周期信号采样测量策略_陆祖良

0概述
周期信号的特征量，例如在正弦波条件下，电压电流的幅值及其相位角可以通过对信号瞬时值的采样测量，然后按照这些量本身的定义计算得到。

而功率，可以分别测量电压电流的瞬时值。

非正弦条件下谐波分量的测量，也可以通过这个办法实现。

至于交流阻抗的模及其相角，可以通过激励电流（通过标准电阻）和被测阻抗上的电压的采样得到。

近年来，随着对采样技术的深入研究，所达到的测量水平，不仅能够满足普通的测量，例如10-4量级的水平，而且已经达到10-6量级的水平，用于计量标准的建立[1-2]。

由此展现了一个广阔的前景，由一路或两路采样器组成的装置，可以完成交流计量中的一系列问题，例如电压、电流、功率、电感、电容等，溯源的依据仅仅为电压基准和电阻基准（含时间常数）。

这样，交流计量将呈现一个新的面貌。

原有的标准当然应继续保存，但研究的主要精力可以集中到电压基准和电阻基准的改进和完善之上。

周期信号的特征量，均是与周期有关的积分量。

它们不是由某个瞬时值决定的，而是一个周期内所有瞬时值（可以有间隔）共同决定的。

例如电压的有效值，就是瞬时值平方在一个周期内的积分与周期的比。

又如，功率就是电压与电流乘积在一个周期内的积分与周期的比。

与谐波分析有关的付立叶变换也与周期内的积分值有关。

在测量某个频率下的电压（电流）的幅值，或者某个频率下的阻抗，常常采用付立叶变换的方法，用该频率下的基函数与采样数据相乘，然后积分。

这实际上是一种滤波的过程。

这些特征量作为被测量，用采样技术测量时，将通过采样数据(或相关的乘积)的累加代替积分。

这个累加是否准确地表示了一个周期的积分，是需要研究的问题。

如果信号的周期不准确，这将影响积分的结果，从而影响被测量的不确定度。

信号的周期之所以不能准确地确定，是由于一般的采样，相邻采样点之间是等间隔的，一个周期内有
周期信号采样测量策略
陆祖良
（中国计量科学研究院，北京100013）
摘要：分析了在对周期信号特征量的采样测量中，时钟不同步对不确定度的影响，得出该
不确定度与周期本身的相对误差有关的结论。

据此讨论了不同的采样策略，并作了比较。

指出了在非整周期采样理论中提出的补偿方法有较大的适应性。

文中最后提出了几个进
一步研究的方向。

关键词：采样方法；测量；周期函数；不确定度
中图分类号：TM935文献标识码：A文章编号：1001-1390（2008）10-0001-06 Sampling strategy for measurement of periodic signals
LU Zu-liang
(National Institute of Metrology,Beijing100013,China)
Abstract:Impact for measurement uncertainty of periodic signals produced by the asynchronism of the clocks in signal source and sampling device is analyzed.It is dependence on the relative error of the period.From the conclusion a few of the sampling strategies are discussed and compared.In which the compensation approach from Non-
Integer-Period Sampling has a wide flexibility.Some research points in the field are pointed.
Key words:sampling method,measurement,periodic function,uncertainty
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若干个采样点，采样数据列的周期终点往往不能和真实信号的周期终点准确地重合，从而累加结果与周期积分不相等。

这就是所谓的“同步”问题，即采样率与信号频率不同步产生所谓的泄漏问题，其实质，如下面所分析，是由于信号时钟与采样时钟不一致造成的。

通常采用的办法有“加窗”法，将由泄漏产生的边频抑制掉，但效果有限。

重复平均是一个较好的办法，其理论依据是，一次平均的结果，如果按照其初始点来标记，将形成一个新的周期信号，在这新的信号中不同步引起的影响将减小，如果将此平均值形成的新的周期信号再次平均，获得的新结果中不同步影响将再次减小。

