2020年高中数学第五章数系的扩充与复数5.4复数的几何表示分层训练湘教版选修2-2

5．4 复数的几何表示
一、基础达标
1．复数z ＝3＋i 3
对应的点在复平面第几象限
( )
A ．一
B ．二
C ．三
D ．四 答案 D
解析 由i 2
＝－1，z ＝3－i ，对应点坐标为(3，－1)． 2．当2
3
<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 D
解析 复数z 在复平面内对应的点为Z (3m －2，m －1)． 由2
3
<m <1，得3m －2>0，m －1<0.所以点Z 位于第四象限．故选D. 3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是
( )
A ．4＋8i
B ．8＋2i
C ．2＋4i
D ．4＋i
答案 C
解析 A (6,5)，B (－2,3)，∵C 为AB 的中点，∴C (2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.
4．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是
( )
A ．实轴
B ．虚轴
C ．原点
D ．原点和虚轴
答案 B
解析 a ＝0时，z ＝b i ，复平面内的点z 的轨迹是虚轴．
5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于________．
答案 －1＋3i
解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，a 2
＋32
＝2，解得a ＝±1， 故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.
6．若复数(－6＋k 2
)－(k 2
－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________．
答案 (2，6)∪(－6，－2) 解析 ∵z 位于第三象限，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
k 2
－6<0，
4－k 2
<0，∴2<k <6或－6<k <－2.
7．复数z ＝a 2
－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，求|z |.
解 ∵复数z ＝a 2
－1＋(a ＋1)i 是纯虚数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
－1＝0，a ＋1≠0.
解得a ＝1，∴z ＝2i.∴|z |＝2.
二、能力提升 8．若θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应
的点在
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 B 解析 ∵θ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫3π4，5π4，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B.
9．设A 、B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋tan B i 对应的点位于复平面的
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 B
解析 因A 、B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B ＞π2，即A ＞π
2
－B ，
sin A ＞cos B ．cos B －tan A ＝cos B －sin A
cos A ＜cos B －sin A ＜0，又tan B ＞0，
所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B.
10．复数z ＝
3＋ilog 3 1
2
对应的点位于复平面内的第________象限．
答案 三 解析 3<0，log 3 1
2
<0，
∴z ＝
3＋ilog 3 1
2
对应的点位于复平面内的第三象限．
11．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2
－8m ＋15)＋(m 2
＋3m －28)i 在复平面内的对应点：
(1)位于第四象限；(2)位于x 轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．
解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
－8m ＋15>0
m 2
＋3m －28<0，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m <3或m >5
－7<m <4，∴－7<m <3.
(2)要使点位于x 轴负半轴上，须
⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0
，∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
3<m <5m ＝－7或m ＝4
，∴m ＝4.
(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2
＋3m －28≥0， 解得m ≥4或m ≤－7.
12．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →
与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .
解 根据题意可画图形如图所示： 设点Z 的坐标为(a ，b )， ∵|OZ →
|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°， ∴a ＝－1，b ＝3，
即点Z 的坐标为(－1，3)，∴z ＝－1＋3i. 三、探究与创新
13．试研究方程x 2
－5|x |＋6＝0在复数集上解的个数．
解 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则原方程可化为
a 2－
b 2－5a 2＋b 2＋6＋2ab i ＝0
⇒⎩⎨
⎧
a 2－
b 2－5a 2＋b 2＋6＝02ab ＝0
，
⇒⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝±2，
b ＝0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝±3，
b ＝0
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝0，
b ＝±1，
即x ＝±2或x ＝±3或x ＝±i. 故方程在复数集上的解共有6个．。