人教版高中数学高一培优讲义第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

【例
2】（1）已知
A

sin(k sin

)

cos(k cos

)
(k

Z
)
，则
A
的值构成的集合是(
)
A．{1,1,2,2} B．{1,1} C．{2,2} D．{1,1,0,2,2}
（2） sin 6000 tan 2400 __________。
2
人教版高中数学培优讲义
（3）已知 tan(
)

3 ，则 tan(5 ) _____。
6
3
6
tan( ) cos(2 ) sin( 3 )
（4）
2 cos( ) sin(3 )
__________
sin( ) cos(2 ) tan( 3 )
考点二 诱导公式的应用
【例 2】（1）C．
（2） sin 6000 tan 2400
3
3
3
。
2
2

（3）

和
5

互补， tan(5
)

tan[

(
)]

3
6
6
6
6
3
tan( ) cos(2 ) sin( 3 )
（4）
2 cos( ) sin(3 )
（5）已知 是第三象限角， f ( )
2 cot( ) sin( )
①化简 f ( ) ；②若 cos( 3 ) 1 ，求 f ( ) 的值； 25
►归纳提升 利用诱导公式化简三角函数的思路、要求和步骤
（1）思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③

cos
sin
，则 t 2
1
2sin
cos
1
1 4

3 4
，得 t


3 2，
5 因为 4


3 2
，所以选
B
强化训练 3（1）解： sin x cos x 1 ，则1 2 sin x cos x 1 ， 2 sin x cos x 24 ，
5
25
又因为 sin(
)

3 5

sin

3 5
，所以上式
1 9 25 3
16 15
5
【例】
sin sin
cos cos

tan tan
1 1

1 2
，则 tan

3
考点一 同角三角函数基本关系式的应用
【例 1】（1）解：①由 sin cos 1 ①两边平方整理得 sin cos 12 0 ，又
3 cos A 2 cos B
2
2
时 cos B 3 。又因为 A, B 时三角形得内角， A , B , C 7 。当 cos A 2
2
4 6 12
2
时， cos B 3 ，又因为 A, B 时三角形得内角，不合题意。 2
【例
3】（1）解：令 t
整理得最简形式。
（2）化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，
结构尽可能简单，能求值的要求出值。
（3）应用步骤：①将负角的三角函数化为正角的三角函数；②将正角的三角函数化为
0 ~ 2 的角的三角函数；③最后化为锐角的三角函数。简记为“负化正，大化小，诱导公
式化锐角”。应用诱导公式时，不要忽略角的范围和三角函数的符号。
2
C.
3
D． 2
3
3
3
3
3
（ 3 ） 在 ABC 中 ， 若 sin(2 A) 2 sin( B), 3 cos A 2 cos( B) ， 求
ABC 的三个内角。
3
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考点三 sin x cos x 与 sin x cos x 、”间的关系
诱导公式六： sin(900 ) cos ； cos(900 ) sin ；其中 k Z
记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限，一全二正弦，三切四余弦”，
【例】已知 sin( ) 3 ，求 sin(3 ) tan(2 ) cos( 5 ) 的值。·

tan
可以实
现角 的弦切互化。
（1）注意公式逆用及变形应用： sin 2 cos2 1， sin 2 1 cos2 ，
cos2 1 sin 2
强化训练
sin 3cos 1（1）已知 3cos sin
5 ，则 sin 2
sin

sin 2 cos2 cos2 sin 2
tan2 1 25 1 tan2 7
（2）证明：
1
cos sin
sin 1 cos

2(cos sin ) 1 sin cos
证明：左边 cos cos2 sin sin2 (cos sin )(cos sin 1）
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第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
理清双基 1、同角三角函数基本关系式
（1）平方关系： sin 2 cos2 1.
（2）商数关系： tan

sin cos
{

2
k , k Z}
【例】已知 是第四象限角， tan 5 ， sin ________ 12
5
tan( ) tan(3 )sin(2 )
3、同角三角函数基本关系式的应用技巧
(1)弦切互化法：主要利用公式 tan

sin cos
化成正弦、余弦函数；
(2)和积转换法：正、余弦三剑客“ sin x cos x , sin x cos x 、”的应用
(3)巧用“1”的变换：1 sin 2 cos2 tan 4
12
13
2. 【例】解： sin(3 ) tan(2 ) cos( 5 ) sin tan cos cos cos2 ， tan( ) tan(3 )sin(2 ) tan tan sin tan sin
用 tan
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
表示出来，并求其值。
（2）证明：
1
cos sin
sin 1 cos