上述重复平均过程可以一次完成，只要把每个数据的综合权重预先计算出来即可。

这样得到的各个采样数据的贡献，中间大而两边小，形成一个不等权的平均（一种广义的梯形窗）。

这将导致计算结果的不稳定，那些权重较大数据所附带的噪声将被放大。

同时，最终结果的不确定度达不到大幅度改善的目的，例如满足10-6量级的要求。

本文研究周期信号采样测量的策略，目的是大幅度减小被测量的不确定度，达到可能的最高水平，为计量标准的建立准备条件。

1源表同钟
解决上述问题的一个有效策略是将周期信号的生成部分（一般称之为“源”）与测量部分（一般称之为“表”）合用一个时钟。

这个方法的出发点是，认为之所以采样间隔（来源于“表”）不能将周期信号（来源于“源”）严格等分，是由于“源”和“表”中的两个时钟不可能完全一致的缘故。

一个彻底的办法是将此两部分采用一个时钟，使这个时钟频率所产生的采样率（与“表”有关）与信号频率（与“源”有关）两者之间形成严格的倍数关系，若干个采样数据（其个数可以计算得到）的累加结果将与周期积分严格相等。

由此获得的实际结果，使工频功率的不确定度达到10-6量级。

但是问题仍然存在。

如果被测的对象换成了新的一个“源”（被测源），问题就将产生。

此时被测源必须有自己的时钟，否则它是不完整的。

校准被测源应同时包括它的时钟在内。

校准的周期信号需要由被测源给出，而此时装置中的标准“表”却与标准源而不是被测源共用一个时钟，测量系统还是两个时钟在运行。

这种情况下，“源表同钟”的优点不复存在，不可能得到所希望的结果。

2补偿方法
在非整周期采样理论中，对于任意一个非整周期采样（可以视为不同步采样），总可以在所需要的测量不确定度前提下，找到涵盖这段采样数据的整周期采样（视为同步采样），只要采样数据列足够长，对这个整周期采样列作累加运算，结果将满足预定的不确定度要求。

在这个理论中，认为所谓的不同步，仅仅由于采样数据不够多所引起，尽管两个时钟还是不一致。

对于采样个数受限定的情况，这个理论给出了补偿的方法。

补偿首先从确定周期的准确值开始，这也是从采样数据列本身所提供的信息中计算出来。

由此产生的后继效应是，第一，一旦周期得到确定，付立叶变换所需要的基函数（sin jkh,cos jkh）将更准确计算出来，因为从更准确的周期可以计算出更准确的采样间隔h。

这在一般的采样测量中是做不到的。

第二，在采样数据累加的基准上，再加上不同步所对应的曲边梯形的小面积，使周期积分更为准确。

第三，各次谐波之间的泄漏，以及同一谐波中正弦与余弦之间的泄漏可以进一步加以补偿。

工频谐波功率基准研究[2]中采用了这个方法。

模拟试验表明，当正弦信号一个周期内设定60个等间隔采样，而不同步参数Δ设定为0.05时（采样间隔h=2π/ (60+Δ)）,与一般的付立叶变换相比，所采用的补偿方法在幅值和相位差两个方面都具有1000倍的补偿效果，达到10-6量级的水平。

对于课题预定的60次谐波的上限，考虑到各种被测信号所含谐波成分的多样性，以及泄漏的普遍性，上述单次正弦波的补偿结果应有更大程度的提高。

实际的采样方式是，在4个周期内安排1680个采样数据，控制不同步参数Δ在0.04以内。

以HP3458A作为模数转换器所做实验[2]，在正弦条件下，达到了10-6量级，谐波条件下达到了10-5量级。

所涉及的121价矩阵（直流至60次谐波），求逆在1~2秒内完成，而且不必占有大的存储空间。

事实上，按照本节一开始引用的非整周期的理论，对一列采样数据的要求仅仅是相邻数据之间的间隔必须相等，对于两列采样数据（例如功率测量所必须的电压和电流），附加的条件为，两者起始点必须在同一个时刻点上。

