吉林省长白山一高高中数学总复习阶段性测试题10 算法

阶段性测试题十(算法、框图与复数)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(文)(2011·揭阳一中月考)设a ，b 为实数，若复数1＋2i
a ＋bi
＝1＋i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝1
2
B ．a ＝3，b ＝1
C ．a ＝12，b ＝3
2
D ．a ＝1，b ＝3
[答案] A
[解析] 1＋2i ＝(a ＋bi)(1＋i)＝a －b ＋(a ＋b)i ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a －
b ＝1a ＋b ＝2，∴⎩⎨⎧
a ＝32
b ＝12
，故选A.
(理)(2011·温州八校期末)若i 为虚数单位，已知a ＋bi ＝2＋i
1－i
(a ，b ∈R)，则点(a ，b)与圆x2＋y2＝2的关系为( ) A ．在圆外 B ．在圆上 C ．在圆内 D ．不能确定 [答案] A
[解析] ∵a ＋bi ＝2＋i
1－i
＝
2＋i
1＋i
2＝12＋3
2i(a ，b ∈R)，∴⎩⎨⎧
a ＝1
2b ＝3
2
，
∵⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝52>2，∴点P ⎝⎛⎭
⎫12，32在圆x2＋y2＝2外，故选A. 2．(文)(2011·德州一中月考)下面的程序框图运行时，依次从键盘输入a ＝0.312，b ＝5
5，c ＝
0.3－2，则输出结果为( )
A ．0.312
B.55
C ．0.3－2
D ．以上都有可能 [答案] B
[解析] 此程序框图是比较a ，b ，c 的大小，输出三数中的最小数， ∵y ＝0.3x 是单调减函数，12>－2，∴0.31
2<0.3－2，
∵
55＝⎝⎛⎭⎫1512＝0.212，y ＝x 1
2
在第一象限内为增函数，0.2<0.3. ∴0.212<0.312，即55<0.312，
∴
55<0.312<0.3－2，故输出55
. (理)(2011·辽宁沈阳二中阶段测试)下面框图表示的程序所输出的结果是( )
A ．1320
B ．132
C ．11880
D ．121 [答案] A
[解析] 运行过程依次为：i ＝12，x ＝1→x ＝12，i ＝11→x ＝132，i ＝10→x ＝1320，i ＝9，此时不满足i≥10，输出x 的值1320.
3．(文)(2011·郑州质检)若复数a ＋3i
1－2i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )
A ．－2
B ．4
C ．－6
D ．6
[答案] D [解析] ∵a ＋3i
1－2i
＝
a ＋3i 1＋2i 1－2i
1＋2i
＝a ＋2ai ＋3i ＋6i25＝a －65＋2a ＋3
5i 为纯虚数，∴a ＝6，
故选D.
[点评] 先进行复数的运算，再进行复数分类的讨论或复数对应点所在象限及轨迹判断是考查复数的一种主要方式．请再练习下题： (2010·广东中山)已知a ∈R ，若(1－ai)(3＋2i)是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－32 B.32
C ．－23 D.23
[答案] A
[解析] ∵(1－ai)(3＋2i)＝(3＋2a)＋(2－3a)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧
3＋2a ＝02－3a≠0
，∴a ＝－32.
(理)(2011·海口五校联考)已知复数z ＝(cosθ＋i)(2sinθ－i)是纯虚数，θ∈[0,2π)，则θ＝( ) A.π4 B.3π
4 C.7π4 D.3π4或7π4
[答案] D
[解析] ∵z ＝(sin2θ＋1)＋(2sinθ－cosθ)i 为纯虚数，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
sin2θ＋1＝02s inθ－cosθ≠0，∴θ＝kπ－π4(k ∈Z)．
∵θ∈[0,2π)，∴θ＝3π4或7π
4
，选D.
