辽宁省朝阳市第二十三高级中学2019年高一数学理测试题含解析

辽宁省朝阳市第二十三高级中学2019年高一数学理测
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f（x）=，则f（3）的值等于（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
参考答案：
B
【考点】3T：函数的值．
【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可．
【解答】解：由分段函数可知，f（3）=f（2）﹣f（1），
而f（2）=f（1）﹣f（0），
∴f（3）=f（2）﹣f（1）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣1，
故选：B．
2. 下列函数在（0，+∞）上是减函数的是（）
A．y=|x| B．y=C．y=x3 D．y=2x
参考答案：
B
【考点】函数单调性的判断与证明．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据一次函数、反比例函数、指数函数和y=x3的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．
【解答】解：A．x＞0时，y=|x|=x为增函数，∴该选项错误；
B.在（0，+∞）上是减函数，∴该选项正确；
C．y=x3在（0，+∞）上是增函数，∴该选项错误；
D．指数函数y=2x在（0，+∞）上是增函数，∴该选项错误．
故选：B．
【点评】考查一次函数、反比例函数及指数函数的单调性，清楚函数y=x3的图象及其单调性．
3. 已知是单位向量，，且，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
4. 已知在数列{a n}中，，，且，，则的值为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
【分析】
在数列中，，，且，对n的奇偶性进行讨论，然后
再分组求和得出的值.
【详解】解：由递推公式，可得：
当n为奇数时，，数列的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列；
当n为偶数时，，数列的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列，
故选C.
5. 已知函数，则f()的值是（）
A．B．1 C．D．2
参考答案：
B
略
6. 若函数，且，，则的值是（）
参考答案：
B
7. 下列函数在内为减函数的是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
8. 函数与的图象（）
关于轴对称关于轴对称关于原点对称关于直线对称参考答案：
B
9. 设向量, , ,则（）
A．B．C．
D．
参考答案：
C
10. 若点共线,则a的值为（）
A. －2
B. －1
C. .0
D. 1
参考答案：
A
【分析】
通过三点共线转化为向量共线，即可得到答案.
【详解】由题意，可知，又，点共线，
则，即，所以，故选A.
【点睛】本题主要考查三点共线的条件，难度较小.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数f（x）=a x+log a（x+1）（a＞0且a≠1）在区间[0，2]上的最大值与最小值之和为a2，则a的值为．
参考答案：
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】结合函数y=a x与y=log a x的单调性可知f（x）=a x+log a x在[0，1]单调，从而可得函数在[0，2]上的最值分别为f（0），f（2），代入可求a
【解答】解：∵y=a x与y=log a（x+1）在区间[0，2]上具有相同的单调性．
∴f（x）=a x+log a（x+1）在[0，2]上单调，
∴f（0）+f（2）=a2，即a0+log a1+a2+log a3=a2，
化简得1+log a3=0，解得a=
故答案为：
【点评】本题主要考查了指数函数与对数函数的单调性的简单运用，利用整体思想求解函数的最值，试题比较容易．
12. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则f （0）=_______.
参考答案：
-
略
13. 计算_ _；
参考答案：
1
14. 已知二次函数，若对于上的任意三个实数，函数值
都能构成一个三角形的三边长，则满足条件的的值可以是。

（写出一个即可）
参考答案：
内的任一实数。

解析：由题意当时，；
当时，不存在；
当时，，不存在；
当时，，
所以这时；
当时，，所以这时；综上所述。

15. 在中，内角的对边分别为，若的面积
，则．
参考答案：
略
16. 已知函数f（x）=x2﹣|x|+a﹣1有四个零点，则a的取值范围是．
参考答案：
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到a的范围．【解答】解：由f（x）=x2﹣|x|+a﹣1=0，
得a﹣1=﹣x2+|x|，
作出y=﹣x2+|x|与y=a﹣1的图象，
要使函数f（x）=x2﹣|x|+a﹣1有四个零点，
则y=﹣x2+|x|与y=a﹣1的图象有四个不同的交点，
所以0＜a﹣1＜，
解得：a∈
故答案为：
17. 设x、y满足约束条件则取值范围．
参考答案：
[1，5]
【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与（﹣1，﹣1）构成的直线的斜率问题．
【解答】解：根据约束条件画出可行域，
∵设k=，
考虑到斜率以及由x，y满足约束条件所确定的可行域，
数形结合，由图得当过A（0，4）时，z有最大值5，
当过B（0，0）时，z有最小值1，所以1≤z≤5．
故答案为：[1，5]．
【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与（﹣1，﹣1）的斜率．属于线性规划中的延伸题
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分10分）设函数在内是奇函数，且对任意都有
，当
时，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断在区间内的单调性，并证明；
（Ⅲ）若函数，求不等式的解集.
参考答案：
（1）
（2）在内是减函数；（3）解集为.
；
19. (本小题满分12分) 已知函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；
(2)令，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．
参考答案：
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性.
(1) 最小正周期4 ;(2) 函数g（x）是偶函数．解：..............................2分
∴f（x）的最小正周期T==4..................................1分
当时，f（x）取得最小值-2；..............................1分
当时，f（x）取得最大值2．..............................1分
（2）g（x）是偶函数．理由如下：........................................1分
由（1）知,又g（x）
∴g（x）= .....................3..分
∵g（-x）==g（x），..................................2分
∴函数g（x）是偶函数． ........................................ ...1分
【思路点拨】(1)利用两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
然后直接求f（x）的最小正周期；（2）求出的表达式，通过函数的奇偶性的定义，直接证明即可．
20. 设幂函数的图像过点.
（1）求的值；
（2）若函数在上的最大值为2，求实数的值．参考答案：
（2）
综上：
21. （本小题满分12分）
已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量与向量
共线，且角A为锐角.
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)求函数的值域.
参考答案：
（Ⅰ）由m∥n，得，所以,
且为锐角，则;
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即
=
所以，=，
且，则
所以，则，即函数的值域为.
22. 已知定义在区间上的函数的图
像关于直线对称，当时，的图像如图所示.
（1）求在上的表达式；
（2）求方程的解.
参考答案：
解：（1）由图知：，，则，
在时，将代入得，
在时，………………3分
同理在时，………………5分
综上，……………7分
（2）由在区间内可得关于对称，得解为
………………13分
略。