因此没有必要刻意地对每一个采样进行触发，以达到在某个区间内控制不同步参数Δ小于某个数值的目的。

在上述两个必要条件下，所需要的不同步参数Δ可以通过在采样列中选择适当的数据列来实现。

对于上述第三点的补偿，对于谐波分析来说，矩阵求逆是必须的，但对于是正弦条件下的特征量，例
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如某频率下的功率，又如某频率下的电感，那么这个补偿可以简化。

为了将该特征量中可能存在的其他频率过滤掉，需要作几个谐波的DFT，然后用一个补偿向量（而不是矩阵补偿，但该向量是矩阵中的一行），对这几个谐波进行补偿即可。

计算量是原来矩阵补偿的平方根。

3不确定度分析
理论[4]和模拟实验已经证明[4]，上述补偿方法的不确定度取决于一个比值，即不同步参数Δ计算的绝对误差ε(Δ)与参加积分的采样个数n的比ε(Δ)/n。

例如，上述正弦信号一个周期内60个采样的例子，根据采样数据计算Δ的相对不确定度达到0.1%，其绝对误差为ε(Δ)=4×10-5，与n=60之比为7×10-7，与整体补偿效果1×10-6相吻合。

对于一个周期内1680个采样的例子，分正弦和非正弦信号两种情况来说明。

在正弦信号情况下，计算Δ的相对误差为2×10-5，绝对误差为ε(Δ)=8×10-7，与n= 1680的比达到5×10-10，与实际补偿效果10-10水平相吻合。

对于非正弦情况，由于非正弦信号有多种多样的组合。

选取最严酷的情况，即所假设的特征信号，包括从直流到60次所有的谐波，每个谐波含有最大可能的分量，且正弦与余弦分量相同。

实际上这样的信号是不存在的，仅仅作为一个极限情况来考察补偿效果。

在这样的条件下，计算Δ的相对误差为1%，绝对误差为ε(Δ)=4×10-4的程度，与n=1680的比则为2.5×10-7，也与实际补偿效果要求1×10-6相吻合。

理论和实验证明[4]，计算周期所得到的改善程度与采样间隔h的大小有关。

在18bit分辨率情况和在实验室条件下，补偿方法中第一步，采用线性插值计算周期时，其计算相对误差可粗略地估计为3/n′2(这里n′是一个周期内的采样个数)。

例如，当一个周期内有6个采样时，计算将获得一个数量级的改善，有18个采样时，计算将获得两个数量级的改善。

让我们回到一般的采样测量方法，没有上述三点补偿(所谓矩形积分公式[4])。

在这种情况下，可以证明（见附录1）一般采样测量方法的结果其相对误差决定于一个比值，即不同步参数Δ与采样据个数n的比Δ/n。

实验结果也证明了这一结论。

上述两个比值ε(Δ)/n和Δ/n，其实具有相同的含义：分母是采样数据的个数，相对于一个或几个周期；分子则是周期的误差，是以采样间隔为参考，数据列终点与周期终点之间的间隙。

也可以这样认为，分子是周期的绝对误差，而分母就是周期（或其近似值）。

因此这个比值也可表示为周期的相对误差，ε(T)/T。

实际测量中，常常采用多周期的策略，上述比值的分母就是这几个周期总的时间，而分子则为数据列终点与周期终点之间的距离，为了下面叙述的方便，不妨称之为“终点间隙”，而把相应周期的时间长度称为“积分长度”。

