2.2.1 对数及对数运算(1)
人教A版数学必修1课件：2.2.1对数及对数运算(1)
（1）54=625
(2) 2
6
1 64
1 m (3) ( ) 5.73 3
(5)
(4)
log 1 16 4
2
lg 0.01 2 （6） ln10 2.303
典 例 分 析 例2 求下列各式中x的值
(1)
(3) lg100
2 log 64 x 3
(2) (4)
log x 8 6
为底的对数叫自然对数(naturallogarithm)，
为了简便，N的自然对数简记作lnN。
3. 几个常用的结论 （1）负数与零没有对数 （2） loga 1 0 （3） loga a 1 （4）对数恒等式：a 请同学们记下！
loga N
N
典 例 分 析
例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
4. 特殊的两种对数：
5．几个常用结论： 课后作业（自主学习册） 今日上交 P63 Ⅰ类题 P64Ⅱ类题 P64Ⅲ类题
若2x=15,则x= 若3x=8,则x=
2
3
3
7
4 若3x=9,则x= log 2 15
log 3 8
2
已知底数和幂的值，如何求指数呢？
1. 对数的定义
一般地,如果 a N a 0, a 1, 那么数 x叫做以a为底N的对数, 记作 ,a N x log
x
其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 思考1:那么如何记忆呢？
§2.2.1 对数及对数运算
第一课时 对数
学习目标
1. 理解对数的定义. 2. 掌握指数式与对数式互换互化.(重点) 3.特殊的两种对数及常用结论.(重点)
新 课 引 入 练习:
2.2.1 对数及对数运算(1)
2
因此e x e2
于是x 2
P64 1,2,3
1 log3 1 0 2 lg1 0 3 log0.5 1 0 4 ln1 0
loga 1 0
a =1
0
1 log3 3 2 lg10 1
2
(2)
log2 log3 log4 x 0
log2 3
7 0.4
aa N
b
a 0, 且a 1
log a N b
（1）负数与零没有对数 （2） loga 1 0 （3） loga a 1
（4）对数恒等式：a
loga N
N
5 loga a
n
n
例3、求 x 的值： (1)
2
log2x 1 3x 2x 1 1
1 6
1 3 6
2 2
1 2
1 log10 10
3
3
2 log10 1
0
以10为底的对数叫做常用对数：
log10 N lg N
3 loge e
1
4 loge 1
0
以e为底的对数叫做自然对数：
loge N ln N
例1：将下列指数式化为对数式，对数式化 为指数式.
1
3 log0.5 0.5 1 4 ln e 1
loga a 1
a =a
1
1 log3 3 4 5 2 log0.9 0.9 5
4
loga a n
n
3 ln e
8
8
4 2 3 log 0.6 0.6 5 7 log 89 89 6 0.4
2.2.1对数与对数运算(1)课件
练习
求下列各式中的x 1 (1) log 4 x 2 3 (2) log x 27 4 (3) log 5 (lg x) 1
x2
x 81
x 10
5
拓展提高
1.(1)若 log(x 1) (3 x)有意义，则x的取值
1 x 3且x 范围 _____________ 2
x
引例2. 2009年临沂河东区国民经济生产总值为a 亿元,如果平均每年增长率为8.2%,问经过 多少年后国民生产总值是2009年的2倍？
解：
a(1+8.2%)x=2a 1.082x=2
x=?
已知 2 = 128 求 x?
x
已知 1.082 2
x
求
x?
上述问题，实质就是已知 底数 和 幂 的值， 求 指数 .
2
(2)若(lg x) 2lg x 3 0, 则x
1 或1000 10 _____
2 (3)若 lห้องสมุดไป่ตู้g 2 log 1 (log 2 x) 0, 求x ____ 2
１．关系：
指数式
底数对底数
指数对以a为底N的对数
ab=N
b = log a N
幂值对真数
对数的概念 x 一般地，如果 N (a 0, 且a 1), a 那么数x叫做以a为底N的对数， 记作 x log a N , 其中a叫做对数的底数， 叫做真数 N
指数式 a N x log a N
x
幂底数 指数 幂
a 对数底数 a 0, 且a 1时 x 对数 xR
引例1：
1.如果我们拿出一张纸对折，纸就变成了两 层，再对折，就变成了四层，继续对折……
高一数学对数与对数的运算1
知识探究 探究2:根据对数定义，logal和logaa （a＞0且a≠1）的值分别是多少？
loga1=0 logaa=1 探究3:若ax＝N，则x＝logaN ，二者组 合可得什么等式？
aloga N N
课堂练习 1.将下列指数式化为对数式，对数式
化为指数式：
2.若 log3[log4 (log5 a)] 0， 求a的值.
拓展训练
1.求使下列各式有意义的x的取值范围：
1 (1) lg(x 1);(2) logx2 (2 | x |).
x 1 (1) x 1 1
（1，2）（2，+）
2 | x | 0(2)x来自log1.01
18 13
1
x
log
1 4
100
知识探究
特殊地：
10x N
x lg N 常用对数
ex N
x ln N 自然对数
(e 2.71828)
知识探究 2、指数式与对数式可相互转化；
幂变真数
指数变对数
ax N
x log a N
底数不变
知识探究
探究1:当a>0且a≠1时，loga（-2）， loga0存在吗？为什么？由此能得到 什么结论？
2
(4)
log
5
125;(5)
log
2
1 ;(6) 16
lg
1000;
(7) ln e 3;(8) lg 0.001.
迁移训练
1.求下列各式中x的值： 2
(1) log64 x 3 ;(2) logx 8 6; (3) lg100 x;(4) ln e2 x.
对数及对数运算(1)
的取值范围是______ 中x的取值范围是 的取值范围是 (2) 若log5[log3(log2x)]=1， ， x=_______
小结： 小结：
1°对数的定义 ° 2°互换(对数与指数会互换 °互换 对数与指数会互换 对数与指数会互换) 3°求值(已知对数、底数、真 数 °求值 已知对数 底数、 已知对数、 其中两个，会求第三个） 其中两个，会求第三个）
= 10
例题讲解（求对数） 例题讲解（求对数）
例3计算下列对数的值 计算下列对数的值
(1 log 9 27 ) 解：设 x = log 27 则 9x = 27, 9
3 =3
2x
3
∴
解：设 x = log 3 即5 ∴
4 3
(2) log 3
5
4
625
5
x
4
3 x= 2
则
x =3
4 x=4 = 625 = 5 , ∴ 3
指数式 对数式，底数不变，指数换到 对数式，底数不变， 对数位置，幂换成真数位置。 对数位置，幂换成真数位置。 对数式 指数式，底数不变，真数换到 指数式，底数不变， 幂的位置，对数值换成到指数位置。 幂的位置，对数值换成到指数位置。
4 = 16 化为对数式 log4 16 = 2 化为指数式 102 = 100 log10 100 = 2
x
指数 幂 真数
对数
a = N ⇔ log a N = x
x
底数
注意 （1）在对数中 N ） 2） （2）对任意的 a （3）如果把 a ）
x
> 0且a ≠ 1 ，都有 a = 1 同样可知: ∴ log a 1 = 0 ，同样可知 log a a = 1
2.2.1对数与对数运算1
自测自评
1．下列各式中正确的有____4____个．
①log4 16 ＝2；②log16 4 ＝12； ③lg 100＝2；④lg 0.01＝－2.
