矢量场论复习

ei ej i Aj i Aj
i Ai i Ai
A A
19
五、斯托克斯公式与矢量场的旋度 矢量场的环量（环流）
图 2-4 矢量场的环量 20
21
矢量场的环量（环流）
环量 = 平均切向分量 X 绕行距离
矢量 A 沿任一闭合曲线 L 的积分称为环量 A dl L
0 表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合
势函数。
2. 正定理: 矢量场的旋度必为无源场，即 A 0
逆定理: 无源场必可表示为某个矢量场的旋度。
即若 B 0 ，则 B A ， A 称为无源场 B
的矢量势函数。
26
亥姆霍兹定理
任意矢量场 F（ F 0, F 0 ）均可分
解为无旋场 F1 和无源场 F2 之和。
即 F 可分解为 F F1 F2 ( F1 0, F2 0 ) 。
Ay z
y
Az
z
Ay
A A
x
x
A A ex A ey A ez A x ex
A A
25
六、有关场的四个定理
关于散度旋度的两个定理 1. 正定理：标量场的梯度必为无旋场， 即 =0
逆定理：无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。
即若 A 0 ，则 A ， 称为无旋场 A的标量
学校受教育。
干基本定理作出严格证明。
29
ex
x
ey
y
ez
z
( ) 9
例2： ( ) =？
解2 ：
( ) eii ( ) ei (i) ei (i )
( )
10
四、高斯定理与矢量场的散度
矢量族
在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它 沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢 量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无
d
d
el
cos
等值面： (x) 常数的曲面称为等值面。
梯度与等值面的关系：梯度与等值面垂直。
4
温度场 T
冷区
热区
。
T=40
。
T=30
。
T=20
。
T=10
5
三、矢量微分算子
ex
x
ey
y
ez
z
eii
既具有矢量 性质，又具 有微分性质
ex
x
ey
y
ez
z
i
ei
它是一个饥饿
注意：
0 表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合
斯托克斯公式（定理）
A dl (A) dS
L
S
22
矢量场的旋度
A dl (A) dS
L
S
当L无限小： L A dl ( A) S ( A)n S
Adl
(
A)n
lim
S 0
L
S
A An n
定义 A 为矢量场的旋度，它在 S 法线方向 n
就有： （1）关于静电学温差电和摩擦电
的研究、利用绝对单位（长度质量和时间）
法则量度非力学量以及地磁分布的理论研
究；（2）利用几何学知识研究光学系统
德国数学家和 近轴光线行为和成像，建立高斯定理光学；
物理学家。1777年 （3）天文学和大地测量学中，如小行星 4布 境月贫伦3困瑞0 日，克生聪，于敏幼德异时常国家，轨等概乘道率法；的统，（计计引4）算理入结论高，合和斯地试误定球验差理大数理误小据论差和的曲形，测线状发算的明。，理了此发论最外展研小，究二了在 受一贵族资助才进 纯数学方面，对数论、代数、几何学的若
穷多条这样的曲线构成一个矢量族。
图 2-1 矢量场的矢量线
11
12
矢量场的通量
(1). 面元 将曲面的一个面元用矢量 dS
来表示，其方向取为面元的法
线方向， 其大小为dS，即
dS n dS
dS
n
A
图 2-2
13
(2). 面元的方向
n n 是面元法线方向的单位矢量。 的指向有两种情
况：对开曲面上的面元，设这个开曲面是由封闭曲线
的算符，可以作用 在标量场和矢量场 上，可以作点乘、 叉乘。
6
A
(ex
x
ey y
ezz )
(ex
Ax
ey
Ay
ez
Az
)
x Ax y Ay (eii ) (ek Ak
z Az
) (i
Ak
)(ei
ek
)
(i
Ak
)ik
i
Ai
ex A x
ey y
ez z
i
j
ki
Ajek
Ax Ay Az
l 所围成的，则选定绕行 l 的方向后，沿绕行方向按 n 右手螺旋的拇指方向就是 的方向，如图2-3(a)所 n 示；对闭曲面上的面元，外部方向为 的方向。
图 2-3 法线方向的取法
14
(3). 矢量场的通量
通量＝平均法向分量 X 曲面的面积
面元 ds 的通量 d A dS
dS
n
A
有限面积 S 的通量 闭合曲面的通量
A A A
0 0 0
该点有源 该点无源 该点为负源
若空间各点处处 A 0 ，则称 A 为无源场。
16
例子：
求 r r x xex y yey z zez
r
(ei i ) (ejr
j)
i ri
(x x
xi )
3
求 r r3
1
r
x
x2
y
y2
z
z2
2
(r 0)
r r3
S
A
ds
s A dS
