微波技术与天线刘学观第44节资料

两式相加
2a1 ya2 ( y 2)b2
两式相减
b2
y
2
2
a1
y
y
2
a2
2b1 (2 y)a2 yb2
b1
2
y
y
a1
2
2
y
a2
[S]
2
y
y
2
2 y
2
2
y
2
y
y
《微波技术与天线》
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
（3）. 求长度为 l 的均匀传输线的[S]
S11
整理可得：
1 1
(a (c
b)b1 d ) b2
1 1
(a b)a1
(c
d
)
a2
于是有
S
a
b
1
c
d
a
b
2
c
d
2(ad bc) b d a c
类似可以推得：
a
1 2
S12 (1 S11 )(1 S22 ) / S21 S12 (1 S11)(1 S22 ) / S21
对于线性网络，归一化入射波和归一化反射波之 间是线性关系，故有线性方程：
b1 S11a1 S12a2 b2 S21a1 S22a2
写成矩阵形式：
b1 b2
S11 S 21
S12 a1
S
22
a2
或简写为：b Sa
其中，
S
S11 S 21
S12
S
22
称为双口网络的散射矩阵，简称为[S]矩阵。
《微波技术与天线》
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
[S]矩阵各参数的意义如下：
S11
b1 a1
|a2 0
表示端口2接匹配负载时，端口1的反射系数
S 22
b2 a2
|a1 0
表示端口1接匹配负载时，端口2的反射系数
S12
b1 a2
|a1 0
表示端口1接匹配负载时，端口2到端口1的反向传 输系数
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
4.4 散射矩阵与传输矩阵
（1）前面讨论的三种网络矩阵及其所描述的微波网络，都是建立 在电压和电流概念基础上的。实际上，在微波频段运用这些参量 并不太方便，一方面在微波频率下无法实现真正的恒压源和恒流 源，所以电压和电流已失去明确的物理意义；另一方面不容易得 到理想的开路和短路终端，因此这三种网络参数很难正确测量。
（3）
将散射矩阵的定义式与式（3）一同代入式（2），得
a a a S Sa
要使上式成立，必有：S S I
《微波技术与天线》
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
2.传输矩阵(transmission matrix)
当用a1、b1作为输入量，a2、b2 作为输出量，此时有以下线性方程：
a1 T11b2 T12a2 b1 T21b2 T22a2
S22
S11
z
z 2
根据定义
S21
b2 a1
, a2 0
L
ZL ZL
Z0 Z0
u2 a2 b2 b2
u1
a1
b1
a1 (1
b1 a1
a2 0 ) a1(1 S11)
《微波技术与天线》
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
根据电路分压原理
u2
u1 1 z
1 S11 1 z
a1
b2
S21
T =T11T22 T12T21 1 T12 T21
T11 T22* , T12 T21*
《微波技术与天线》
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
当传输矩阵用于网络级联时比较方便，若有两个双口网络级联
a1
a2
b2'
a3
[T1]
[T2]
b1
b2
a2'
由传输矩阵定义：ab11
T1
b2
SS I
幺正 性
其中，[S]+是[S]的转置共轭矩 阵，[I]为单位矩阵。
《微波技术与天线》
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
对于无耗网络，输入的总功率应等于输出的总功率
无耗网络 的幺正性 的证明
1
2
N i 1
ai
2
1 2
N i 1
bi
2
上式还可写作：a a b b
（1） （2）
根据散射矩阵的定义 b a S
1 0 1 z 1 0
[a]
yห้องสมุดไป่ตู้
1 0
1
y
1
1
y
z 1
yz
1
y
0 1
(1 yz) y(2 yz)
z (1 yz)
《微波技术与天线》
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
解 （1）. 求串联阻抗Z的[S]
根据定义
S11
b1 a1
(z 1) 1 a2 0 (z 1) 1
z z2
对称网络
《微波技术与天线》归一化Ze1=Ze2=Z0
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
(4) 求变比为1:n的理想变压器的［a］。
理想变压器
u1 N1 1 , i1 N2 n u2 N2 n i2 N1
根据定义
a u1 u2
i2 0
1 n
,b
u1 i2
u2 0 0
c i1 u2
i 2 0
《微波技术与天线》
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
(2) [S]与[a]的转换
根据 u1 a1 b1, i1 a1 b1; u2 a2 b2 , i2 a2 b2
则有：
a1 b1 a(a2 b2 ) b(a2 b2 ) a1 b1 c(a2 b2 ) d (a2 b2 )
1 0
y
1
1
n
0
0 n
cos j sin
j
sin
cos
[S]矩阵
z 2
z
2 2
z
2 2
z
z 2
z
y 2 y
2 2
y
2 2 y
y 2 y
1 n2 1 n2
2n
1 n2
2n
1
n2
n2 1
1 n2
0 e j
e j
0
《微波技术与天线》
备注 Z
z Z0
y Y Y0
2l g
a2 a2
b2 b2
b1 S11a1 S12a2 b2 S21a1 S22a2
（4-4-1）
《微波技术与天线》
将（4-4-1）式代入上式
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
u1 u2
a1 b1 a2 b2
i1 yu2 (i2 )
a1 b1 y(a2 b2 ) a2 b2 ( y 1)a2 ( y 1)b2
即
b2
a1e
j，
=l
2 g
l
电长度
代入上式
S21 S12 e j
[SS21] [S]
S120 e0j e j
eej j e0j 0
《微波技术与天线》
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
（4）. 求理想无耗变压器的[S]
u1 N1 1 , i1 N2 n u2 N2 n i2 N1
0, d
i1 i2
u2 0 n
《微波技术与天线》
1
[a]
n
0
0 n
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
［例 ］求图 所示双端口网络的［a］。
双端口网络
《微波技术与天线》
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
解：先把该电路分成三个简单双端口网络，两个并联导 纳Y网络和一个串联阻抗Z网络，分别求出它们的a矩阵, 然后再相乘得
bi ui
Pr
1 2
ui
2
1 2
bi
2
那么入射波、反射波与端口电压电流是什么关系？
《微波技术与天线》
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
根据传输线理论，端口1的归一化电压和归一化电流可表示为：
于是：
u1 a1 b1
i1 a1 b1
a1
1 2
(u1
i1 )
1 2
(U1
/
Ze1 I1
《微波技术与天线》
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
1.散射矩阵(scattering matrix)
定义ai为入射波电压的归一化值ui+，其有效值的平方等于入射波功 率；定义bi为反射波电压的归一化值ui–，其有效值的平方等于反射
波功率 。即： ai ui
Pin
1 2
ui
2
1 2
ai
2
u ab i ab
(4-4-1)
ui11
a1 a1
b1 b1
ui22
a2 a2
b2 b2
S 21
b2 a1
|a2 0
表示端口2接匹配负载时，端口1到端口2的正向传 输系数
结论： [S]矩阵的各参数是建立在端口接匹配负载基础上的 反射系数或传输系数。
显然，利用
网络输入输出端口的参考面上
接匹配负载即可测得
《微波技术与天线》
散射矩阵的各参量!