2．已知
1 logx16
＝－4，则x＝____2____.
3．若logx7 y ＝z，则____B____．
A．y7＝xz
B．y＝x7z
C．y＝7xz
一、选择填空题
1．将下列指数式写成对数式：
(1)2－6＝
1 64
，____________；
(2)___________.
2．将下列对数式写成指数式：
(1)log327＝a，______； (2)lg 0.01＝－2，________.
1．(1)log2614＝－6 (2)log135.73＝m 2．(1)3a＝27 (2)10－2＝0.01
(2)设a＞0，a≠1，则有a0＝1 ，∴loga1＝0，即1的对数 为0；
(3)设a＞0，a≠1，则有a1＝a ，∴logaa＝1，即底数的 对数为1.
4．对数恒等式
(1)如果把ab＝N中的 b写成logaN，则有：alogaN＝N； (2)如果把x＝logaN中的N 写成ax，则有logaax＝x.
例如：将指数式化为对数式： ①42＝16，________；②102＝100，________； ③4＝2，________； ④10－2＝0.01，________. (1)以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数log10N 简记为lgN； ①log416＝2；②log10100＝2； ③log42＝12；④log100.01＝－2
D．y＝z7x
1．根据需要可将指数式与对数式相互转化，从而实 现化难为易，化繁为简．
2.2.1对数与对数运算(一)
2.2.1对数与对数运算（一）教学目标（一） 教学知识点1． 对数的概念；2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． （三）德育渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用．教学重点对数的定义．教学难点对数概念的理解．教学过程一、复习引入：假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？()x %81+=2⇒x =?也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 二、新授内容：定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ,就是N a b=，那么数 b 叫做以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．b N N a a b =⇔=log例如：1642= ⇔ 216log 4=； 100102=⇔2100log 10=；2421= ⇔212log 4=； 01.0102=-⇔201.0log 10-=． 探究：1。
是不是所有的实数都有对数？b N a =log 中的N 可以取哪些值？⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 N ＞ 0 ）2．根据对数的定义以及对数与指数的关系，=1log a ？ =a a log ？ ⑵ 01log =a ，1log =a a ；∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a 同样易知： 1log =a a⑶对数恒等式如果把 N a b= 中的 b 写成 N a log , 则有 N aNa =log ．⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便,N 的常用对数N 10log 简记作lgN ． 例如：5log 10简记作lg5； 5.3log 10简记作lg3.5.⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN ． 例如：3log e 简记作ln3； 10log e 简记作ln10．（6）底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围),0(+∞． 三、讲解范例：例1．将下列指数式写成对数式：（1）62554= （2）64126=- （3）273=a(4)73.531=m ）（ 解：（1）5log 625=4； （2）2log 641=-6； （3）3log 27=a ； （4）m =73.5log 31． 例2． 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=； （2）7128log 2=； （3）201.0lg -=； （4）303.210ln =．解：（1）16)21(4=- （2）72=128； （3）210-=0.01； （4）303.2e =10．例3．求下列各式中的x 的值： （1）32log 64-=x ； （2）68log =x （3）x =100lg （4）x e =-2ln 例4．计算： ⑴27log 9，⑵81log 43，⑶()()32log 32-+，⑷625log 345．解法一：⑴设 =x 27log 9 则 ,279=x3233=x, ∴23=x ⑵设 =x 81log 43 则()8134=x, 4433=x , ∴16=x⑶令 =x ()()32log 32-+=()()13232log -++, ∴()()13232-+=+x, ∴1-=x⑷令 =x 625log 345, ∴()625534=x, 43455=x , ∴3=x解法二：⑴239log 3log 27log 239399===； ⑵16)3(log 81log 1643344== ⑶()()32log 32-+=()()132log 132-=+-+;⑷3)5(log 625log 334553434==四、练习：(书P64`)1.把下列指数式写成对数式(1) 32＝８； （２）52＝32 ； （３）12-＝21； （４）312731=-．解：(1)2log ８＝３ (2) 2log 32＝５ (3) 2log 21＝－１ (4) 27log 31＝－312.把下列对数式写成指数式(1) 3log ９＝２ ⑵5log １２５＝３ ⑶2log 41＝－２ ⑷3log 811＝－４ 解：(1)23＝９ (2)35＝１２５ (3)22-＝41 (4) 43-＝811 3.求下列各式的值(1) 5log 25 ⑵2log 161⑶lg 100 ⑷lg 0.01 ⑸lg 10000 ⑹lg 0.0001 解：(1) 5log 25＝5log 25＝２ (2) 2log 161＝－４ (3) lg 100＝２ (4) lg 0.01＝－２ (5) lg 10000＝４ (6) lg 0.0001＝－４ 4.求下列各式的值(1) 15log 15 ⑵4.0log 1 ⑶9log 81 ⑷5..2log 6.25 ⑸7log 343 ⑹3log 243 解：(1) 15log 15＝１ (2) 4.0log 1＝０ (3) 9log 81＝２ (4) 5..2log 6.25＝２ (5) 7log 343＝３ (6) 3log 243＝５ 五、课堂小结⑴对数的定义； ⑵指数式与对数式互换； ⑶求对数式的值．2.2.1对数与对数运算（二）教学目标（三） 教学知识点对数的运算性质． （四） 能力训练要求1．进一步熟悉对数定义与幂的运算性质； 2. 理解对数运算性质的推倒过程； 3．熟悉对数运算性质的内容； 4．熟练运用对数的运算性质进行化简求值； 5．明确对数运算性质与幂的运算性质的区别． （三）德育渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题．教学重点证明对数的运算性质．教学难点对数运算性质的证明方法与对数定义的联系．教学过程一、复习引入：1．对数的定义 b N a =l o g 其中 ),1()1,0(+∞∈ a 与 ,0(+∞∈N 2．指数式与对数式的互化)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且3.重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ，log =a a⑶对数恒等式N aNa =log4．指数运算法则 )()(),()(),(R n b a ab R n m aa R n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+二、新授内容：1．积、商、幂的对数运算法则：如果 a ＞ 0，a ≠ 1，M ＞ 0， N ＞ 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log NM log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=证明：①设a log M =p , a log N =q ． 由对数的定义可以得：M =pa ，N =qa ． ∴MN = pa qa =qp a+ ∴a log MN =p +q ， 即证得a log MN =a log M + a log N ．②设a log M =p ，a log N =q ． 由对数的定义可以得M =pa ，N =qa ．∴q p q pa aa N M -== ∴p N M a -=log 即证得N M N M a a a log log log -=． ③设a log M =P 由对数定义可以得M =pa ,∴nM ＝npa ∴a log nM =np ， 即证得a log nM =n a log M ．说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式． ①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……②有时逆向运用公式：如110log 2log 5log 101010==+． ③真数的取值范围必须是),0(+∞：)5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=-- 是不成立的． )10(log 2)10(log 10210-=-是不成立的． ④对公式容易错误记忆，要特别注意：N M MN a a a log log )(log ⋅≠，N M N M a a a log log )(log ±≠±．