第十二讲 圆锥曲线的共同问题

第十二讲 圆锥曲线的共同问题
【教学目标】
知识与技能
通过本节的学习，掌握圆锥曲线的共同性质，理解焦点、准线的意义。

过程与方法
教材通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线，通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质。

情感、态度与价值观 通过本节的学习，可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力，感受圆锥曲线的统一美。

【教学重点】：通过共同特点求圆锥曲线的方程 【教学难点】： 通过共同特点解决综合问题
【考点链接】：能够掌握圆锥曲线的共同问题，会设计模型并解决 [知识梳理]
1.共渐进线的双曲线标准方程为为参数，≠0）；
2.计算焦点弦长可利用上焦半径公式，
一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则弦长 ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想； 3.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p ，焦准距
为p; 双曲线（a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b;
4.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax 2+Bx 2＝1；
5.抛物线y 2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2),则有如下结论：（1）＝x 1+x 2+p;（2）y 1y 2=－p 2
，x 1x 2=;
6.过椭圆（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB ，则
，过右焦
点的弦
；
7.对于y 2=2px(p ≠0)抛物线上的点的坐标可设为（，y 0）,以简化计算;
[典型例题]
x a b y ±=λλ(22
22=-b
y a x λ]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()1
1(1
1212212122
y y y y k
y y k -+⋅+
=-⋅+
=a
b 2
2c
b 2
122
22=-b
y a x AB 4
2p 122
22=+b
y a x )(221x x e a AB ++=)(221x x e a AB +-=p
y 22
例1（1）若椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的焦点，且过抛物线y2=8x的焦点，则
该椭圆的方程是（）
A．B．C．D．
（2）若椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的焦点，且过抛物线y2=8x的焦点，则该椭圆的方程是（）
A．B．C．D．
（3）方程所表示的曲线是（）
A．双曲线B．焦点在x轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的椭圆D．以上答案都不对
（4）若椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的焦点，且过抛物线y2=8x的焦点，则该椭圆的方程是（）
A．B．C．D．
（5）已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，
则△F1PF2的形状是（）
A．锐角三角形B．B直角三角形C．钝有三角形D．等腰三角形
例2.已知双曲线（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个公共的焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的标准方程是．
例3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且b，a，c成等差数列，b≥c，已知B（-1，0），C（1，0）．
（1）求顶点A的轨迹L；
（2）是否存在直线m，使m过点B并与曲线L交于不同的两点P、Q，且|PQ|恰好等于原点到直线m的距离的倒数？若存在，求出m的方程，若不存在，说明理由．
例4.已知圆锥曲线C：（t≠0且t≠2），其两个不同的焦点F1、F2同在x轴
上．
（1）试根据t不同的取值范围来讨论C所表示的圆锥曲线；
（2）试在曲线C上求满足的点P的个数，并求出相应的t的取值范围．
例5.已知双曲线x2-2y2=2的左、右两个焦点为F1，F2，动点P满足|PF1|+|PF2|=4．（I）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设过M（3，0）的直线l交轨迹E于A、B两点，求以线段OA，OB 为邻边的平行四边形OAPB的顶点P的轨迹方程；
