高考线性规划问题的题型归纳
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ｙ≥ ｏ，
的最小 值为 一４，则 ｋ的值 为— — 一 ． 解析 若 ｋ≥Ｏ，。＝Ｙ一 没有最 小值 ，不 合题 意 ；若 ｋ＜
０，直线ｚ：ｙ一 在点Ａ（一言，０）处取得最小值，所以０一
（一千Ｊ 一４，解得ｋ＝— １·
四 、综 合 型 【２０１７江苏 ｌ３】在平 面直角坐标系 中 ，Ａ（一１２，０）， Ｂ（０，６），点 Ｐ在 圆 ０： ＋ｙ２＝５０上 ，若 ·Ｐ百≤２Ｏ，则点 Ｐ
平方 为 ＋ 的最小值 ，原点到点 （２，３）距离 的平方 为 ＋
ｙ２的最大值，因此， ＋ 的取值范围为『—４ ，１３１．
三、约束条 件或 目标 函数含参 （一 ）目标函数含参
ｉ．ｘ—ｙ≥０，
【２０１５山东 ，理 ６】已知 ，Ｙ满足 ｛ ＋，，≤２，若 ｚ＝戤 ＋Ｙ 【ｙ≥ｏ
，
面 积 ＪｓＡ ｃＤ＝ｓ△Ａ鲫 ＋Ｊｓ△脚 ＝ 一×２×２＋ 一×２×２＝４．
二 、约束条件和 目标 函数不 舍参 （一 ）截距型 形如 ＝似 ＋６，，，求这类 目标 函数 的最 值常将 函数 转化
为直线的斜截式：Ｙ＝一詈 ＋－ｇ －，通过求直线的截距音的
最 值间接求 出 的最值．
●
解 题 技巧 与 方 法
·
·
●
● ●
高考线憔规划ｌ问题 题 纳
◎包静 怡 （常州市北郊 高级 中学，江 苏 常 州 ２１３０３１）
【摘 要 】教 师和学生对线性规 划问题如果没有 引起足够 的重视 ，会使得这块 内容成为知 识 网络 中的 一个 漏 洞，进 而 成 为高考 中的一个 失分 点．
【关键词】线性规划；题型归纳
一 般地 ，在线性 约束 条件 下求 线性 目标 函数 的最 大值 或最小值 问题称为线性规划 问题 ．在高三复 习 中发现 ，有些 学生对 于基本知识一知半解 ，解题 步骤生搬 硬套 ，导致 解题 中思路 混乱 ，答案错误 百出 ，使得 这块 内容成 为高考 中 的一 个失分 点．
斜 率． 【２０１５新课标全国卷 Ｉ，理 １５】若 ，Ｙ满足约束条件
， 一 １≥ ０，
｛ 一，，≤ｏ， 则÷的最大值为
Ｌ ＋Ｙ 一４≤ ０．
解析 做 出可行域 ，由斜率 的意义 知 ，上 是 可行域 内动
点与原点连线 的斜 率 ，点 Ａ（１，３）与原 点 连线 的斜 率 最大 ，
思想解决． 近些年 高考 在线性规划 的考 查 中也 在 由知 识立 意 向着
能力立意 的方 向转 变．从基本 的求线 性 目标 函数 的最 值 问 题 向非线性 的 目标 函数 、求 参数 取值 范 围等 一些 综合 题 转 变 ，从单 一的知识点考 查向多种 知识的综 合考查 转 变 ，对学 生的能力要 求也随之提高．
故 上 的最 大值 为 ３．
戈
（三）距离型 形如 ＝（ 一Ⅱ） ＋（Ｙ—ｂ） ，表示动点 （ ，Ｙ）与定点 （ａ， ｂ）间距 离的平方．
ｒ 一 ２ｙ＋４≥Ｏ，
【２０１６江苏 １２ １已知实数 ，Ｙ满足｛２ｘ Ｙ一２≥０，则 【３ －ｙ一３≤０
．
＋ 的取值范 围是— 一 解 析 画出可行域知 ，原点到直线 ２ ＋Ｙ一２＝０距离 的
根据 高考的考查情 况 ，下 面对 线性 规 划 的题 型做 一些 归 纳 ．
一 、 线 性 规 划 所 表 示 的 区域 面 积