2．讲授范例：例1． 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：32log )2(;(1)log zyx zxya a ． 解：（1）zxyalog =a log （xy ）-a log z=a log x+a log y- a log z （2）32log zyx a=a log （2x3log )z y a -= a log 2x +a log 3log z y a -=2a log x+z y a a log 31log 21-．例2． 计算（1）25log 5， （2）1log 4.0， （3）)24(log 572⨯， （4）5100lg 解：（1）5log 25= 5log 25=2 （2）4.0log 1=0．（3）2log （74×25）= 2log 74+ 2log 52= 2log 722⨯+ 2log 52 = 2×7+5=19．（4）lg 5100=52lg1052log10512==． 例3．计算：(1);50lg 2lg )5(lg 2⋅+ (2) ;25log 20lg 100+(3) .18lg 7lg 37lg214lg -+- 说明：此例题可讲练结合.解：(1) 50lg 2lg )5(lg 2⋅+＝)15(lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg 5lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg )2lg 5(lg 5lg ++＝2lg 5lg +＝1；(2) 25log 20lg 100+＝5lg 20lg +＝100lg ＝2； (3)解法一：lg14-2lg37+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(23×2) =lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0．解法二：lg14-2lg37+lg7-lg18=lg14-lg 2)37(+lg7-lg18=lg 01lg 18)37(7142==⨯⨯评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质. 例4．已知3010.02lg =，4771.03lg =， 求45lg例5．课本P66面例5.20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为 M ＝lg A －lg A 0.其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)； (2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1).3．课堂练习：教材第68页练习题1、2、3题． 4．课堂小结对数的运算法则，公式的逆向使用．=n a a log n2.2.1对数与对数运算（三）教学目标（五） 教学知识点1． 了解对数的换底公式及其推导；2．能应用对数换底公式进行化简、求值、证明； 3．运用对数的知识解决实际问题。
2.2.1对数与对数运算(1)
1 log （4） 2 2 4 1 （4） 22 4
lg 0.001 （4 ）
（4）-3
16
（3 ） lg100 （3 ）2
选做题
3.求下列各式中x的取值范围： （1）log2 x 1 15 （2） log 2 3
x 1
（3 ） log2 ( x 2 3x 2)
（4 ） log2 ( x 2) （4）x 2
探究点二 对数与指数之ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ存在什么样的转化关系？
问题1 将下列指数式表示成对数式。
1 m (1) 5 625 (2) ( ) 5.73 (3) 2 6 1 3 64
4
答： (1) 4 log5 625 ( 2) m log1 5.73
3
(3) 6 log 2
1 64
变式 将下列对数式表示成指数式。
(1) x log2 1
2 求出下式中x的值
(1) x log8 64
(2) logx 27 3
(3) log7 x 2
(1) x 2
.
(2) x 3
(3) x 49
四、引导探究
探究点一 对数的概念
例1 求下列各式中x的值
1 x 2 (1) 2
1 x 2 (2) 4
1 x ,x 0 解：（1） 2
x0 （2 ）
x 1或 x 2 （3）
七、强化补清
见清学稿
1.负数和零没有对数（对数的真数大于零）
2.loga 1 0,loga a 1
√ √
小结 3 对数的性质
（1） loga N (a 0, a 1) 中，零和负数没有对数，即
N 0
【高中数学必修一】2.2.1 对数与对数运算-高一数学人教版(必修1)(解析版)
一、选择题1．将指数式2a =b 写成对数式为A ．log 2b =aB ．log a b =2C ．log 2a =bD ．log b 2=a【答案】A【解析】指数式2a =b 所对应的对数式是：log 2b =a ．故选A ．2．若log a b •log 3a =5，则b =A ．a 3B ．a 5C ．35D ．53 【答案】C3．如果log 3x =log 6x ，那么x 的值为A ．1B ．1或0C ．3D ．6【答案】A【解析】∵log 3x =log 6x ，36log 1log 1==0，而对数函数3log y x =，6log y x =在x >0时，具有单调性，因此x =1．故选A ．4．1411log 9+1511log 3= A ．lg3B ．–lg3C ．1lg3D ．–1lg3【答案】C 【解析】原式=191log 4+131log 5=131log 2+131log 5=131log 10=log 310=1lg3．故选C ．5．若x =12log 16，则x = A．–4 B ．–3 C ．3 D ．4【答案】A【解析】∵x =12log 16，∴2–x =24，∴–x =4，解得x =–4．故选A ．6．log 8127等于A ．34B ．43C ．12D ．13【答案】A【解析】log 8127=3lg334lg34=．故选A ． 7．计算lg （103–102）的结果为A ．1B ．32C ．90D ．2+lg9【答案】D8．若x log 34=1，则4x +4–x 的值为A ．3B ．4C ．174D ．103【答案】D【解析】∵x log 34=1，∴43log x =1，则4x =3，∴4x +4–x =3+11033=，故选D ． 9．273log 16log 4的值为 A ．2 B ．32 C ．1 D ．23【答案】D【解析】原式=164332734433log 2log log 23log log 3==．故选D ．二、填空题10．已知log 3（log 2x ）=1，那么x 的值为__________．【答案】8【解析】由log 3（log 2x ）=1，得log 2x =3，解得x =8．故答案为：8．11．已知lg2=a ，lg3=b ，用a ，b 的代数式表示lg12=__________．【答案】2a +b【解析】lg12=lg （3×4）=lg3+2lg2=2a +b ．故答案为：2a +b ．12．求值：2log 510+log 50.25–log 39=__________．【答案】0【解析】原式=()25log 100.25⨯–2=25log 5–2=2–2=0．故答案为：0．13．若lg2=a ，lg3=b ，则log 418=__________．（用含a ，b 的式子表示）【答案】22a b a+14．若log 32=log 23x ，则x =__________．【答案】223(log ) 【解析】∵log 32=log 23x ，∴32321log log x =，∴223(log )x =．故答案为：223(log )． 三、解答题15．计算（log 43+log 83）（log 32+log 92）的值．【解析】（log 43+log 83）（log 32+log 92）=lg3lg3lg2lg2lg4lg8lg3lg9⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=lg3lg3lg2lg22lg23lg2lg32lg3⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ =1111524364+++=． 16．解方程：log 2（x –1）+log 2x =1．【解析】∵log 2（x –1）+log 2x =1，∴log 2（x –1）x =1， ∴x （x –1）=2，解得x =–1或x =2，经检验，得x =–1是增根，x =2是原方程的解，∴x =2．17．计算：（1）lg 12–lg 58+lg12.5–log 89•log 34+0.5log 32； （2）0.21log 35-–（log 43+log 83）（log 32+log 92）．（2）0.21log 35-–（log 43+log 83）（log 32+log 92） =5÷51log 35–（log 6427+log 649）（log 94+log 92）=15–5362lg3lg2lg2lg3⨯ =15–1512=554． 18．解关于x 的方程：lg （x 2+1）–2lg （x +3）+lg2=0．【解析】∵lg （x 2+1）–2lg （x +3）+lg2=0，∴()2221lg (3)x x ++=0，∴()2221(3)x x ++=1，解得x =–1或x =7，经检验满足条件．∴方程的根为：x =–1或x =7．。
2.2.1 对数与对数运算(7011854)
