CAB ∠∠-∠∠=∠-∠=∠sin cos cos sin )sin(sin
=
73
)147(72733⨯
--⨯=2
3，………………10分 故2
37321sin 21⨯⨯⨯=∠⨯⨯=
∆CAB AC AB S ABC =4213.………………12分.
25．解析：〔I 〕设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，由题意知10a >，且1
12
n n a q -=
⋅， 又因为33a S +、55a S +、44a S +成等差数列，
所以)()()(2443355a S a S a S +++=+， ………2分 即)2()2()2(2432132154321a a a a a a a a a a a a ++++++=++++，
化简得354a a =，从而142
=q ，解得2
1
±
=q ， 又0q >，故2
1
=
q ， …………4分 1
2
n n a =
. …………6分 〔II 〕由〔I 〕知，2
n n n
na =，
那么231123122222
n n n n n
T --=+++++，①
234111*********
n n n n n
T +-=+++++，② …………8分 ①-②得：
23111111112222
222n n n n n
T -+=++++
+-
1111(1)
222112212
n n n n n ++-+=-=--，所以222n n n T +=- …………12分. 26.解析：∵正实数,x y 满足244x y xy ++=，
即x+2y=4xy-4,∴不等式2
(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立， 即2
(44)22340
xy a a xy -++-≥恒成立，变形得22
2(21)4234xy a a a +≥-+恒成立，即
22
21721
a a xy a -+≥+恒成立. ……………6分 ∵x>0,y>0，∴222x y xy +≥，∴4xy=x+2y+4 422xy ≥+(
)
2
2
2202
xy
xy xy -≥⇒≥2
2xy ≤-(舍去)，可得2xy ≥，要使2221721a a xy a -+≥+恒成立，只需22217221
a a a -+≥+恒成
立，…………………12分
化简得25215032a a a a +-≥⇒≤-≥
或. 所以(]5,3,2⎡⎫
-∞-+∞⎪⎢⎣⎭…………14分。