＋Ｙ 一２Ｉ ＞ ０，
，
【２０１４安徽，文 １３】不等式组｛【 ＋２ｙ一４≥０，表示的平
＋３ｙ一 ２≥ ０ ，
面 区域 的面积为— —一 解析 画 出不 等式 组所 表示 的平 面 区域 ，则 其 表示 的
的最大值为 ４，则 ａ＝— —一 解析 画出可行 域知 ，若 ：＝ ＋Ｙ的最大值 为 ４，则最
优 解可能为 ＝１，Ｙ＝１或 ＝２， ＝０，经 检验 ， ＝２，Ｙ＝０是 最优解 ，此时 ａ＝２； ＝１，Ｙ＝１不是最优解．
（：二）约束条件含参
ｒ ＋ ｙ 一２＞ ＿－０ ，
【２０１４北京，理６】若 ，Ｙ满足｛【ｋｘ—Ｙ＋２≥０，且ｚ＝，，一
ｆ ≤ ３，
【２０１７北京 ，文 ４】若 ，Ｙ满足｛ｌ ＋ｙ≥２，则 ＋２ｙ的最
，，≤ ，
大值为— — 解析 画出可行域知 ，ｚ＝ ＋２ｙ经 过可 行域 的 Ａ（３，３）
时 ，取得 最大值 ，目标 函数的最大值 为 ：３＋２×３＝９． （二 ）斜率型
形 如 ｚ＝ ，表示 动 点 （ ，，，）与定 点 （口，６）间连 线 的
的横 坐标的取值范 围是— — 一 解 析 设 Ｐ（ ，Ｙ）由 ＰＡ ·胎 ≤２０得 ２ —Ｙ＋５≤０，由
｛２ ｘ：＋－ ｙ＋：５５＝。０，’可得ｊｌ＝ｆ（－５，＿５）’Ⅳ（＂），由２ —ｙ＋５≤。
得 Ｐ点在 圆左边弧 ＭＮ上 ，结合 限制条 件 一５√２≤ ≤５√２，
可得点 Ｐ的横坐标 取值 范围为 ［一５√２，１］． 本题结合 直线与圆 、平 面向量 的知识 ，运用 线性规 划 的
Байду номын сангаас
数 学 学 习与 研 究 ２０１８
的最小 值为 一４，则 ｋ的值 为— — 一 ． 解析 若 ｋ≥Ｏ，。＝Ｙ一 没有最 小值 ，不 合题 意 ；若 ｋ＜
０，直线ｚ：ｙ一 在点Ａ（一言，０）处取得最小值，所以０一
（一千Ｊ 一４，解得ｋ＝— １·
四 、综 合 型 【２０１７江苏 ｌ３】在平 面直角坐标系 中 ，Ａ（一１２，０）， Ｂ（０，６），点 Ｐ在 圆 ０： ＋ｙ２＝５０上 ，若 ·Ｐ百≤２Ｏ，则点 Ｐ
平方 为 ＋ 的最小值 ，原点到点 （２，３）距离 的平方 为 ＋
ｙ２的最大值，因此， ＋ 的取值范围为『—４ ，１３１．
三、约束条 件或 目标 函数含参 （一 ）目标函数含参
ｉ．ｘ—ｙ≥０，
【２０１５山东 ，理 ６】已知 ，Ｙ满足 ｛ ＋，，≤２，若 ｚ＝戤 ＋Ｙ 【ｙ≥ｏ
，
面 积 ＪｓＡ ｃＤ＝ｓ△Ａ鲫 ＋Ｊｓ△脚 ＝ 一×２×２＋ 一×２×２＝４．
二 、约束条件和 目标 函数不 舍参 （一 ）截距型 形如 ＝似 ＋６，，，求这类 目标 函数 的最 值常将 函数 转化
为直线的斜截式：Ｙ＝一詈 ＋－ｇ －，通过求直线的截距音的
最 值间接求 出 的最值．
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解 题 技巧 与 方 法
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高考线憔规划ｌ问题 题 纳
◎包静 怡 （常州市北郊 高级 中学，江 苏 常 州 ２１３０３１）
【摘 要 】教 师和学生对线性规 划问题如果没有 引起足够 的重视 ，会使得这块 内容成为知 识 网络 中的 一个 漏 洞，进 而 成 为高考 中的一个 失分 点．