2.2.1 对数与对数运算1．对数的概念(1)定义：一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．释疑点在对数log a N中规定a＞0，且a≠1，N＞0的原因(1)若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子(－3)x＝4没有实数解，所以log(－3)4不存在，因此规定a不能小于0；(2)若a＝0，且N≠0时，log a N不存在；N＝0时，log a0有无数个值，不能确定，因此规定a≠0，N≠0；(3)若a＝1，且N≠1时，x不存在；而a＝1，N＝1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1；(4)由a x＝N，a＞0知N恒大于0．当a＞0，且a≠1时．如图所示：比如：43＝64⇔3＝log464；log525＝2⇔52＝25；以前无法解的方程2x＝3，学习了对数后就可以解得x＝log23．谈重点对指数与对数的互化关系的理解(1)由指数式a b＝N可以写成log a N＝b(a＞0，且a≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．从对数定义可知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．其关系如下表：(2)根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式a．指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段．【例1－1】下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是()A．100＝1与lg 1＝0B．131273-=与271log3＝13-C．log39＝2与129＝3D．log55＝1与51＝5解析：指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相对应，对于C，log39＝2→32＝9或129＝3→log93＝12．故选C．答案：C【例1－2】解析：(1)103＝1 000(2)log210＝x⇔2x＝10．(3)e3＝x⇔ln x＝3．答案：(1)lg 1 000＝3；(2)2x＝10；(3)ln x＝3．【例1－3】求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)log x27＝34；(4)x＝log84．解：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1．∴x＝51＝5．(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3．∴x＝103＝1 000．(3)∵log x27＝34，∴34x＝27．∴x＝()3427＝34＝81．(4)∵x＝log84，∴8x＝4．∴23x＝22．∴3x＝2，即x＝23．2．对数的运算性质(1)对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)．谈重点对对数的运算性质的理解(1)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．(2)巧记对数的运算性质：①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积；②两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．(2)谈重点利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“log a(MN)＝log a M＋log a N”的推导：设log a M＝m，log a N＝n，则a m ＝M，a n＝N，于是MN＝a m·a n＝a m＋n，因此log a(MN)＝log a M＋log a N＝m＋n．【例2－1】若a＞0，且a≠1，x＞y＞0，n∈N*，则下列各式：①log a x·log a y＝log a(x＋y)；②log a x－log a y＝log a(x－y)；③log a(xy)＝log a x·log a y；④logloglogaaax xy y=；⑤(log a x)n＝log a x n；⑥1 log loga axx=-；⑦loglogaaxn=其中式子成立的个数为()A．2 B．3 C．4 D．5解析：答案：A辨误区应用对数的运算性质常见的错误常见的错误有：log a(M±N)＝log a M±log a N；log a(M·N)＝log a M·log a N；logloglogaaaMMN N=；log a M n＝(log a M)n．【例2－2】计算：(1)2log122＋log123；(2)lg 500－lg 5；(3)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求解：(1)原式＝log22＋log123＝log124＋log123＝log1212＝1．(2)原式＝＝lg 100＝lg 102＝2lg 10＝2．(3)∵＝1211lg 45lg 45lg(59)22==⨯＝12(lg 5＋lg 9)＝2110lg lg322⎛⎫+⎪⎝⎭＝12(1－lg 2＋2lg 3)，又∵lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，∴12(1－0.301 0＋2×0.477 1)＝0.826 6．析规律对数的运算性质的作用(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算；(2)由于lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，所以lg 5＝1－lg 2，这是在对数运算中经常用到的结论．3．换底公式(1)公式log a b＝loglogccba(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1，b＞0)．(2)公式推导：设log log c c bx a=，则log c b ＝x log c a ＝log c a x ，∴b ＝a x ．∴x ＝log a b ．∴log log c c ba＝log a b ．(3)公式的作用换底公式的作用在于把以a 为底的对数，换成了以c 为底的对数，特别有：lg log lg a N N a=，ln log ln a NN a =，利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的值．(4)换底公式的三个推论：①log log m na a nN N m=(a ，N ＞0，且a ≠1，m ≠0，m ，n ∈R )；②log a b ＝1log b a(a ，b ＞0，且a ，b ≠1)；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c ＞0，且a ，b ，c ≠1，d ＞0)．证明：①log am N n＝log log log log n a a a m a N n N nN a m m==．②log a b ＝log 1log log b b b b a a=． ③log a b ·log b c ·log c d ＝lg lg lg lg lg lg lg lg b c d da b c a⋅⋅=＝log a d ． 【例3－1】82log 9log 3的值是( )A ．23B ．32C ．1D ．2解析：(思路一)将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即82lg 9log 92lg 3lg 22lg8lg 3log 33lg 2lg 33lg 2==⋅=． (思路二)将分母利用换底公式转化为以2为底的对数，即2822222log 9log 9log 82log 32log 3log 33log 33===． 答案：A【例3－2】若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 等于( ) A ．12B ．9C ．18D ．27 解析：∵log 34·log 48·log 8m ＝log 416， ∴lg 4lg8lg lg 3lg 4lg8m⋅⋅＝log 442＝2，化简得 lg m ＝2lg 3＝lg 9．∴m ＝9． 答案：B4．对数定义中隐含条件的应用根据对数的定义，对数符号log a N 中实数a 和N 满足的条件是底数a 是不等于1的正实数，真数N是正实数，即>0, >0,1, Naa⎧⎪⎨⎪≠⎩因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件．对数概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数与指数相互联系，深刻理解对数与指数之间的关系，将有助于掌握对数的概念．【例4－1】已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，则实数a的取值范围是__________．解析：根据对数的定义，得2>0, 1>0, 11, aaa+⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得－2＜a＜0或0＜a＜1．答案：(－2,0) (0,1)【例4－2】若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝__________．解析：由题意知1－x＝(1＋x)2，解得x＝0，或x＝－3．验证知，当x＝0时，log(1－x)(1＋x)2无意义，故x＝0不合题意，应舍去．所以x＝－3．答案：x＝－35．对数的化简、求值问题应用对数的定义、有关性质及运算法则等可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算过程，加快计算速度．(1)同底数的对数式的化简、求值一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和、差．