数学史

数学史
数学作为一种文化的特点。

（P3）
1、首先，数学以抽象的形式，追求高度精确、可靠地知识。

抽象并非数学
独有的特性，但数学的抽象确实最为典型的。

2、与抽象性相联系的数学的另一个特点是在对宇宙世界和人类社会的探索
中追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向。

3、最后数学作为一种创造性活动，还具有艺术的特征，这就是对美的追求。

P7P8 恩格斯和美国学者对数学的定义。

恩格斯：数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。

美国：（数学）这个领域已被称作模式的科学(science of patter)，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。

P14 古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量。

P17 古埃及的两部纸草书的名字。

莫斯科纸草莱茵德纸草
P19 古埃及人的单位分数。

单位分数即分子为1的分数。

P20 古埃及人如何做乘除法。

乘法或除法运算时，则需要利用连续加倍的运算来完成。

如下图所示：
P22 最伟大的埃及金字塔。

（计算平截头方椎体积，贝尔） “最伟大的埃及金字塔”： )(3
22
b ab a h V ++=
P24 美索不达米亚人采用六十进制的位值记法。

P25 开方根计算的算法。

设a x =是所求平方根，并设1a 是这根的首次近似；由方程1b =a /1a 求出第二次近似1b ，若1a 偏小，则1b 偏大，反之亦然。

取算术平均值()1122
1
b a a +=
为下一步近似，因为2a 总是偏大，再进一步近似22/a a b =必偏小，取算术平均
()2232
1
b a a +=
将得到更好的结果。

这一程序实际上可以无限继续下去。

P28 美索不达米亚人的正四棱台体积计算公式。

P29 古巴比伦泥版中的木杆问题。

有一块泥板上有这样一个问题：倚墙而立的木杆长0；30尺，若上端下滑 0；6尺，问其下端将移离墙多远？
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222312b a b a h V
作者运用勾股定理求出了正确答案0；18。

P29 普林顿322号泥板。

实际上是一张表格，由4列15行六十进制数字组成，与“整勾股数”（满足222c b a =+的一组整数（c b a ,,））有关，
P33 泰勒斯是第一位数学家和论证几何学鼻祖（奠定了演绎数学的基础）。

泰勒斯定理： 内接于半圆的角必为直角。

P34 “哲学”和“数学”一词的来源。

勾股定理的面积剖分法。

相传希腊文中“哲学”和“数学”这两个词就是由毕达哥拉斯学派创造的
勾股定理的面积剖分法：
P36 万物皆数，完全数，亲和数，形数。

1、基本信条 “万物皆数” 万物的本原就是数
数是由单子或1产生的，因此将1命名为“原因数”，每一个数都被赋予了特定的属性。

2是阴数，3是阳数，4是完全平方，代表公正，5是2+3，表示婚姻。

而一切数中最神圣的是10，他们信奉和崇拜10，认为它是完美、和谐的标志。

2、 6是最小的完全数，下一个完全数是28 （完全数即除自身以外的因数之和等 于本身） 3、最小的一对亲和数是220和284
（亲和数：如果两个数a 和b ，a 的所有真因数之和等于b,b 的所有真因数之和等于a,则称a,b 是一对亲和数。

）
4、毕达哥拉斯学派关于“形数”的研究，强烈地反映了他们将数作为几何思维 元素的精神。

形数理论可以上溯到毕达哥拉斯本人。

用一点（或一个小石子）
代表1，两点（或两个小石子）代表2，三点（或三个小石子）代表3，等等，毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系。

三角形数N=1+2+3+……+n=
()2
1+n n 正方形数N=1+3+5+……+（2n-1)=2n
五边形数N=1+4+7+……+(3n-2)=
()2
13-n n 六边形数N=1+5+9+……+(4n-3)=n n -22 注：N 为第n 个图形的点数
P38 证明√2是无理数。

第一次数学危机。

第一次数学危机：毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条，由于不可公度量的发现而收到了动摇。

据柏拉图记载，后来又发现了除2以外的其他一些无理数，这些“怪物”
深深地困惑着古希腊的数学家，希腊数学中出现的这一逻辑困难，有时也被称为“第一次数学危机”
P40 三个几何问题，化月牙形为方。

① 1、化圆为方：即作一个与给定的圆面积相等的正方形 2、倍立方体：即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍 3、三等分角：即分任意角为三等分
②公元前5世纪下半叶开奥斯的希波克拉底（Hippociates of Chios）解决了
与化圆为方有关的化月牙形为方。

