高三数学下期中试题(附答案)(5)

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河南省中牟县第一高级中学2024届高三5月月考(期中)数学试题

河南省中牟县第一高级中学2024届高三5月月考（期中）数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（）A ．12B ．122C 162D ．1632．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（） A ．21B ．22C ．11D ．123．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F 到直线20bx ay -=的2，则E 的离心率为( ) A 3B ．12C 2D 2 4．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++，下列结论正确的是（） A ．平均数为20，方差为4 B ．平均数为11，方差为4 C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为85．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（）． A ．()ln f x x x = B ．()x x f x e e -=- C ．()sin 2f x x =D ．3()f x x x =-6．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值为( )A ．152- B ．512+ C ．512- D ．512+或512- 7．已知非零向量a ，b 满足()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a 与b 的夹角为（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 8．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点5,5P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．210B ．1010C ．7210D ．310109．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（）A ．-1B ．1C ．0D ．210．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 11．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（）A ．{}|2x x >B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x ≥12．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( ) A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省南充市阆中中学2024年高三下学期期中考试(数学试题理)试题

四川省南充市阆中中学2024年高三下学期期中考试（数学试题理）试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量()1,2a =-，(),1b x x =-，若()2//b a a -，则x =（） A ．13B ．23C ．1D ．32．在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（） A ．12πB ．21π2C ．41π4D ．10π3．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞内单调递减，()2log3a f =，sin 5b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2314c f ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 满足（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<4．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）5．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．240B ．264C ．274D ．2826．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（） A ．2B ．0C ．1-D ．17．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（） A ．1112- B 31 C ．221D ．328．已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（） A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或39．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知ABC 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=（） A ．14B ．12C ．10D ．811．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（） A ．43i +B ．43i -C ．43i -+D ．43i --12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024学年湖北省荆门市龙泉中学高三下期中考试(数学试题理)试题

2024学年湖北省荆门市龙泉中学高三下期中考试（数学试题理）试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（） A ．42B ．21C ．7D ．33．定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（） A ．23B ．1C ．43D ．24．已知函数2,0()2,0x xx f x ex x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范围是（） A ．2(0,)3eB ．2(,0)3e-C．( D．5．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( )A．3B．3-C．3±D ．136．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（） A ．A B A ⋃=B ．R RC B C A ⊆C ．AB =∅D ．R R C A C B ⊆7．已知函数()(),12,1xe xf x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（）A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭B ．(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭8．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（） A ．312+ B ．512+ C ．32D ．51+9．设复数z 满足31ii z=+，则z =（）A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122i -- 10．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对11．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（）A ．10,10⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 12．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x xf xg x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（） A ．(1,1)-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省赣州市十八县市二十四校2024届高三下学期期中联考数学试题(解析版)