如39log5＋log35＝log39－log35＋log35＝log39＝2．二是“收”，将同底数的对数和、差合成积、商的对数．如，39log5＋log35＝39log55⎛⎫⨯⎪⎝⎭＝log39＝2．三是“拆”与“收”相结合．(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式，进而进行化简，化简后再将底数统一进行计算．也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值．对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N，lg 2＋lg 5＝1，log a b·log b a＝1等．【例5－1】化简求值：(1)4lg 2＋3lg 5－1lg5；；(3)2log32－332log9＋log38－5log35；(4)log2(1)＋log2(1．分析：依据对数的运算性质进行化简，注意运算性质的正用、逆用以及变形应用．解：(1)原式＝4325lg15⨯＝lg 104＝4．(2)原式＝2124257521357751log 2(2log 3)log 2log 73212log 3log 2log 3log 223-⋅⋅=⎛⎫-⋅⋅ ⎪⎝⎭＝－3log 32×log 23＝－3．(3)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝5log 32－(5log 32－2log 33)－3＝－1．(4)原式＝log 2[(1)(1－3)]＝log 2[(12－3]＝log 2(3＋3)＝233log 222=．【例5－2】计算：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)－分析：按照对数的运算法则，无法进行计算，因此可先用换底公式将其化为同底对数，再对代数式进行化简计算．观察底数的特点，化成以2或以3为底的对数．解：原式＝5422332111log 3log 3log 2log 2log 2232⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝2323535535log 3log 2log 3log 2624624⨯+=⨯⨯⨯+ ＝555442+=． 6．条件求值问题对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．例如：设x ＝log 23，求332222x x x x ----的值时，我们可由x ＝log 23，求出2x＝3,2－x ＝13，然后将它们代入332222x xx x----，可得33331322913122933x x x x --⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--．【例6】已知3a ＝4b ＝36，求21a b+的值．解：(方法一)由3a ＝4b ＝36，得a ＝log 336，b ＝log 436． 故342121log 36log 36a b +=+＝2log 363＋log 364＝log 369＋log 364 ＝log 3636＝1．(方法二)由3a ＝4b ＝36，得log 63a ＝log 64b ＝log 636， 即a log 63＝b log 64＝2． 于是2a ＝log 63，1b ＝log 62，21a b+＝log 63＋log 62＝log 66＝1． 析规律 与对数式有关的求值问题的解决方法 (1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．7．利用已知对数表示其他对数(1)换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(2)用对数log a x 和log b y 等表示其他对数时，首先仔细观察a ，b 和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为a ，b ．解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式．对数的运算性质总结：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；log aMN ＝log a M －log a N ； log a M n＝n log a M (n ∈R )．换底公式：log a b ＝log log c c ba (a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．(3)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式． 【例7－1】已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝( )A ．a b a + B ．a bb + C ．a a b + D ．b a b+解析：由换底公式得 log 36＝lg 6lg(23)lg 2lg 3lg 3lg 3lg 3a bb⨯++===． 答案：B【例7－2】已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．分析：利用指数式和对数式的互化公式，将18b ＝5化成log 185＝b ，再利用换底公式，将log 3645化成以18为底的对数，最后进行对数运算即可．解：(方法一)∵log 189＝a,18b ＝5， ∴log 185＝b ．于是log 3645＝18181818181818181818log 45log (95)log 9log 5log 9log 518log 36log (182)1log 21log 9⨯++===⨯++ ＝181818log 9log 52log 92a b a++=--． (方法二)∵log 189＝a ，且18b ＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18． ∴log 3645＝2lg 45lg(95)lg 9lg 5lg18lg1818lg 362lg18lg 92lg18lg182lg 9a b a ba a ⨯+++====---．8．与对数有关的方程的求解问题 关于对数的方程有三类：第一类是形如关于x 的方程log a f (x )＝b ，通常将其化为指数式f (x )＝a b ，这样解关于x 的方程f (x )＝a b 即可，最后要注意验根．例如：解方程64152log 163x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将其化为指数式为23156416x --=，又223233164(4)416---===，则1511616x -=，所以x ＝1，经检验x ＝1是原方程的根．第二类是形如关于x 的方程log f (x )n ＝b ，通常将其化为指数式f b (x )＝n ，这样解关于x 的方程f b (x )＝n 即可，最后要注意验根．例如，解方程log (1－x )4＝2，将其化为指数式为(1－x )2＝4，解得x ＝3或x ＝－1，经检验x ＝3是增根，原方程的根是x ＝－1．第三类是形如关于x 的方程f (log a x )＝0，通常利用换元法，设log a x ＝t ，转化为解方程f (t )＝0得t ＝p 的值，再解方程log a x ＝p ，化为指数式则x ＝a p ，最后要注意验根．【例8－1】已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求xy的值． 解：由已知，可得lg(xy )＝lg(x －2y )2，从而有xy ＝(x －2y )2，整理得x 2－5xy ＋4y 2＝0，即(x －y )(x －4y )＝0．从而可得x ＝y 或x ＝4y ．但由x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，可得x ＞2y ＞0，于是x ＝y 应舍去．故x ＝4y ，即4xy=．因此4xy==＝4． 辨误区 解对数方程易出现的错误 在处理与对数有关的问题时，必须注意“真数大于零”这一条件，否则会出现错误．例如，本题若不注意“真数大于零”，则会出现两个结果：4和0．【例8－2】解方程lg 2x －lg x 2－3＝0． 解：原方程可化为lg 2x －2lg x －3＝0．设lg x ＝t ，则有t 2－2t －3＝0，解得t ＝－1或t ＝3，于是lg x ＝－1或3，解得110x =或1 000． 经检验110x =，1 000均符合题意， 因此原方程的根是110x =，或x ＝1 000．辨误区 lg 2x 与lg x 2的区别 本题中，易混淆lg 2x 和lg x 2的区别，lg 2x 表示lg x 的平方，即lg 2x ＝(lg x )2，而lg x 2＝2lg x ．9．对数运算的实际应用对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值．计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式．另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算．【例9】抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)解：设至少抽n 次可使容器内空气少于原来的0.1%，则a (1－60%)n ＜0.1%a (设原先容器中的空气体积为a )，即0.4n ＜0.001， 两边取常用对数得n ·lg 0.4＜lg 0.001，所以n ＞lg 0.0013lg 0.42lg 21=-≈7.5． 故至少需要抽8次．点技巧 求数值较大的指数的方法 利用对数计算是常用的方法，一般的方法是对等式(或不等式)两边取常用对数或自然对数，再用计算器或计算机进行对数的计算．。
2.2.1对数及其运算(一)讲解
探究2，3，8之间存在的运算关系
• ① 2，3两个数通过什么运算可以得到8？如何表示？
表示为： • 答：2的3次方等于8，是乘方运算，
2 =8.