根据这个结论，为了得到所需要的不确定度，可以有降低周期绝对误差（或终点间隙）和增加数据个数（或增加周期个数）两种途径。

在第三节的补偿方法中，这两个途径都被使用。

第一个途径，降低终点间隙是通过计算周期值实现的。

第二个途径，增加数据个数，有在一个周期内增加个数的努力，也有通过多周期来实现的努力，这就是所谓非整周期采样（或它的原始概念：整周期采样）引入的概念和采取的办法。

4采样策略讨论
通过以上的分析，我们得到了周期信号特征量的不确定度取决于周期的相对误差的结论。

这是一个由方法（或采样策略）引起的不确定度因数。

它可以表述为终点间隙与积分长度的比，也可以表述为不同步参数Δ（或它的误差ε(Δ)）与采样数据个数n的比。

在此结论的基础上，我们可以在不确定度的框架下定量地谈论问题，而不再笼统地在概念上讨论同步。

4.1策略选择的一般原则
我们先假如要求周期信号特征量的不确定度为10-6，这是交流计量领域内一般国家基准的要求。

考虑到因子2π和其他不确定度因素的影响，上述比值应进一步降低，控制在10-7是适宜的。

显然，对于积分长度为mT而言（m个周期信号，周期为T），终点间隙应控制在mT×10-7以内。

对于积分长度为1s而言，终点间隙应控制在100ns以内。

我们面临的问题是，“信号”对应的时钟与“表”对应的时钟可能是不一样的，两者的周期终点可能不重合。

假如“信号”时钟的频率为f，“表”时钟的频率为f(1+η)，其原因可能源于晶体性质的不一致性，源于晶体温度的影响，源于晶体的老化，等等，但也不排除其他的原因，例如执行中产生的问题。

对于一段相等个数的主频脉冲，假如“信号”时钟所经过的时间为T，那么“表”时钟所经过的实际时间为T(1-η)。

此时的终点间隙为Tη。

对于相同的一段时间，假如“信号”时钟所经过的脉冲为F个，那么“表”时钟多经过的脉冲有F(1+η）个（一般为非整数）。

此时的终点间隙为Fη(以脉冲个数表示)。

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4.2几个策略选项的建议
根据如上所述，可采用如下策略选项。