P41 梅内赫莫斯为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。

用垂直于圆锥锥面—母线的平面与锥面相截，当圆锥顶角为直角、锐角和钝角时，就分别得到后来所称的抛物线、椭圆和双曲线
P42 割圆曲线的构造。

希比亚斯
P45 亚历山大时期的三大数学家。

欧几里得、阿波罗尼斯、阿基米德
P46 欧几里得是希腊论证几何学的集大成者。

欧几里得是亚历山大学派的奠基人“几何无王者之道”《几何原本》
P47 勾股定理的欧几里得证法。

如图，首先证明FB C
AB C∆
∆,
≅
推得矩形BL=正方形GB。

同理推得矩形CL=正方形AK
P51 欧几里得《原本》的意义。

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，是约300年来希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。

它最大的功绩，是在于数学中演绎范式的确立，这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理——公设或公理。

这就是后来所谓的公理化思想。

P53 阿基米德如何求得球体积。

图 阿基米德求球体积
推导：设R 为一个球的半径，把这个球的两极沿水平线放置，使北极N 与原点重合（如图）。

画出R
R ⨯2的矩形NABS 和NCS ∆绕x 轴旋转而得到的圆柱和圆锥。

现在从这三个主体中割出与N 距离为x 、厚度为x ∆的三个竖直薄片（假设它们都是扁平圆柱），这些薄片的体积分别近似于：
球：()x x R x ∆-2π（设球片半径r ，则有()()x
R x x xR R s R r -=-=--=222
2
2
2）， 圆锥：x x ∆2π， 圆柱：x R ∆2
π。

取由球和圆锥割出的两个薄片，将它们的中心吊在点T ，使R TN 2=。

这两个薄片绕N
的合成力矩为()[]x
x R R x x x x R x ∆=∆+∆-2
2
422ππ
π。

容易看出这等于圆柱割出的薄片处于原来位置时绕N 的力矩的4倍。

把所有这些薄片
绕N 的力矩加在一起便得到
R 2(球体积+圆锥体积)R 4=圆柱体积， 43
8382R R R ππ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+球体积， 故得球体积=3
3
4
R π，等于其外切圆柱体积的3
2。

对这一方法的具体解读：
（1）分体成片：将圆柱、圆锥、球分成n 片平行的薄片，每片的厚度为x ∆（n
r
x 2=∆），其中第p 片的重心到顶点O 的距离为x ，x p x ∆⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=21（n p ≤）。

（2）取片求（体）积
取第p 片进行研究，求出三片的近似体积分别为：
x r V ∆=2π柱片，x x V ∆=2π锥片，
()[]()x x rx x r x r V ∆-=∆--=2
2
22ππ
球片。

（3）力的平衡
柱片不动，将锥片和球片放到O 点另一侧的T 点，且r OT 2
1
=。

g V F ρ=，用V 指代F ，柱片的力矩=x x r x V ⋅∆=⋅2
π柱片
， 锥片的力矩=r x x r V 2121
2
⋅∆=⋅π锥片，球片的力矩=(
)
r x x rx r V 2
122
12
⋅∆-=⋅π球片
， 锥片和球片合力矩=(
)
=⋅∆=⋅∆-+⋅∆x x r r x x rx r x x 2
2
2
2
122
1
πππ
柱片的力矩，平衡。

（4）合片成体
把所有片合起来成原来的体。

按原来的放置，力依然平衡。

则有：(
)r V r V V ⋅=⋅+柱
球锥2
1
，(*) 由锥体和柱体的体积公式，可以推出球的体积公式：3
3
4r V π=
球。

P58 阿基米德的墓碑。

按照他的遗愿将死者最引以自豪的数学发现的象征图形——球及外切圆柱刻在了墓碑上。

P60 《圆锥曲线论》中三种圆锥曲线的名称与方程。

椭圆方程（亏曲线） 双曲线方程（盈曲线） 抛物线方程（齐曲线） px y =2
P61 《圆锥曲线论》是希腊演绎几何的最高成就。

P62 海伦公式、托勒密定理。

海伦公式： 托勒密定理：
在圆内接四边形中，两对角线之积等于两对对边乘积之和。

2
2x d p px y -
=22
x d
p px y +=)
)()((c s b s a s s S ---=
∆)
(2
1
c b a s ++=
P63 丢番图和他的《算术》。

丢番图的墓志铭。

在这部《算术》中，丢番图摆脱了古典时期几何代数化的束缚，出现了代数转向算术运算的趋势，成为字母运算方式的开端。

《算术》中最有名的一个不
定方程是第2卷问题8，丢番图的表述是：将一个已知的平方数分为两个平方数。

丢番图的墓志铭：过路人！这里埋葬着丢番图，他的童年占一生的1/6，过了1/12以后他开始长胡子，再过1/7以后结了婚，婚后5年得子，可惜儿子只活到父亲年龄的一半，丧子4年以后老人也渡完了风烛残年。