8=2
3
• ② 8，3两个数通过什么运算可以得到2？如何表示？ 表示为：3 • 答：8的3次方根等于2 是开方运算，
• ③ 2，8两个数通过什么运算可以得到3？如何表示？
叫做以a 为底N的对数，记作 x loga N ,(a 0, a 1)
a 叫做对数的底数，N 叫做真数 。
定 义 以10为底的对数 以 符 号
（2）两类特殊对数
名称 常用对数 自然对数
lg N
e 为底的对数
ln N
（3）对数与指数间的关系 当a
0, a 1 时，
（4）对数的基本性质：其中 (a 0, 且a 1)
2
2
1 பைடு நூலகம் 4
1 1 = log 27 3 3 1 (4) log 3 4 81
1 3
3
4
1 81
2 (1) log 64 x 3 (3) lg100 x
（1）解：∵
64
— 2 3
例2:求下列各式中x的值 ：
求真数
(2) log x 8 6
=x x 64
底数的对数等于1，即
log a a 1 等价 a a
性质小结
1、负数和零没有对数 2、“1”的对数等于零，即
log a 1 0
3、底数的对数等于“1”，即
loga a 1
把下列指数式写成对数式,对数式写成指数式
(1)2 8
3
(2)27
高中数学：2.2.1对数与对数运算 (1)
第2课时 对数的运算[目标] 1.理解对数的运算性质；2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；3.了解对数在简化运算中的作用．[重点] 对数的运算性质的推导与应用．[难点] 对数的运算性质的推导和换底公式的应用.知识点一 对数的运算性质[填一填]如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0.那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N .(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．[答一答]1．若M ，N 同号，则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？ 提示：不一定，当M >0，N >0时成立，当M <0，N <0时不成立．2．你能推导log a (MN )＝log a M ＋log a N 与log a MN ＝log a M －log a N (M ，N >0，a >0且a ≠1)两个公式吗？提示：①设M ＝a m ，N ＝a n ，则MN ＝a m ＋n .由对数的定义可得log a M ＝m ，log a N ＝n ， log a (MN )＝m ＋n .这样，我们可得log a (MN )＝log a M ＋log a N . ②同样地，设M ＝a m ，N ＝a n ， 则MN ＝a m －n .由对数定义可得log a M ＝m ， log a N ＝n ，log a MN ＝m －n ，即log a MN＝log a M －log a N .知识点二 换底公式[填一填]换底公式常见的推论： (1)log an b n ＝log a b ；(2)log am b n ＝n m log a b ，特别log a b ＝1log b a ；(3)log a b ·log b a ＝1； (4)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .[答一答]3．换底公式的作用是什么？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数． 4．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m 的值． 提示：∵log 34·log 48·log 8m ＝log 416， ∴lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝log 442＝2， 化简得lg m ＝2lg3＝lg9，∴m ＝9.类型一 对数运算性质的应用[例1] 计算下列各式： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8；(3)lg25＋23lg8＋lg5lg20＋(lg2)2.[分析] (1)(2)正用或逆用对数的运算性质化简；(3)用lg2＋lg5＝1化简．[解] (1)(方法1)原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12. (方法2)原式＝lg427－lg4＋lg(75)＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝lg 10＝12.(2)原式＝lg4＋lg31＋lg0.6＋lg2＝lg12lg (10×0.6×2)＝lg12lg12＝1. (3)原式＝2lg5＋2lg2＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2 ＝2(lg5＋lg2)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.利用对数的运算性质解决问题的一般思路：(1)把复杂的真数化简；(2)正用公式：对式中真数的积、商、幂、方根，运用对数的运算法则，将它们化为对数的和、差、积、商，然后再化简；(3)逆用公式：对式中对数的和、差、积、商，运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值.[变式训练1] (1)计算：log 53625＝43；log 2(32×42)＝9.(2)计算：lg8＋lg125＝3；lg 14－lg25＝－2；2log 36－log 34＝2.类型二 换底公式的应用[例2] (1)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)； (2)已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 3645. [解] (1)原式＝⎝⎛⎭⎫lg2lg3＋lg2lg9⎝⎛⎭⎫lg3lg4＋lg3lg8 ＝⎝⎛⎭⎫lg2lg3＋lg22lg3⎝⎛⎭⎫lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54. (2)由18b ＝5，得log 185＝b ，∴log 3645＝log 18(5×9)log 18(18×2)＝log 185＋log 1891＋log 182＝log 185＋log 1891＋log 18189＝log 185＋log 1892－log 189＝a ＋b 2－a .利用换底公式可以统一“底”，以方便运算.在用换底公式时，应根据题目特点灵活换底.由换底公式可推出常用结论：log a b ·log b a ＝1.[变式训练2] 计算下列各式：(1)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)． (2)log 89log 23×log 6432. 解：(1)方法1：原式＝(log 253＋log 225log 24＋log 25log 28)(log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125)＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝⎛⎭⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55 ＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 方法2：原式＝⎝⎛⎭⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125 ＝⎝⎛⎭⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5 ＝⎝⎛⎭⎫13lg53lg2⎝⎛⎭⎫3lg2lg5＝13.(2)方法1：原式＝log 29log 28÷log 23×log 232log 264＝2log 233÷log 23×56＝59.方法2：原式＝lg9lg8÷lg3lg2×lg32lg64＝2lg33lg2×lg2lg3×5lg26lg2＝59.类型三 与对数方程有关的问题[例3] (1)若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg2＋lg x ＋lg y ，求xy 的值；(2)解方程：log 2x ＋log 2(x ＋2)＝3.[解] (1)由题可知lg[(x －y )(x ＋2y )]＝lg(2xy )， 所以(x －y )(x ＋2y )＝2xy ，即x 2－xy －2y 2＝0.所以⎝⎛⎭⎫x y 2－xy －2＝0. 解得x y ＝2或xy＝－1.又因为x >0，y >0，x －y >0.所以x y ＝2.(2)由方程可得log 2x ＋log 2(x ＋2)＝log 28. 所以log 2[x (x ＋2)]＝log 28， 即x (x ＋2)＝8.解得x 1＝2，x 2＝－4. 因为x >0，x ＋2>0，所以x ＝2.对数方程问题的求解策略：利用对数运算性质或换底公式将方程两边写成同底的对数形式，由真数相等求解方程，转化过程中注意真数大于零这一条件，防止增根.[变式训练3] (1)方程lg x ＋lg(x －1)＝1－lg5的根是( B ) A ．－1 B ．2 C ．1或2D ．－1或2(2)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则log2 xy的值为4. 解析：(1)由真数大于0，易得x >1，原式可化为lg x (x －1)＝lg2⇒x (x －1)＝2⇒x 2－x －2＝0⇒x 1＝2，x 2＝－1(舍)．(2)因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， 所以lg xy ＝lg(x －2y )2，所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 所以(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y . 因为x >0，y >0，x －2y >0，所以x ＝y 应舍去， 所以x y ＝4.故log 2 xy ＝log 2 4＝4.