（Ⅲ）（理）设C（a，0），若四边形CAGB为菱形（A、B意义同（Ⅱ）），求a的取值范围．
例6.已知曲线C上动点P（x，y）到定点F1（，0）与定直线l1：x=的距离之比为常数．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若过点Q（1，）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，求弦AB所在的直线方程；（3）以曲线C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与曲线C交于点M与点N，求的最小值，并求此时圆T的方程．
参数答案
1.分析：求出抛物线的焦点坐标及双曲线的两焦点坐标，得到椭圆的焦点坐标，得到c的值，然后根据椭圆的几何性质得到a与b的关系，设出关于b的椭圆方程，把抛物线的焦点坐标代入即可求出b的值即可．
解答：解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），
双曲线x2-y2=1的焦点坐标为（，0），（-，0），
所以椭圆过（2，0），且椭圆的焦距2c=2 ，
即c=，则a2-b2=c2=2，即a2=b2+2，
所以设椭圆的方程为：+=1，
把（2，0）代入得：=1即b2=2，
则该椭圆的方程是：．
故选A
点评：此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征、椭圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．
2.分析：求出抛物线的焦点坐标及双曲线的两焦点坐标，得到椭圆的焦点坐标，得到c的值，
然后根据椭圆的几何性质得到a与b的关系，设出关于b的椭圆方程，把抛物线的焦
点坐标代入即可求出b的值即可．
解答：解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），
双曲线x2-y2=1的焦点坐标为（，0），（-，0），
所以椭圆过（2，0），且椭圆的焦距2c=2 ，
即c=，则a2-b2=c2=2，即a2=b2+2，
所以设椭圆的方程为：+=1，
把（2，0）代入得：=1即b2=2，
则该椭圆的方程是：．
故选A
点评：此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征、椭圆的标准方程等基础知识，考查运
算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．
3.分析：先根据192=361，推断出192010=3611005=360m+1，其中m为正整数．进而利用诱导公式可分别求得sin（192010）°=sin1°，
cos（192010）°=cos1°，进而根据三角函数的基本性质推断出答案．
解答：解：192=361，
192010=3611005=360m+1，其中m为正整数．
∴sin（192010）°=sin1°＞0，
cos（192010）°=cos1°＞0．
且sin1°＜cos1°
∴所表示的曲线是焦点在y轴的椭圆．
故选C
点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，诱导公式的化简求值，椭圆的简单性质．解题的关键是找到192010和360°之间的关系．
4.分析：求出抛物线的焦点坐标及双曲线的两焦点坐标，得到椭圆的焦点坐标，得到c的值，然后根据椭圆的几何性质得到a与b的关系，设出关于b的椭圆方程，把抛物线的焦点坐标代入即
可求出b的值即可．
解答：解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），
双曲线x2-y2=1的焦点坐标为（，0），（-，0），
所以椭圆过（2，0），且椭圆的焦距2c=2 ，
即c=，则a2-b2=c2=2，即a2=b2+2，
所以设椭圆的方程为：+=1，
把（2，0）代入得：=1即b2=2，
则该椭圆的方程是：．
故选A
点评：此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征、椭圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．
5.分析：由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不妨令P在双曲线的右支上，根据椭圆和双曲线的性质以及勾股定理即可得到结论．
解答：解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不
妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2②
①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=4
又|F1F2|=4，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|，
则△F1PF2的形状是直角三角形
故选B．
点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来．