2024年赣州市十八县（市）二十四校期中联考高三数学试卷说明：1.全卷满分150分，考试时间120分钟.2.全卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.【详解】因为可得，由可得：或，解得：或因为或，所以.故选：C .2. 已知复数，则（）A.B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据共轭定义可得，即可根据复数的加减运算得，由模长公式即可求解.【详解】因为，所以，所以故选：D3. 已知命题：，：，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件{}24A x x =∈≤R {}11B x x =∈+>RA B = [)0,2(]2,0-(]0,2[)2,0-,A B 24x ≤22x -≤≤11x +>11x +>11x +<-0x ><2x -{|22},{|2A x x B x x =-≤≤=<-0}x >(0,2]A B ⋂=2i z =-2z z -=2i z =+223i z z -=-2i z =+2(42i)(2i)23i z z -=--+=-2z z -==p ()()21220x x+-<q lg 0x <p qC. 既不充分也不必要条件D. 充要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的性质，分别求得的范围，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】因为：，可得，解得，又由，可得，所以是的必要不充分条件.故选：B.4. 已知一个圆柱形容器轴截面是边长为3的正方形，往容器内注水后水面高度为2，若再往容器中放入一个半径为1的实心铁球，则此时水面的高度为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，容器中放入铁球后，总体积为，由此列方程求解即可.【详解】由已知可得圆柱的底面半径为，往容器内注水后水面高度为2，此时放入一个半径为1的实心铁球，铁球的直径为，所以铁球完全没入水中，设此时水面的高度为，则，解得.故选：C5. 已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，则（）A. B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】根据函数的图象关于点中心对称得，求得，再利用对称性得.【详解】因为对任意的都有，且，的x p :(21)(22)0x x p +-<220x -<1x <:lg 0q x <01x <<p q 52737027209V V +水球322h 232343π(2π1π()232h ⨯⨯+⨯=⨯⨯7027h =R ()f x ()1,01x ≥()2f x x a =+()0f =2-()f x ()1,0(1)0f =2a =-(0)(2)f f =-x (1)(1)f x f x +=--(1)0f =所以，所以.故选：A6. 已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（）A.B. 1C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】求得函数在点处的切线方程，得到切线与坐标轴交点坐标，由面积求得.【详解】易知，，且，所以直线，它与两坐标轴的交点坐标分别为和，可得，又，解得.故选：C7. 十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，，用七进制表示68这个数就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（）A. 1 B. 2 C. 5 D. 6【答案】D 【解析】【分析】由题意将题目转化成除以7的余数问题，用二项式知识求解即可.【详解】由题意知个位数应为除以的余数，因为，除以的余数为.故选：D.20a +=⇒2a =-(0)(2)(42)2f f =-=--=-()e xf x a x =+0a >()()0,0f l l 23=a 1223()f x ()()0,0f 2a =()e 1x f x a '=+(0)1f a '=+(0)f a =:(1)l y a x a =++(,0)1aa -+(0,)a 12213a a a ⨯⨯=+0a >2a =26817275=⨯+⨯+1161161167()()()()111101111111101011116717C 71C 711=-=+⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅⋅-+-768. 如图，已知双曲线：（，）的右焦点为，点是双曲线的渐近线上的一点，点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形，且，则双曲线的离心率是（）A.B. 2C.D. 3【答案】A 【解析】【分析】根据题意，得到，求得且，进而得到，进而求得点，代入双曲线方程，化简求得，结合，即可求解.【详解】因为四边形是一个平行四边形，且，可得，即，由双曲线，可得，渐近线方程为，即，可得，且，因为直线，可得，又因为，所以即，代入双曲线方程，可得，整理得，所以，可得，即，C 22221x y a b-=0a >0b >F P C M C OFPM OM OP ⊥C FP OP ⊥PF b =OP a =2(,a abP c c2(,)b ab M c c -C 222b a =e =OFPM OM OP ⊥o 90OPF ∠=FP OP ⊥2222:1x y C a b-=(c,0)F b y x a =0bx ay -=PF b =OP a ==:b OP y x a =2(,)a abP c cMP OF c ==2,a ab M c cc ⎛⎫-⎪⎝⎭2,b ab c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭C 42222221b a b a c b c -=4422b a a c -=()44222b a a a b -=+222b a a -=222b a=所以离心率故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若实数，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C.D.【答案】ABD 【解析】【分析】根据指数函数的性质判断A ，根据对数函数的性质判断B ，利用特殊值判断C，根据幂函数的性质判断D.【详解】因为在定义域上单调递减且，所以，故A 正确；因为在定义域上单调递增且，所以，故B 正确；当时，，故C 不正确；因为上单调递增且，故D 正确.故选：ABD10. 在正三棱柱中，已知，点，分别为和的中点，点是棱上的一个动点，则下列说法中正确的有（）A. 存在点，使得平面 B. 直线与为异面直线C. 存在点，使得D. 存在点，使得直线与平面的夹角为45°【答案】BCDe ==0a b >>0.30.3a b <lg lg a b>1111a b <-->0.3x y =R 0a b >>0.30.3a b <lg y x =()0,∞+0a b >>lg lg a b >10>>>a b 11011a b >>--y =[)0,∞+0a b >>>111ABC A B C -1AA AB =M N 1CC BC P 1AA P 1//B M PBC PN 1CC P 1B M PN ⊥P PN ABC【解析】【分析】作图可知A 错误；B 正确；当点P 与点A 重合时，证明面可得C 正确；当时，由线面角的定义和等腰直角三角形可得D 正确.【详解】A ：如图（1），因为与相交，所以与平面相交，故选项A 错误；B ：如图（1），因为平面，平面，平面，所以直线与为异面直线，故选项B 正确；C ：如图（2），当点P 与点A 重合时，因为，面，面，所以，又，且都在面内，所以面，又面，所以，故选项C 正确；D ：当时，此时为等腰直角三角形，因为面，所以为在面内的投影，所以为所求线面角，所以直线与平面所成的角为，故选项D 正确.PN ^11BB C C AP AN =1B M BC 1B M PBC P ∉11BB C C N ∈11BB C C 1CC ⊂11BB C C PN 1CC PN BC ⊥1BB ⊥ABC PN ⊂ABC 1BB PN ⊥1BB BC B = 11BB C C PN ^11BB C C 1B M ⊂11BB C C 1B M PN ⊥AP AN =PAN △PA ⊥ABC AN PN ABC 45PNA ∠=︒PN ABC o 45故选：BCD.11. 已知函数，其中，，若直线是函数图象的一条对称轴，函数在区间上的值域为，则（）A.B.C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】AD 【解析】【分析】利用正弦函数的对称轴求出，即可判断A 选项；结合正弦函数的图象进行分类讨论即可判断B 选项；利用整体代入法结合正弦函数的单调区间即可判断CD选项.【详解】对于A ，由直线是函数图象的一条对称轴，得到.又因为，得到，故A 正确；对于B ，因为，在区间上的值域为，所以或，且，因此.若，则，或.因为，得，此时，当时，，，不符合条件.()()sin f x x ωϕ=+0ω>0πϕ<<π6x ω=()y f x =()f x []π,2π⎡-⎢⎣π3ϕ=76ω=()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭ϕπ6x ω=()y f x =πππ,Z 62n n ϕ+=+∈0πϕ<<π3ϕ=()()sin f x x ωϕ=+[π,2π][-(π)f =(2π)f =πT >2ππ02ωω>⇒<<(π)f =πππ2π33k ω+=+π2ππ2π,Z 33k k ω+=+∈02ω<<13ω=1π()sin()33f x x =+[π,2π]x ∈1π2π[,π]333x +∈()f x ∈若，则，或.因为，得或或.当时，，当时，，，符合条件.当时，，当时，，，不符合条件当时，，当时，，，不符合条件.综上，当时，，符合条件，故B 错误;对于C ，当时，，所以在区间上不是单调递增，故C 错误；对于D ，当时，，所以在区间上单调递减，故D 正确.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若直线：与圆：交于，两点，则______.【解析】【分析】首先确定圆心和半径，应用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，再由几何法求弦长即可．【详解】由圆，故圆心，半径为，直线，故圆心到直线的距离为，.,(2π)f =π2π3ω+=π2π3k +π2π2π2π,Z 33k k ω+=+∈02ω<<1ω=16ω=76ω=1ω=π()sin(3f x x =+[π,2π]x ∈π4π7π[,333x +∈()[f x ∈-16ω=1π()sin()63f x x =+[π,2π]x ∈1ππ2π[,6323x +∈()f x ∈76ω=7π()sin()63f x x =+[π,2π]x ∈7π3π8π[,6323x +∈()[1,1]f x ∈-1ω=π()sin(3f x x =+π()sin()3f x x =+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π[,]336x +∈()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭π5π4π[,363x +∈()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭l 2y x =C 22230x y x +--=A B AB =l 22:(1)4C x y -+=(1,0)C 2r =:20l x y -=l d ==||AB ∴===．13. 如图是一个弓形（由弦与劣弧围成）展台的截面图，是弧上一点，测得，，，则该展台的截面面积是______.【答案】【解析】【分析】设出弓形所在圆的半径为，用扇形面积减去三角形面积即可.【详解】如图：设展台所在的圆的圆心为，半径为，，则，即，，所以展台的面积为故答案为：14. 已知数列是有无穷项的等差数列，，公差，若满足条件：①是数列的项；②对任意的正整数，都存在正整数，使得.则满足这样的数列的个数是______种.【答案】【解析】【分析】设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，由已知，设，则.因为，所以，即数BC BCA BC BC =15ABC ∠=︒45ACB ∠=︒2m 100π3-R O R 1801545120BAC ︒︒︒∠=--=︒220sin BC R BAC ===∠10R =120BOC ∠=︒2211100ππ101010.323⋅-⨯⨯=-100π3-{}n a 10a ≥0d >38{}n a ,m n ()m n ≠k m n k a a a =69x {}n a x d +2x d +{}n a m n k a a a =12(),(2)k k a x x d a x x d =+=+()2121k k a a xd k k d -==-⋅0d ≠21x k k Z =-∈列的每一项均是整数，所以数列的每一项均是自然数，且是正整数. 由题意，设，则是数列中的项，所以是数列中的项.设，则，即.因为，故是的约数，进而分类讨论求解即可.【详解】设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，由已知，设，则由等差数列定义得.因为，所以，即数列的每一项均是整数，所以数列的每一项均是自然数，且是正整数.由题意，设，则是数列中的项，所以是数列中的项.设，则，即.因为，故是的约数.所以.当时，，得，故，共种可能；当时，，得，故，共种可能；当时，，得，故，共种可能；当时，，得，故，共2种可能；当时，，得，故，共2种可能；当时，，得，故，共1种可能；当时，，得，故，共1种可能；当时，，得，故，共1种可能.综上，满足题意数列共有（种）.经检验，这些数列均符合题意.故答案为：.