类型四 对数的实际应用[例4] 人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音强度I 的单位用瓦/平方米(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1表示，它们满足以下公式：L 1＝10lg I I 0(单位为分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12 W/m 2，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答下列问题：树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m 2，耳语的强度是1×10－10W/m 2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m 2，试分别求出它们的强度水平．[解] 由题意，可知树叶沙沙声的强度是I 1＝1×10－12W/m 2，则I 1I 0＝1，故LI 1＝10·lg1＝0，则树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I 2＝1×10－10W/m 2，则I 2I 0＝102，故LI 2＝10lg102＝20，即耳语声的强度水平为20分贝． 同理，恬静的无线电广播强度水平为40分贝．对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值.计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式.另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算.[变式训练4] 抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg2≈0.301 0)解：设至少抽n 次可使容器内空气少于原来的0.1%，则a (1－60%)n <0.1%a (设原先容器中的空气体积为a )，即0.4n <0.001，两边取常用对数得n ·lg0.4<lg0.001，所以n >lg0.001lg0.4＝－32lg2－1≈7.5.故至少需要抽8次．1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( B ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：由换底公式得log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg alg c ＝log c b ，所以B 正确．2．2log 32－log 3329＋log 38的值为( B )A.12 B ．2 C ．3D.13解析：原式＝log 34－log 3329＋log 38＝log 34×8329＝log 39＝2.3．lg 5＋lg 20的值是1.解析：lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg 100＝1.4．若a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，则由换底公式可知log a b ＝lg b lg a ，log b a ＝lg alg b ，所以log a b ＝1log b a ，试利用此结论计算1log 321＋1log 721＝1.解析：1log 321＋1log 721＝1lg21lg3＋1lg21lg7＝lg3lg21＋lg7lg21＝lg (3×7)lg21＝1. 5．计算：(1)3log 72－log 79＋2log 7⎝⎛⎭⎫322； (2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25.解：(1)原式＝log 78－log 79＋log 798＝log 78－log 79＋log 79－log 78＝0.(2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋2lg5＝lg2·lg100＋2lg5 ＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2lg10＝2.——本课须掌握的两大问题1．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n ＝(log a N )n ，②log a (MN )＝log a M ·log a N ，③log a M ±log a N ＝log a (M±N )． 2．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．学习至此，请完成课时作业19。
2.2.1-对数及对数运算
探究活动3
求下列各式的值：
(1) 2log23 3 (2) 7log70.6 0.6 (3) 0.4log0.489 89 (4) 0.9log0.945 45
思考：通过上面的例子，你发现什么？
对数恒等式：alogaN N
探究活动4
求下列各式的值
(1)log3344 (2)log0.90.955 (3)lne33 (4)lg1066
M ap, N aq ∴MN= a p a q apq loaM g N pq
即证得
lo a(g M lN o aM g ) lo aN g
新课教学 证明： (2)设 logaMp, logaNq,
由对数的定义可以得：
∴ M N
M ap, N aq
ap aq
apq
M loga N pq
即证得
loagM NloagMloagN
新课教学 证明： (3)设 logaMp,
23 8
(2)两个数8、3通过什么运算可以得到2？如何表示？ 答：8的3次方根等于2，是开方运算，表示为：
3 8 2 （谁的3次方等于8）
(3)两个数2、8通过什么运算可以得到3？如何表示？ 答：以2为底8的对数等于3，是对数运算，表示为：
（2的几次方等于8？或8是2的几次方？）log2 8 3
a m a n a mn
am an
a mn
(a m )n a mn
你能从指数与对数 的关系以及指数运算 性质得出相应的对数 运算性质吗？
问题提出：
• 对数源于指数，对数和指数式怎样互化的 ？
• 指数与对数都是一种运算，而且它们互为 逆运算，指数运算有一系列性质，那么对 数运算有那些性质呢？
高一数学对数与对数运算1
【解析】 (1)33＝27；(2)21－3＝8；(3)( 2)5＝x (4)log216＝4；(5)log139＝－2；(6)log214＝－2
(1)对数由指数而来．对数式logaN＝x是由指数式ax＝N而来的，两 式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值x是 指数式中的幂指数．对数式与指数式的关系如图所示．
⇒－23<x<12. x≠0
所以 x 的取值范围是{x|－23<x<12且 x≠0}．
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难！" 九大人满脸の焦急,对着噬大人背影说道："那不咋大的寒子怎么办?他是要是知道这事の话,肯定会疯狂の！他要是被bi出来了,那他肯定会死の！他带着这么点人,怎么和一些星辰海斗?" 噬大人转头望了过来说道："没办法,他要是忍不住,被bi出来了,那这就是他の命！" 当前 第 捌捌捌章 基础大成 文章阅读 炽火城被毁の事情,没过多久就传遍了整个神界,一些城不重要,重要の是,守护这个城の人和主使这件事情の人. 守护这城の人不用说,因为炽火城の建立,神界还多了一名九品破仙,这不引起注意都难.血夜海地处于飘渺大陆和血液大陆星辰海三个地方之间, 属于三不管地带,里面の神匪很强.但是神界还是有一部分人知道,里面の神匪,其实暗地里是属于至尊岛某位大人物の. 自从数百万年之前八君主齐聚至尊岛,一同制定神界铁律之后,神界就再也没有发生大规模の混战了.这次炽火城事件,引起了神界所有大势力の关注,都在猜测是否会因 为这件事件,引发星辰海和飘渺大陆之间の混战. 飘渺大陆出现了两位君主级至尊强者,这已经打破了神界の实力格局,但是星辰君主是神界公认の实力最强の第一人.最重要の是,星辰君主还有一些身份——破仙
2.2.1对数式及运算1
值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．
练习10.设方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2· lg3=0的两根是 x1,x2,那么x1x2的值是___________;
(A) lg2· lg3
(B) －lg6
1 (C) 6
(D) －6
栏目 导引
2. 换底公式 log b c logca (a>0，且 a≠ 1； c>0，且 c≠ 1； b>0)． loga b＝ ___________
栏目 导引
公式演练
第二章 公式应用
基本初等函数(Ⅰ)
12.求下列各式的值.
(1)log 8 9 log 27 16; (2)已知 lg 2 a， lg 3 b，求 log 5 12 2 (3)lg 5 lg 8 lg 5lg 20 lg 2 2； 3 1 1 1 (4)log 2 log 3 log 5 25 8 9 lg 2 (5)(log 4 3 log 8 3) lg 3
n
栏目 导引
1 b log a b; m
B．3
小试牛刀:log38· log23＝( B ) C．4 D．9
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
换底公式的应用
练习11. 计算下列各式的值：
(1)(log4 3＋ log8 3)log3 2； (2)log 2 2＋ log27 9.
1 1 ＋ [解] (1)原式＝ log3 2 log3 4 log3 8 1 1 1 1 5 ＋ ＝ log3 2＝ ＋ ＝ . 2log3 2 3log3 2 2 3 6 log2 2
推论:(1)log a b log b a 1,(2)log a b log b c log c d log a d n (3)log a m b log a b m
2.2.1对数与对数运算(一)2011.10
分析： 分析：
假设2007年我国国民生产总值为 年我国国民生产总值为a 假设 年我国国民生产总值为 亿元，如果每年平均增长 亿元，如果每年平均增长8%，那么经 ， 过多少年国民生产总值是2007年的 倍？ 年的2倍 过多少年国民生产总值是 年的
(1+8% = 2 ⇒x =? )
x
对数定义
一般地，如果 一般地，如果ax＝N (a＞0, a≠1) ＞ 那么数x叫做以 为底 的对数(logarithm)， 为底N的对数 那么数 叫做以a为底 的对数 叫做 ， 记作x 记作x ＝ logaN.
