2020年高中数学第二章函数章末分层突破课件北师大版必修1

末分层突破
章
提 升 层
末 综 合 测
评
[自我校对] ①对应关系 ②函数的值域 ③解析法 ④简单的幂函数 ⑤单调性的定义 ⑥函数的奇偶性 ⑦奇偶性的判定方法
函数的定义域
1.已知函数解析式求其定义域，就是求使解析式有意义(分母不为零，偶次 根式的被开方数非负等)的自变量的取值范围．
2．已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，求函数 f[φ(x)]的定义域，可解不等式 a≤φ(x)≤b 求得；如果已知函数 f[φ(x)]的定义域，可通过求函数 φ(x)的值域，求 得函数 f(x)的定义域．
3．(2014·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x) 是偶函数，则下列结论中正确的是( ) 【导学号：04100037】
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
【答案】 C
4．(2013·山东高考)已知函数 f(x)为奇函数，且当 x＞0 时，f(x)＝x2＋1x，则
f(－1)＝( )
A．2
B．1
C．0
D．－2
【解析】 当 x＞0 时，f(x)＝x2＋1x，∴f(1)＝12＋11＝2. ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2. 【答案】 D
当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，函数图像如图(2)，最小值为 f(1)＝1； 当 t＞1 时，函数图像如图(3)，函数 f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最 小值为 f(t)＝t2－2t＋2.
t2＋1，t＜0， 综上所述 f(x)min＝1，0≤t≤1，
t2－2t＋2，t＞1.
【规范解答】 (1)函数的定义域为 R，关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|. 则 f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数． 图像关于 y 轴对称．
(2)f(x)＝x2－2|x|＝xx22＋－22xx＝＝xx＋－1122－－11xx＜≥00.， 画出图像如图所示．
5．(2014·四川高考)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x∈[－1,1) 时，f(x)＝－ x，40x2≤＋x2＜，1－1≤x＜0， ，则 f32＝________.
【解析】 函数的周期是 2，所以 f32＝f32－2＝f－12，根据题意 f－12＝ －4×－122＋2＝1.
1．(2015·湖北高考)设 x∈R，定义符号函数 sgn x＝10， ，xx>＝00，， 则(
)
－1，x<0，
A．|x|＝x|sgn x|
B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x
D．|x|＝xsgn x
【解析】 当 x<0 时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－
已知函数 f(x)＝a3xx2＋＋b2是奇函数，且 f(2)＝53. (1)求实数 a，b 的值； (2)判断函数 f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．
【精彩点拨】 (1)利用奇函数定义和 f(2)＝53，求 a，b 的值； (2)根据单调性的定义证明．
【规范解答】 (1)∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴－ax32x＋＋2b＝－a3xx2＋＋b2，∴－3x＋b＝－3x－b， 因此 b＝－b，即 b＝0. 又 f(2)＝53，∴4a＋6 2＝53，∴a＝2. (2)由(1)知，f(x)＝2x32＋x 2＝23x＋1x， f(x)在(－∞，－1]上为增加的．
【规范解答】 (1)依题意，x∈R，解析式有意义，即对任意 x∈R，都有 ax2＋4ax＋3≠0 成立，故方程 ax2＋4ax＋3＝0 无实根．
①当 a＝0 时，3≠0 满足要求； ②当 a≠0 时，则有 Δ＝16a2－12a＜0，即 0＜a＜34时满足要求．综上可知 a ∈0，34. (2)由题意知，0≤12x－1≤1， 解得 2≤x≤4. 因此，函数 f12x－1的定义域为[2,4]．
根据图像知，函数 f(x)的最小值是－1. 单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1]．
[再练一题] 3．对于任意 x∈R，函数 f(x)表示－x＋3，32x＋12，x2－4x＋3 中的较大者， 则 f(x)的最小值是________．
【解析】 如图，分别画出三个函数的图像，得到三个交点 A(0,3)，B(1,2)， C(5,8)．
函数的性质
函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要的性质： (1)利用函数的单调性，可将函数值之间的关系转化为自变量间的关系进行 研究，从而达到化繁为简的目的，特别是比较大小、证明不等式、求值域或最 值等方面的应用较为广泛．判定单调性的方法主要有定义法，图像法． (2)利用奇偶函数图像的对称性，可以减少问题中变量讨论的情况，常能使 求解的问题避免复杂的讨论．
证明：设 x1＜x2≤－1， 则 f(x1)－f(x2)＝23(x1－x2)1－x11x2 ＝23(x1－x2)·x1xx12x－2 1， ∵x1＜x2≤－1， ∴x1－x2＜0，x1x2＞1， x1x2－1>0，因此，(x1－x2)x1xx12x－2 1<0. ∴f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 所以 f(x)在(－∞，－1]上为增加的．
函数图像及其应用
函数的图像是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图 像能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质， 有助于图像正确的画出．函数图像广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题 具有直观、明了、易懂的优点．
对于函数 f(x)＝x2－2|x|. (1)判断其奇偶性，并指出图像的对称性； (2)画此函数的图像，并指出单调区间和最小值． 【精彩点拨】 (1)按照奇、偶函数的定义对 f(x)的奇偶性作出判断；(2)利用 f(x)的对称性画出 f(x)的图像，根据图像写出 f(x)的单调区间和最小值．
[再练一题] 2．设 f(x)是 R 上的偶函数，在区间(－∞，0)上是增加的，f(－2)＝0，若 f(m －1)<0，求 m 的取值范围．
【解】 ∵f(x)是 R 上的偶函数，在区间(－∞，0)上是增加的， ∴f(x)在(0，＋∞)上是减少的， ∵f(－2)＝f(2)＝0，由 f(m－1)<0， ∴|m－1|>2，∴m－1<－2 或 m－1>2， ∴m<－1 或 m>3.
