2021年江西省南昌市中考数学一调试卷(学生版+解析版)

2021年江西省南昌市中考数学一调试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1．（3分）下列四个数中，最小的是( ) A ．2-
B ．1
C ．3-
D ．0
2．（3分）下列式子运算的结果，正确的是( ) A ．23x x x -=
B ．532x x x ÷=
C ．33(2)6x x -=-
D ．22(1)1x x -=-
3．（3分）如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的左视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4．（3分）如图，直线//AB CD ，直线EF 分别与直线AB ，CD 相交于点O 与点G ，OP 平分EOB ∠，若35EOP ∠=︒，则DGF ∠的度数为( )
A ．90︒
B ．100︒
C ．110︒
D ．120︒
5．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为( ) A ． 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩
B ． 4.5
21y x y x =+⎧⎨=-⎩
C ． 4.50.51y x y x =-⎧⎨=+⎩
D ． 4.521y x y x =-⎧⎨=-⎩
6．（3分）若11(P x ，1)y 、22(P x ，2)y 是抛物线2
4y ax ax =-上两点，当12|2||2|x x ->-时，
则下列表达式正确的是( ) A ．120y y +>
B ．12()0a y y +>
C ．120y y ->
D ．12()0a y y ->
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．（3分）使2x -有意义的x 的取值范围是 ．
8．（3分）去年政府工作报告中指出：2020年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万，则数字1109万用科学记数法表示是 ．
9．（3分）如图，ABC ∆内接于O ，50A ∠=︒，E 是边BC 的中点，连接OE 并延长，交O 于点D ，连接BD ，则D ∠的度数是 ．
10．（3分）小明在跳绳考核中，前4次跳绳成绩（次数/分钟）记录为：180，178，180，177，若要使5次跳绳成绩的平均数与众数相同，则小明第5次跳绳成绩是 ．
11．（3分）若a ，b 是方程2250x x --=的两个实数根，则代数式23a a b --的值是 ． 12．（3分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，23AC =2BC =，D 为AC 中点，E 为边AB 上一动点，当构成的四边形BCDE 有一组邻边相等时，则AE 的长可以是 ． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（6分）（1）解不等式组2232
x x x -<⎧⎨+⎩；
（2）计算：2
12(1)11
a a
a a --
÷-+． 14．（6分）如图，在ABC ∆中，点D 在AB 边上，ABC ACD ∠=∠． （1）求证：ABC ACD ∆∆∽；
（2）若2AD =，8AB =，求AC 的长．
15．（6分）如图，在ABC ∆和ADE ∆中，AB AC =，DE DA =，D 为AB 中点，//DE AC ，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． （1）在图1中，作BAC ∠的平分线AM ； （2）在图2中，作AC 的中点F ．
16．（6分）洪城小超市以每千克42元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售．为了让顾客得到更多实惠，现决定降价销售．已知这种干果销售量y （千克）与每千克降价x （元)(018)x <<之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）若洪城小超市要获利1920元，则这种干果每千克应降价多少元？
17．（6分）某公司在新春晚宴上，举办抽奖活动，规则如下：在一个不透明的袋子中装有3个红球和2个绿球，这些球除颜色外其余都相同，公司员工每次摸出1个球，若摸到红球，则获得1份礼品；若摸到绿球，则没有礼品．
