工程力学-第十九章

π2E λ2
（2）中柔度杆（ λs λ λp ），可利用经验公式： σcr a bλ
（3）小柔度杆（ λ λs ），可利用压缩强度公式： σcr σs
将以上三种柔度范围内压杆的临界压力与柔度之间的关系在直角坐标内绘出，所得到的图线称为压 杆的临界应力总图，如图所示。其中曲线的 BC 段适用于大柔度杆，CD 段适用于中柔度杆，DE 段适用 于小柔度杆。
3．压杆稳定性的计算
压力形式的压杆稳定性条件 F
Fcr
nst
Fcr
应力形式的压杆稳定性条件 σ
σcr
nst
σcr
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谢谢！
19.2.3 欧拉公式的适用范围
由于欧拉公式是由挠曲线近似微分方程导出的，而该方程只在杆内应力 σcr 不超过材料的比例极限 σp
时才成立。因此，欧拉公式的适用范围是 σcr
π2E
2
σp
由上式可得 λ
π
E σp
λp
只有满足的压杆，才能利用欧拉公式计算其临界应力，这类压杆通常称为大柔度杆，或细长杆。
19.2.1 欧拉公式
几种常见细长压杆的长度因数与临界载荷：
支承方式
挠曲线形状
临界载荷Fcr
长度因数μ
ห้องสมุดไป่ตู้
两端铰支
π2EI
1.0
l2
19.2.1 欧拉公式
支承方式
挠曲线形状
临界载荷Fcr
长度因数μ
一端自由 一端固定
π2EI
(2l)2
2.0
19.2.1 欧拉公式
几种常见细长压杆的长度因数与临界载荷：
nst
19.3 压杆稳定性的计算
解：（1）柔度计算 i
I A
πd 4 / 64 πd 2 / 4
d 4
10
mm
由于压杆的约束类型为一端自由、一端固定约束，故 μ 2 。于是 λ μl 2 400 80 i 10
（2）临界压力计算
由于 λs λ λp ，为中柔度杆，可采用临界压力经验公式计算
第十九章
压杆稳定
CONTNET
01 压杆稳定的概念 03 压杆稳定性的计算
02 欧拉公式 04 提高压杆稳定性的措施
01
压杆稳定的概念
19.1 压杆稳定的概念
如图所示，两横截面积相等的塑性杆件，当短粗杆受压时，在压力F由小增大的过程中， 杆件始终保持原有的直线平衡形式，直至压应力σ达到屈服强度极限σs而导致杆件发生屈服破 坏为止。而细长杆受压时，当压力F比较小时，杆件可以保持直线稳定形式，但当F超过某一个 临界值Fcr时，杆件将突然变弯，失去承载能力。杆件在轴向载荷作用下失去原有平衡状态的 现象，称为失稳。
19.2.3 欧拉公式的适用范围
例 19-1 如图所示的压杆，其直径 d 160 mm ，弹性模量 E 205 GPa ， λp 100 。试计算该杆的临
界力 Fcr。
解：（1）柔度计算 i
I A
πd 4 / 64 πd 2 / 4
d 4
由于压杆的约束类型为两端铰支约束，故 μ 1 。
于是
λs
λ
λp
满足该式的受压杆件称为中柔度杆（或中长杆）。
对于 λ λs 的压杆称为小柔度杆（或短粗杆），压杆将发生强度失效，而不是失稳。若要形式上用稳 定性问题来讨论，可令临界应力 σcr σs
19.2.4 临界应力经验公式
综上所述，各类柔度杆的临界应力计算公式归纳如下：
（1）大柔度杆（ λ
λp
），可利用欧拉公式： σcr
Fcr
(a bλ)A (a bλ)
πd 2 4
(574 3.74480) 3.14 402 4
345(kN)
（3）稳定性校核 Fcr 345 kN 86.25 kN F 85 kN
nst
4
因此，千斤顶螺杆的稳定性是足够的。
04
提高压杆稳定性的措施
19.4 提高压杆稳定性的措施
用直线型经验公式计算临界应力的一般表达式为
σcr a bλ
19.2.4 临界应力经验公式
上述经验公式也有一定的适用范围。例如，对塑性材料（合金钢、铝合金等）制成的压杆，要求其
临界应力不超过屈服极限，即 σcr a bλ σs
令
λs
a σs b
，它是能够使用该经验公式的最小柔度。于是，得到经验公式的适用范围为
03
压杆稳定性的计算
19.3 压杆稳定性的计算
为了确保压杆能安全工作，压杆的轴向压力必须满足下式 F
Fcr
nst
Fcr
式中，Fcr 为压杆临界力；nst 为压杆的工作稳定安全系数；[Fcr]为稳定许用压力。
用安全系数形式表示的压杆稳定性条件，在工程中还常用应力形式来表示 σ
σcr
nst
σcr
19.4 提高压杆稳定性的措施
（3）减小压杆的长度 因柔度λ与长度l成正比，应尽可能减小压杆的长度l，或者在压杆之间增设支座以降低λ， 提高压杆的稳定性。