（1）时钟配对。

我们可以选择两个时钟，让它们的实际主频尽可能接近，例如使η≤10-7。

在一些特殊的情况下，例如测量阻抗，其信号源是可以固定的。

选择主频一致性小于10-7的两个时钟，其中的一个时钟服务于信号源，另一个时钟服务于采样机构。

这时不管周期个数是多少，终点间隙都将小于10-7。

这个方法对于被测对象中含有时钟的情况，例如被测对象中有信号源，就不适合。

在测量阻抗中，如果信号源和采样机构外购自不同的制造商，一般也不能采用这个方法。

由于时钟晶体的性能受温度等外界条件的影响，且具有老化效应，因此即使配对完成了，经过一段时间，也会发生变化。

这个方法将受到一定的限制。

（2）选择足够多的采样数据。

选择采样数据的个数n≥107，而终点间隙一般不超过半个采样间隔。

按照上面的结论，最终的不确定度将小于0.5×10-7。

假如这n个采样中存在整周期采样的部分，由于整周期采样对最后结果的不确定度的贡献为零，而终点间隙半个采样间隔与n的比仍将小于0.5×10-7。

不过这种情况下，如果需要作矩阵补偿，需要另外的处理。

这个方法的缺点是，当需要的最终不确定度较小时，计算量太大。

（3）调节采样间隔。

通过调节采样间隔，使终点间隙小于规定的指标。

这种对采样间隔的增减幅度，理论上可以精细到一个脉冲。

例1：50Hz信号，周期T为20ms。

一个周期内安排100个采样数据，采样间隔则为200μs。

终点间隙应在20ms×10-7=2ns以内。

对于2.4GHz的主频，相当于5个脉冲。

遗憾的是，对100个采样，采样间隔每增减一个脉冲，最后也将引起100个脉冲的增减，要控制最后小于5个脉冲是困难的。

一个可能的采样策略选择是，一个周期内安排10个采样。

测量实际的终点间隙，根据测量结果调节采样间隔。

如果终点间隙在±5个脉冲以内，则不需调整。

如果终点间隙为+6个脉冲，那么对每个采样间隔（为2ms，相对于5×106个脉冲）减少1个脉冲，最后新的终点间隙将变为-4个脉冲。

如果终点间隙为-23个脉冲，那么对每个采样间隔增加2个脉冲，最后的终点间隙将变为-3个脉冲。

如果差为+258个脉冲，那么对每个采样间隔减少26个脉冲，新的终点间隙将变为-2个脉冲。

例2：仍为50Hz信号，10个周期内安排100个独立采样。

此时积分长度为200ms，因而终点间隙的控制要求可放大10倍，为50个脉冲。

如果终点间隙的实际测量值在±50个脉冲以内，则不需调整。

如果终点间隙为+73个脉冲，那么对每个采样间隔（为200μs，为5×105个脉冲）减少1个脉冲，新的终点间隙将变为-27个脉冲，满足50个脉冲的控制要求。

其余类推。

这仅仅是一个例子。

我们不难将此方法推广到其它频率的情况。

上述两个例子中，需要一个测量环节，测量终点间隙，还需要一个调节环节，调节采样间隔。

从控制的角度看，对于确定的不确定度要求，主频增加将有利于控制的实现，但这是有限度的。

在主频指标固定的条件下，采样个数不宜太多，这与增加采样个数以改善不确定度的努力相矛盾。

本方法的缺点是信号频率不能太高。

在10-7为最终不确定度要求、主频为2.4GHz的条件下，本方法最高信号频率限制为480Hz，见附录2。

（4）协调信号周期与采样个数。

通过信号周期m 与采样个数n的适当搭配，达到上述目的。

例3：20kHz信号，每周期采样10个，则采样间隔为5000ns，1s内允许的终点间隙为100ns。

如果实际的“源”和“表”1s后的终点间隙为2570ns，那么可取2s的采样数据，此时的终点间隙变为2×2570=5140ns，在原有基础上再多取一个数据进入积分，即可满足要求。

此时周期个数m=2×20k，采样数据个数n=2×105+1（首尾均包括则为2×105+2），终点间隙为140ns，满足2s内同步间隔200ns的要求。

例4：200kHz信号，每周期采样2个，则采样间隔为2500ns，仍按10-7为最终要求，则1s内允许的终点间隙仍为100ns。

如果终点间隙的实际测量值为1090ns，那么可取2.3s的采样数据，此时的同步间隔为2.3×1090= 2507ns。

在原有基础上多取一个进入积分，此时m= 2.3×200k，n=9.2×105+1（首尾均包括则为9.2×105+2），终点间隙为7ns，满足230ns的要求。

4.3几种方法的比较
上述方法均属于减小最终测量结果不确定度的努力。

这些基本上可以分为两类，对应于不确定度来源的两个不同表述。

一个表述是不确定度取决于不同步参数Δ（或它的误差ε(Δ)）与采样数据个数n的比，当它着眼于采样数据时，对应于第2节的补偿方法和4.2节选项（2）；一个表述为不确定度取决于终点间隙与
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积分长度的比，当它着眼于时间间隔时，对应于4.2节的（1）、（3）、（4）。

第（1）、第（2）两个策略属于直观的选择，其中第（2）策略对于高频有一定的意义。

例2、例3通过测量和调节来实现目标，适用于低频。

这个方法所能达到的水平直接取决于它测量和调节的细度。

当最终不确定度要求较小时，对上述测量和调节的要求比较高。

例3、例4通过协调信号周期与采样个数来实现目标，需要测量，不需要调节。

其实质与第2节“补偿方法”相同，不过两者测量的对象不同，例3、例4测量的是终点间隙，是时间量（或脉冲个数）；“补偿方法”测量的是信号的瞬时值。

两者的测量一般均能达到较高的水平。

相比较而言，“补偿方法”利用了较多的测量点，尚有克服噪声的作用。

同时，“补偿方法”所需要的测量设备是采样测量所必需的，不需要附加的硬件。

其实“补偿方法”可视为一种减小终点间隙的有效方法，或视为一种软件同步方法。

与例1、例2采样间隔的调节相比较，这种方法可以方便地将终点间隙减小3/n′2倍（此处n′为一个周期内的采样个数）。

而采样间隔的调节方法，相对而言比较困难，尤其在不确定度要求到达一定程度后。

不难从例3、例4中看到，协调信号周期和采样个数的方法，可能会出现采样个数很大的情况，（见下述例5的前半部分），这将变得与第（2）策略相同，大量采样数据的计算将影响测量的实时性。