---84岁
P64 费马大定理。

方程 没有正整数解。

其中x,y,z 都为未知量
P67 中世纪东方数学表现出强烈的算法精神。

中国数学的三次发展高潮。

两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期， 其中宋元时期达到了中国古典数学的顶峰。

P70 勾股定理的赵爽证法。

赵爽首先给出勾股定理的一般证明：“按弦图又可以勾、股相乘为朱实二，倍之为朱实四。

以勾股之差自相乘，为中黄实。

加差实一，亦成弦实。

”
P71 《九章算术》是中国古典数学最重要的著作。

标志着中国传统数学理论体系形成的是《九章算术》的成书 P72 盈不足术。

主要论述盈亏问题的解法。

不足的典型问题是这样的：若干人共买一物，若每人出1a 钱，则多出1b 钱；若每人出2a （12a a <）钱，则又不足2b 钱，求人数与物价。

公式： 人数=
2121a a b b -+ 物价=2
11
221a a b a b a -+
()
2n ^n ^
n ^>=+n z y
x ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++26
3234
323923z y x z y x z y x
P73 方程术。

即线性联立方程组的解法。

例如：
P78 割圆术。

“徽率”。

刘徽“割圆术”的基本思想是“化圆为方”，并借助于极限的方法。

“割之弥细，所失弥少。

割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”。

刘徽从圆的内接正六边形出发，并取半径为1尺，一直推算到圆的内接正192边形。

得到圆周率的近似值为π≈3.14，化为分数就是157/50，这就是著名的“徽率”
P80 阳马术。

“阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。

”
P82 刘徽的球体积。

“牟合方盖”
V牟：V球=4：π
P84 祖冲之的圆周率。

π≈3.1415926。

由于中国古代习惯使用分数，故祖冲之又给出了圆周率的两个分数值：密率为355/113；约率为22/7。

P85 祖氏父子如何求得球体积。

P87 祖暅原理（祖氏原理）。

“缘幂势既同，则积不容异” P89 物不知数问题和百鸡问题。

1、“今有物不知数。

三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？”
即x ≡2(mod3)≡3(mod5)≡2(mod7)，求x 。

2、“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。

凡百钱买鸡百只。

问鸡翁、母、雏各几何？”
即解 这里的x,y,z 分别为鸡翁、鸡母、鸡雏的只数
P90 宋元四大家的名字。

秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰 P91 贾宪三角。

该三角形的每n 横行恰好是二项展开式
⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++1003135100
z y x z y
x
P96 关于一次同余组求解的剩余定理常常被称为“中国剩余定理”。

P99 垛积术
高阶等差数列求和的“垛积术”。

P102 “四元术”以天、地、人、物来表示四个不同的未知数。

P107 瓜廖尔石碑。

“0”的符号。

印度数码。

“瓜廖尔石碑”上面以记有明白无疑的数“0”
在各类记数制中，零的记号是该进位制是否先进的一个重要标志。

用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发明。

在印度数学中最值得称道的是印度数码和10进位值记数法
P114 代数一词的来源。

17世纪西方代数传入我国后，有人曾把它翻译成“阿尔热巴拉”。

这显然是algebra 的音译。

直到1859年清朝数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合译英国德摩根的《Elements of Algebra 》时，才正式定名为“代数学”。

四十九、P115 花拉子米如何解一元二次方程。

1、
2、
可得
()()cd
b a ab S +++++= 11()()[]()a
c n c b
d a d b n -++++=6
22
62
222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+p q p x p x
P117 算法一词的来源。

由于花拉子米的著作在中世纪流传极广，拉丁语系里的“算法”（Algorithm ）一词就是由他的名字的拉丁译音衍生出来的。

P125 兔子问题和斐波那契数列。

由“假设大兔子每月生一对小兔，而小兔两个月长成大兔，那么问，自一对兔子开始，一年后可繁殖多少对兔子。

”这个问题引出了著名的“斐波那契数列”： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,…
递推关系： 通项公式：
P126 三次方程的解法。

（2010年不作要求）
P129 韦达、《分析引论》、使用符号、笛卡儿。

在韦达的名著《分析引论》一书中，他第一个有意识地、系统地使用了字母。

《分析引论》被公认是一部最早的符号代数的著作。

在这部著作中，韦达不仅使用字母表示未知量和未知量的乘幂，而且还用来表示一般的系数。

通常他用辅音字母表示已知量，用元音字母表示未知量，用拉丁字母表示各次方幂。

笛卡儿对韦达使用字母的方法作了重要的改进，他用排在英文字母表前面的字母如a,b,c 等表示已知量。

用表末的字母如x,y,z 等表示未知量，
()
321≥+=--n u u u n n n n n n u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2515125151
P134 帕斯卡定理。