（1）当小刚是第1次摸球时，则“摸到红球”是 事件，获得礼品的概率是 ； （2）若小亮有2次摸球机会（摸出后不放回），请用列表法或画树状图法求小亮获得2份礼品的概率．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）为了了解某校初三学生每周日在家学习情况，随机抽取了50名学生每周日的学习时间x （小时）进行调查，统计结果分四种：:01A x <，:1 1.5B x <，:1.52C x <，
:2D x >．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表．其中男生周日的学习时间数据（单
位：小时）如下：0.8，1，1.2，1.3，1.4，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.8，2，2，2.4，2.5，2.8，2.8，3，3.5，4．
（1）统计表中m = ，n = ，男生周日学习时间的中位数是 小时； （2）扇形统计图中，女生周日的“:1.52C x <”所对应的圆心角的度数是 ； （3）若初三年级共有600名学生，请估计周日学习时间在“:2D x >”的学生人数． 男生周日学习时间频数分布表
学习时间
学生人数
A 2 B
m C
n
D 7
19．（8分）有一只拉杆式旅行箱（图1)，其侧面示意图如图2所示，已知箱体长50AB cm =，拉杆BC 的伸长距离最大时可达30cm ，点A 、B 、C 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚轮
A ，
A 与水平地面切于点D ，在拉杆伸长至最大的情况下，当点
B 距离水平地
面36cm 时，点C 到水平面的距离CE 为54cm ，设//AF MN ． （1）求
A 的半径长；
（2）当某人的手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE 为66cm ，53CAF ∠=︒，求此时拉杆BC 的伸长距离．（参考数据：sin 530.80︒≈，cos 530.60︒≈，tan 53 1.33︒≈，结果精确到1)cm
20．（8分）如图1，在OAB ∆中，2AB cm =，4OB cm =，点A 在半径为
23cm 的O 上． （1）求证：直线AB 与O 相切；
（2）如图2，CD 切O 于点C ，2CD cm =，连接BD ，交O 于点E ，F ． ①求证：DE BF =；
②若E ，F 两点重合，如图3，求阴影部分的面积．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数
2
,(2)
|1|,(2)x y x
x x ⎧--⎪=⎨⎪+>-⎩的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． （1）列表： x
⋯ 6-
5-
4-
3-
2-
1-
0 1 2 3 ⋯ y
⋯
1
3 25 m
23
1
n
1
2
3
4
⋯
其中，m = ，n = ．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点1(3,)A y -，3(4B -
，2)y ，1(C x ，1)2，2(D x ，5
)4
在函数图象上，则1y 2y ，1x 2x ；
（填“>”，“ =”或“<” )； ②直线y t =与图象相交，交点依次从左到右为M ，N ，K 三点，如果MN NK =，求t 的值．
22．（9分）如图，抛物线2y ax c =+经过点15
(1,)4
B ，2(2,2)B ．在该抛物线上取点33(3,)B y ，
44(4,)B y ，⋯，(,)n n B n y ，
在x 轴上依次取点1A ，2A ，3A ，⋯，n A ，使△112A B A ，△223A B A ，△334A B A ，⋯，△1n n n A B A +分别是以1B ∠，2B ∠，3B ∠，⋯，n B ∠为顶角的等腰三角形，设1A 的横坐标为(01)t t <<． （1）求该抛物线的解析式；
（2）直接写出12A A ，23A A ，34A A ，1n n A A +的值（用含t 的代数式表示）；
（3）记△112A B A ，△223A B A ，△334A B A ，⋯，△1n n n A B A +的面积分别为1S ，2S ，3S ⋯，n S ，当2937t =
时，n S 等于58
37
，求n 的值．
六、（本大题共12分）
23．（12分）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”．
例如：四边形ABCD 中，若180A C ∠+∠=︒或180B D ∠+∠=︒，则四边形ABCD 是“对补四边形”． 概念理解
