黑龙江省哈九中10—11学年度高二上学期期末考试(数学文)

哈九中
2010—2011学年度高二上学期期末考试
文科数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的。

每小题5分共60分。

请将答案填涂在客观题答题卡上）
1．下列命题的逆命题为真的是（ ）
A. 若b a >，则bc ac >
B.若2
2
b a >，则0>>b a C . 若13>-x ，则42<<x D.若132>-x ，则22<<x
2．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为4
3y x =，则双曲线的离心率为（ ）
A ．53
B ．43
C ．54
D ．32
3. 0a <是方程2
210ax x ++=至少有一个负数根的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．椭圆的半焦距是c ，A 、B 分别是长轴、短轴的一个端点，若△AOB 的面积是
，它的离心率是( )
5．设P 为曲线C ：2
23y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范
围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，，则点P 横坐标的取值范围为（ ）
A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，
B ．[]10-，
C ．[]01，
D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 6．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且12||2||PF PF =，则双曲线离心
率的取值范围为（ ）
A. (1,3)
B. (1,3]
C. (3,)+∞
D. [3,)+∞
7．已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是（ ）
8．已知抛物线C 的方程为2
1
2
x y =，过点(0,1)A -和点(,3)B t 的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是（ ）
A ．(,1)(1,)-∞-+∞
B ． (,(2,)-∞+∞
C ．(,(22,)-∞-+∞
D ．2(,(,)22
-∞-
+∞ 9.已知2
28)(x x x f -+=，若)2()(2
x f x g -=，那么)(x g ( ) A ．在区间)0,1(-内是减函数 B ．在区间)1,0(内是减函数
C ．在区间)0,2(-内是增函数
D ．在区间)2,0(内是增函数
10.已知命题p:关于x 的函数[)上是增函数，在+∞+-=,1422ax x y 命题q ：函数 ()x
a y 13-= 为减函数， 若的取值范围是为假，则实数a q p ⌝∨⌝（ ）
A.1≤a
B.3
1
0<
<a C.
3
231<<a D.131
≤<a
11．直线3y x =-与抛物线2
4y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为 （ ）
A ．48
B ．56
C ．64
D ．72
12. 椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点:n P P P ,,,21 ，椭圆的右焦点为F . 数列{}F P n 是公差大于100
1
的等差数列, 则n 的最大值是（ ）
A ．198
B ．199
C ．200
D ．201
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

)
13. 过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为 ___，切线的斜率为 ____． 14．双曲线2
2
1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =__________. 15．若函数x x x f -=
3
3
1)(在)10,(2a a -上有最小值，则实数a 的取值范围为_________. 16.集合{}2|40A x x x =+=，集合{}
22|2(1)10B x x a x a =+++-=，若命题B A ⊆为真命题，则a 的取值范围是
三、解答题(共70分，要求写出文字说明，证明过程和演算步骤)
17、（本题满分10分）
设命题:p 函数)16
1
lg()(2
a x ax x f +
-=的定义域为R ； 命题:q 不等式ax 1x 22
>+对一切正实数均成立。

如果命题p 或q 为真，命题p 且q 为假，求a 的取值范围。

18．（本题满分12分）
已知中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线:32l y x =-截得的弦的中点横坐标为1
2
，求此椭圆的方程。

19. （本题满分12分）
已知函数,)(2
3
c bx ax x x f +++=若3
2
=
x 时，)(x f y =有极值，且)(x f y =在），（)1(1f 处的切线l 不过第
四象限且斜率为3，又知坐标原点到切线l 的距离为10
10. （1）求a,b,c 的值；
（2）求)(x f y =在】，【14-上的最大值和最小值.
20.设F 是抛物线G ：y x 42
=的焦点。

（1）过点p （0，-4）作抛物线G 的切线，求切线方程；
（2）设A,B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0=•，延长AF,BF 分别交抛物线G 于点C,D.求四边形ABCD 面积的最小值。

21.已知函数m x x g x x x f +=+-=ln 6)(,8)(2
. (1) 求)(x f 在区间]1,[+t t 上的最大值)(t h ；
（2）是否存在实数,m 使得)(x f y =的图像与)(x g y =的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