“如果一个六边形内接于一条圆锥曲线，则其三对对边的交点共线；反之亦然。

”
P136 对数的发明人。

纳皮尔
P137 解析几何的基本思想。

解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对（x，y）之间建立一一对应的关系。

每一对实数（x，y）都对应于平面上的一个点；反之，每一个点都对应于它的坐标（x，y）。

P138 解析几何的发明人。

《方法论》，《几何学》。

解析几何的发明人：笛卡儿和费马
笛卡儿的《更好地指导推理和寻求真理的方法论》，通常简称《方法论》，此书包括三个著名的附录：《几何学》、《折光》和《气象》，其中《几何学》是解析几何学产生的重要标志。

P163 牛顿、《自然哲学的数学原理》。

牛顿微积分学说最早的公开表述是在1687年出版的巨著《自然哲学之数学原理》中
P170 莱布尼茨，《新方法》
《新方法》他的第一篇微分学论文，也是世界上最早的微积分文献（数学史上第一篇正式发表的微积分文献）。

P172 莱布尼茨的符号。

莱布尼茨还是历史上最大的符号学者之一
《新方法》已含有现代的微积分符号和基本微分法则：dax=adx；
d(z-y+w+x)=dz-dy+dw+dx；duv=udv+vdu。

导数记作dx:dy，在1675年的手稿中记作dx/dy，1676年记作dy/dx，后来在1693年的另一篇论文中用ddx:dy2表示2阶导数。

1684年的论文还给出极值的条件是dy=0，拐点的条件是d2y=0。

论述中国传统数学的特点。

1、追求实用
与古希腊追求纯粹的“理念”形成强烈的对比，中国传统数学具有浓厚的应用色彩。

通观中国古典数学著作，几乎都与当时社会生活的实际需要有着密切的关系。

例如，她的产生与天文历法结下不解之缘，并且一直影响着数学的发展。

在中国数学史上最有影响的“算经十书”中的《周髀算经》就是一部天文学著作，秦九韶《数书九章》的“大衍求一术”就产生于历法计算中上元积年的推算，又如“招差术”也是由于推算日、月、五星的行度的需要而创立的。

2、注重算法
中国传统数学实用性的特点，决定了它以解决实际问题和提高计算技术为主要目标，因此，它的成果都表现为算法的形式。

事实上，中国古代数学著作大多沿用“问—答—术”的体例，其中这些“术”就是解决该类问题的程序化算法。

在演算技巧方面，中国古代数学家们善于运用演算的对称性、循环性等特点，将演算程序设计得十分简捷、巧妙。

例如方程术、开方术、增乘开方术、大衍求一术等在筹算程序的设计方面都达到很高的水平。

3、寓理于算
中国传统数学注重算法，并不等于她没有逻辑推理，没有建立起自身的理论体系。

刘徽的《九章算术注》堪称中国传统数学理论的典范。

他主张“析理以辞，解体以图”。

因此，在他的“注”中，定义明确而精辟，推理严谨而巧妙，大量地使用了归纳和演绎的推理方法。

例如，他利用面积的割补来证明整勾股数的一般表达式，处理方式简明扼要，并且，由于他的工作而发展起来的中国传统几何理论完全建立在“出入相补”等几个为数极少而又十分简明的原理之上，这与欧几里得几何体系的手法是十分相似的。

论述数学史对数学教育的作用。

1 激发学生的学习兴趣
教师在课堂上介绍数学家的趣闻轶事、数学概念的起源、古今数学方法的简单对比等等，都能起到激发兴趣的作用。

2 启发学生的人格成长
我们不会相信一个数学故事或一本数学家传记一定造就一名数学家，但数学家的奋斗经历对学生人格成长的正面启发作用是无可否认的。

3 改变学生的数学观树立学生的自信心。

传统的教学注重的不过是技术而已，学生心目中的数学是枯燥的、是少数人的专好，有些人有数学头脑而另一些人则没有数学头脑；数学远离社会、远离现实生
活；学习数学不过是为了考试而已。

数学史上的故事足以说明：数学其实是人类的一种文化活动，人人可学，人人可做。

4 拓宽学生的视野
不同时空的数学家往往会作出同样的数学发现，一个概念、定义、定理、公式当然不会仅仅局限于课本中的某一种思想方法。

拥有数学教材中有关概念、定理、思想方法产生和发展的历史知识，无疑会大大拓宽我们的视野，进而丰富和提升我们的课堂教学。

5 了解多元文化的数学
数学从来不是某一个国家、民族或个人的专利，每一种文化都有其自己的数学。

数学历史让学生了解到不同文化背景下的数学思想，从而理解数学的多元文化意义。

当我们把多元文化引入数学课堂时，我们会发现：“谁比谁早多少年”已经不是最重要的，最重要的是：这会让我们的学生消除民族中心主义的偏见，以更宽阔的视野去认识古代文明的数学成就，并学会欣赏丰富多彩的数学文化。