10.29梁的位移.叠加法

M x dx L 2 EI Z
2


轴向拉压
平面弯曲
扭 转
刚度条件
刚度条件
max L L
刚度条件
max
变形刚度条件
max
max
变形刚度条件
位移刚度条件 应变能
应变能
2 FN L V 2 EA
应变能
M 2 ( x)dx V L 2 EI Z
（2）在所求位移点加一单位力，画单位力作用下的
弯矩图，写出单位力作用下的弯矩表达式
（3）将M、MF代入求位移公式
M (x)M F (x) K L dx EI
如何施加单位荷载（求线位移、相对线位移） 求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应 的单位力。
例题9 试求图示刚架A点的竖向位移AV。各杆材料 相同，截面抗弯模量为EI。
y
ql q 2 EI " x x 2 2
ql q 2 M ( x) x x 2 2 代入微分方程并积分得
qx3 1 2 EI ( x) qlx C 6 4 4 qx 1 3 EI ( x) qlx Cx D 24 12
代入边界条件：ω(0)=0, ω(l)=0 所以
梁挠曲线近似微分方程
A
C

B

x
y
C
d tan dx 在小变形情况下，任一截面的转角等于 挠曲线在该截面处的切线斜率。
B
通过积分求弯曲位移的特征：
1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。
2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠 曲线的近似微分方程应分段列出，并相应地分段积分。
建筑力学
迟耀辉
2012.10.29
古今之成大事业、大学问者，必经过三种之境 界：“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。” 此第一境也。“ 衣带渐宽终不悔，为伊消得此第三境也。此等语皆 非大词人不能道。然遽以此意解释诸词，恐为晏、 欧诸公所不许也。 ——王国维（清）
王国维
王国维（1877——1927）， 字静安，一字伯隅，号观堂，浙 江海宁人。清秀才。早年研究哲 学、文学，受德国唯心主义哲学
和资产阶级文艺思想影响。是我
国近代美学史上融中西美学为一 体的第一人。著有《曲录》、 《宋元戏曲考》、《人间词话》 等美学作品。生平著有作品62种， 以《观堂集林》最著名。
F
(a)
F
F 1
F
(b)
k
F 1
k
( c)
F
k
k
(d)
V=W 变形位能在数值上等于外力在变 形过程中作的功。
M F ( x )dx 1 L 2 EI Z 2F F
M ( x )dx 1 L 2EI Z 2 1 k
2
2
(b)
(c)
[M F ( x) M ( x)]2 dx 1 1 1 k F F 1 k L 2 EI Z 2 2
3
11ql 3 ( ) 48EI
11.3 用叠加法求梁的变形
例8 图示悬臂梁，其弯曲刚度EI为常数，求B点转角和挠度。
q
F 1.在F作用下：查表： BF 2.在q作用下： F
查表： Cq wCq
A
C
Fl 2 Fl 3 , wBF 2EI 3EI
q(l / 2) 3 ql 3 6 EI 48EI
§11-3 用叠加法求弯曲变形
梁在若干个载荷共同作用时的挠度 或转角，等于在各个载荷单独作用时的 挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲 变形的叠加原理。
§11-3
按叠加原理计算梁的挠度和转角
叠加法计算位移的条件：
1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的；
2、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线性关系；
3、梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影响。
例题 6
试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨 中截面挠度ωc和梁端截面的转角θAθB.
F
q
B
EI z
A
c qc Fc
5qL4 qc 384 EI z
FL3 Fc 48EI z
C
l 2
l 2
q
A
B
5qL4 FL3 c 384 EI z 48EI z
C
EI z
l 2
F A
l 2
A qA FA
B
qL3 qA 24 EI z FL2 FA 16 EI z
C
EI z
l 2
l 2
qL3 FL2 A B 24 EI z 16 EI z
§11-3 用叠加法求弯曲变形
例7 已知简支梁受力如图示， q、l、EI均为已知。求C 截面 的挠度wC ；B截面的转角B
l/2
l/2
B
A
BF
wCq
C
B
q(l / 2) 4 ql 4 8EI 128EI
wBF
q
Bq Cq
wBq
ql 3 48EI
A
B
wBq
3.在F和q共 同作用下：
B BF Bq
l 7ql 4 wCq Cq × 2 384EI
wB wBF wBq
P由0增加至P 由0增加至 实功的计算式为：
T 1 P 2
1 n W Fi i 2 i1
功
讨论一般的力和位移关系：
广义力与广义位移－
力－线位移； 力偶－角位移；
一般的力和位移关系－
功(work)－以位移作为 积分变量
dW=FPd
W= dW= FPd Βιβλιοθήκη dW§11-4-2F
l l l1
1 W FN L 2
线弹性杆件的变形位能