4．(文)(2011·天津六校联考)如图表示的程序运行后输出的结果为( )
A ．37
B ．10
C ．19
D ．28 [答案] D
[解析] 当条件A≤3满足时执行循环体，A ＝1时，执行后S ＝10，A ＝2执行后S ＝19，A ＝3，继续执行后S ＝28，A ＝4跳出循环，输出S 的值28. (理)(2011·福建协作校联考)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 为( )
A ．2
B ．－1
2
C ．－3 D.13
[答案] B
[解析] 程序运行过程为：S ＝2，i ＝1，i≤2010满足，S ＝1＋2
1－2
＝－3，i ＝1＋1＝2，再判断
i≤2010满足，S ＝1＋－31－－3＝－1
2，i ＝2＋1＝3，再判断i≤2010仍满足，S ＝1＋⎝⎛⎭⎫－121－⎝⎛⎭
⎫－12＝13，
i ＝3＋1＝4，依次进行下去，S ＝2，i ＝5，S ＝－3，i ＝6，…，可见S 的值以4为周期重复出现，i ＝2008判断后，得S ＝2，i ＝2009，继续运行得S ＝－3，i ＝2010，得S ＝－1
2，i ＝
2011，此时不满足i≤2010，输出S ＝－1
2
后结束．
5．已知a 是实数，a ＋i
1－i 是实数，则z ＝(2＋i)(a －i)的共轭复数是( )
A ．－3－i
B ．3＋i
C ．1－3i
D ．－1＋3i [答案] D [解析] ∵a ＋i
1－i ＝
a ＋i
1＋i
2＝
a －1＋a ＋1i
2
是实数，∴a ＝－1，∴z ＝(2＋i)(－
1－i)＝－1－3i.
6．下图给出的是计算12＋14＋16＋…＋1
100的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件
是( )
A ．i>100?
B ．i≤100?
C ．i>50?
D ．i≤50? [答案] B
[解析] 最后加的一项为1
100
，不满足条件时跳出循环，故循环终止条件为i≤100.
7．(文)某种零件加工的工序流程图如图，如果把加工一次和检验一次都看作是一个步骤，则一件零件从开始加工到最后是成品或废品，最多、最少要经过步骤次数为( )
A ．7,4
B ．6,4
C ．5,5
D ．7,5 [答案] B
[解析] 最少：粗加工→检验→精加工→最后检验．共四步； 或粗加工→检验→返修加工→返修检验．共四步．
最多：粗加工→检验→返修加工→返修检验→精加工→最后检验．共六步．
(理)(2011·辽宁抚顺六校联合体模拟)已知函数f(x)＝ax3＋1
2x2在x ＝－1处取得极大值，h(x)
＝f ′(x)，如图所示的程序框图运行后，输出结果S>2009
2010，那么判断框中可以填入的关于k
的判断条件是( )
A ．k<2010
B ．k<2009
C ．k>2010
D ．k>2009 [答案] A
[解析] 由条件知f ′(－1)＝(3ax2＋x)|x ＝－1＝3a －1＝0，∴a ＝1
3，∴h(x)＝x2＋x ，程序框
图表示的算法是计算S ＝
11×2＋12×3＋…＋1k k ＋1＝k k ＋1
，由于输出结果S>20092010，∴k ＝2010，故条件为k<2010，选A.