（4）改善约束条件 压杆两端的支承越牢固，长度系数μ越小，临界应力越大。因此，压杆与其他构件连接时， 应尽可能制成刚性连接或采用较紧密的配合。
05
本章小结
本章总结
1．失稳的概念
杆件在轴向载荷作用下失去原有平衡状态的现象，称为失稳。
本章总结
2．欧拉公式
（1）利用欧拉公式计算临界压力
Fcr
π2 EI ( μl )2
（2）利用欧拉公式计算临界应力 σcr
π2E λ2
（3）杆件柔度 λ μl i
（4）欧拉公式的适用范围 λ
π
E σp
λp
本章总结
压杆的稳定性取决于其临界应力的大小，临界应力越高，则其承载能力越大，压杆就越稳 定。综合压杆的材料性能、长度、截面形状和尺寸以及两端的支承情况等因素对临界应力的影 响，可从以下几方面着手来提高压杆的稳定性。
（1）合理选择材料 对于大柔度杆（细长杆），其临界应力与材料的弹性模量E成正比，因此应选用E值较高的 材料，来提高压杆的稳定性。但是，如果压杆是由钢材制成的，则由于各种钢材的E值都很接 近，所以选用优质钢材作为压杆材料并不能提高压杆的稳定。
式中，σcr 为临界应力；[σcr]为稳定许用应力。
nst
19.3 压杆稳定性的计算
例 19-2 如图所示的螺旋千斤顶，最大长度 l 400 mm ，最大起重量 P 85 kN ，螺杆的螺纹内径 d 40 mm ， 材料为 45 钢，对应的中柔度杆临界压力经验公式中的参数分别为： λs 60 ， λp 100 ； a 574 MPa ， b 3.744 MPa ，规定的稳定安全系数 nst 4 。试校核其稳定性。
02
欧拉公式
19.2.1 欧拉公式
研究压杆的稳定性问题，关键在于确定压杆的临界力，从而建立压杆的稳定条件，进行稳 定计算。通过试验及理论分析，得出不同约束条件下细长压杆临界力的计算公式，即欧拉公式
Fcr
π2 EI ( μl )2
E——材料的弹性模量； I——压杆横截面的惯性矩； μ——长度系数，其值随杆端约束类型的不同而变化，如表19-1所示； l——压杆长度。
支承方式
挠曲线形状
临界载荷Fcr
长度因数μ
两端固定
π 2 EI (0.5l)2
0.5
19.2.1 欧拉公式
支承方式
挠曲线形状
临界载荷Fcr
长度因数μ
一端固定 另一端铰支
π2EI
0.7
(0.7l)2
19.2.2 临界应力与柔度
临界应力是指压杆处于临界状态时横截面上的平均应力，用 σcr 表示。
由此可知，细长压杆的临界应力为 σcr
19.4 提高压杆稳定性的措施
（2）合理选择截面 在截面面积一定的情况下，应尽可能地将材料放在离形心较远处，以增加截面的惯性矩I， 从而减小压杆的柔度。例如，可用型钢组成的空心方截面代替实心方截面，用圆环截面代替实 心圆截面等，如图所示。
压杆总是在柔度大的纵向平面内失稳，为提高压杆的抗失稳能力，应使其各个纵向平面内 的柔度相同或相近。因此，当压杆两端的支座是固定端或球铰时，合理的截面形状应是圆形或 方形。
19.1 压杆稳定的概念
如图所示压杆，在杆端施加轴向力F。当F不大时，压杆将保持直线平衡状态，当给一个微 小的横向干扰力F'时，压杆只会发生微小的弯曲，横向力消除后，杆经过几次摆动后仍恢复到 原来直线平衡的位置，即压杆处于稳定的平衡状态，如图所示。
当轴向力F增大到某一值Fcr时，撤去横向力后，杆将保持弯曲的平衡状态，而无法恢复其 原有的直线平衡状态，如图所示，即此时杆件由原来稳定的平衡状态，过渡到不稳定的平衡状 态，这种过渡称为临界状态；Fcr称为临界力。
Fcr A
π2E ( μl )2
I A
式中，I/A 仅与截面形状及尺寸有关，若用 i 表示，则有 i I ，i 称为截面的惯性半径，单位为 mm。 A
于是，临界应力可改写为 σcr
π2E
μl
2
i
令
λ
μl i
，则有 σcr
π2E λ2
式中，λ称为压杆的柔度或细长比，它集中反映了 压杆的长度、约束条件、截面形状和尺寸等因素对临 界应力的影响。
λ
μl i
4μl d
4 1 5 160 103
125
λp
100
因此，该杆属于大柔度杆，可以利用欧拉公式计算临界力。
（2）临界力计算 Fcr
π2 EI ( μl )2
π2 EA λ2
π2
205 109 1252
π 0.162 4
2 600(kN)
19.2.4 临界应力经验公式
实验指出，若压杆的柔度小于λp，则临界应力σcr大于材料的比例极限σp，这时欧拉公式 已不能使用，属于超出比例极限的压杆稳定问题。对超过比例极限后的压杆失稳问题，工程上 一般采用以试验结果为依据的经验公式。