的{}n a {}n a d 38k a =138k a d +=+{}n a 38(38)d ⋅+{}n a 38(38)m a d =⋅+38(38)38383738()m k a a d d m k d -=⋅+-=⨯+=-⋅(38)3837m k d --⋅=⨯*38,N m k Z d --∈∈d 3837⨯x {}n a x d +2x d +{}n a m n k a a a =12(),(2)k k a x x d a x x d =+=+()2121k k a a xd k k d -==-⋅0d ≠21x k k Z =-∈{}n a {}n a d 38k a =138k a d +=+{}n a 38(38)d ⋅+{}n a 38(38)m a d =⋅+38(38)38383738()m k a a d d m k d -=⋅+-=⨯+=-⋅(38)3837m k d --⋅=⨯*38,N m k Z d --∈∈d 3837⨯1,2,19,37,219,237,1937,3837d =⨯⨯⨯⨯，1d =138(1)0a k =--≥1,2,,38,39k =⋯138,37,,2,1,0a =⋯392d =1382(1)0a k =--≥1,2,,18,19,20k =⋯138,36,34,,4,2,0a =⋯2019d =13819(1)0a k =-⨯-≥1,2,3k =138,19,0a =337d =13837(1)0a k =--≥1,2k =138,1a =38d =13838(1)0a k =-⨯-≥1,2k =138,0a =237d =⨯138237(1)0a k =-⨯⨯-≥1k =138a =1937d =⨯1381937(1)0a k =-⨯⨯-≥1k =138a =3837d =⨯1383837(1)0a k =-⨯⨯-≥1k =138a ={}n a 392032211169+++++++=69【点睛】首先根据等差数列概念和已知条件列得出的每一项均是自然数，且是正整数，再利用同样思路，由是数列的项得出是的约数，进而分类讨论得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数（，，），函数和它的导函数的图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）已知，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由函数与的图象可得，，再通过图象过点，得到（2）根据倍角公式对进行化简即可求解.【小问1详解】，由图象可以得到：，因为图象过点，，所以，所以，所以.【小问2详解】{}n a d 38{}n a d 3837⨯()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>ππ22ϕ-<<()f x ()f x '()f x ()65fα=π212f α⎛⎫- ⎪⎝⎭'π()2sin(2)6f x x =-2825()f x ()f x '2,2A ω==()f x π(,0)12()65f α=()cos()f x A x ωωϕ=+'2,2A ω==()f x π(,0)12ππ22ϕ-<<π2π12k ϕ⨯+=π6ϕ=-π()2sin(2)6f x x =-由，得，，.16. 已知四棱锥的底面是一个梯形，，，，，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由题意可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明；（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，作出轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小问1详解】设的中点分别为，连接.因为，所以.因为，所以.在梯形中，，所以，，，因此，所以，又，平面，6()5fα=π3sin(265α-=π()4cos(26f x x '=-ππ(2)4cos(4)123f αα'-=-2ππ4cos 2(24[12sin (266αα=-=--2825=P ABCD -//AB DC 90ABC ∠=︒4AB BC ==2CD =3PA PD ==PB PC ==PAD ⊥ABCD C PA D --OP OE ⊥OP AD ⊥OP ⊥ABCD O ,OE OP y z x PAD PAC ,AD BC ,O E ,,OP OE PE PA PD =OP AD ⊥PB PC =BC PE ⊥ABCD AD ==2OP ==1()32OE AB DC =+=PE ==222OP OE PE +=OP OE ⊥OP AD ⊥,OE AD ⊂ABCD，所以平面.又因为平面，所以平面平面.【小问2详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，作出轴，建立空间直角坐标系，则.则，，设平面的法向量，，即，令，得到，，即.设平面的法向量，则，则，令，得到，，即..因为二面角是锐二面角，所以二面角.17. 已知函数（）.（1）当时，求函数的单调递增区间；OE AD O ⋂=OP ⊥ABCD OP ⊂PAD PAD ⊥ABCD O ,OE OP y z x O xyz -(2,1,0),(2,3,0),(2,1,0),(0,0,2)A C D P ---(2,1,2),(4,2,0)AP AD =-=-()4,4,0AC =- PAD 111(,,)m x y z =m AP m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11111220420x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩11x =12y =10z =(1,2,0)m =PAC 222(,,)n x y z =n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩222222200x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩21x =21y =212z =1(1,1,2n = cos ,m n ==C PAD --C PA D --()()()()()2ln 22ln 11f x x x a x a x =--+--+a ∈R 0a =()f x（2）若当时，函数取得极大值，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，，对求导，解不等式即可得出答案；（2）对求导，令，求出，分类讨论，和，求出的单调性和最值即可得出的单调性，即可得出答案.【小问1详解】当时，，，由得，所以函数的单调递增区间是；【小问2详解】，，依题意，存在实数且，使得当时，，当时，.记，则（）.记.①当时，，，在区间上单调递减，存在实数且，使得时，，即，单调递减，因此当时，，当时，，函数在时取得极大值.②当时，，因此，3x =()f x a (3,)+∞(2,)+∞0a =()(2)ln(2)f x x x x =---()f x ()0f x '>()f x ()()g x f x '=()g x '2a >2a =2a <()g x ()f x 0a =()(2)ln(2)f x x x x =---()ln(2)(2)f x x x ->'=()0f x '>3x >()f x (3,)+∞2()ln(2)1af x x a x =-+--'(3)0f '=,m n 23m n ≤<<3m x <<()0f x '>3x n <<()0f x '<()()g x f x '=222122(1)14()2(1)(2)(1)a x a x a g x x x x x -+++=-='----2x >2()2(1)14,(3)42h x x a x a h a =-+++=-2a >(3)0h <13a +>()h x (2,1)a +,m n 23m n ≤<<(,)x m n ∈()0h x <()0g x '<()f x '3m x <<()(3)0f x f ''>=3x n <<()(3)0f x f ''<=()f x 3x =2a =(3)0,13h a =+=()(3)0h x h ≥=即，在区间上单调递增，当时，，不是函数的极大值点.③当时，，，函数在区间上单调递增，当时，，即，函数单调递增，即当时，，因此，不是函数的极大值点.综上，实数的取值范围是.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键点在于能够根据极值点的定义，确定函数在左右的单调性，所以对求导，令，求出，分类讨论，和，求出的单调性和最值即可得出在左右的单调性，即可得出答案.18. 某药厂生产的一种药品，声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效，病人服用该药一个疗程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性没有治愈；若该药对患有该疾病的病人无效，病人服用该药一个疗程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性没有自愈.（1）若该药厂声称的有效率是真实的，利用该药治疗3个患有该疾病的病人，记一个疗程内康复的人数为，求随机变量的分布列和期望；（2）一般地，当比较大时，离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布，若，则可以近似看成随机变量，，其中，，对整数，（），.现为了检验此药的有效率，任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验，如果一个疗程内至少有人康复，则此药通过检验.现要求：若此药的实际有效率为，通过检验的概率不低于0.9772，求整数的最大值.（参考数据：若，则，，）【答案】（1）分布列见解析，数学期望为. （2）【解析】【分析】（1）因为，由二项分布的概率公式求出随机变量的分布列，再由二项分布的均值公式求出；()0g x '≥()f x '(2,)+∞3x >()0f x '>3x =()f x 2a <(3)0h >13a +<()h x (3,)+∞(3,)x ∈+∞()(3)0h x h >>()0g x '>()f x '3x >()(3)0f x f ''>=3x =()f x a (2,)+∞3x =()f x ()()g x f x '=()g x '2a >2a =2a <()g x ()f x 3x =X X n (),X B n p X Y ()2,Y N μσnp μ=()21np p σ=-1k 2k 12k k <()()12120.50.5P k X k P k Y k ≤≤≈-<≤+k 80%k ()2,X Nμσ ()0.6826P X μσμσ-<≤+≈()220.9544P X μσμσ-<≤+≈()330.9974P X μσμσ-<≤+≈ 2.472~(3,0.8)X B X EX（2）康复的人数为随机变量，则，可得出，由正态分布的对称性结合原则求解即可.【小问1详解】记“一个患有该疾病的病人服用该药一个疗程康复”为事件，则，因此，，，，则的分布列为：的数学期望.【小问2详解】若该药品的有效率为，由（1）得，一个疗程内，使用该药后的康复率也为，记康复的人数为随机变量，则，设，设，所以整数的最大值为19. 已知椭圆：（）的左焦点为，上顶点为，的两顶点，是椭圆上的动点.当为椭圆的左顶点，为椭圆的下顶点时，，且的面积1X 1~(100,0.8)X B 2~(80,4)Y N3σA ()0.80.90.20.40.8P A =⨯+⨯=~(3,0.8)X B 0,1,2,3,X =()()()0330C 0.80.20.008P X ===()()()12131C 0.80.20.096P X ===()()()21232C 0.80.20.384P X ===()()()3333C 0.80.20.512P X ===X X123P0.0080.0960.3840.512X ()30.8 2.4E X =⨯=80%80%1X 1~(100,0.8)X B 21000.880,1000.80.216μσ=⨯==⨯⨯=2~(80,4)Y N ()(0.5)0.9772.P X k P Y k ≥≈>-≥所以10.9544(2)10.97722P Y μσ-≥-≈-=因为，0.52802472,72.5,k k μσ-≤-=-⨯=≤所以即k 72C 22221x y a b+=0a b >>F A APQ △P Q C P C Q C tan PAQ ∠=APQ △.（1）求椭圆的方程；（2）若的平分线经过点，求面积的最大值.【答案】（1）（2【解析】【分析】（1）由已知条件和椭圆的性质解方程组可得；（2）设直线方程，由点在角平分线上结合到角公式（或斜率公式）可得；然后设设的方程为，直曲联立，用韦达定理表示化简得到和直线经过定点，再代入方程①得到；最后利用弦长公式表示出三角形的面积再结合基本不等式求出最值.【小问1详解】由条件得，解得，所以椭圆的方程为；【小问2详解】由的平分线经过点，得到的斜率都存在，点的坐标为，可设C PAQ ∠F APQ △2212x y +=12:1,:1AP y k x AQ y k x =+=+F 121k k =PQ y kx m =+121k k =m PQ (0,3)N -24k >,122a a b ⎧=⎪⎨⋅=⎪⎩1a b ==C 2212x y +=PAQ ∠F ,AP AQ A (0,1)，点的坐标为.由已知得到直线斜率存在，设的方程为，，联立方程组，得，①，，由，得到，所以，得，根据韦达定理得，化简得，即或.又当时，直线经过点，不符合题意，因此，，直线经过定点，将代入方程①得，由，解得.面积.，，则，当且仅当时取等号，因此.的12:1,:1AP y k x AQ y k x =+=+F (1,0)-121k k =PQ PQ y kx m =+1122(,),(,)P x y Q x y 22,12y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(12)4220k x kmx m +++-=()()()222Δ4412220km k m =-+->2121222422,1212km m x x x x k k--+==++121k k =1212(1)(1)y y x x --=1212(1)(1)kx m kx m x x +-+-=22121212(1)()(1)k x x k m x x m x x +-++-=222222222(1)(4)22(1)121212m k m km m k m k k k----⋅++-=+++2230m m +-=1m =3-1m =PQ A 3m =-PQ (0,3)N -3m =-22(12)12160k x kx +-+=()22Δ14464210k k =-+>24k >APQ △1212S AN x x =⋅-==t =0t >2889922t S t t t==≤=++t =APQ △【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是能利用“的平分线经过点”这个条件得到到角公式或斜率间的关系.PAQ F。