（1）如图1，四边形ABCD 是“对补四边形”． ①若::3:2:1A B C ∠∠∠=，则D ∠= ；
②若90B ∠=︒，且3AB =，2AD =时，则22CD CB -= ． 拓展延伸
（2）如图2，四边形ABCD 是“对补四边形”．当AB CB =，且12
EBF ABC ∠=∠时，图中AE ，
CF ，EF 之间的数量关系是 ，并证明这种关系；
类比运用
（3）如图3，在四边形ABCD 中，AB CB =，BD 平分ADC ∠． ①求证：四边形ABCD 是“对补四边形”．
②如图4，连接AC ，当90ABC ∠=︒，且
1
2
ACD ABC S S ∆∆=时，求tan ACD ∠的值．
2021年江西省南昌市中考数学一调试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1．（3分）下列四个数中，最小的是( ) A ．2-
B ．1
C ．3-
D ．0
【解答】解：|3|3-=，|2|2-=， 而32>，
32∴-<-， 3201∴-<-<<，
∴四个数中，最小的是3-．
故选：C ．
2．（3分）下列式子运算的结果，正确的是( ) A ．23x x x -=
B ．532x x x ÷=
C ．33(2)6x x -=-
D ．22(1)1x x -=-
【解答】解：A 、23x x x -=-，故本选项不合题意；
B 、532x x x ÷=，故本选项符合题意；
C 、33(2)8x x -=-，故本选项不合题意；
D 、22(1)12x x x -=-+，故本选项不合题意；
故选：B ．
3．（3分）如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的左视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：从左边看是一个矩形，矩形内部的左下角是一个由两条虚线与矩形邻边围成的小矩形． 故选：C ．
4．（3分）如图，直线//AB CD ，直线EF 分别与直线AB ，CD 相交于点O 与点G ，OP 平分EOB ∠，若35EOP ∠=︒，则DGF ∠的度数为( )
A ．90︒
B ．100︒
C ．110︒
D ．120︒
【解答】解：OP 平分EOB ∠，
223570BOG EOP ∴∠=∠=⨯︒=︒，
又//AB CD ，
180DGF BOE ∴∠+∠=︒， 18070110DGF ∴∠=︒-︒=︒，
故选：C ．
5．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为( ) A ． 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩
B ． 4.5
21y x y x =+⎧⎨=-⎩
C ． 4.50.51y x y x =-⎧⎨=+⎩
D ． 4.521y x y x =-⎧⎨=-⎩
【解答】解：设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为： 4.5
0.51y x y x =+⎧⎨
=-⎩
． 故选：A ．
6．（3分）若11(P x ，1)y 、22(P x ，2)y 是抛物线24y ax ax =-上两点，当12|2||2|x x ->-时，
则下列表达式正确的是( ) A ．120y y +>
B ．12()0a y y +>
C ．120y y ->
D ．12()0a y y ->
【解答】解：抛物线224(2)4y ax ax a x a =-=--， ∴该抛物线的对称轴是直线2x =， 12|2||2|x x ->-，
则说明数轴上1x 到2的距离比2x 到2的距离大，
当0a >时，图像开口向上，图像上横坐标是1x 的点比横坐标是2x 的点离对称轴远， 12y y ∴>，
则C 、D 正确，A 、B 不确定；
当0a <时，图像开口向下，图像上横坐标是1x 的点比横坐标是2x 的点离对称轴远， 故12y y <，
则D 正确，C 错误，A 、B 不确定， 故选：D ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．（3分）使2x -有意义的x 的取值范围是 2x ． 【解答】解：根据二次根式的意义，得 20x -，解得2x ．
8．（3分）去年政府工作报告中指出：2020年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万，则数字1109万用科学记数法表示是 71.10910⨯ ． 【解答】解：1109万71.10910=⨯． 故答案为：71.10910⨯．
9．（3分）如图，ABC ∆内接于O ，50A ∠=︒，E 是边BC 的中点，连接OE 并延长，交O 于点D ，连接BD ，则D ∠的度数是 65︒ ．