2(cos sin ) 1 sin cos
►归纳提升 同角三角函数基本关系式的应用技巧
（1）利用 sin 2
cos2
1可以实现角
正弦、余弦的互化，利用
sin cos
25
令 t cos x sin x ，则 t 2 1 2 sin x cos x 1 24 49 ，得 t 7 。因为 x 0 ，
25 25
5
2
所以 sin x cos x 7 5
6
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诱导公式三： sin( ) sin ； cos( ) cos ； tan( ) tan ；
诱导公式四： sin(1800 ) sin ； cos(1800 ) cos ； tan(1800 ) tan
诱导公式五: sin(900 ) cos ； cos(900 ) sin ；
2. 诱导公式
诱导公式一： sin( 2k ) sin ； cos( 2k ) cos ； tan( 2k ) tan ；
诱导公式二： sin(1800 ) sin ； cos(1800 ) cos ； tan(1800 ) tan
【例】
sin
若
sin
cos cos

1 2
，则 tan
_________
1
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考点一 同角三角函数基本关系式的应用
【例 1】（1）已知 是三角形的内角，且 sin cos 1 。 5
①求 tan 的值；
②把
cos2
1 sin 2
的值，可利用公式 (sin cos )2 1 2 sin cos 求其余两式的值，体现了方程思想的
应用。但要特别注意对 sin cos ， sin cos ， sin cos 符号的关注。
强化训练 3（1）已知 x 0 ， sin x cos x 1 ，则 sin x cos x __________
5
25
0 ， 所 以 sin 0.cos 0 ， 则 sin cos 0 ， 所 以
sin cos
1 2sin cos

7
②
5
由①②解得 sin 4 , cos 3 , tan 4 ；
5
5
3
1 ② cos2 sin 2
2
5
（2）已知 (0, ) ，且 sin , cos 是方程 25x2 5x 12 0 的两个根，求 sin3 cos3 和 tan cot 的值。
4
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第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
1、【例】已知 是第四象限角， tan 5 ， sin 5
2
5
5
5
5
强化训练 2（1）已知 sin( ) 3 cos(2 ) sin 3 cos ， tan 3 ，
则 等于 选 D.（2）选 A. 3
sin A 2 cos B, （3）解：由已知可得
得 2 cos2 A 1,cos A 2 ，当 cos A 2
【例 3】（1）已知 sin cos

1 5
，且


3
，则 cos
sin
的值为(
)
84
2
A． 3 2
3
B.
C． 3
3
D.
2
4
4
►归纳提升 sin cos 及 sin cos 间的方程思想 对于 sin cos ， sin cos ， sin cos 这三个式子，已知其中的一个式子
(1 sin )(1 cos )
1 (cos sin )2 sin cos 1
2
2
(cos sin )(cos sin 1) 右边，所以等式成立。 (sin cos 1)2
sin 3cos 强化训练 1（1） 3cos sin
强化训练 2（1）已知 sin( ) 3 cos(2 ),| | ，则 等于（ ） 2
A．
B．

C.

D.
6
3
6
3
（2）若 cos 1 ，则 sin （ ）
3 3
6
1
A.
B． 1

tan 3 3 tan
5
tan

2 ，则 sin 2
sin
cos

sin 2 sin cos sin 2 cos2

tan2 tan tan2 1

2
，所以选 A
5
（2） cos
5
。（3）证明（略）
5
5
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tan
（5）解：①
f ( )
sin(
) cos(2 ) tan( 3 ) 2
cot( ) sin( )

sin cos cot cot sin

cos
；
② cos( 3 ) sin 1 sin 1 cos 2 6 ， f ( ) 2 6
cos
的值是（
）
2
A、
5
B、 2 5
C、 2
D、 2
（2）已知 ( , 3 ) ， tan 2 ，则 cos __________。 2
（3）已知 tan 2 2 tan 2 1 ，求证 sin 2 2 sin 2 1
考点二 诱导公式的应用