河北省衡水中学2014届高三下学期期中考试数学(理)试题(含答案)

河北衡水中学2013-2014学年度第二学期期中考试
高三数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一．选择题（每小题5分，共60分。每小题只有一个正确答案。）
1.已知复数，则它的共轭复数等于( )
A． B． C． D．
2．已知集合，，则满足条件的集合的个数为（）
A. B. C. D.
3．甲、乙两位同学，升入高三以来连续五次模拟考试数学单科成绩如下表：
甲
108
112
110
109
111
乙

111
108
108
109
则平均成绩较高与成绩较稳定的分别是（）
A．同学甲，同学甲B．同学甲，同学乙
C．同学乙，同学甲D．同学乙，同学乙
4．已知平面向量的夹角为且，在中，，，为中点，则 ()
A.2 B.4 C.6 D.8
5．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是（）
18．（本小题满分12分）
今年我校高二理科班学生共有800人参加了数学与语文的学业水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，。。。。。800进行编号：
（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的三个人的编号：（下面摘取了第7行至第9行）
A． B. C． D.
6．若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（）
A.4B. C.2D.
7．右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）
A． B． C． D．
8．将一个白球，两个相同的红球，三个相同的黄球摆放成一排。则白球与黄球不相邻的放法有（）
A．10种B．12种C．14种D．16种