【解答】解：连接DC ，
50A ∠=︒， 130BDC ∴∠=︒，
E 是边BC 的中点，
∴BD CD =，OE BC ⊥，
1
(180130)252
DBC DCB ∴∠=∠=⨯︒-︒=︒，
902565BDE ∴∠=︒-︒=︒，
故答案为：65︒．
10．（3分）小明在跳绳考核中，前4次跳绳成绩（次数/分钟）记录为：180，178，180，177，若要使5次跳绳成绩的平均数与众数相同，则小明第5次跳绳成绩是 185 ． 【解答】解：设小明第5次跳绳成绩是x 次数/分钟， 根据题意得，1
(180178180177)1805
x ++++=，
解得，185x =． 故答案为：185．
11．（3分）若a ，b 是方程2250x x --=的两个实数根，则代数式23a a b --的值是 3 ． 【解答】解：a ，b 是方程2250x x --=的两个实数根，
2a b ∴+=，2250a a --=，即225a a -=，
223(2)()523a a b a a a b ∴--=--+=-=．
故答案为：3．
12．（3分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，23AC =2BC =，D 为AC 中点，E 为边AB 上一动点，当构成的四边形BCDE 有一组邻边相等时，则AE 的长可以是 2或3或13
5
． 【解答】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，23AC =，2BC =，
4AB ∴=，
30A ∴∠=︒，
D 为AC 中点，
3AD CD ∴==
当构成的四边形BCDE 有一组邻边相等时，由以下三种情况． （1）如图1，当BC BE =时，
2BE BC ∴==，
422AE AB BE ∴=-=-=；
（2）如图2，当CD DE =时，作DF AE ⊥，垂足为点F ，
AD CD DE ==，
1
2
AF EF AE ∴==
， 在Rt ADF ∆中，113322DF AD =
=， 223
2AF AD DF ∴-；
3
232
AE ∴=⨯
=； （3）如图3，当BE DE =时，作DF AE ⊥，垂足为点F ， 35422
BF AB AF =-=-
=，
设EF x =，则5
2
BE BF EF x =-=-， 在Rt DEF ∆中，3DF =
，5
2
DE BE x ==-，EF x =， 222EF DF DE ∴+=，即 22235
(
()2
x x +=-， 解得：11
10
x =， 即1110
EF =
， 311132105
AE AF EF ∴=+=
+=． 故答案为：2或3或
135
． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（6分）（1）解不等式组2232x x x -<⎧⎨+⎩
；
（2）计算：212(1)11
a a a a --
÷
-+． 【解答】解：（1）2232x x x -<⎧⎨+⎩
①
②，
由不等式①，得
2x <，
由不等式②，得 1x -，
故原不等式组的解集是12x -<； （2）212(1)11
a a a a --
÷
-+
11
[1](1)(1)2a a a a a
-+=-
⋅+-
11
(1)12a a a
+=-⋅
+ 111
12a a a a
+-+=
⋅
+ 2a a = 12
=
． 14．（6分）如图，在ABC ∆中，点D 在AB 边上，ABC ACD ∠=∠． （1）求证：ABC ACD ∆∆∽；
（2）若2AD =，8AB =，求AC 的长．
【解答】（1）证明：ABC ACD ∠=∠，A A ∠=∠，
ABC ACD ∴∆∆∽；
（2）解：ABC ACD ∆∆∽， ∴
AC AB AD AC =，即9
2AC AC
=
， 4AC ∴=．
15．（6分）如图，在ABC ∆和ADE ∆中，AB AC =，DE DA =，D 为AB 中点，//DE AC ，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． （1）在图1中，作BAC ∠的平分线AM ； （2）在图2中，作AC 的中点F ．
【解答】解：（1）如图1，AM 为所作； （2）如图2，点F 为所作．
16．（6分）洪城小超市以每千克42元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售．为了让顾客得到更多实惠，现决定降价销售．已知这种干果销售量y （千克）与每千克降价x （元)(018)x <<之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）若洪城小超市要获利1920元，则这种干果每千克应降价多少元？