8.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则如图所示，例如明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( ) A ．4,6,1,7 B ．7,6,1,4 C ．6,4,1,7 D ．1,6,4,7 [答案] C
[解析] 由程序流程图及题设条件可知m ＝14，n ＝9，p ＝23，q ＝28. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝142b ＋c ＝92c ＋3d ＝234d ＝28
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝6
b ＝4
c ＝1
d ＝7
9．(2011·荣城六中质检)我们用记号eiθ来表示复数cosθ＋isinθ，即eiθ＝cosθ＋isinθ.(其中e
＝2.718…是自然对数的底数，θ∈R)，则 ①2ei π
2＝2i ②eiθ＋e －iθ2
＝sinθ
③(eiθ)2＝e2iθ ④eiα·eiβ＝ei(α＋β) (α、β∈R)． 其中正确的式子个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] C
[解析] ①2ei π
2＝2⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2＝2i 正确． ②eiθ＋e －iθ＝cosθ＋isinθ＋cos(－θ)＋isin(－θ)
＝2cosθ，eiθ＋e －iθ
2
＝cosθ.②错．
③(eiθ)2＝(cosθ＋isinθ)2＝cos2θ－sin2θ＋2(cosθ·sinθ)i ＝cos2θ＋isin2θ＝e2iθ，∴③正确． eiα·eiβ＝(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ)
＝cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ)i ＝cos(α＋β)＋isin(α＋β)＝ei(α＋β)，∴④正确．
10．(文)如图所示的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是( )
A ．2500,2500
B ．2550,2550
C ．2500,2550
D ．2550,2500 [答案] D
[解析] 解法1：由程序框图知：S>T ，排除选项A 、B 、C ，故选D. 解法2：S ＝100＋98＋96＋…＋2＝100＋2×50
2
＝2550.
T ＝99＋97＋…＋3＋1＝
99＋1×50
2
＝2500，故选D.
(理)(2011·浙江宁波八校联考)计算机执行下边程序框图设计的程序语言后，输出的数据是34
55，则判断框内应填( ) A ．n<7 B ．n≤7 C ．n≤8
D ．n≤9
[答案] B
[解析] 其运行过程依次为x ＝1，y ＝1，n ＝1，z ＝1＋1＝2――→判断条件后
x ＝1，y ＝2，n ＝2，z ＝1＋2＝3
――→继续判断条件后
x ＝2，y ＝3，n ＝3，z ＝2＋3＝5→x ＝3，y ＝5，n ＝4，z ＝3＋5
＝8→x ＝5，y ＝8，n ＝5，z ＝5＋8＝13→x ＝8，y ＝13，n ＝6，z ＝8＋13＝21→x ＝13，y ＝21，n ＝7，z ＝34→x ＝21，y ＝34，n ＝8，z ＝55，因为输出y z 的值为34
55，故判断条件为n≤7，
故选B.
11．(文)(2011·河南豫州九校联考)定义一种运算如下：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x1 y1x2 y2＝x1y2－x2y1，复数z ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3＋i －13－i i (i 是虚数单位)的共轭复数是( ) A.3－1＋(3－1)i B.3－1－(3－1)i C.3＋1＋(3＋1)i D.3＋1－(3＋1)i [答案] B
[解析] z ＝(3＋i)i －(3－i)·(－1)＝(3－1)i ＋(3－1)，其共轭复数为(3－1)－(3－1)i ，故选B. (理)(2011·罗源一中月考)已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝sinβ＋icosβ，(α，β∈R)，复数z ＝z1·z －
2的对应点在第二象限，则角α＋β所在象限为( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 [答案] C
[解析] ∵z ＝(cosα＋isinα)·(sinβ－icosβ)＝sin(α＋β)－icos(α＋β)的对应点在第二象限，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
sin α＋β<0－cos α＋β>0，∴角α＋β的终边在第三象限． 12．如图(1)是某县参加2010年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、A10[如A1表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数]．图(2)是统计图(1)中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在170～190cm(含170cm ，不含190cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )
A ．i≤6
B ．i≤7
C ．i≤8
D ．i≤9 [答案] C
[解析] 由题意知在170～190cm 段的学生人数为A6＋A7＋A8＋A9，故i 取值6,7,8,9，故选D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2011·湖北荆门市调研)如果一个复数的实部、虚部对应一个向量的横坐标、纵坐标，已知z1＝(1－2i)i 对应向量为a ，z2＝1－3i 1
－i 对应向量为b ，那么a 与b 的数量积等于________．
[答案] 3
[解析] z1＝2＋i 对应向量a ＝(2,1)，z2＝1－3i 1－i
＝
1－3i
1＋i
2＝2－i 对应向量b ＝(2，
－1)，
∴a·b ＝3.