6.分析：利用抛物线的焦点坐标确定，双曲线中c的值，利用双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，确定a的值，从而可求双曲线的标准方程．
解答：解：抛物线y2=8x得出其焦点坐标（2，0），故双曲线的c=2，
∵双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1
∴a=1
∴b2=c2-a2=3
∴双曲线的标准方程是
故答案为：
点评：本题考查抛物线的标准方程与性质，考查双曲线的标准方程，确定几何量是关键．
7.分析：（1）根据b，a，c成等差数列可得b+c=2a即|AB|+|AC|=4＞|BC|=2再结合b≥c可得点A 的轨迹L是左半个椭圆（去掉左顶点）然后根据椭圆的定义即可写出点A的轨迹方程．
（2）可假设存在直线m满足题意则根据弦长公式可知要求|PQ|需将直线m与曲线L的方程联立消去y然后根据根与系数的关系求出x1+x2，x1•x2再代入弦长公式即可求出|PQ|但在写出过点B 的直线时吥不知斜率存在与否故需对直线m的斜率存在与否进行讨论．
解答：解：（1）由题设知b+c=2a，|BC|=2
∴|AB|+|AC|=b+c=2a=2|BC|=4
又∵b≥c
∴由椭圆的定义知点A的轨迹L是左半个椭圆（去掉左顶点）即轨迹方程为：=1（-2＜x≤0）
（2）假设存在直线m满足题意
①当m斜率存在时设m的方程为y=k（x+1），把它代入椭圆方程，消去y得（4k2+3）x2+8k2x-12+4k2=0．
设P（x1，y1）Q（x2，y2）则x1+x2=-，x1•x2=
又∵x1≤0，x2≤0
∴x1x2≥0
∴k2≥3，
∴|PQ|==
设原点O到直线m的距离为d，则d=
∵|PQ|=
∴=
∴k2=＜3，这与k2≥3矛盾，表明直线m不存在
②当斜率不存在时m的方程为x=-1，此时|PQ|=|y1-y2|=3，d=1，|PQ|≠，
所以不满足题设
综上，满足题设的条件不存在
点评：本题主要对直线与圆锥曲线的综合问题的考察．解题的关键是第一问要求出点A所满足的关系式|AB|+|AC|=4＞|BC|=2然后再根据椭圆的定义再结合限制条件即可求出点A的轨迹方程而对于第二问常用的解题思路是先假设这样的直线m存在然后根据题中的条件看是否能求出此直线但再利用弦长公式求|PQ|时需将直线m与曲线L的方程联立消去y然后根据根与系数的关系求出x1+x2，x1•x2故需对直线m的斜率的存在性进行讨论！
8.分析：（1）只可能是焦点在x轴上的椭圆或双曲线，利用椭圆与双曲线的标准方程即可得出；
（2）满足的P在以F1F2为直径的圆周上．再根据t的取值范围，可得当t∈（0，2）时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，可得p的个数．再根据b与c的关系即可得出p点的个数．
解答：解：（1）只可能是焦点在x轴上的椭圆或双曲线，
当，即时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
当t2-2t＜0即t∈（0，2）时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线．
（2）满足的P在以F1F2为直径的圆周上
当t∈（0，2）时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，P有4个
当时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆
此时a2=16，b2=t2-2t，c2=16-（t2-2t）
若b＜c，即t∈（-2，0）∪（2，4）时，P有4个
若b=c，即t=-2或t=4时，P有2个
若b＞c，即时，P不存在．
点评：熟练掌握椭圆、圆与双曲线的标准方程及其性质、分类讨论的思想方法等是解题的关键．9.分析：（I）因为动点P满足|PF1|+|PF2|=4，利用椭圆定义，可知动点P的轨迹为椭圆，且该椭圆以F1、F2为焦点，长轴为4，再利用椭圆方程的求法求出．
（Ⅱ）用消参法来求即可，可先设过M（3，0）的直线l方程为y=k（x-3），于椭圆方程联立，得到含A，B点坐标的方程，再根据P是以线段OA，OB 为邻边的平行四边形OAPB的顶点，则点P坐标（x，y）满足x=x1+x1，y=y1+y2，消去参数，即可求出点P的轨迹方程．
（Ⅲ）要想满足四边形CAGB为菱形，只需|CA=CB，即C点在线段AB中垂线上时，由（Ⅱ）得，x1+x1，y1+y2用参数k表示，则线段线段AB中点D坐标可用k表示，再带参数求直线AB 的垂直平分线方程，垂直平分线于x轴的交点为C点，用k表示，再求范围即可．
解答：解：（Ⅰ）双曲线的方程可化为，则|F1F2|=
∵|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|=
∴P点的轨迹E是以F1、F2为焦点，长轴为4的椭圆
由；
∴所求轨迹方程为
（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），过M（3，0）的直线l方程为y=k（x-3）
