湖南省新田一中高中数学 3-1 函数与方程强化训练(无答案) 新人教A版必修1

湖南省新田一中高中数学必修一强化训练：3-1 函数与方程（无
答案）
1.函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y
＝f(x) (x∈D)的零点.
(2)几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与________有交点⇔函
数y＝f(x)有________.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________________，那么函数y＝f(x)在区间__________内有零点，即存在c∈(a，
b)，使得__________，这个______也就是f(x)＝0的根.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0Δ＝0Δ<0
二次函数
Y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点无交点
零点个数
3.
对于在区间[a，b]上连续不断且________________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间____________，使区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
题型一判断函数在给定区间上零点的存在性
例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点.
(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；
(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3].
题型二函数零点个数的判断
例2若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________.
题型三 二次函数的零点分布问题
例3 已知关于x 的二次方程x 2
＋2mx ＋2m ＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围.
题型四 数形结合思想在函数零点问题中的应用
例4已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x
(x >0). (1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；
(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.
一、选择题
1.已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]上的图象如图所示，给出下列四个选项，其中不正
确的是 ( )
A.函数f [g (x )]的零点有且仅有6个
B.函数g [f (x )]的零点有且仅有3个
C.函数f [f (x )]的零点有且仅有5个
D.函数g [g (x )]的零点有且仅有4个
2.方程|x 2－2x |＝a 2＋1 (a >0)的解的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4 3. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 ( )
A.(－2，－1)
B.(－1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
二、填空题 4.已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________.
5.已知函数y ＝f (x ) (x ∈R )满足f (－x ＋2)＝f (－x )，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，则 y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为________.
6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0， 若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的
取值范围是________.
7.设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为____________.
三、解答题
8.(1)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.
①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；
(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围.
9.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a
2，3a >2c >2b ，求证： (1)a >0且－3<b a <－34
； (2)函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点；
(3)设x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则2≤|x 1－x 2|<574.。