21版：一元二次不等式及其解法（步步高）

§1.6 一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象
方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)
有两相等实根x 1＝x 2＝－b
2a
没有实数根
ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集
{x |x <x 1或x >x 2}
⎩⎨⎧⎭⎬
⎫x ⎪
⎪
x ≠－b 2a {x |x ∈R }
ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集 {x |x 1< x <x 2} ∅ ∅
概念方法微思考
1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集与其对应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象有什么关系？
提示 ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集就是其对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分所对应的x 的取值范围．
2．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件是什么？ 提示 显然
a ≠0.ax 2＋bx ＋c >0
恒成立的条件是⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，
Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是
⎩
⎪⎨⎪⎧
a <0，
Δ<0.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )
(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × )
(3)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )
(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ ) 题组二 教材改编
2．已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( ) A ．{x |－2<x <3} B ．{x |－2≤x ≤3} C ．{x |x <－2或x >3} D ．{x |x ≤－2或x ≥3} 答案 B
解析 ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0，∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．
由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}． 故选B.
3．y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，
令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋7
3
，
∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.
题组三 易错自纠
4．(多选)关于x 的不等式(ax －1)(x ＋2a －1)>0的解集中恰有3个整数，则a 的值可以为( ) A ．－1
2 B ．1 C ．－1 D ．2
答案 AC
解析 由题意知a <0，则排除B ，D ；
对于A 项，当a ＝－1
2
时，⎝⎛⎭⎫－12x －1(x －2)>0， 即(x ＋2)(x －2)<0，解得－2<x <2，恰有3个整数，符合题意；对于C 项，当a ＝－1时，(－x －1)(x －3)>0，即(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，恰有3个整数，符合题意，故选AC. 5．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4,1)
解析 由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0， 得－4<x <1.
6．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，1
3，则a ＋b ＝________. 答案 －14
解析 ∵x 1＝－12，x 2＝1
3
是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，
∴⎩⎨⎧
a 4－b
2
＋2＝0，a 9＋b
3＋2＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－12，
b ＝－2，
∴a ＋b ＝－14.
7．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．
答案 (－2,2]
解析 当a －2≠0时，由⎩
⎪⎨⎪⎧
a －2<0，
Δ<0，得－2<a <2；
当a ＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立， ∴－2<a ≤2.即实数a 的取值范围是(－2,2].
一元二次不等式的求解
命题点1 不含参的不等式
例1 (2019·济宁模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，则∁R A 等于( ) A ．(1,2)
B ．[1,2]
C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)
D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
答案 A
解析 由题意可得，∁R A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，表示为区间形式即(1,2)．故选A. 命题点2 含参不等式
例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0， 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1
a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1
a <x <1；
当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解得1<x <1
a
.
综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |1<x <1a ；
当a ＝1时，不等式的解集为∅；
当a >1时，不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
1a
<x <1. 思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练1 (1)(2020·北京市海淀区期末)不等式x 2＋2x －3<0的解集为( ) A ．{x |x <－3或x >1} B ．{x |x <－1或x >3} C ．{x |－1<x <3} D ．{x |－3<x <1}
答案 D
解析 由x 2＋2x －3<0得(x ＋3)(x －1)<0，解得－3<x <1.故选D.
(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪
－12
<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．
答案 {x |x ≥3或x ≤2}
解析 由题意，知－12，－1
3
是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，
所以⎩⎨⎧
－1
2＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a
，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1
a ，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－6，
b ＝5.
故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，
解得x ≥3或x ≤2.
(3)解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )． 解 原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a
3
.
当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a
3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭
⎫－a
4，＋∞.
一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R 上的恒成立问题
例3 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围． 解 当m ＝0时，f (x )＝－1<0恒成立．
当m ≠0时，则⎩
⎪⎨⎪⎧
m <0，
Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.
综上，－4<m ≤0，故m 的取值范围是(－4,0]． 命题点2 在给定区间上的恒成立问题
例4 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．
解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋3
4m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：
方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋3
4m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <6
7；
当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.
综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
m ⎪⎪
m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋3
4>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6
x 2－x ＋1
.
因为函数y ＝6
x 2－x ＋1＝
6⎝⎛
⎭⎫x －122＋34
在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <6
7即可． 所以m 的取值范围是⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
m ⎪⎪
m <67
.
若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“f (x )<5－m 无解”，如何求m 的取值范围？
解 若f (x )<5－m 无解，即f (x )≥5－m 恒成立， 即m ≥6
x 2－x ＋1
恒成立，
又x ∈[1,3]时，⎝⎛⎭
⎫6
x 2－x ＋1max ＝6，得m ≥6，
即m 的取值范围为[6，＋∞)．
若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“存在x ，使f (x )<5－m 成立”，如何求m 的
取值范围？
解 由题意知f (x )<5－m 有解，
即m <6
x 2－x ＋1
有解，则m <⎝⎛⎭⎫6x 2－x ＋1max ，
又x ∈[1,3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)． 命题点3 给定参数范围的恒成立问题
例5 若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1,2]恒成立，求实数x 的取值范围．
解 设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，
则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－x －1<0，
2x 2－2x －1<0，
解得1－32<x <1＋32，
故x 的取值范围为⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－32，1＋
32
. 思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． 跟踪训练2 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.
(1)若当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2，∴实数a 的取值范围是[－6,2]．
(2)由题意可转化为x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立， 则(x 2＋ax ＋3－a )min ≥0(x ∈[－2,2])．
令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，x ∈[－2,2]， 函数图象的对称轴方程为x ＝－a
2
.