北京市海淀区2024届高三下学期期中练习(一模)数学试题(解析版)

海淀区2023—2024学年第二学期期中练习高三数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集{|22}U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，则U A =ð（）A.(2,1)--B.[2,1]--C.(2,1){2}-- D.[2,1){2}-- 【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.【详解】全集{|22}U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，所以[2,1){2}U A =-- ð.故选：D2.若复数z 满足i 1i z =+，则z 的共轭复数是()A.1i --B.1i +C.1i -+D.1i-【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数z 即可求解结果．【详解】解：复数z 满足i 1i z =+，所以()21i 1i 1i1i i i i 1z ++-+====--．所以z 的共轭复数是1i +．故选：B ．3.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若122a a =，公差0,0m d S ≠=，则m 的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求出1a 和d 的关系，代入0m S =计算可得m 的值.【详解】由已知()12122a a a d ==+，得12a d =-，又()()1112022m m m m m S ma d md d --=+=-+=，又0d ≠，所以()1202m m m --+=，解得5m =或0m =（舍去）故选：B.4.已知向量,a b 满足||2,(2,0)a b ==，且||2a b += ，则,a b 〈〉= （）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】将||2a b +=两边同时平方，将条件带入计算即可.【详解】由已知||2,2a b ==，所以()22224222cos ,44a b a b a b a b +=+⋅+=+⨯⨯⨯〈〉+=r r r r r r r r，得1cos ,2a b 〈〉=- ，又[],0,πa b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= .故选：C.5.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点到焦点(的距离比到焦点的距离大b ，则该双曲线的方程为（）A.2214x y -= B.2212x y -= C.2212y x -= D.2214y x -=【答案】D 【解析】【分析】根据题意及双曲线的定义可知2a b =，c =，再结合222+=a b c ，求出,a b ，即可求出结果.【详解】由题知c =，根据题意，由双曲线的定义知2a b =，又222+=a b c ，所以255a =，得到221,4a b ==，所以双曲线的方程为2214y x -=，故选：D.6.设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条直线，且,m l αα⊂⊥.则“l β⊥”是“//m β”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.【详解】l β⊥，且l α⊥，所以//αβ，又m α⊂，所以//m β，充分性满足，如图：满足//m β，,m l αα⊂⊥，但l β⊥不成立，故必要性不满足，所以“l β⊥”是“//m β”的充分而不必要条件.故选：A .7.已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A.1,1B.1,2C.2,1D.2,2【答案】B 【解析】【分析】借助分段函数性质计算可得m ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得n .【详解】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =，0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x -=-，有()3200023x x x -=-，整理可得301x =-，即01x =-，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x -=-++，有()()000l 2g elg 11x x x -+=-+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++-++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++-++>，则()()2lg 1g x x '=-+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+-=>，()02020g =-=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+-⨯=-<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.8.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边在第三象限.则（）A.sin cos tan ααα-≤B.sin cos tan ααα-≥C.sin cos tan ααα⋅<D.sin cos tan ααα⋅>【答案】C 【解析】【分析】对A 、B ：举出反例即可得；对C 、D ：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.【详解】由题意可得sin 0α<、cos 0α<，tan 0α>，对A ：当sin 0α-→时，cos 1α→-，则sin cos 1αα-→，tan 0α→，此时sin cos tan ααα->，故A 错误；对B ：当5π4α=时，1sin cos sinc 5π5π5π0tan 44os 4αα-=-=<=，故B 错误；对C 、D ：22sin sin cos cos cos tan cos ααααααα⋅=⋅=⋅，由1cos 0α-<<，故()2cos 0,1α∈，则2cos tan tan ααα⋅<，即sin cos tan ααα⋅<，故C 正确，D 错误.故选：C.9.函数()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =.设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是（）A.[0,2]B.[3,0][3,4)-C.(5,0][2,4)-D.(4,0][2,3)- 【答案】D 【解析】【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【详解】由(3)0f =，且()f x 为偶函数，故(3)0f -=，由导数性质结合图象可得当()4,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,4x ∈时，()0f x '>，当0x =时，即()00f '=，则由(1)()0f x f x '+⋅≥，有41444x x -<+<⎧⎨-<<⎩，解得43x -<<，亦可得()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩，或()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩，或()10f x +=，或()0f x '=，由()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩可得41304x x -<+<-⎧⎨<<⎩或31404x x <+<⎧⎨<<⎩，即23x <<，由()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩可得31340x x -<+<⎧⎨-<<⎩，即40x -<<，由()10f x +=，可得13x +=±，即2x =或4x =-（舍去，不在定义域内），由()0f x '=，可得0x =，综上所述，关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集为(4,0][2,3)- .故选：D.10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60︒），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O 开始，沿直线繁殖到11A ，然后分叉向21A 与22A 方向继续繁殖，其中21112260A A A ∠=︒，且1121A A 与1122A A 关于11OA 所在直线对称，112111221112A A A A OA ==….若114cm OA =，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r （*N r ∈，单位：cm ）至少为（）A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在11OA 方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算公式，即可判断答案.【详解】由题意可知，114cm OA =，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在11OA 方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围，依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在11OA 方向上前进的距离依次为：1114,2,222482⨯⨯⨯ ，则31353842155722244+⨯++⨯=+>+=，黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在11OA 方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，即1311432164316841+281142282331144++⎛⎫⎛⎫++++++≈+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，综合可得培养皿的半径r （*N r ∈，单位：cm ）至少为8cm ，故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在11OA 方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知ln 2ab=，则22ln ln a b -=_______.【答案】4【解析】【分析】直接利于对数的运算性质求解.【详解】因为ln2ab=，所以22222ln ln ln ln 2ln 4a a a a b b b b ⎛⎫-==== ⎪⎝⎭.故答案为：4.12.已知22:(1)3C x y -+= ，线段AB 是过点(2,1)的弦，则AB 的最小值为_______.【答案】2【解析】【分析】借助直径与弦AB 垂直时，AB 有最小，计算即可得.【详解】由22(21)123-+=<，故点(2,1)在圆的内部，且该圆圆心为()1,0设圆心到直线AB 的距离为d ，由垂径定理可得2222AB r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即AB =，故当d 取最大值时，AB 有最小值，又max d ==故2AB =≥=.故答案为：2.13.若443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则0a =_______；13024a a a a a +=++_______.【答案】①.16②.4041-【解析】【分析】借助赋值法，分别令0x =、1x =、=1x -计算即可得.【详解】令0x =，可得40(02)a -=，即40216a ==，令1x =，可得443210(12)a a a a a -=++++，即()44321011a a a a a ++++=-=，令=1x -，可得443210(12)a a a a a --=-+-+，即()443210381a a a a a -+-+=-=，则()()()4321043210420218182a a a a a a a a a a a a a +++++-+-+=++=+=，即42082412a a a ++==，则()42103114140a a a a a =-++==-+-，故130244041a a a a a +=-++.故答案为：16；4041-.14.已知函数π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则5π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________；函数()f x 的图象的一个对称中心的坐标为_______.【答案】①.1-②.π(,0)4-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数表达式，代入即可求出5π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的函数值，根据条件，先求出使()0f x =的一个取值π4x =-，再证明π(,0)4-是()f x 的一个对称中心即可.【详解】因为π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以55ππππsin()sin(214444f ⎛⎫=+⨯=- ⎪⎝⎭，因为()f x 定义域为R ，当π4x =-时，ππππ()sin sin()04442f ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，下证π(,0)4-是()f x 的一个对称中心，在π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上任取点()00,P x y ，其关于π(,0)4-对称的点为00π(,)2P x y '---，又00000000ππππππ()sin sin 2()sin()sin(π2)sin()sin(2)224244f x x x x x x x y ⎛⎫--=--+--=----=-+=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象的一个对称中心的坐标为π(,0)4-，故答案为：1-；π(,0)4-（答案不唯一）15.已知函数()f x =①函数()f x 是奇函数；②R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根；③已知P 是曲线()y f x =上任意一点，1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，则12AP ≥；④设()11,M x y 为曲线()y f x =上一点，()22,N x y 为曲线()y f x =-上一点.若121x x +=，则1MN ≥.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】②③④【解析】【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对0k >与0k <分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.【详解】对①：令30x x -≥，即有()()110x x x +-≥，即[][]1,01,x ∞∈-⋃+，故函数()f x 不是奇函数，故①错误；对②：0()f x kx kx -=-=kx =，当0x =00-=，故0是该方程的一个根；当0x ≠，0k >kx =，故0x >，结合定义域可得[]1,x ∞∈+，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有242k x +=或242k x -=（负值舍去），则20122k x ++=>=，故2210x k x --=必有一个大于1的正根，即0()f x kx -=必有一个大于1的正根；当0x ≠，0k <kx =，故0x <，结合定义域有[)1,0∈-x ，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有242k x =或242k x +=（正值舍去），令244k t +=>，即24k t =-，则22211711744242412222k t x ⎫⎛⎫---⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===>=-，即212k x =>-，故2210x k x --=在定义域内亦必有一根，综上所述，R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令(),P x y，则有y =222321124AP x x x ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，令()3214g x x x =++，[][]1,01,x ∞∈-⋃+，()()23232g x x x x x =='++，当()21,1,3x ∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故()g x 在21,3⎛⎫--⎪⎝⎭、()1,∞+上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()1111144g -=-++=，()110044g =+=，故()14g x ≥恒成立，即214AP ≥，故12AP ≥，故③正确；对④：当12x x =时，由[][]1,01,x ∞∈-⋃+，121x x +=，故1212x x ==-，此时，124y y =-==，则12MN =≥，当12x x ≠时，由()y f x =与()y f x =-关于x 轴对称，不妨设12x x <，则有1210x x -≤<≤或121012x x -≤≤<≤≤，当121012x x -≤≤<≤≤时，由2121x x x -≥≥，有121MN x x =≥-≥，故成立；当1210x x -≤<≤时，即有211x x =-，由③知，点M 与点N 在圆2211:24A x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上或圆外，设点()1,M x m '与点()2,N x n '在圆上且位于x 轴两侧，则1M N ''=,故1MN M N ''≥=；综上所述，1MN ≥恒成立，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当1x 、2x 都小于零时，MN 的情况.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，sin cos 2b C B c =.（1）求B ∠；（2）若4a b c =+=，求ABC 的面积.【答案】（1）π6（2【解析】【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到sin 2B B +=，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果；（2）根据（1）中π6B =及条件，由余弦定理得到22126c b c +-=，再结合4b c +=，即可求出2c =，再利用三角形面积公式，即可求出结果.【小问1详解】因为sin cos 2b C B c =，由正弦定理可得sin sin cos 2sin B C C B C =，又(0,π)C ∈，所以sin 0C ≠，得到sin 2B B +=，即π2sin(23B +=，所以πsin()13B +=，又因为(0,π)B ∈，所以2ππ3B +=，得到π6B =.【小问2详解】由（1）知π6B =，所以2223cos 22a cb B ac +-==，又a =，得到22126c b c +-=①，又4b c +=，得到4b c =-代入①式，得到2c =，所以ABC 的面积为11πsin 2sin 226ABC S ac B ==⨯⨯= .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD BC M //为BP 的中点，//AM 平面CDP .（1）求证：2BC AD =；（2）若,1PA AB AB AP AD CD ⊥====，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥P ABCD -存在且唯一确定.（i ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（ⅱ）设平面CDP ⋂平面BAP l =，求二面角C l B --的余弦值.条件①：BP DP =；条件②：AB PC ⊥；条件③：CBM CPM ∠=∠.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析；（ⅱ）77【解析】【分析】（1）借助线面平行的性质定理与中位线的性质即可得；（2）（i ）借助线面垂直的判定定理即可得；（ⅱ）结合所给条件建立适当的空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得.【小问1详解】取PC 的中点N ，连接,MN ND ，因为M 为BP 的中点，所以1,//2MN BC MN BC =，因为//AD BC ，所以//AD MN ，所以,,,M N D A 四点共面，因为//AM 平面CDP ，平面MNDA 平面CDP DN =，AM ⊂平面MNDA ，所以//AM DN ，所以四边形AMND 为平行四边形，所以MN AD =，所以2BC AD =；【小问2详解】（i ）取BC 的中点E ，连接,AE AC ，由（1）知2BC AD =，所以EC AD =，因为//EC AD ，所以四边形AECD 是平行四边形，所以1,EC AD AE CD ===，因为1AB CD ==，所以112AE BC ==，所以90BAC ∠= ，即AB AC ⊥，选条件①：BP DP =，因为1,AB AD PA PA ===，所以PAB 与PAD 全等，所以PAB PAD ∠=∠，因为AB PA ⊥，所以90PAB ∠=o ，所以90PAD ∠= ，即AP AD ⊥，又因为AB AC A ⋂=，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ；（ⅱ）由（i ）知AP ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以AP AC ⊥，因为,1PA AB AP ⊥=，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则()()10,0,1,0,,,22P C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1313,,0,,,12222CD PD AC ⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，设平面PDC 的法向量为(),,n x y z = ,则0n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102213022x y x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，令x =，则1,y z =-=，于是1,n =-，因为AC 为平面PAB 的法向量,且7cos ,7AC n AC n AC n ⋅===-⋅,所以二面角C l B --的余弦值为77.选条件③：CBM CPM ∠=∠，(i)因为CBM CPM ∠=∠，所以CB CP =，因为1,AB AP CA CA ===，所以ABC 与APC △全等，所以90∠=∠= PAC BAC ，即PA AC ⊥，因为PA AB ⊥，又因为AB AC A ⋂=，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ；(ii)同选条件①.不可选条件②，理由如下：由（i ）可得AB AC ⊥，又PA AB ⊥，PA AC A = ，PA 、AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ，又因为PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥，即AB PC ⊥是由已知条件可推出的条件，故不可选条件②.18.某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：科普测试成绩x科普过程性积分人数90100x ≤≤4108090x ≤<3a 7080x ≤<2b 6070x ≤<123060x ≤<02（1）当35a =时，（i ）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X 为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X 的数学期望()E X ；（2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y ，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y .若根据表中信息能推断12Y Y ≤恒成立，直接写出a 的最小值.【答案】（1）（i ）0.45；（ⅱ）589；（2）7.【解析】【分析】（1）（i ）求出科普过程性积分不少于3分的学生数，再求出频率，并用频率估计概率即得；（ⅱ）求出X 的所有可能值，由（i ）的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率，再求出期望即得.（2）求出1Y 的最大值，再求出100名学生科普测试成绩的平均值2Y 的最小值，由题设信息列出不等式求解即得.【小问1详解】当35a =时，（i ）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为103545+=，则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为450.45100=，所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45.（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为35735109=+，所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为79，同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为29，X 的所有可能值为6，7，8，7749(6)9981P X ==⨯=，7228(7)29981P X ==⨯⨯=，224(8)9981P X ==⨯=，所以X 的数学期望4928458()6788181819E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】由表知，10232100a b ++++=，则65b a =-，从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y ，则1Y 的最大值为69，100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y ，要12Y Y ≤恒成立，当且仅当2min ()69Y ≥，显然2Y 的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，因此2min 1683()108070(65)602302]10010a Y a a +=⨯++-+⨯+⨯=，则6836910a+≥，解得7a ≥，所以根据表中信息能推断12Y Y ≤恒成立的a 的最小值是7.19.已知椭圆22:G x my m +=的离心率为12,,2A A 分别是G 的左、右顶点，F 是G 的右焦点.（1）求m 的值及点F 的坐标；（2）设P 是椭圆G 上异于顶点的动点，点Q 在直线2x =上，且PF FQ ⊥，直线PQ 与x 轴交于点M .比较2MP 与12MA MA ⋅的大小.【答案】（1）2m =，()1,0F （2）122MA A MP M <⋅【解析】【分析】（1）借助离心率计算即可得；（2）设()00,P x y ，表示出M 与Q 点坐标后，可得2MP 、12MA MA ⋅，借助作差法计算即可得.【小问1详解】由22:G x my m +=，即22:1x G y m+=，由题意可得1m >，故2=，解得2m =，故22:12x G y +=1=，故()1,0F ；【小问2详解】设()00,P x y ，00,0x y ≠，0x <<，有220012x y +=，由PF FQ ⊥，则有()()001210Q x y y -⋅-+⋅=，即01Q x y y -=，由0PQ k ≠，故有0002Q My y y x x x -=--，即有()()()2000000000200000022211M Q y x y x y x x x x x x y y x y y y ---=-=-=------()200320000022000012222422x x x x x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪--+⎝⎭=-=---()()32320000002200000002222242222x x x x x x x x x x x x x ----+=-==---，由22:12x G y +=可得()1A、)2A ，则22222222000000022200002444441322x x MP x y x y x x x x x ⎛⎫=-+=-++=-++-=-+ ⎪⎝⎭，1220002242MA MA x x x ⎛⋅==- ⎝，则222001222004432122x x MP MA MA x x -⋅=-+-+=-，由0x <<，故20102x -<，即212MP MA MA <⋅.20.已知函数12()ea x f x x -=.（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+∈+∞存在最大值，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的增区间为(),2∞-，减区间为(2,)+∞（2）1a ≥-【解析】【分析】（1）对函数求导，得到121(1))e 2(a x f x x -=-'，再求出()0f x '>和()0f x '<对应的x 取值，即可求出结果；（2）令2()()e h x f x a -=+，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的单调区间，进而得出()h x 在(0,)+∞上取值范围，从而将问题转化成1222ee e a a a ---+≥成立，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性，即可求出结果.【小问1详解】易知定义域为R ，因为12()ea x f x x -=，所以11122211(1)()e2e e 2a x a x a x x x x f ----=-'=，由()0f x '=，得到2x =，当2x <时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+.【小问2详解】令2()()e h x f x a -=+，则()()h x f x ''=，由（1）知，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+，所以()h x 在2x =时取得最大值12(2)2e e a h a --=+，所以当2x >时，1222()e e e (0)a x h x x a a h ---=+>=，当02x <<时，()(0)h x h >，即当,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，所以函数122()ee a x g x x a --=+在(0,)+∞存在最大值的充要条件是1222e e e a a a ---+≥，即122122e e e e +e 02a a a a a -----++=≥，令12()e e x m x x --=+，则12()e e 0x m x --'=+>恒成立，所以12()e e x m x x --=+是增函数，又因为22(1)e e 0m ---=-=，所以12()e e 0a m a a --=+≥的充要条件是1a ≥-，所以a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数122()e e a x h x x a --=+，利用函数单调性得到,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性来解决问题.21.已知：()2*12:,,,2,m Q a a a m m ≥∈N为有穷正整数数列，其最大项的值为m ，且当0,1,,1k m =- 时，均有(1)km i km j a a i j m ++≠≤<≤.设00b =，对于{0,1,,1}t m ∈- ，定义{}1min ,t t n b n n b a t +=>>，其中，min M 表示数集M 中最小的数.（1）若:3,1,2,2,1,3,1,2,3Q ，写出13,b b 的值；（2）若存在Q 满足：12311b b b ++=，求m 的最小值；（3）当2024m =时，证明：对所有2023,20240Q b ≤.【答案】（1）11b =，36b =（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合定义逐个计算出1b 、2b 、3b 即可得；（2）当3m =时，可得12310b b b ++≤，故4m ≥，找到4m =时符合要求的数列Q 即可得；（3）结合题意，分两段证明，先证10122024b ≤，定义1120251012,2k k C C C ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，再证得2024k C b k ≤，即可得证,【小问1详解】由:3,1,2,2,1,3,1,2,3Q ，00b =，则{}1min 0,0n b n n a =>>，故11b =，则{}2min 1,1n b n n a =>>，故23b =，则{}3min 3,2n b n n a =>>，故36b =；【小问2详解】由题意可知，3m ≥，当3m =时，由1n a ≥，{}1min 0,0n b n n a =>>，故11b =，则{}2min 1,1n b n n a =>>，由题意可得123a a a ≠≠，故2a 、3a 总有一个大于1，即22b =或23b =，{}32min ,2n b n n b a =>>，由456a a a ≠≠，故4a 、5a 、6a 总有一个大于2，故36b ≤，故当3m =时，12310b b b ++≤，不符，故4m ≥，当4m =时，取数列:4,1,3,2,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4Q ，有11b =，23b =，37b =，即12311b b b ++=，符合要求，故m 的最小值为4；【小问3详解】因为{}11min ,,0,1,,2023t n b nn b a t t +=>>= ∣，所以11,0,1,,2023i b b t +>= ，(i)若12024t b +≤，则当1t n b +<时，至少以下情况之一成立：①n a t ≤，这样的n 至少有t 个，②存在,i i t b n ≤=，这样的n 至多有t 个，所以小于1t b +的n 至多有2t 个，所以1121t b t t t +≤++=+，令212024t +≤，解得11012t +≤，所以10122024b ≤，(ii)对*k ∈N ，若12024t t b k b +≤<，且()1202420241t l k b k ++<≤+，因为{}1min ,t l t l n b nn b a t l +++=>>+∣，所以当()12024,t l n k b ++∈时，至少以下情况之一成立：①n a t l ≤+，这样的n 至多有t l +个；②存在,i t i i l <≤+且i b n =，这样的n 至多有l 个，所以120241202421t l b k t l l k t l ++≤++++=+++，令212024t l ++≤，解得20232t l -⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，即202512t t l +⎡⎤++≤⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，所以当12024t t b k b +≤<时，()2025220241t b k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤+；综上所述，定义1120251012,2k k C C C ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，则2024k C b k ≤，依次可得：2345671518,1771,1898,1961,1993,2009C C C C C C ======，89102017,2021,2023C C C ===，所以202320241020240b ≤⨯=.【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解所给出的定义，由给定数列结合新定义探求出数列的相关性质，进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.。