问题1 问题 将下列指数式写成对数式
1 (1) 5 = 625 (2) 2 = 64 1m a (3) 3 = 27 (4) ( ) = 5.73 3
4
−6
问题2 问题 将下列对数式写成指数式
(1) log1 16 = −4 (2) log2 128 = 7
(3) lg0.01= −2 (4) ln10 = 2.303
底数
x
指数
a = N ? x loga N
底数
x
指数
a = N ? x loga N
底数 幂
x
指数
a = N ? x loga N
底数 幂 底数
x
指数
x
真数
a = N ? x loga N
底数 幂 底数
指数
x
真数
a = N ? x loga N
底数 幂 对数 底数
探究： 探究：
1. 是不是所有的实数都有对数？ 是不是所有的实数都有对数？ x ＝ logaN中的 可以取哪些值？ 中的N可以取哪些值 中的 可以取哪些值？
(
课时作业1：2.2.1 对数与对数运算(1)
一、基础过关1．使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( )A ．a >12且a ≠1B ．0<a <12C ．a >0且a ≠1D ．a <12答案 B解析 由对数的概念可知使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a ≠1，－2a ＋1>0，解得0<a <12. 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A ．e 0＝1与ln 1＝0B ．318-＝12与log 812＝－13C ．log 39＝2与219＝3D ．log 77＝1与71＝7答案 C解析 由指对互化的关系：a x ＝N ⇔x ＝log a N 可知A ，B ，D 都正确；C 中log 39＝2⇔9＝32.3．方程x 3log 2＝14的解是( ) A ．x ＝19 B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝9 答案 A解析 ∵x 3log 2＝2－2，∴log 3x ＝－2， ∴x ＝3－2＝19. 4．若log a 5b ＝c ，则下列关系式中正确的是( )A ．b ＝a 5cB ．b 5＝a cC ．b ＝5a cD ．b ＝c 5a 答案 A解析 由log a 5b ＝c ，得a c ＝5b ，∴b ＝(a c )5＝a 5c .5．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么21-x ＝________.答案 24解析 由题意得：log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3， 转化为指数式则有x ＝23＝8，∴21-x ＝218-＝2181＝18＝122＝24. 6．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.答案 3解析 由题意得：log x 9＝2，∴x 2＝9，∴x ＝±3， 又∵x >0，∴x ＝3.7．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值：①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13. (2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式：①log 68；②log 62；③log 26.解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝2－25＝582. ②因为log x 3＝－13，所以x －13＝3，所以x ＝3－3＝127. (2)①log 68＝a .②由6a ＝8得6a ＝23，即36a ＝2，所以log 62＝a 3. ③由36a ＝2得a32＝6，所以log 26＝3a. 二、能力提升8．(12)－1＋log 0.54的值为( ) A ．6 B.72 C ．8 D.37答案 C解析 (12)－1＋log 0.54＝(12)－1·(12)log 214＝2×4＝8. 9．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m＋n 的值是( )A ．15B ．75C ．45D ．225答案 C 解析 由log a 3＝m ，得a m ＝3，由log a 5＝n ，得a n ＝5，∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.10．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 答案 C解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0，故①正确； ln(ln e)＝ln 1＝0，故②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，故③错误； 若e ＝ln x ，则x ＝e e ，故④错误．11. 计算下列各式：(1)10lg 3－10log 41＋2log 26；(2)9log 23log 23232-++. 解 (1)10lg 3－10log 41＋2log 26＝3－0＋6＝9.(2)9log 23log 23232-++＝22×9log 23log 32332+＝4×3＋99＝12＋1＝13. 12. 已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1.求x ·y 43的值．解 ∵log 2(log 3(log 4x ))＝0，∴log 3(log 4x )＝1， ∴log 4x ＝3，∴x ＝43＝64.由log 4(log 2y )＝1，知log 2y ＝4，∴y ＝24＝16. 因此x ·y 43＝64×1643＝8×8＝64.三、探究与拓展13. 已知log a b ＝log b a (a >0，a ≠1；b >0，b ≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1b. 证明 令log a b ＝log b a ＝t ，则a t ＝b ，b t ＝a ， ∴(a t )t ＝a ，则2t a ＝a ，∴t 2＝1，t ＝±1.当t ＝1时，a ＝b ，当t ＝－1时，a ＝1b， 所以a＝b 或a ＝1b.。
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• 截止到 截止到1999年底，我们人口约13亿，如 年底，我们人口约 亿 年底 思 考 果今后能将人口年平均均增长率控制在 1%，那么经过 年后，我国人口数最多 年后， ，那么经过20年后 为多少（精确到亿） 为多少（精确到亿）？
y = 13 ×1.01
x
问：哪一年的人口数可 达到18亿 达到 亿，20亿，30亿？ 亿 亿
例1、 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： 、 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
讲 解 例 题
（1）5 = 625 ⇒ log 5 625 = 4 ） 1 1 −6 = −6 （2） 2 = ⇒ log 2 ） 64 m 64
4
1 = 5.13 ⇒ log 1 5.13 = m （3） 3 ） 3
1 （4）log1 16 = −4 ⇒ = 16 ） 2 2 -2 lg （5） 0.01= −2 ⇒ 10 = 0.01 ）
（6）ln10 = 2.30= 10
例2 求出下列各式中 x 值：
2 （1）log64 x = − ） 3
（2） ）
log x 8 = 6
y x 当 = 18 ,有 ＝ ×1.01 ,求 时 18 13
x
一般地， 一般地，如果a = N ( a > 0, 且a ≠ 1) 叫做以a为底 那么数 x叫做以 为底 的对数， 叫做以 为底N的对数， 对数定义 其中a叫做对数 记作 x = log a N ，其中 叫做对数 底数， 叫做真数。 叫做真数 的底数，N叫做真数。式子log a N 叫做对数式 对数式. 叫做对数式
x
所 上 问 中 由 ＝ ×1.01 , 以 面 题 ， 18 13
x
18 18 x 1 得 ＝ .01 ,则 = log1.01 . x 13 13
如：由于4 = 16，所以 log 4 16 = 2
2
常 用 对 数 与 自 然 对 数
1.以10为底的对数叫做常用对数。 以 为底的对数叫做常用对数。 为底的对数叫做常用对数 log10 N 简记作lgN。 简记作 。
x
当a > 0, a ≠ 1时,
a = N ⇔ x = log a N
⑴负数与零没有对数. 负数与零没有对数 ⑵１的对数是０，即 log a 1 = 0, 的对数是０
( a > 0, 且a ≠ 1)
⑶底数的对数等于１,即 log a a = 1 底数的对数等于１ 即
( a > 0, 且a ≠ 1)
log （如： 10 2的对数可简记作 lg 2）
2.以e为底的对数叫自然对数。 以 为底的对数叫自然对数。 为底的对数叫自然对数 简记作lnN。 log e N 简记作 。 e为 为 数e=2.71828…… 数
（如 : log e 2的对数可简记作 ln 2）
指 数 式 与 对 数 式 的 关 系
2
( 3) lg 100 = x; (4) − ln e = x;
对数恒等式： 对数恒等式：
log a a = b
b
a
log a N
=N
(a > 0, 且a ≠ 1, N > 0)