其实我们可以将最终不确定度放宽n′2/3倍，当n′=10时，放大30倍，即以3×10-6为不确定度要求，在此基础上进行信号周期与采样个数的协调，此时所涉及的采样个数将大大减少，然后再采用第2节的补偿方法，达到最后的目的，见例5。

例5：按例3的情况，20kHz信号，每周期采样10个，则采样间隔为5000ns，1s内允许的终点间隙为100ns。

如果终点间隙测量值为150ns，那么需要取33s的采样数据，此时的终点间隙变为33×150=4950ns，在原有基础上再多取一个数据进入积分，即可满足要求。

此时周期个数m=33×20k，采样数据个数n=33×105+1（首尾均包括则为33×105+2），终点间隙为-50ns。

但数据量确实太大。

但是如果我们以3×10-6为要求，那么1s内允许的终点间隙为3000ns。

本例当终点间隙测量值为150ns 时，可以不必采取协调的措施。

就是例3中终点间隙测量值为2570ns时，也同样不要采取措施。

对1s（而不是33s）中的数据采用第2节的补偿方法即可。

其实这就是非整周期采样理论所提出的方法（见本文第2节一开始所叙述）我们首先在采样列中选取一段整周期采样的部分，对这部分的计算将不存在泄漏误差；但是当这个整周期采样部分太长时，可以结合使用该理论所提出的补偿方法，从而大幅度减少采样个数，减少计算量，提高测量的实时性。

4.4值得研究的几个问题
例1、例2采样间隔调节方法也可以应用于高频。

此时n/m将小于1，即几个周期内才有一个采样。

一般地看，两个数据之间的波形变化较大，已经不能简单地用累加代替积分；但粗略看，可以适当地调节这n个采样到1个周期中去，问题是，这时候是否仍然是等间隔？如果是等间隔，当然可以用累加代替积分。

问题是要寻找等间隔的条件。

笔者认为应该研究这种稀疏采样的情况。

高频测量的另一种应对办法是，有意采用不等间隔采样。

我们对采样间隔的调节只对部分采样数据进行，例如只对一半的采样数据调整其采样间隔，另外一半不改变，那么频率限制将扩大一倍。

如果只调整其中的十分之一，那么频率限制将扩大十倍。

此时积分将分段进行。

这时候采样将是不等间隔的。

需要考察由等间隔采样所得到的一系列结论是否还成立的问题。

笔者建议研究这种不等间隔采样的情况。

笔者认为“源表同钟”值得进一步研究。

例如应该将“表”做成无时钟的，它或者接受标准源时钟的控制，或者接受被测源时钟的控制。

时钟信号在传输中可能产生的延迟等等次生问题应努力加以克服。

或者让两个时钟受同一控制源的控制，产生相同的频率。

最后，周期信号的精密测量将对时钟的晶体特性提出要求，例如温度系数、稳定性、工作寿命以及不同产品之间的一致性，等等。

同时它们的使用，需要象电压标准的齐纳二极管一样，作最精细的保护，例如控温等等。

不仅对信号源如此，对采样器也应如此，尤其在精密测量的场合。

笔者认为，这些问题也是值得研究的方向。

5结论
分析了采样测量对交流计量领域的重要意义，得出了周期信号特征量的不确定度取决于周期的相对误差的结论。

它可以表示为终点间隙与积分长度的比，或者不同步参数Δ（或它的误差ε(Δ)）与采样数据个数n的比。

由此提出了实现周期信号特征量不确定度达到10-6水平的几个采样策略，比较了它们的优缺点。

指出非整周期采样中所提出的补偿方法具有较广泛的适应性。

而稀疏采样、不等间隔采样、源表同钟、
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