【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为(0)y kx b k =+≠， 将(2,120)，(4,140)代入y kx b =+得：12021404k b k b =+⎧⎨=+⎩，
解得：10
100
k b =⎧⎨=⎩，
y ∴与x 之间的函数关系式为10100y x =+．
（2）依题意得：(6042)(10100)1920x x --+=， 整理得：28120x x -+=， 解得：12x =，26x =． 要让顾客得到更多实惠，
6x ∴=．
答：这种干果每千克应降价6元．
17．（6分）某公司在新春晚宴上，举办抽奖活动，规则如下：在一个不透明的袋子中装有3个红球和2个绿球，这些球除颜色外其余都相同，公司员工每次摸出1个球，若摸到红球，则获得1份礼品；若摸到绿球，则没有礼品．
（1）当小刚是第1次摸球时，则“摸到红球”是 随机 事件，获得礼品的概率是 ； （2）若小亮有2次摸球机会（摸出后不放回），请用列表法或画树状图法求小亮获得2份礼品的概率．
【解答】解：（1）当小刚是第1次摸球时，则“摸到红球”是随机事件，获得礼品的概率是35
， 故答案为：随机，3
5
；
（2）画树状图如图：
共有20个等可能的结果，其中小亮获得2份礼品的结果有6个， ∴小亮获得2份礼品的概率为
63
2010
=
． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）为了了解某校初三学生每周日在家学习情况，随机抽取了50名学生每周日的学习时间x （小时）进行调查，统计结果分四种：:01A x <，:1 1.5B x <，:1.52C x <，
:2D x >．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表．其中男生周日的学习时间数据（单
位：小时）如下：0.8，1，1.2，1.3，1.4，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.8，2，2，2.4，2.5，2.8，2.8，3，3.5，4．
（1）统计表中m = 5 ，n = ，男生周日学习时间的中位数是 小时； （2）扇形统计图中，女生周日的“:1.52C x <”所对应的圆心角的度数是 ； （3）若初三年级共有600名学生，请估计周日学习时间在“:2D x >”的学生人数． 男生周日学习时间频数分布表
学习时间
学生人数
A 2 B
m
C
n
D 7
【解答】解：（1）观察男生周日学习数据得到B 小组有5人，C 小组有6人，
5m ∴=，6n =，
男生周日学习时间的位于中间位置的数是1.8和1.8， 所以中位数为1.8， 故答案为：5，6，1.8；
（2）女生周日的“:1.52C x <”所对应的圆心角的度数是360(110%20%40%)108︒⨯---=︒， 故答案为：108︒；
（3）73040%
60022850
+⨯⨯
=，
∴初三年级周日学习时间在2小时以上的约有228人．
19．（8分）有一只拉杆式旅行箱（图1)，其侧面示意图如图2所示，已知箱体长50AB cm =，拉杆BC 的伸长距离最大时可达30cm ，点A 、B 、C 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚轮
A ，
A 与水平地面切于点D ，在拉杆伸长至最大的情况下，当点
B 距离水平地
面36cm 时，点C 到水平面的距离CE 为54cm ，设//AF MN ． （1）求
A 的半径长；
（2）当某人的手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE 为66cm ，53CAF ∠=︒，求此时拉杆BC 的伸长距离．（参考数据：sin 530.80︒≈，cos 530.60︒≈，tan 53 1.33︒≈，结果精确到1)cm
【解答】解：（1）如图，过点B 作BH MN ⊥于点H ，交AF 于点K ，
CE MN ⊥， //BH CE ∴， ABK ACG ∴∆∆∽，
设A 的半径长为r cm ，则(36)BK r cm =-，(54)CG r cm =-，
BK AB
CG AC =
， ∴
3650
545030
r r -=
-+， 解得6r =，
A ∴
的半径长为6cm ；
（2）在Rt ACG ∆中，66660()CG cm =-=， sin CG
CAF AC
∠=， 60
75()sin530.80
CG AC cm ∴=
≈=︒， 755025()BC AC AB cm ∴=-=-=， ∴此时拉杆BC 的伸长距离约为25cm ．