(理)复数z0＝3＋2i ，复数z 满足z·z0＝3z ＋z0，则复数z ＝________. [答案] 1－32
i
[解析] 设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R)， 则(x ＋yi)(3＋2i)＝3(x ＋yi)＋3＋2i ，
∴(3x －2y)＋(3y ＋2x)i ＝(3x ＋3)＋(3y ＋2)i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
3x －2y ＝3x ＋3
3y ＋2x ＝3y ＋2，∴⎩⎪
⎨⎪⎧
x ＝1
y ＝－32
，∴z ＝1－3
2
i.
14．运行下边的程序框图，若输入p ＝0.9，则输出的n ＝________.
[答案] 5
[解析] S ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎝⎛
⎭⎫
1－12n 1－12
＝1－1
2n
.
由程序框图知，输出的n 值是满足S≥0.9的最小的n 值加1.
由1－1
2n
≥0.9得2n≥10，∵n ∈N*，∴n≥4.
故输出的n 值为5. 15．(2011·无为中学月考)已知复数z1＝－1＋2i ，z2＝1－i ，z3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A 、B 、C.若OC →＝xOA →＋yOB →
，则x ＋y 的值是________． [答案] 5
[解析] ∵OC →＝xOA →＋yOB →
，∴(3－2i)＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，∴⎩⎪⎨⎪⎧
－x ＋y ＝32x －y ＝－2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1
y ＝4
，故x ＋y ＝5.
16．(2010·湖南理)如图是求12＋22＋32＋…＋1002的值的程序框图，则正整数n ＝________.
[答案] 100
[解析] 因为第一次判断执行后，i ＝2，s ＝12，第二次判断执行后，i ＝3，s ＝12＋22，而题目要求计算12＋22＋32＋…＋1002，故n ＝100.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)为了加强居民的节水意识，某市制定了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过5立方米时，每立方米收费3元；超过5立方米的部分，每立方米收费5元，并加收0.4元的城市污水处理费．请你设计一个算法，输入用户每月用水量，输出应交纳的水费数，并画出程序框图．
[分析] 设某户每月用水量x 立方米应交纳水费y 元，当0<x≤5时，y ＝3x ，当x>5时，y ＝5×3＋(x －5)×(5＋0.4)＝5.4x －12，即y ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
3x
0<x≤55.4x －12 x>5，这是一个分段函数，需
用条件结构来表达．
[解析] 算法设计：
S1 输入每月用水量x ；
S2 判断输入的x 是否超过5；若x>5，则应交水费y ＝5.4x －12；否则应交纳水费y ＝3x ； S3 输出应交水费y.
程序框图如图．
18．(本小题满分12分)(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对边，复数z1＝a ＋bi ，z2＝cosA ＋icosB ，若复数z1·z2在复平面上对应的点在虚轴上，试判断△ABC 的形状．
[解析] 由题意知z1·z2＝(a ＋bi)·(cosA ＋icosB)
＝(acosA －bcosB)＋(acosB ＋bcosA)i 在虚轴上，
∴acosA －bcosB ＝0
∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2 ∴三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形． (理)已知复数z ＝a ＋i 1＋i
(其中a>0，i 为虚数单位)，复数w ＝z(z －i)，求w 在复平面内对应点的轨迹方程．
[解析] z ＝a ＋i 1＋i
＝a ＋i 1－i 1＋i 1－i
＝1＋a 2＋1－a i 2
∴z －i ＝1＋a 2－1＋a i 2
∴w ＝z(z －i)＝⎣⎡⎦⎤1＋a 2＋1－a i 2·⎣⎡⎦⎤1＋a 2－1＋a i 2 ＝1＋a 2
(1－ai)． 设w 在复平面内对应点为P(x ，y)，则⎩
⎨⎧
x ＝1＋a 2y ＝－a 1＋a 2，消去a 得：y ＝－2x2＋x ，
∵a>0，∴2x －1>0，∴x>12
. 故所求轨迹方程为y ＝－2x2＋x(x>12)． 19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x ＋2x －x (－1≤x≤1)，将区间[－1,1]十等分，写出求函数f(x)在各分点的函数值的算法语句．
[解析] 将区间[－1,1]十等分，故各相邻分点间距为0.2，第一个分点为－1＋0.2＝－0.8，
最后一个分点为1－0.2＝0.8，故程序语句为：
[点评] 将区间[－1,1]十等分，只须九个分点，求f(x)在各分点的函数值，应从－0.8至0.8，而不是从－1到1.