由得（1+4k2）x2-24k2x+36k2-4=0，△＞0，即k2＜时，x1+x2= x1x2=
又设动点P（x，y），则
消去参数k，得P点轨迹方程为x2+4y2-6x=0
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，线段AB中点D坐标为（，），即D（，）
过点D垂直于AB的直线方程为y-=（x-）
令y=0，得x=
依题意，当CA=CB，即C点在线段AB中垂线上时，四边形CAGB为菱形，
∴a=（k2＜）
∴a的取值范围为（0，1）
点评：本题考查了椭圆定义，消参法求轨迹方程一击直线与椭圆位置关系的应用，计算量较大，做题时应用心．
10.分析：（1）利用动点P（x，y）到定点F1（，0）与定直线l1：x=的距离之比为常数，建立方程，化简，即可得到椭圆的标准方程；
（2）由题意，可知斜率k存在，设l：y-=k（x-1）代入椭圆方程，消去y可得一元二次方程，利用过点Q（1，）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，即可求直线的斜率，从而可得直线的方程；
（3）点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，用坐标表示出，利用配方法，确定最小值为-，可得M的坐标，从而可求圆T的方程．
解答：解：（1）∵动点P（x，y）到定点F1（，0）与定直线l1：x=的距离之比为常数．∴；
所以椭圆的标准方程为．
（2）由题意，可知斜率k存在，设l：y-=k（x-1）代入椭圆方程，消去y可得（1+4k2）x2-4k （2k-1）x+（1-2k）2-4=0
因为过点Q（1，）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，所以，解得k=-．
此时△＞0，所以直线l：y-=（x-1），即l：y=．
（3）点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0．
由于点M在椭圆C上，所以．
由已知T（-2，0），则，，
∴=．
由于-2＜x1＜2，故当x1=-时，取得最小值为-．
此时，故M（-，），又点M在圆T上，代入圆的方程得到．
故圆T的方程为：．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．
[思维训练]
1.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则动点P（m，n）的轨迹为（）
A．椭圆的一部分B．双曲线的部分C．抛物线的一部分D．直线的部分
2.已知曲线C：，下列叙述中错误的是（）
A．垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点
B．直线y=kx+m（k，m∈R）与曲线C最多有三个交点
C．曲线C关于直线y=-x对称
D．若P1（x1，y1），P2（x2，y2）为曲线C上任意两点，则有
3.已知曲线C：，下列叙述中错误的是（）
A．垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点
B．直线y=kx+m（k，m∈R）与曲线C最多有三个交点
C．曲线C关于直线y=-x对称
D．若P1（x1，y1），P2（x2，y2）为曲线C上任意两点，则有
4.当时，方程x2sinα-y2cosα=1表示的曲线可能是．（填上你认为正确的序号）
①圆；②两条平行直线；③椭圆；④双曲线；⑤抛物线．
5.抛物线y=x2-2xsinα+1的顶点在椭圆x2+my2=1上，这样的抛物线有且只有两条，则m 的取值范围是．
6.已知抛物线y2=4x，椭圆经过点，它们在x轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上的点，设T的坐标为（t，0）（t是已知正实数），求P与T之间的最短距离．
[挑战自我]
1.已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线l1：x=-2的距离为d1，到点F（-1，0）
的距离为d2，且．
（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B（点A或B不在x轴上），分别过A、B点作直线l1：x=-2的垂线，对应的垂足分别为M、N，试判断点F与以线段MN为直径的圆的位置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况）；
（3）记S1=S△FAM，S2=S△FMN，S3=S△FBN（A、B、M、N是（2）中的点），问是否存在实数λ，使S22=λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
进一步思考问题：若上述问题中直线、点F（-c，0）、曲线C：
，则使等式S22=λS1S3成立的λ的值仍保持不变．请给
出你的判断______ （填写“不正确”或“正确”）（限于时间，这里不需要举反例，或证明）．
2.现有变换公式T：可把平面直角坐标系上的一点P（x，y）变换到这一平面
上的一点P′（x′，y′）．