20．（8分）如图1，在OAB ∆中，2AB cm =，4OB cm =，点A 在半径为23cm 的O 上． （1）求证：直线AB 与O 相切；
（2）如图2，CD 切O 于点C ，2CD cm =，连接BD ，交O 于点E ，F ． ①求证：DE BF =；
②若E ，F 两点重合，如图3，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）证明：2AB cm =，4OB cm =，2
3OA cm =．
222AB OA OB ∴+=．
90OAB ∴∠=︒．
点A 在圆上． ∴直线AB 与O 相切．
（2）①连接OC 、OD ．作OH EF ⊥于H ，如图：
EH FH ∴=．
2AB cm =，2CD cm =． AB CD ∴=． CD 切
O 于点C ．
90C ∴∠=︒．
在OAB ∆与OCD ∆中． AB CD OAB C OA OC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
． ()OAB OCD SAS ∴∆≅∆．
OB OD ∴=． OH EF ⊥．
BH HD ∴=．
BH H F D H EH ∴-=-． DE BF ∴=．
②如图：
OB OD =，DE BF =． OE BD ∴⊥．
BD ∴与O 相切．
2AB BE cm ∴==．ABO EBO ∠=∠． AOB EOB ∴∠=∠．
1
sin 2
AB AOB OB ∠=
=． 30AOB ∴∠=︒． 30EOB ∴∠=︒．
∴2130
223(23)232360
S ππ=⨯⨯⨯=阴．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数
2
,(2)
|1|,(2)x y x
x x ⎧--⎪=⎨⎪+>-⎩的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． （1）列表： x
⋯ 6-
5-
4-
3-
2-
1-
0 1 2 3 ⋯ y
⋯
1
3 25 m
23
1
n
1
2
3
4
⋯
其中，m =
1
2
，n = ． （2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点1(3,)A y -，3(4B -
，2)y ，1(C x ，1)2，2(D x ，5
)4
在函数图象上，则1y 2y ，1x 2x ；
（填“>”，“ =”或“<” )； ②直线y t =与图象相交，交点依次从左到右为M ，N ，K 三点，如果MN NK =，求t 的值．
【解答】解：（1）
42x =-<-，
∴把4x =-代入2
y x
=--
中，得12y =，
即1
2
m =
； 12->-，
∴把1x =-代入1y x =+中，得0y =，
即0n =．
（2）如答图所示：
（3）①把3x =-代入2y x =--中，得12
3y =；
把3
4x =-代入1y x =+中，得214y =．
12y y ∴>；
由（2）中图象可知，当12y =时，112x =-或3
2
-或4-， 当54y =
时，21
4
x =．
12x x ∴<．
②根据题意可得，由2t x
-=，得2
M x t =-；
1x t +=，得1x t --=或1x t +=，
得1N x t =--，1K x t =-． 2
1()MN t t ∴=----，
1(1)2NK t t t =----=，
MN NK =，
2
1()2t t t
∴----=．
解得23t =
或1t =-（不合题意，舍去）故答案为：23
t =．
22．（9分）如图，抛物线2y ax c =+经过点15
(1,)4
B ，2(2,2)B ．在该抛物线上取点33(3,)B y ，
44(4,)B y ，⋯，(,)n n B n y ，
在x 轴上依次取点1A ，2A ，3A ，⋯，n A ，使△112A B A ，△223A B A ，△334A B A ，⋯，△1n n n A B A +分别是以1B ∠，2B ∠，3B ∠，⋯，n B ∠为顶角的等腰三角形，设1A 的横坐标为(01)t t <<． （1）求该抛物线的解析式；
（2）直接写出12A A ，23A A ，34A A ，1n n A A +的值（用含t 的代数式表示）；
（3）记△112A B A ，△223A B A ，△334A B A ，⋯，△1n n n A B A +的面积分别为1S ，2S ，3S ⋯，n S ，当2937t =
时，n S 等于58
37
，求n 的值．
【解答】解：（1）把点15
(1,)4
B ，2(2,2)B 代入2y ax c =+中，