高三数学(文科)期中考试试卷

2011--2012高三数学（文科）期中考试试题命题人：曹丽丽考试时间：120分一、选择题（5分×12=60分）1、已知集合{}{}{}()()=⋃===B C A C B A U U U 则,5,4,3,7,5,4,2,7,6,5,4,3,2,1 （） A ．{}6,1 B ．{}5,4 C ．{}7,5,4,3,2 D ． {}7,6,3,2,12、若b a R c b a >∈,、、，则下列不等式成立的是 ( )A.ba 11<. B.1122+>+cbca C. 22ba >. D. ||||cbc a >3、 {}{}项和为的前则中，等比数列4,32,452n n a a a a ==（）A ．8B ．16C ．30D ．32 4、函数2log2-=x y 的定义域是（）A ．),3(+∞B ．),4(+∞C ．),3[+∞D ．),4[+∞5、函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan )(πx x f 的单调增区间是( )A ．Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,2,2ππππ B ．()Z k k k ∈+,,πππC ．Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+-,4,43ππππ D ．Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,43,4ππππ 6、在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是 ( )A ．0=+CB ADB ．AC AB AD =+C ．DC AB =D ． BD AD AB =-7、a ),3,(b )2,4(a 且，向量已知向量x ==∥等于则x b ,（） A ．6 B ．5 C ．9 D ．38、如果等差数列{}n a 中，,12543=++a a a 则7S =（） A.14 B.21 C.28 D. 359、在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆 ρ＝3截得的弦长为( )． A ．22B ．2C ．52D ．3210、为了得到函数R x x y ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=,32sin π的图像，只需把R x x y ∈=,2sin 的图像上所有的点 A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度11 、一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍):则第8行中的第5个数是( )A.68B.132C.133D.260 12、若y x ,满足表达式1)2(22=+-yx ，则4-x y 的取值范围是（）A.]3,3[-B. )3,3(-C. ]33,33[- D. )33,33(-二、填空题（5分×4=20分）13、的值是0930sin __________14、已知23)(23++=xax x f ，若4)1(=-'f ，则a 的值为_______________15、正数b a ,满足121=+ba，则b a +的最小值为_______________16、若x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y 则y x z +=2的最大值为_______________三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）17、设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，2sin a b A =．（1）求B 的大小；（2）若a =5c =，求b ．18、有三个数成等差数列，它们的和是18，如果这三个数分别加上1，2，7，则成等比数列，（1）求这三个数的值：（2）在（1）的条件下，这三个数构成等差数列}{a n 若1001=a ，（)0<d ，求nS n 取何值时，当取最大值：19、已知向量),cos ,1(b ),1,(sin a θθ==向量22πθπ<<-（1）若b a ⊥，求θ；（2）求|b a |+的最大值．20、已知：in ,c o s ),(c o s ,c o s )a x xb x x ==，122)(-+⋅=m b a x f（R m x ∈,）．（1）求()f x 关于x 的表达式，并求()f x 的最小正周期；（2）若]2,0[π∈x 时，()f x 的最小值为5，求m 的值．21. 已知关于x 的二次方程0112=+-+x a x a n n ，)(+∈N n 的两根α、β满足326=-+αββα）（，（1）试用n a 表示1+n a （其中0≠n a ）；（2）若11=a ，求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-32n a 是等比数列；（3）当671=a 时，求数列}{a n 的通项公式。

(精)河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学(理)试卷(含答案)