20．(本小题满分12分)设关于x 的方程x2－(tanθ＋i)x －(2＋i)＝0，
(1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根．
(2)证明：对任意θ≠kπ＋π2
(k ∈Z)，方程无纯虚数根． [解析] (1)设实数根为a ，则
a2－(tanθ＋i)a －(2＋i)＝0
即a2－atanθ－2－(a ＋1)i ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a2－atanθ－2＝0a ＋1＝0，∴a ＝－1，tanθ＝1， ∵0<θ<π2，∴θ＝π4
. (2)设方程存在纯虚数根bi (b ∈R ，b≠0)则
(bi)2－(tanθ＋i)bi －(2＋i)＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－b2＋b －2＝0btanθ＋1＝0此方程组无实数根， 所以对任意θ≠kπ＋π2
(k ∈Z)，方程无纯虚数根． 21．(本小题满分12分)(2011·北京学普教育中心)已知复数z1＝sin2x ＋λi ，z2＝m ＋(m －3cos2x)i ，λ、m 、x ∈R ，且z1＝z2.
(1)若λ＝0且0<x<π，求x 的值；
(2)设λ＝f(x)，已知当x ＝α时，λ＝12
，试求cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3的值． [解析] (1)∵z1＝z2，
∴⎩⎨⎧
sin2x ＝m λ＝m －3cos2x
， ∴λ＝sin2x －3cos2x ，
若λ＝0则sin2x －3cos2x ＝0得tan2x ＝3，
∵0<x<π，∴0<2x<2π，
∴2x ＝π3或2x ＝4π3，
∴x ＝π6或2π3. (2)∵λ＝f(x)＝sin2x －3cos2x ＝2⎝⎛⎭
⎫12sin2x －32cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∵当x ＝α时，λ＝12
， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝12，∴sin ⎝
⎛⎭⎫2α－π3＝14， sin ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－14
， ∵cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝cos2⎝
⎛⎭⎫2α＋π6－1 ＝2cos2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1＝2sin2⎝⎛⎭
⎫π3－2α－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝2×⎝⎛⎭⎫－142－1＝－78
. 22．(本小题满分12分)从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm 到195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组
[155,160)；第二组[160,165)、…、第八组[190,195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上(含180cm)的人数；
(2)求第六组、第七组的频率，并补充完整频率分布直方图；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x 、y ，求满足|x －y|≤5的事件的概率；
(4)画出统计样本中身高在[175,185)的人数的程序框图．
[解析] (1)由频率分布直方图知，前五组频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三组频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9人，
这所学校高三男生身高在180cm 以上(含180cm)的人数为800×0.18＝144人．
(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2人，
设第六组人数为m ，则第七组人数为9－2－m ＝7－m ，由第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列知，
m ＋2＝2(7－m)，所以m ＝4，
即第六组为4人，第七组为3人，频率分别为0.08,0.06.
频率除以组距分别等于0.016,0.012，补充完整后的频率分布直方图见图．
(3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为4人，设为a，b，c，d.身高为[190,195]的人数为2人，设为A，B.
若x，y∈[180,185)时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六种情况．
若x，y∈[190,195]时，有AB共一种情况．
若x，y分别在[180,185)，[190,195]内时，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况．
所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15种．
事件|x－y|≤5所包含的基本事件个数有6＋1＝7种，故P(|x－y|≤5)＝7
15.
(4)程序框图如图．。