Me Me
L
2 FN L 1 V FN L 2 EA 2

L


ML EI Z
Me
1 W M 2
横力弯曲
1 M 2L V M 2 2 EI Z
O
Me
dV
M x dx 2 EI Z
2
V
柳 永：
凤栖梧
（蝶 恋 花）
辛 弃 疾： 东风夜放花千 树。更吹落，星如 雨。宝马雕车香满 路。凤箫声动，玉 壶光转，一夜鱼龙 舞。 蛾儿雪柳黄 金缕，笑语盈盈暗 香去。众里寻他千 ，蓦然回首， 那人却在，灯火阑 珊处。
青玉案
元夕：元宵节的夜上称元夕或元 夜。 花千树：花灯之多如千树开花。 星如雨：指焰火纷纷，乱落如雨。 宝马雕车：华美的车马。 凤箫：箫的美称。 玉壶：指月亮。 鱼龙舞：指舞鱼、龙灯。 蛾儿、雪柳、黄金缕：皆古代妇 女的首饰。这里指盛妆的妇女。 盈盈：仪态美好的样子。 蓦然：突然，猛然。 阑珊：零落稀疏的样子。
ql3 D=0 C 24
q 3 2 3 ( x) (l 6lx 4 x ) 24EI qx 3 2 3 ( x) (l 2lx x ) 24EI
max
ql 5ql A B , max 24EI 384EI
3
4
例题 5
求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。
F 2 ' (x l 2 ) 2 EI F ( x 3 3l 2 x 2l 3 ) 6 EI
5、最大转角和最大挠度
Fl 2 A ' 2 EI Fl 3 A 3EI
例4 图示简支梁受分布力作用，确定其挠度、转角 方程及最大挠度和转角，EI为常数。 解：1、弯矩方程为：
T 2L V 2GI P
§11-4-3 单位荷载法
一 、单位荷载法
定义：应用外力的功和变形位能的概念，通过加单位力 求实际位移的方法。
证明女孩是魔鬼
• Proof that girls are evil 因为追女孩需要时间和金钱 所以 Girls=Time*Money 因为“时间就是金钱” 所以 Girls=Money*Money=（Money）^2 因为“金钱是万恶之源”（英语谚语 money is the root of evil）本句中的root取“根源”的意思 但是在数学上有平方根的意思 所以Money=根号下Evil Girls=（Money）^2=（根号下Evil）^2 Girls=evil
B
A
x
l
x
y
边界条件
qL3 C1 6 qL4 C2 24
积分法求解梁位移的思路：
① 建立合适的坐标系；
② 求弯矩方程M(x) ；
③ 建立近似微分方程： ④ 积分求 EI 和 EI ; ⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数；
EI M x
根据本书的规定坐标系，取负号进行分析。
目录
§11-4 单位荷载法
• §11-4-1 外力的功
§11-4-1
一、基本概念
外力的功
1、功：一般来说，力所作的功与其作用点移动路线的形状、路 程的长短有关。
T dT P COS ( P , ds )ds
S S
或：T
P ds
2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。作的功与其作用点 移动路线的形状、路程的长短有关。 P 当静力加载时，即：
解：1、弯矩方程
F A l
y
x
M ( x) Fx
x
B
2、微分方程及积分
EI" Fx F 2 EI ' x C 2 F 3 EI x Cx D 6
3、确定积分常数
Fl 2 Fl3 x l,' 0 C ; 0, D 2 3
4、转角方程，挠度方程
§11-3 用叠加法求弯曲变形
3） 应用叠加法，将简单载荷 作用时的结果求和
5ql 4 ql 4 ql 4 wC wCi 384 EI 48EI 16 EI i 1
3
wC1
11ql 4 ( ) 384 EI
wC2 wC3
ql 3 ql 3 ql 3 B Bi 24 EI 16 EI 3EI i 1
梁启超评这首词“自怜幽独，伤心人别有怀抱”。
三种境界的联系:
确立
志向和目标 努力
探索和追求 实现 理想和愿望
“昨夜西风凋碧树。独上 高楼，望尽天涯路。” “衣带渐宽终不悔，
第十一章
§1
位移的度量 挠曲线－－ 梁变形后各截面 形心的连线
(d)
M (x)M F (x) K L dx EI
二、位移计算公式的简化 1、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）：
K L M (x)M F (x) dx EI
2、桁架（只考虑轴力影响）：
K L F N FN ( x ) dx EA
解题步骤：
（1）画荷载弯矩图，写出荷载作用下的弯矩表达式
解 1）将梁上的载荷分解
wC1
wC wC1 wC 2 wC 3 B B1 B 2 B3
2）查表得3种情形下C截面的 挠度和B截面的转角。
wC2 wC3
5ql 4 wC1 384 EI
ql 4 wC 2 48EI ql 4 wC 3 16 EI
ql 3 B1 24 EI ql 3 B1 16 EI ql 3 B3 3EI
3、积分常数由位移边界条件确定。
积分常数C1、C2由边界条件确定
X
x0
xL
0
X
0
y
x0
0
y
0
积分常数确定
A F
位移边界条件：
B
C
A 0, B 0
D 0, D 0
连续条件：
F D
C C
光滑条件：
C
左
C 右
例3 由积分法求图示梁的ωA、A。
A
梁和结构的位移
梁的位移---挠度及转角
C
F
l
A
B
ω－挠度 θ－转角
挠度向下为正， 向上为负.
y
C

B

x
C
B
转角绕截面中性轴顺时针转为正，逆时针转为负。
§2 梁的挠曲线近似微分方程及积分
o
M
M
x
o
x
M
M
y
d2y <0 2 dx
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
y
d2y >0 2 dx
解：
（1）在A点加一单位力，建立坐标系如（图2）示，写出弯 矩表达式
AB段： BC段： AB段： BC段：
M x1
M l
qx12 MF 2 ql2 MF 2
晏 殊：
蝶恋花
槛菊愁烟兰泣露。 罗幕轻寒， 燕子双飞去。 明月不谙离恨苦， 斜光到晓穿朱户。
昨夜西风凋碧树。 独上高楼， 望尽天涯路。 欲寄彩笺兼尺素，
山长水阔知何处。
伫倚危楼风细细。望极春愁，黯黯生天际。 草色烟光残照里，无言谁会凭阑意。
拟把疏狂图一醉。对酒当歌，强乐还无味。 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。