得5442a c a c ⎧
+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得141
a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以抛物线解析式为2
114
y x =
+； （2）1222A A t =-，232A A t =，3422A A t =-， 当n 为奇数时，122n n A A t +=-， 当n 为偶数时，12n n A A t +=；
（3）①当n 为奇数时，211
(22)(1)24n t n S ⨯-⨯+=，
∴
2129158
(22)(1)237437
n ⨯-⨯⨯+=
， 解得5n =或5n =-（舍去）；
②当n 为偶数时，211
2(1)24n t n S ⨯⨯+=，
∴
2129158
2(1)237437
n ⨯⨯⨯+=
， 解得2n =或2n =-（舍去）． 综上所述2n =或5n =． 六、（本大题共12分）
23．（12分）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”．
例如：四边形ABCD 中，若180A C ∠+∠=︒或180B D ∠+∠=︒，则四边形ABCD 是“对补四边形”．
概念理解
（1）如图1，四边形ABCD 是“对补四边形”． ①若::3:2:1A B C ∠∠∠=，则D ∠= 90︒ ；
②若90B ∠=︒，且3AB =，2AD =时，则22CD CB -= ． 拓展延伸
（2）如图2，四边形ABCD 是“对补四边形”．当AB CB =，且12
EBF ABC ∠=∠时，图中AE ，
CF ，EF 之间的数量关系是 ，并证明这种关系；
类比运用
（3）如图3，在四边形ABCD 中，AB CB =，BD 平分ADC ∠． ①求证：四边形ABCD 是“对补四边形”．
②如图4，连接AC ，当90ABC ∠=︒，且
1
2
ACD ABC S S ∆∆=时，求tan ACD ∠的值．
【解答】解：（1）①::3:2:1A B C ∠∠∠=， ∴可设3A x ∠=，2B x ∠=，C x ∠=，
根据“对补四边形”的定义可知：180A C ∠+∠=︒，
3180x x ∴+=︒，
解得：45x =︒，
290B x ∴∠==︒， 180B D ∠+∠=︒， 90D ∴∠=︒，
故答案为：90︒；
②90B ∠=︒，180B D ∠+∠=︒，
90D ∴∠=︒，
连接AC ，
在Rt ABC ∆中，222BC AC AB =-， 在Rt ACD ∆中，222CD AC AD =-，
22222222()CD CB AC AD AC AB AB AD ∴-=---=-，
3AB =，2AD =，
2222325CD CB ∴-=-=；
故答案为：5；
（2）AE CF EF +=，理由如下：
如图2，延长EA 至点K ，使得AK CF =，连接BK ， 四边形ABCD 是“对补四边形”，
180BAD C ∴∠+∠=︒， 180BAK BAD ∠+∠=︒， BAK C ∴∠=∠， AK CF =，AB CB =，
()ABK CBF SAS ∴∆≅∆，
ABK CBF ∴∠=∠，BK BF =， KBF ABC ∴∠=∠，
1
2EBF ABC ∠=∠，
1
2
EBF KBF ∴∠=∠，
EBK EBF ∴∠=∠， BK BF =，BE BE =，
()BEK BEF SAS ∴∆≅∆，
EK EF ∴=，
AE CF AE AK EK EF ∴+=+==；
（3）①证明：过点B 作BM AD ⊥于点M ，BN AC ⊥于点N ，则90BMA BNC ∠=∠=︒，
BD 平分ADC ∠，
BM BN ∴=， AB CB =，
Rt ABM Rt CBN(HL)∴∆≅∆，
BAM C ∴∠=∠，
180BAM BAD ∠+∠=︒， 180C BAD ∴∠+∠=︒，
BAD ∴∠与C ∠互补，
∴四边形ABCD 是“对补四边形”
； ②解：由①知四边形ABCD 是“对补四边形”，
180ABC ADC ∴∠+∠=︒， 90ABC =︒， 90ADC ∴∠=︒，
设AD a =，DC b =，则22222AC AD CD a b =+=+，
AB BC =，
22221
()2AB BC a b ∴==+，
11
22
ACD S AD CD ab ∆∴=⋅=， 222111
()224ABC S AB CB AB a b ∆∴=⋅==+， 12
ACD ABC
S S ∆∆=， ∴
2
2112
12()4
ab a b =
+，即：2()410a a
b b
-⋅+=， 解得：
23a
b
=±， 在Rt ABC ∆中，tan a ACD b
∠=， tan 23ACD ∴∠=±．。