河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合},06|{2N x x x x A ∈>++-=，}2,1,0,1{-=B ，则=B A （） A ．}2,1{ B ．}2,1,0{ C ．}1,0{ D ．}2,1,0,1{- 2．已知实数n m ,满足53)24)((+=-+i i ni m ，则=+n m （） A ．59 B ．511 C ．49 D ．4113．给出下列命题：①已知R b a ∈,，“1>a 且1>b ”是“1>ab ”的充分条件；②已知平面向量,，“1||,1||>>”是“1||>+”的必要不充分条件； ③已知R b a ∈,，“122≥+b a ”是“1||||≥+b a ”的充分不必要条件； ④命题p ：“R x ∈∃0，使100+≥x ex 且1ln 00-≤x x ”的否定为p ⌝：“R x ∈∀，都有1+<x e x 且1ln ->x ”.其中正确命题的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是（）A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个 5．设函数)3cos()(ϕ+=x x f ，其中常数ϕ满足0<<-ϕπ.若函数)(')()(x f x f x g +=（其中)('x f 是函数)(x f 的导数）是偶函数，则ϕ等于（） A ．3π-B ．65π-C ．6π-D ．32π- 6．执行如图的程序框图，如果输入的k b a ,,分别为3,2,1，输出的815=M ，那么判断框中应填入的条件为（）A ．k n <B ．k n ≥C ．1+<k nD ．1+≥k n 7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为A ．08B ．07C ．02D ．018．已知R k ∈，点),(b a P 是直线k y x 2=+与圆32222+-=+k k y x 的公共点，则ab 的最大值为（） A.15B.9C.1D. 35-9．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域存在点),(00y x ，使0200≤++ay x 成立，则实数a 的取值范围是（）A ．1-≤aB ．1-<aC ．1>aD ．1≥a10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（） A ．25 B ．32 C ．60 D ．10011．已知在ABC Rt ∆中，两直角边1=AB ，2=AC ，D 是ABC ∆内一点，且060=∠DAB ，设),(R ∈+=μλμλ，则=μλ（） A ．332 B ．33C ．3D ．32 12．已知函数)(x f 的定义域为D ，若对于)(),(),(,,c f b f a f D b a ∈∀分别为某个三角形的边长，则称)(x f 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①)(ln )(32e x e x xf ≤≤=；②x x f cos 4)(-=；③)41()(21<<=x x x f ；④1)(+=x xe e xf .其中为“三角形函数”的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是 .14．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 .15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 .16．若函数)(x f 的图象上存在不同的两点),(11y x A ，),(22y x B ，其中2211,,,y x y x 使得222221212121||y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称函数)(x f 是“柯西函数”. 给出下列函数：①)30(ln )(<<=x x x f ；②)0(1)(>+=x xx x f ；③82)(2+=x x f ；④82)(2-=x x f .其中是“柯西函数”的为 .三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*),1(34N n a S n n ∈-=. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）令n n a b 2log =，记数列})1)(1(1{+-n n b b 的前n 项和为n T ，证明：2131<≤n T . 18．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于)180,170[（单位：cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于)180,175[（单位：cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19．菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，6,2==AC AB ，点F E ,分别在CD AD ,上，45==CF AE ，EF 交BD 于点H ，将D E F ∆沿EF 折到EF D '∆位置，10'=OD .（1）证明：⊥H D '平面ABCD ；（2）求二面角C A D B --'的正弦值.20．设抛物线)0(42>=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21=e 的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=. （1）求抛物线的方程椭圆的方程；（2）若)1,21[∈λ，求||PQ 的取值范围. 21．已知函数21)ln(21)(2+--=ax a x x a x f . （1）设xx f x g 1)()(+=，求函数)(x g 的单调区间；（2）若0>a ，设))(,()),(,(2211x f x B x f x A 为函数)(x f 图象上不同的两点，且满足1)()(21=+x f x f ，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：10>ax . 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos t y t m x （t 为参数，πα<≤0），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，射线)44(πϕπϕθ<<-=，4πϕθ+=，4πϕθ-=分别与曲线C交于C B A ,,三点（不包括极点O ）. （1）求证：||2||||OA OC OB =+；（2）当12πϕ=时，若C B ,两点在直线l 上，求m 与α的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数|12|||)(-++=x m x x f . （1）当1=m ，解不等式3)(≥x f ；（2）若41<m ，且当]2,[m m x ∈时，不等式|1|)(21+≤x x f 恒成立，求实数m 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．3- 14．2 15．23224++ 16．①④三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(1)当1=n 时，有)1(34111-==a S a ，解得41=a ，当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 )1(34)1(3411---=-=--n n n n n a a S S a 整理得41=-n na a ∴数列}{n a 是以4=q 为公比，以41=a 为首项的等比数列∴)(444*1N n a n n n ∈=⨯=-. （2）由（1）有n a b nn n 24log log 22===，则)12(1121(21)12)(12(1)1)(1(1+--=-+=-+n n n n b b n n∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n )121121()5131()311[(21+--++-+-=n n )1211(21+-=n 易知数列}{n T 为递增数列，∴211<≤n T T ，即2131<≤n T .18．(1) 第一组学生身高的中位数为1742176172=+，第二组学生身高的中位数为5.1742175174=+；（2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A ，761)(2723=-=C C A P ，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为76；（3）X 的所有可能取值是0，1，2，3101)0(23252223===C C C C X P ，52)1(23251223221213=+==C C C C C C C X P ，3013)2(23251213122222=+==C C C C C C C X P ，151)3(23251222===C C C C X P X 的分布列为15153302521)(=⨯+⨯+⨯=X E . 19．解：(1)∵45==CF AE ， ∴CDCFAD AE =，∴AC EF //， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD AC ⊥，∴BD EF ⊥，∴DH EF ⊥，∴H D EF '⊥ ∵6=AC ，∴3=AO ；又5=AB ，OB AO ⊥，∴4=OB ，∴1=⋅=OD AOAEOH ，∴3'==H D DH ， ∴222|'||||'|H D OH OD +=，∴H D OH '⊥，又∵H EF OH = ， ∴⊥H D '平面ABCD .（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系：)0,3,1(),3,0,0('),0,3,1(),0,0,5(-A D C B ，)0,6,0(),3,3,1('),0,3,4(=-==AC AD AB ，设平面'ABD 的一个法向量为),,(1z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n AB n 得⎩⎨⎧=++-=+033034z y x y x ，取⎪⎩⎪⎨⎧=-==543z y x ， ∴)5,4,3(1-=n ，同理可得平面C AD '的法向量为)1,0,3(2=n ，∴25571025|59||||||cos |2121=⨯+==n n θ，∴25952sin =θ. 20.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+211924942222a b a a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a∴椭圆的方程为13422=+y x ∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1=m ，∴抛物线的方程是x y 42=(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(≠+=k x k y ，由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2消去x 整理得0442=+-k y ky （） ∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴016162>-∆k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421=y y ①，ky y 421=+②， ∵F F 11λ=，)0,1(1-F ∴),1(),1(2211y x y x +=+λ ∴21y y λ=，③由①②③消去21,y y 得22)1(4+=λλk . ∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(k k ky y y y ky y k-+=-++=-+=441616k k -=，即=2||PQ 441616k k -，将22)1(4+=λλk 代入上式得， =2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224-++=-++=-+λλλλλλλ，∵λλλ1)(+=f 在)1,21[∈λ上单调递减，∴)21()()1(f f f ≤<λ，即2512≤+<λλ， ∴<041716)21(2≤-++λλ， ∴217||0≤<PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(. 21．解：(1) 21)ln(2)(2+-=ax a x a x g ,xax a x a a x g )2(2)('2-=-= ①0>a 时， )(x g 定义域为),0(+∞当)2,0(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)2,0(a上单调递减；当),2(+∞∈a x 时，0)('>x g ，故)(x g 在),2(+∞a上单调递增； ②0<a 时，)(x g 定义域为)0,(-∞当)2,(a x -∞∈时，0)('>x g ，故)(x g 在)2,(a-∞上单调递增；当)0,2(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)0,2(a上单调递减. （2）10>ax 2121212x ax a x x ->⇔>+⇔0)1(21)('222≥-=-+=a xx ax a x f ，故)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增，只需证：1)()1(2=+x f x f ，21)1(=af ，不妨设2110x ax <<< axa x x a ax x ax a a x f x a f x F ln 21)2ln(221)2(1)()2()(22--+-----=-+-=则0)2()1(4222)2(1)('2232222≤---=-+---=ax x ax ax a x a ax a x x F ax 1≥∀，从而)(x F 在),1[+∞a上单调递减，故0)1()(2=<aF x F ，即（）式. 22.解：(1)证明：依题意，ϕcos 4||=OA ，)4cos(4||πϕ+=OB ，)4cos(4||πϕ-=OC ，则=+||||OC OB ++)4cos(4πϕ||2cos 24)4cos(4OA ==-ϕπϕ（2）当12πϕ=时，C B ,两点的极坐标分别为)6,32(),3,2(ππ-，化为直角坐标)3,1(B ，)3,3(-C ，经过点C B ,的直线方程为)2(3--=x y ，又直线l 经过点)0,(m ，倾斜角为α，故2=m ，32πα=. 23.解：(1) 当1=m 时，|12||1|)(-++=x x x f ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤---<-=)21(3)211(2)1(3)(x x x x x x x f由3)(≥x f 解得1-≤x 或1≥x ，即原不等式的解集为),1[]1,(+∞--∞ . （2）|1|)(21+≤x x f ，即|1||12|21||21+≤-++x x m x ，又]2,[m m x ∈且41<m 所以410<<m ，且0>x 所以|12|21|1|221--+≤+x x m x 即|12|2--+≤x x m令|12|2)(--+=x x x t ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<+=)21(3)210(13)(x x x x x t ，所以]2,[m m x ∈时， 13)()(min +==m m t x t ，所以13+≤m m ，解得21-≥m ，所以实数m 的取值范围是)41,0(.欢迎访问“高中试卷网”——。