当－a 2<－2，即a >4时，g (x )min ＝g (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤7
3
，舍去；
当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 24－a ＋3≥0，解得－6≤a ≤2，
∴－4≤a ≤2；
当－a
2>2，即a <－4时，g (x )min ＝g (2)＝7＋a ≥0，
解得a ≥－7，∴－7≤a <－4.
综上可得，满足条件的实数a 的取值范围是[－7,2]． (3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.
当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．
只需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋4x ＋3≥0，
x 2＋6x ＋3≥0，
解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.
∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．
设方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，Δ>0)有不相等的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，相应的二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，方程的根即为二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)． 表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)
分布情况
两个负根即两根都小于
0(x 1<0，x 2<0)
两个正根即两根都大于
0(x 1>0，x 2>0)
一正根一负根
即一个根小于0，一个根大于0(x 1<0<x 2)
大致图象(a >0)
得出的结论
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0，
－b
2a <0，f (0)>0
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0，
－b
2a >0，f (0)>0
f (0)<0
大致图象(a <0)
得出的结论
⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，
－b
2a <0，f (0)<0
⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，
－b
2a >0，f (0)<0
f (0)>0
综合结论(不讨论a ) ⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0，－b
2a <0，a ·f (0)>0
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0，－b
2a >0，a ·f (0)>0
a ·f (0)<0
表二：(两根与k 的大小比较)
分布情况
两根都小于k 即x 1<k ，x 2<k
两根都大于k 即x 1>k ，x 2>k
一个根小于k ，一个根大于k 即x 1<k <x 2
大致图象(a >0)
得出的结论
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0，
－b
2a <k ，f (k )>0
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0，
－b
2a >k ，f (k )>0
f (k )<0
大致图象(a <0)
得出的结论
⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，
－b
2a <k ，f (k )<0
⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，
－b
2a >k ，f (k )<0
f (k )>0
综合结论(不讨
论a )
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0，－b
2a <k ，a ·f (k )>0
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0，－b
2a >k ，a ·f (k )>0
a ·f (k )<0
表三：(根在区间上的分布) 分布情况
两根都在(m ，n )内
两根有且仅有一根在(m ，n )
一根在(m ，n )内，另一
内(图象有两种情况，只画了一种)
根在(p ，q )内，m <n <p <q
大致图象(a >0)
得出的结论
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0，
f (m )>0，
f (n )>0，
m <－b
2a <n
f (m )·f (n )<0
⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )>0，
f (n )<0，f (p )<0，f (q )>0
或
⎩
⎪⎨⎪
⎧
f (m )f (n )<0，f (p )f (q )<0 大致图象(a <0)
得出的结论
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0，
f (m )<0，
f (n )<0，
m <－b
2a <n
f (m )·f (n )<0
⎩⎪⎨⎪⎧
f (m )<0，f (n )>0，f (p )>0，f (q )<0
或
⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )f (n )<0，
f (p )f (q )<0
综合结论(不讨论a ) ⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0，
f (m )·f (n )>0，m <－b 2a <n
f (m )·f (n )<0
⎩
⎪⎨⎪
⎧
f (m )f (n )<0，f (p )f (q )<0
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m ，n )外，即在区间两侧x 1<m ，x 2>n ，(图形分别如下)需满足的条件是
(1)a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )<0，
f (n )<0；
(2)a <0时，⎩
⎪⎨⎪⎧
f (m )>0，
f (n )>0.
对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m ，n )内有以下特殊情况：
(ⅰ)若f (m )＝0或f (n )＝0，则此时f (m )·f (n )<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m ，n )内，从而可以求出参数的值．如方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f (1)＝0，所以mx 2－(m ＋2)x ＋2＝(x －1)(mx －2)，另一根为2m ，由1<2m <3得2
3
<m <2即为所求；
(ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m ，n )内，即Δ＝0，此时由Δ＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．如方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0有且只有一根在区间(－3,0)内，求m 的取值范围．分析：①由f (－3)·f (0)<0即(14m ＋15)(m ＋3)<0得出－3<m <－15
14；②由Δ＝0即16m 2－
4(2m ＋6)＝0得出m ＝－1或m ＝3
2，当m ＝－1时，根x ＝－2∈(－3,0)，即m ＝－1满足题意；
当m ＝32时，根x ＝3∉(－3,0)，故m ＝32不满足题意．综上分析，得出－3<m <－15
14或m ＝－1.
例1 已知二次方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围． 解 设f (x )＝(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)， 由(2m ＋1)·f (0)<0 ，即(2m ＋1)(m －1)<0， 解得－1
2
<m <1，即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，1. 例2 已知方程2x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0有两个不等正实根，求实数m 的取值范围． 解 设f (x )＝2x 2－(m ＋1)x ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0，
－
－(m ＋1)
2×2>0，f (0)>0
⇒ ⎩⎪⎨⎪
⎧
(m ＋1)2－8m >0，m >－1，m >0
⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
m <3－22或m >3＋22，
m >0⇒0<m <3－22或m >3＋22，即m 的取值范围为 (0,3－22)∪(3＋22，＋∞)．
例3 已知二次函数f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋3m ＋3与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围． 解 由(m ＋2)·f (1)<0 ，
即(m ＋2)·(2m ＋1)<0 ⇒－2<m <－12，
即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－1
2.。