[再练一题] 4．已知函数 f(x)＝ax2＋(2a－1)x－3 在区间－32，2上的最大值为 1，求实 数 a 的值．
【解】 当 a＝0 时，f(x)＝－x－3，f(x)在－32，2上不能取得 1，故 a≠0. f(x)＝ax2＋(2a－1)x－3(a≠0)的对称轴方程为 x0＝1－2a2a. (1)令 f－32＝1，解得 a＝－130， 此时 x0＝－2230∈－32，2， 因为 a＜0，f(x0)最大，所以 f－32＝1 不合适．
【答案】 1
6．(2014·浙江高考)设函数 f(x)＝x－2＋x22，x＋x＞2，0. x≤0， 若 f(f(a))＝2，则 a＝ ________.
【解析】 若 a＞0，则 f(a)＝－a2＜0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得 a＝ 2. 若 a≤0，则 f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1＞0， f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解． 【答案】 2
【答案】 (1)0，34 (2)[2,4]
[再练一题] 1．已知函数 f(2x－1)的定义域为[0,1)，求 f(1－3x)的定义域. 【导学号： 04100036】
【解】 ∵f(2x－1)的定义域为[0,1)，∴0≤x＜1， ∴－1≤2x－1＜1， ∴f(x)的定义域为[－1,1)， 即－1≤1－3x＜1,0＜x≤23. 故函数 f(1－3x)的定义域为0，23.
从图像观察可得函数 f(x)的表达式： x2－4x＋3 x≤0， －x＋3 0＜x≤1，
f(x)＝32x＋12 1＜x≤5， x2－4x＋3 x＞5.
f(x)的图像是图中的实线部分，图像的最低点是点 B(1,2)，所以 f(x)的最小值 是 2.
【答案】 2
分类讨论思想
1)＝x，排除 A，B，C，故选 D. 【答案】 D
2．(2012·福建高考)设 f(x)＝10，，xx>＝00，， －1，x<0，
g(x)＝10， ，xx为 为有 无理 理数 数， ， 则 f(g(π))
的值为( )
A．1
B．0
C．－1
D．π
【解析】 根据题设条件，∵π 是无理数，∴g(π)＝0， ∴f(g(π))＝f(0)＝0. 【答案】 B
(2)令 f(2)＝1，解得 a＝34， 此时 x0＝－13∈－32，2. 因为 a＞0，x0＝－13∈－32，2，且距右端点 2 较远， 所以 f(2)最大，合适．
(3)令 f(x0)＝1，得 a＝12(－3±2 2)， 验证后知只有 a＝12(－3－2 2)才合适． 综上所述，a＝34，或 a＝－12(3＋2 2).
7．(2012·重庆高考)若 f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数 a＝________. 【解析】 由 f(x)＝(x＋a)(x－4)得 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a， 若 f(x)为偶函数，则 a－4＝0，即 a＝4. 【答案】 4
设函数 f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数 f(x)的最小值． 【精彩点拨】 分抛物线的对称轴 x＝1 在区间[t，t＋1]的左侧、内部和右 侧三种情况讨论．
【规范解答】 f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴 为 x＝1.
当 t＋1＜1，即 t＜0 时，函数图像如图(1)，函数 f(x)在区间[t，t＋1]上为减 函数，所以最小值为 f(t＋1)＝t2＋1；
【解析】 A：令 h(x)＝f(x)·g(x)，则 h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－ h(x)，
∴h(x)是奇函数，A 错． B：令 h(x)＝|f(x)|g(x)，则 h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)， ∴h(x)是偶函数，B 错． C：令 h(x)＝f(x)|g(x)|，则 h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x) 是奇函数，C 正确． D：令 h(x)＝|f(x)·g(x)|，则 h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝ h(x)， ∴h(x)是偶函数，D 错．
(1)若函数 y＝ax23＋x4－ax7＋3的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是 ________．
(2)已知函数 f(x)的定义域为[0,1]，则函数 f12x－1的定义域为________．
【精彩点拨】 (1)对任意 x∈R，都有 ax2＋4ax＋3≠0 成立； (2)由 0≤12x－1≤1 解出 x 的范围即为所求．
分类讨论思想的实质是：把整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而 增加题设条件，在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨 论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不 漏．本章中涉及到分类讨论的知识点为：二次函数在闭区间上的最值问题、函 数性质中求参数的取值范围问题等．