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
散射参数与损耗的关系
（2）在信源匹配的条件下，总可以对驻波系数、反射系数及功率 等进行测量，也即在与网络相连的各分支传输系统的端口参考面 上，入射波和反射波的相对大小和相对相位是可以测量的。
（3）散射矩阵(scattering matrix)和传输矩阵(transmission matrix) 就是建立在入射波、反射波的关系基础上的网络参数矩阵。
a2
b3
a2
b2
T2
b3
a3
由于a2 b2 ,b2 a2
故有
a1 b1
T1
T2
b3
a3
T
b3
a3
当有n个网络级联时，总的[T]矩阵等于各级联网络矩阵的乘积，即：
T 总 T1 T2 Tn
《微波技术与天线》
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
3. 散射参量与其它参量之间的相互转换
b1 a1
a2 0
表示端口2匹配时, 端口1的反射系数
S11 S22 0
根据定义和网络互易性
S21
S12
b2 a1
a2 0
a1 b1 T1
《微波技术与天线》
a2 双口 网络
b2 T2
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
由于 a2 0 ，传输线上无反射波，呈行波状态，b2和a1的 幅度相等，相位相差θ角，
S22=2
S11=1回波损 耗？
Lr (z)
20 lg
1 S11
(dB)
《微波技术与天线》
插入损 耗？
1 Li (z) 20 lg S21
(dB)
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
[S]矩阵的性质
互易网络 对称网络
S12 S21 S11 S22
无耗网络(lossless network)
写成矩阵形式：a1
b1
T11 T21
T12
T22
b2
a2
T
b2
a2
式中， [T]为双口网络的传输矩阵，T11其中表示参考 面T2接匹配负载时，端口1至端口2的电压传输系数的 倒数，其余三个参数没有明确的物理意义。
《微波技术与天线》
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
[T]矩阵的性质 互易网络 对称网络 无耗网络
(1) [S]与 zy的转换
a 1 (u i) 1 (zi i) 1 (z I)i
2
2
2
b 1 (u i) 1 (zi i) 1 (z I)i
2
2
2
由[S]的定义得：z I S(z I)
于是有 S (z I)(z I)1 z (I S)(I S)1
类似可推得： S (I y)(I y)1 y (I S)(I S)1
（2）求并联导纳Y的[a]
a u1 u2
i2 0
1，b
u1 i2
u2 0 0
c i1 u2
i2 0
y，d
i1 i2
u2 0 1
并联导纳Y的[a]
[a]
1
y
0 1
《微波技术与天线》
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
(3) 求短截线的［a］。P8 P88归一化
U (d )
I(d )
S12 (1 S11 )(1 S22 ) / S21
S12
(1
S11)(1
S22 ) /
S
21
《微波技术与天线》
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
基本电路单元的参量矩阵（常用的双端口网络）
名称
串联 阻抗
电路图
Z0
Z0
并联 导纳
Y0
Y0
理想 变压
器
l
短截
线
Z0
[A]矩阵
1 z 0 1
b2 a1
a20
1 S11 2 1 z z 2
互易双端口网络 得
S12
S21
2 z2
[S]
z
1
2
z 2
2
z
《微波技术与天线》
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
（2）. 求并联导纳Y的[S]
A参数方程：
u1 u2 i1 yu2 (i2 )
ui11
a1 a1
b1 b1
ui22
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
解：（1）求串联阻抗Z的[a]
根据定义
a
au1 u2
u1 ui2 0
2
i201,b1, bui12
uui1220u20z
z
c i1 u2
i2 0 0
d i1 i2
u2 0 1
串联阻抗Z的[a]
《微波技术与天线》
[a]
1 0
z 1
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
Ze1
)
U1 2
I1Ze1 Ze1
b1
1 2
(u1
i1 )
1 2
(U1
/
Ze1 I1
Ze1
)
U1 2
I1Ze1 Ze1
同理可得：
a2 U2 I2Ze2 2 Ze2
b2
U2 I2Ze2 2 Ze2
《微波技术与天线》
这些关系为 我们后面研究各参 数之间的转换提供
了依据
第四章 微波网络基础之•散射矩阵与传输矩阵
UUZl0cl hs(h(dd)
Il Z 0 sh(d ) Il ch(d )
)
U (d )
I(d
)
ch(d )
1
Z
0
sh(d )
Z 0 sh(d ch(d )
)
UIll
cos
[
A]
j
sin
Z0
jZ0 sin
cos