【关键词】线性规划；题型归纳
一 般地 ，在线性 约束 条件 下求 线性 目标 函数 的最 大值 或最小值 问题称为线性规划 问题 ．在高三复 习 中发现 ，有些 学生对 于基本知识一知半解 ，解题 步骤生搬 硬套 ，导致 解题 中思路 混乱 ，答案错误 百出 ，使得 这块 内容成 为高考 中 的一 个失分 点．
斜 率． 【２０１５新课标全国卷 Ｉ，理 １５】若 ，Ｙ满足约束条件
， 一 １≥ ０，
｛ 一，，≤ｏ， 则÷的最大值为
Ｌ ＋Ｙ 一４≤ ０．
解析 做 出可行域 ，由斜率 的意义 知 ，上 是 可行域 内动
点与原点连线 的斜 率 ，点 Ａ（１，３）与原 点 连线 的斜 率 最大 ，
思想解决． 近些年 高考 在线性规划 的考 查 中也 在 由知 识立 意 向着
能力立意 的方 向转 变．从基本 的求线 性 目标 函数 的最 值 问 题 向非线性 的 目标 函数 、求 参数 取值 范 围等 一些 综合 题 转 变 ，从单 一的知识点考 查向多种 知识的综 合考查 转 变 ，对学 生的能力要 求也随之提高．
故 上 的最 大值 为 ３．
戈
（三）距离型 形如 ＝（ 一Ⅱ） ＋（Ｙ—ｂ） ，表示动点 （ ，Ｙ）与定点 （ａ， ｂ）间距 离的平方．
ｒ 一 ２ｙ＋４≥Ｏ，
【２０１６江苏 １２ １已知实数 ，Ｙ满足｛２ｘ Ｙ一２≥０，则 【３ －ｙ一３≤０
．
＋ 的取值范 围是— 一 解 析 画出可行域知 ，原点到直线 ２ ＋Ｙ一２＝０距离 的
根据 高考的考查情 况 ，下 面对 线性 规 划 的题 型做 一些 归 纳 ．
一 、 线 性 规 划 所 表 示 的 区域 面 积
＋Ｙ 一２Ｉ ＞ ０，
，
【２０１４安徽，文 １３】不等式组｛【 ＋２ｙ一４≥０，表示的平
＋３ｙ一 ２≥ ０ ，
面 区域 的面积为— —一 解析 画 出不 等式 组所 表示 的平 面 区域 ，则 其 表示 的
的最大值为 ４，则 ａ＝— —一 解析 画出可行 域知 ，若 ：＝ ＋Ｙ的最大值 为 ４，则最
优 解可能为 ＝１，Ｙ＝１或 ＝２， ＝０，经 检验 ， ＝２，Ｙ＝０是 最优解 ，此时 ａ＝２； ＝１，Ｙ＝１不是最优解．
（：二）约束条件含参
ｒ ＋ ｙ 一２＞ ＿－０ ，
【２０１４北京，理６】若 ，Ｙ满足｛【ｋｘ—Ｙ＋２≥０，且ｚ＝，，一
ｆ ≤ ３，
【２０１７北京 ，文 ４】若 ，Ｙ满足｛ｌ ＋ｙ≥２，则 ＋２ｙ的最
，，≤ ，
大值为— — 解析 画出可行域知 ，ｚ＝ ＋２ｙ经 过可 行域 的 Ａ（３，３）
时 ，取得 最大值 ，目标 函数的最大值 为 ：３＋２×３＝９． （二 ）斜率型
形 如 ｚ＝ ，表示 动 点 （ ，，，）与定 点 （口，６）间连 线 的
的横 坐标的取值范 围是— — 一 解 析 设 Ｐ（ ，Ｙ）由 ＰＡ ·胎 ≤２０得 ２ —Ｙ＋５≤０，由
｛２ ｘ：＋－ ｙ＋：５５＝。０，’可得ｊｌ＝ｆ（－５，＿５）’Ⅳ（＂），由２ —ｙ＋５≤。
得 Ｐ点在 圆左边弧 ＭＮ上 ，结合 限制条 件 一５√２≤ ≤５√２，
可得点 Ｐ的横坐标 取值 范围为 ［一５√２，１］． 本题结合 直线与圆 、平 面向量 的知识 ，运用 线性规 划 的
Байду номын сангаас
数 学 学 习与 研 究 ２０１８