（1）若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2．求该椭圆C的标准方程，并求出其两个焦点F1、F2经变换公式T变换后得到的点F1′和F2′的坐标；
（2）若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P'与点P重合，则称点P是曲线M 在变换T下的不动点．求（1）中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标；
（3）在（2）的基础上，试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的椭圆和双曲线在变换T下的不动点的存在情况和个数．
3.已知二次曲线C k的方程：．
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
（2）对于点P（-1，0），是否存在曲线C k交直线y=x+1于A、B两点，使得？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（3）已知C k与直线y=x+1有公共点，求其中实轴最长的双曲线方程．
4.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为2，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重
合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足，若λ∈[]，求直线AB的斜率的取值范围．
5.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点S（0，）的动直线L交椭圆C于A、B两点．问：是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求点T坐标；若不存在，说明理由．
答案
1.分析：由椭圆双曲线方程可求得焦点坐标，进而根据有相同的焦点，建立等式求得m和n的关系即可．
解答：解：由椭圆，其焦点为（，0），
由双曲线，其焦点为（，0），
椭圆与双曲线有相同的焦点，
∴16-n2=8+m，（8+m≥0）这是一个抛物线的方程
故选C
点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征的简单性质，属基础题．解答的关键是对圆锥曲线的定义与标准方程的正确理解．
2.分析：设曲线C上的任一点M的坐标，进而求得其关于直线y=-x对称点，分别代入曲线方程可知两个曲线方程截然不同，进而可推断曲线C不可能关于直线y=-x对称．
解答：解：设曲线C上的任一点M的坐标为（x，y），x＞0，y＞0则有为双曲方程，焦点在x轴
且则其关于直线y=-x的对称点M′为（-y，-x）代入曲线方程中得为双曲线方程，焦点在y轴，
则可知曲线C不可能关于直线y=-x对称
故选C．
点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生对圆锥曲线基本知识的掌握．
3.分析：设曲线C上的任一点M的坐标，进而求得其关于直线y=-x对称点，分别代入曲线方程可知两个曲线方程截然不同，进而可推断曲线C不可能关于直线y=-x对称．
解答：解：设曲线C上的任一点M的坐标为（x，y），x＞0，y＞0则有为双曲方程，焦点在x轴
且则其关于直线y=-x的对称点M′为（-y，-x）代入曲线方程中得为双曲线方程，焦点在y轴，
则可知曲线C不可能关于直线y=-x对称
故选C．
点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生对圆锥曲线基本知识的掌握．
4.分析：逐一检验答案，当sinα=0 或cosα=0时，方程表示直线．当sinα=-cosα＞0时，方程表示圆．在sinα≠-cosα＞0时，方程表示椭圆，
解答：解：当sinα=0时，cosα=-1，方程x2sinα-y2cosα=1表示y2=1即y=±1方程表示两条平行直线；
cosα=0时sinα=1，方程x2sinα-y2cosα=1表示x2=1，x=±1，方程表示两条平行直线
当sinα 与cosα符号相反时，在sinα=-cosα＞0时，方程表示圆
在sinα≠-cosα＞0时，方程表示椭圆．
不论sinα 与cosα怎样取值，曲线不可能是抛物线，不可能是双曲线．
故答案为：①②③．
点评：本题考查曲线与方程的概念．解答的关键是利用特殊角的取值进行排除筛选．
5.分析：根据题意求出抛物线的顶点坐标，再代入椭圆的方程，即可得到cos2α=0或cos2α=，又因为对应的sinα有2个不同的值，
所以看到cos2α=无解，进而得到答案．
解答：解：由题意可得：抛物线y=x2-2xsinα+1的顶点坐标为：（sinα，cos2α），
因为抛物线y=x2-2xsinα+1的顶点在椭圆x2+my2=1上，
所以将顶点代入椭圆方程可得：sin2α+mcos4α=1，即mcos4α=cos2α，
解得：cos2α=0或cos2α=，
因为这样的抛物线有且只有两条，
所以对应的sinα有2个不同的值，