图 2-2
0 0 0
有源 无源 负源
意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚， 它只具有局域性质，不能反映空间一点的情况。
15
高斯公式
S A dS V AdV
矢量场的散度
闭合曲面
A dS ( A)V
缩小到一点 S
A dS
A lim S
V 0 V
r5
z
r r3
x
0
同理
练习：试用 () 0 来证明。
r r3
y
r r3
z
0
1/ r
er
r
e
1 r e
1
r sin
,
(
1 r
r r3
)
24
练习：证明 (A) () A ALeabharlann 证：Axy
Az
z
Ay
Az y
y
Az
Ay z
z
Ay
Az y
已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变 化关系（变化率、梯、散、旋度）。
二、标量场的梯度
在空间任意靠近两点，函数 的全微分 在 空 间 某 点 的 任 意
d dx dy dz
x y z
d dx ex dy ey dz ez
d
ex
x
ey
y
ez
z
d
d
d
d
el
在S面上
则该矢量场在该区域内是唯一确定的。
28
高 1795~1799年在哥廷根大学学习，1799 年获博士学位。1870年任哥廷根大学数学
斯 教授和哥廷根天文台台长，一直到逝世。 1855年2月23日在哥廷根逝世。他一生中
共发表323篇（种）著作，提出404项科学
创见（发表178项），在各领域的主要成
x
x
x r3
y
y
r3
y
z
z z r3
3 r3
x
x
3 r4
x
r
x
0
17
证明 A A A
证1：
A
x
Ax
y
Ay
z
Az
Ax x
Ay y
Az z
x
Ax
y
Ay
z
Az
A A
18
证明 A A A
证2：
A (eii ) Ajej (ei ej )i Aj
场用空间和时间坐标
的函数来描述：
矢量场 A(x, y, z,t) A(x,t)
旋量场 (x, y, z,t) (x,t)
张量场(引力场,度规) g
稳恒场（稳定场、静场）：场与时间无关
变化场（时变场）：场函数与时间有关 2
已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数， 这是电动力学求解电磁场的主要方法。
学习必须养成良好的习惯，第一步就是矢量
头上一般要加上箭头。大概有1/3的同学不喜
欢加箭头，导致标量和矢量混乱。(文献中往
往用粗体表示矢量)
7
例1：r =？
1
r
r
x
x2
y
y2
z
z
2
2
r (x x)ex ( y y)ey (z z)ez
解： r eiir
r (x,y,z)
r 1 1 2(x x) x x , (x’,y’,z’)
F1又称为 F 的横场部分，可引入标势 ， F1
F2又称为 F 的纵场部分，可引入矢势 A ，
F2 A
即：矢量场总可分解为一个梯度场和一个旋度场之和 。 27
唯一性定理
定理： 在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及 矢量场在区域边界上的法线分量，
A
(
x)
在V内
A (x)
V
AnS f (S )
x 2 r
r
r y y , r z z
y r z r
(0,0,0)
r
ex
x
r
x
ey
y
r
y
ez
z z r
r r
r r r
8
例2： ( ) =？
解1 ：
( ) eii( )
( )
x
x x
( )
y
y y
( )
z
z z
(
)
ex
x
ey
y
ez
z
cos
方向上，导数有无 穷多个，其中有一 个值最大，这个方 向导数的最大值定 义为梯度：
grad
3
grad
ex
x
ey
y
ez
z
eii
梯度的意义：
其大小为标量场函数在空间某点的最大变化率 其方向为标量场函数在该点变化率最快的方向 它刻画了标量场的空间分布特征
已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。
第零章第二节
矢量场论复习
作业：P45 1、3、4、6
1
§2 矢量场论复习
一、场的概念
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。 或：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量 的确定值，就说在这空间中确定了该物理量的场。 如：温度场、速度场、引力场、电磁场。
标量场 (x, y, z,t) (x,t)
上的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在
空间某点上的环流特征。若空间各点 A 0 ，
则称 A 为无旋场。
23
例：
证明
r r3
0
先证
r r3
x
y
z
z r3
z
y
y r3
0
y
z
z r3
z
z
y
1 r3
3
y
y z
r5
z
z
y
y r3
y
y
z
1 r3
3
y
y z