2021高三数学北师大版(理)一轮集训69 离散型随机变量及其分布列

离散型随机变量及其分布列
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一、选择题
1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )
A ．0
B ．1
2 C ．1
3
D ．23
C [由已知得X 的所有可能取值为0,1， 且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，
由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1，得P (X ＝0)＝1
3.] 2．若离散型随机变量X 的分布列为
X 0 1 P
9c 2－c
3－8c
则常数c 的值为(A.23或13 B ．23 C.13
D ．1 C [根据离散型随机变量分布列的性质知
⎩⎨⎧
9c 2－c ≥0，
3－8c ≥0，
9c 2－c ＋3－8c ＝1，
解得c ＝1
3.]
3．若随机变量X 的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3 P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2]
D ．(1,2)
C [由随机变量X 的分布列知P (X ＜－1)＝0.1，P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8，P (X ＝2)＝0.1，则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．]
4．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )
A ．ξ＝4
B ．ξ＝5
C ．ξ＝6
D ．ξ≤5
C [ “放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.] 5．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是( )
A.435 B ．635 C.1235
D ．36343
C [如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问
题，故所求概率为P ＝C 23C 1
4C 37
＝12
35.]
二、填空题
6．设随机变量X 的概率分布列为
则P (|X －512 [由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14， P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.]
7．(2019·洛阳模拟)袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________.
13
35[P(ξ≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝C34C13
C47＋
C44
C47＝
13
35.]
8．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．
－1,0,1,2,3[X＝－1，甲抢到一题但答错了．
X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．
X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对．
X＝2时，甲抢到2题均答对．
X＝3时，甲抢到3题均答对．]
三、解答题
9．某射手射击一次所得环数X的分布列如下：
ξ.
(1)求ξ＞7的概率；
(2)求ξ的分布列．
[解](1)P(ξ＞7)＝1－P(ξ＝7)＝1－0.1×0.1＝0.99.
(2)ξ的可能取值为7,8,9,10.
P(ξ＝7)＝0.12＝0.01，
P(ξ＝8)＝2×0.1×0.4＋0.42＝0.24，
P(ξ＝9)＝2×0.1×0.3＋2×0.4×0.3＋0.32＝0.39，
P(ξ＝10)＝2×0.1×0.2＋2×0.4×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36.
∴ξ的分布列为
10.PM2.5 2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方
米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二
级；在75微克
/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2019年全年每天
的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
PM2.5日均值(微克/立方米)[25，
35)
[35，
45)
[45，
55)
[55，
65)
[65，
75)
[75，
85]
频数311113
质量达到一级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．
[解](1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，
则P(A)＝C13C27
C310＝
21
40.
(2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝k)＝C k3·C3－k
7
C310(k＝0,1,2,3)．
∴P(ξ＝0)＝C03C37
C310＝
7
24，
P(ξ＝1)＝C13C27
C310＝
21
40，
P(ξ＝2)＝C23C17
C310＝
7
40，
P(ξ＝3)＝C33C07
C310＝
1
120.
故ξ的分布列为
ξ012 3
P 7
24
21
40
7
40
1
120
1．设随机变量X的概率分布列如下表所示：
X 01 2
P a 1
3
1
6
若F(x)＝P()
A.1
3B．
1
6
C.1
2D．
5
6
D[由分布列的性质，
得a＋1
3＋
1
6＝1，所以a＝
1
2.
而x∈[1,2)，
所以F(x)＝P(X≤x)＝1
2＋
1
3＝
5
6.]
2．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直
到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于(n－m)A2m
A3n的是()
A．P(X＝3) B．P(X≥2) C．P(X≤3) D．P(X＝2)
D[由超几何分布知P(X＝2)＝(n－m)A2m
A3n.]
3．(2019·山东滨州月考)如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝________.
4
5[法一：(直接法)由已知得，X的取值为7,8,9,10，
∵P(X＝7)＝C22C12
C35＝
1
5，P(X＝8)＝
C22C11＋C12C22
C35＝
3
10，
P(X＝9)＝C12C12C11
C35＝
2
5，P(X＝10)＝
C22C11
C35＝
1
10，
∴X的概率分布列为
∴P (X ≥8)＝310＋25＋110＝45.
法二：(间接法)由已知得，X 的取值为7,8,9,10， 故P (X ≥8)与P (X ＝7)是对立事件，
所以P (X ≥8)＝1－P (X ＝7)＝1－C 22C 12C 35
＝4
5.]
4．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，2
3.
(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；
(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y 的分布列．
[解] (1)由题意知X 的可能取值为0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－23＝19，
P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×23＝
7
18，
P (X ＝2)＝12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×23＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718， P (X ＝3)＝12×13×23＝1
9. 所以X 的分布列为
(2)因为得分Y 0,1,2,3，所以Y 的可能取值为6,9,12,15，则
P (Y ＝6)＝P (X ＝0)＝19，P (Y ＝9)＝P (X ＝1)＝7
18， P (Y ＝12)＝P (X ＝2)＝718，P (Y ＝15)＝P (X ＝3)＝1
9. 所以Y 的分布列为
Y 6 9 12 15 P
19
718
718
19
1．有编号为1,2,3，…，n 的n 个学生，入坐编号为1,2,3，…，n 的n 个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ，已知X ＝2时，共有6种坐法．
(1) n 的值为________； (2) P (X ＝3)＝________.
(1)4 (2)1
3 [(1)因为当X ＝2时，有C 2n 种坐法， 所以
C 2n ＝6，即
n (n －1)
2＝6，
n 2－n －12＝0，解得n ＝4或n ＝－3(舍去)，所以n ＝4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ，则 P (X ＝3)＝C 34×2
A 44
＝824＝13.]
2．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为________．
ξ 0 1 2 P
411
611
111
[ξ的可能取值为0,1， 2.
P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝411，P (ξ＝2)＝6C 212
＝1
11.
P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝6
11.
所以随机变量ξ的分布列为
]
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