所以cos2α=无解，即0＜m＜1．
故答案为：（0，1）
点评：本题主要考查圆锥曲线的性质，以及三角函数的有关性质，此题综合性较强属于中档题．6.分析：（1）先求出抛物线的焦点坐标，进而设出椭圆方程，再根据焦点坐标求出b，a，即可求椭圆的方程；
（2）先利用设P（x，y），则|PT|═（-2≤x≤2），再对t的取值进行讨论：①
当时，②当时，x=2，求得P与T之间的最短距离即可．
解答：解：（1）抛物线的焦点为（1，0）…（2分）
设椭圆方程为，则…（4分）
∴a2=4，b2=3
∴椭圆方程为…（6分）
（2）设P（x，y），则
=（-2≤x≤2）…（8分）
①当时，x=4t，即时，；
②当时，x=2，即P（2，0）9时，|PT|min=|t-2|10；
综上，…（14分）
（注：也可设解答，参照以上解答相应评分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．第一问涉及到了求抛物线的焦点坐标，在求抛物线的焦点坐标时，一定注意先把抛物线方程转化为标准形式，再求解，避免出错．
7.分析：（1）设动点为P（x，y），依据题意，有，由此能求出动点P所在曲线C的方程．
（2）点F在以MN为直径的圆的外部．理由：由题意可知，当过点F的直线l的斜率为0时，不合题意，故可设直线l：x=my-1，联立方程组，可化为（2+m2）y2-2my-1=0，则点
A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足．由此能推导出∠MFN为锐角，即点F 在以MN为直径的圆的外部．
（3）由，，知
==，
==．由此知存在实数λ=4使得结论成立．解答：解：（1）设动点为P（x，y），（1分）
依据题意，有，化简得．（3分）因此，动点P所在曲线C的方程
是：．（4分）
（2）点F在以MN为直径的圆的外部．
理由：由题意可知，当过点F的直线l的斜率为0时，不合题意，故可设直线l：x=my-1，
如图所示．（5分）
联立方程组，可化为（2+m2）y2-2my-1=0，
则点A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足．（7分）
又AM⊥l1、BN⊥l1，可得点M（-2，y1）、N（-2，y2）．
点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断．
因，，则=
．（9分）
于是，∠MFN为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部．（10分）
（3）依据（2）可算出，，则==，
==．（14分）
所以，S22=4S1S3，即存在实数λ=4使得结论成立．（15分）
对进一步思考问题的判断：正确．（18分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
8.分析：（1）先根据题a2-b2=2，a2+b2=4，联立方程组，求的a和b，则椭圆方程方程可得．根据椭圆的性质可气的焦点坐标，代入变换公式中即可求的点F1′和F2′的坐标．
（2）依题意设不动点P的坐标为（m，n）依题意则有m+n=m，求的m和n的关系代入椭圆方程中求的n和m，则不动点坐标可得．
（3）设曲线M在变换T下的不动点P（x，y）分情况看椭圆和双曲线时，先根据变换公式求的x和y的关系，代入椭圆或双曲线方程看方程得解．
解答：解：（1）依题意可知解得a2=3，b2=1
∴椭圆方程为，焦点坐标为F1（，0），F2（-，0）
依题意F1′的坐标为（，），F2′（-，-）
（2）依题意设不动点P的坐标为（m，n）依题意则有m+n=m，整理的m=3n，代入椭圆方程得，解得n=，m=或n=-，m=-
∴不动点坐标为（，）（-，-）
（3）由（2）可知，曲线M在变换T下的不动点P（x，y）需满足
情形一：据题意，不妨设椭圆方程为（m＞0，n＞0），
则有．
因为m＞0，n＞0，所以恒成立，
因此椭圆在变换T下的不动点必定存在，且一定有2个不动点．
情形二：设双曲线方程为（mn＜0），
则有，因为mn＜0，
故当9n+m=0时，方程无解；
当9n+m≠0时，故要使不动点存在，则需，
因此，当且仅当时，双曲线在变换T下一定有2个不动点．否则不存在不动点．
进一步分类可知，
（i）当n＜0，m＞0时，．
即双曲线的焦点在
轴上时，需满足时，双曲线在变换
下一定有2个不动点．否则不存在不动点．
（ii）当n＞0，m＜0时，．
即双曲线的焦点在y轴上时，需满足时，双曲线在变换T下一定有2个不动点．否则不存在不动点．
点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生对圆锥曲线知识的综合掌握．
9.分析：（1）当且仅当时，方程表示椭圆；当且仅当（9-k）（4-k）＜0，方程表示双曲线．
（2）联立，得：（13-2k）x2+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0有两个实根，△=4（9-k）•2（k-4）（k-6）＞0⇒k＜4或6＜k＜9．由此能够导出k不存在．（3）因为c k为双曲线，所以4＜k＜9，由△≥0，可得6≤k＜9．由此能求出实轴最长的双曲线方程．