22.设1F 、2F 分别是椭圆14
22
=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.
参考答案
一.1-6.BABCAB 7-10.DBACAC
13.(1，e),e 14.-1/4 15.（-3,1） 16.11-≤=a a 或
17.解：p ：a>2,q: 22<a 由题，p,q 一真一假，所以，a 的取值范围：222≤≥a a 或
18.
175
252
2=+y x 19.解析：（1）,)(b ax x x f +2+3=2
，
由题意知3=10=3
2)(,)(，
，
f f .解得,,2-4==b a
设切线l 的方程为m x y +=3，则
10
10
1
32=
+m 解得1±=m . 切线l 不过第四象限， ∴切线l 的方程为13+=x y ，∴切点坐标（1,4）.由4=1)(f ，得c=5.
（2）由（1）知,52)(2
3
+4-+=x x x x f ∴)23)(24)(-+=
4-+3=2
x x x x x f （，
令0=x )(，
f 得3
,212=-2=x x 列表如下：
x
-4
(-4,-2) -2 (-2, 3
2) 3
2 (
3
2,1) 1
)(x ，f
+
0 -
+ )(x f
极大值 极小值
函数值
-11 13
27
95
4
∴)(x f 在
】，【14-上的最大值为13，最小值-11. 20. 解：（Ⅰ）设切点,2).4,(2
00x
y x x Q ='由知抛物线在Q 点处的切线斜率为2
0x ，故所求切线方程为
),(240020x x x x y -=- 即.4
2200x x x y -=
因为点P （0，-4）在切线上，所以.4,16,4
402
020±==-=-x x x 所以切线方程为y =±2x -4.
(Ⅱ)设).,(),,(2211y x C y x A
由题设知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设k ＞0. 因直线AC 过焦点F （0，1），所以直线AC 的方程为y =kx +1.
点A ，C 的坐标满足方程组⎩⎨⎧=+=,4,12y x kx y 消去y ，得,0442=--kx x
由根与系数的关系知⎩⎨⎧-==+.4,
42121x x k x x
).1(44)(1)()(2212212221221k x x x x k y y x x AC +=-++=-+-=
.11
1+-=-⊥x k y BD k BD BD AC 的方程，从而的斜率为，所以因为
同理可求得.)
1(4))41(1(42
22k
k BD +=-+= .32)12(8)1(8212
2
22≥++=+==k k k k BD AC S ABCD
当k =1时，等号成立.所以，四边形ABCD 面积的最小值为32.
21.解析：（1） 16)48)(2
2+--=+-=x x x x f （
. 当4<1+t ，即3<t 时，)(x f 在]1,[+t t 上单调递增，
76)1(8)1)1()(22++-=+++-=+=t t t t t f t h （
当1,+t ≤4≤t 即4t 3≤≤时16=f(4)=h(t) 当4>t 时，)(x f 在]1,[+t t 上单调递减增，
t t t f t h 8)()(2+-==
综上， )376)(2
<++-=t t t t h （
4)≤t ≤(316=h(t) )4(8)(2>+-=t t
t t h
（注：写成分段函数形式）
(2)函数)(x f y =的图像与)(x g y =的图像有且只有三个不同的交点，即函数)()()(x f x g x φ-=的图像与x 的正半轴且只有三个不同的交点.
0)(x x
3)
-1)(x -2(x 682x 682)(∴2>=
+-=+-=x x x x x φ，
当)1,0(∈x 时，)(,0)(x φx φ>，
是增函数；当)3,0(∈x 时，)(,0)(x φx φ<，
是减增函数；
当),3(∈+∞x 时，)(,0)(x φx φ>，是增函数；当1=x 或3=x 时，0)(=x φ，
15-6ln3-m ==7-m ==)3()()1()(∴φx φφx φ极小值极大值， 当x 充分接近0时，0)(<x φ，当x 充分大时，0)(>x φ
要使函数)(x φ的图像与x 的正半轴有三个不同的交点.必须且只需
0<15-6ln3-m =0>7-m =极小值极大值，且)()(∴x φx φ.
即当3ln 6157-<<m 所以，存在实数m 满足题意.
22.本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。

解：
（Ⅰ）解法一：易知2,1,a b c ===
(
))
12
,F F ，设(),P x y ，
则(
))
22
12,,,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-()22
21
133844
x x x =+--=- 因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2-
当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1 （Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线
，
联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1
y 4
x 2
kx y 2
2，消去y ，整理得：22
14304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭
∴12122243
,1144k x x x x k k +=-⋅=
++
由()22
14434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝
⎭得：
2k <
或2k >-①
又00
0090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅> ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>
又()()()2
121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++2
2223841144k k k k -=++++22
114
k k -+=+
∵
22231
01144
k k k -++>++
，即24k < ∴22k -<< ②
故由①、②得22k -<<-
或
22
k <<。