解答：解：（1）当且仅当即 k＜4时，方程表示椭圆；--------------------------（2分）当且仅当（9-k）（4-k）＜0，即4＜k＜9时，方程表示双曲线．---------------------（4分）
（2）联立
得：（13-2k）x2+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0有两个实根-----------------------------（6分）
△=4（9-k）•2（k-4）（k-6）＞0⇒k＜4或6＜k＜9----------------（8分）
设：A（x1，y1），B（x2，y2），由，
得到----------------（10分）
⇒，
得到 k=4，所以k不存在-----------------------------------（12分）
（3）因为c k为双曲线，所以4＜k＜9由△≥0，可得6≤k＜9--------------------------（15分）
双曲线实轴2a=9-k≤3，所以最长时k=6，此时双曲线方程为---（18分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
10.分析：这两章的内容都是通过建立直角坐标系，用代数中的函数思想来解决图形中的几何性质．
解答：解：这两章的内容都是通过建立直角坐标系，用代数中的函数思想来解决图形中的几何性质．
故答案为用代数的方法研究图形的几何性质
点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生对解析几何本质的理解．
11.分析：（1）先由短轴长为2求出b，再由右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合c，从而得到长半半轴长a，写出椭圆的标准方程．
（2）先AB的方程y=k（x+4），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量坐标公式利用函数的单调性即可求得直线AB的斜率的取值范围，从而解决问题．
解答：解：（1）由已知b=，c=1，a=2，所以椭圆的方程（4分）
（2），D，A，B三点共线，D（-4，0），且直AB的斜率一定存在，所以AB的方程y=k（x+4），
与椭圆的方联立得（3+4k2）y2-24ky+36k2=0
△＞0，k2＜．（6分）
A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2=，y1y2=①
又得：（x1+4，y1）=λ（x2+4，y2），y1=λy2②．
将②式代入①式，消去y2得：（9分）
当λ∈[]，时，是减函数
∴，
解得
∴直线AB的斜率的取值范围是（12分）
点评：本题主要考查了椭圆的定义和标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题、平面向量的运算
等．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，突出考查了数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法．
12.分析：（Ⅰ）由消去y，得：x2+（2b-4）x+b2=0，因直线y=x+b与抛物线y2=4x
相切，b=1．圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：，当L与x轴垂直时，
以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1．由，解得两圆公共点（0，1）．因此所求的点T如果存在，只能是（0，1）．由此能够导出以AB为直径的圆恒过点T（0，1）．
解答：解：（Ⅰ）由消去y，得：x2+（2b-4）x+b2=0，
因直线y=x+b与抛物线y2=4x相切，∴△=（2b-4）2-4b2，∴b=1．…（2分）
∵圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴，…（4分）
故所求椭圆方程为．…（5分）
（Ⅱ）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：，
当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1
由
解得，
即两圆公共点（0，1）因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）…（7分）
（ⅰ）当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
（ⅱ）若直线L斜率存在时，可设直线L：y=kx-．
由，消去y得：（18k2+9）x2-12kx-16=0，
记点A（x1，y1）、B（x2，y2），则，…（9分）
∵，
∴
=
=
=
=0．
∴TA⊥TB，…（11分）
综合（ⅰ）（ⅱ），以AB为直径的圆恒过点T（0，1）．…（12分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．。