2020-2021石家庄市一中实验学校高三数学下期中第一次模拟试卷(带答案)

2020-2021石家庄市一中实验学校高三数学下期中第一次模拟试卷(带答案)一、选择题1．下列结论正确的是（） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+D<a b <2．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±B ．3C ．2D ．13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96S S =（） A ．2B ．73C ．83D ．34．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 22n n S T n +=，则77a b =（） A ．4126B ．2314C ．117D ．1165．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A．1 B．1 C ．＋2D ．26．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则 1a ＜1b7．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（） A ．8B ．10C ．12D ．168．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （）A ．18B ．34C ．23 D ．169．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（）A ．1B ．3C ．6D ．910．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=)222S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒11．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么{}n a 的前7项和7S =（） A ．22B ．24C ．26D ．2812．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若sin 2sin 0b A B +=，b =，则ca的值为（）A ．1BCD二、填空题13．设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 .14．ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos (32)cos b C a c B =-.当b =2ac =，ABC ∆的面积为______.15．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若三角形的面积222)4S a b c =+-，则角C =__________． 16．在数列{}n a 中，“()n 12n a n N*n 1n 1n 1=++⋯+∈+++，又n n n 11b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和n S 为______．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a=，且对于任意1n >，*n N ∈，满足11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________18．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++=L _________． 19．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 20．不等式211x x --<的解集是．三、解答题21．在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积.22．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 114=，公比q >0，S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列.（1）求{a n }；（2）设b n ()()22212n n n n c n b b log a +==+，，求数列{c n }的前n 项和T n .23．已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC V 为锐角三角形，角A所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC V 的面积．24．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=，（1）求角C 的大小；（2）若2,b c ==，求ABC ∆的面积. 25．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=．（1）求角A 的大小：（2）若a =2b =．求ABC V 的面积．26．在数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，223()n n S n a n N *+=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b a a ++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明14n T <.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】选项A 中，当c=0时不符，所以A 错．选项B 中，当2,1a b =-=-时，符合22a b >，不满足a b >，B 错．选项C 中, a c b c +>+,所以C 错．选项D中，因为0≤<b ，由不等式的平方法则，()()22a b <，即a b <．选D.2．C解析：C 【解析】【分析】【详解】解：∵234,,1a a a +成等比数列， ∴，∵数列{}n a 为递增的等差数列，设公差为d ， ∴，即，又数列{}n a 前三项的和，∴，即，即d ＝2或d ＝−2（舍去），则公差d ＝2．故选：C ．3．B解析：B 【解析】【分析】首先由等比数列前n 项和公式列方程，并解得3q ，然后再次利用等比数列前n 项和公式，则求得答案．【详解】设公比为q ，则616363313(1)1113(1)11a q S q q q a q S qq---===+=---， ∴32q =，∴93962611271123S q S q --===--．故选：B ．【点睛】本题考查等比数列前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解.4．A解析：A 【解析】依题意，113713113713132412226132a a a S b b b T +⋅===+⋅.5．D解析：D 【解析】由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－∵a 、b 、c >0.∴(a ＋c )·(a ＋b )≤22b c 2a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，∴2a ＋b ＋c＝1)＝－2. 故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误6．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C7．C解析：C 【解析】【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论．【详解】Q 最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．8．A解析：A 【解析】【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.9．D解析：D 【解析】【分析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++=L ，可得31212log 12a a a =L ，进而可得()6121212673a a a a a ==L ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.10．D解析：D 【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值．【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及()2223S b a c =+-，得13sin 2cos 2ab C ab C =⋅, 整理得tan 3C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．11．D解析：D 【解析】试题分析：由等差数列的性质34544123124a a a a a ++=⇒=⇒=，则考点：等差数列的性质12．D解析：D 【解析】分析：由正弦定理可将sin23sin 0b A a B +=化简得3cosA 2=-，由余弦定理可得222227a b c bccosA c =+-=，从而得解.详解：由正弦定理，sin23sin 0b A a B +=，可得sin23sin 0sinB A sinA B +=，即2sin 3sin 0sinB AcosA sinA B += 由于：0sinBsinA ≠，所以3cosA 2=-：，因为0＜A ＜π，所以5πA 6=．又3b c =，由余弦定理可得22222222337a b c bccosA c c c c =+-=++=. 即227a c =，所以7c a =. 故选：D ．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．二、填空题13．【解析】【分析】【详解】根据题意由于函数对任意恒成立分离参数的思想可知递增最小值为即可知满足即可成立故答案为解析：33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】【详解】根据题意，由于函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，22222()4(1)(1)11xm x x m m--≤--+-，分离参数的思想可知，,递增，最小值为53，即可知满足33,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭即可成立故答案为33,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭． 14．【解析】【分析】由利用正弦定理得到再用余弦定理求得b 可得ac 利用面积公式计算可得结果【详解】由正弦定理可化为所以在三角形中所以因为所以又所以由余弦定理得又所以有故的面积为故答案为【点睛】本题考查了正 325 【解析】【分析】由()2cos 32cos b C a c B =-，利用正弦定理得到2cos 3B =，再用余弦定理求得b ，可得a 、c ，利用面积公式计算可得结果. 【详解】由正弦定理()2cos 32cos b C a c B =-可化为2sin cos 3sin cos 2sin cos B C A B C B =-，所以()2sin 3sin cos B C A B +=，在三角形中，()sin sin B C A +=，所以2sin 3sin cos A A B =，因为sin 0A ≠，所以2cos 3B =，又0B π<<，所以25sin 1cos 3B B =-=，由余弦定理得2224323b a c ac =+-=，又2a c =，所以有2967c =. 故ABC ∆的面积为22196965325sin sin sin 27737S ac B c B c B =====⨯=. 325. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【解析】分析：利用面积公式和余弦定理结合可得详解：由余弦定理：可得：∴∵∴故答案为：点睛：在解三角形时有许多公式到底选用哪个公式要根据已知条件根据待求式子灵活选用象本题出现因此联想余弦定理由于要求角解析：π3.【解析】分析：利用面积公式in 12s S ab C =和余弦定理结合可得．详解：由)2221sin 2S a b c ab C =+-=．余弦定理：2222cos a b c ab C +-=，可得：12cos sin 42ab C ab C =，∴tan C = ∵0πC <<， ∴π3C =．故答案为：π3．点睛：在解三角形时，有许多公式，到底选用哪个公式，要根据已知条件，根据待求式子灵活选用，象本题出现222a b c +-，因此联想余弦定理2222cos a b c ab C +-=，由于要求C 角，因此面积公式自然而然选用in 12s S ab C =．许多问题可能比本题要更复杂，目标更隐蔽，需要我们不断探索，不断弃取才能得出正确结论，而这也要求我们首先要熟记公式．16．【解析】【分析】运用等差数列的求和公式可得可得由数列的裂项相消求和化简可得所求和【详解】解：则可得数列的前n 项和故答案为【点睛】本题考查数列的前项和首先运用数列的裂项法对项进行分解然后重新组合最终达解析：4nn 1+ 【解析】【分析】运用等差数列的求和公式可得()n 11na n n 1n 122=⋅+=+，可得()n n n 11411b 4a a n n 1n n 1+⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【详解】解：()n 12n 11na n n 1n 1n 1n 1n 122=++⋯+=⋅+=++++，则()n n n 11411b 4a a n n 1n n 1+⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，可得数列{}n b 的前n 项和n 1111111S 4122334n n 1⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭ 14n 41n 1n 1⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．故答案为4n n 1+．【点睛】本题考查数列的前n 项和，首先运用数列的裂项法对项进行分解，然后重新组合，最终达到求和目的，考查化简整理的运算能力，属于基础题． 17．91【解析】【分析】由Sn+1+Sn ﹣1＝2（Sn+1）可得Sn+1﹣Sn ＝Sn ﹣Sn ﹣1+2可得an+1﹣an ＝2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】∵对于任意n ＞1n∈N*满足Sn+解析：91【解析】【分析】由S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1），可得S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2，可得a n+1﹣a n ＝2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】∵对于任意n ＞1，n∈N *，满足S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1），∴n≥2时，S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2，∴a n+1﹣a n ＝2．∴数列{a n }在n≥2时是等差数列，公差为2．则10S ＝1+9×29822⨯+⨯=91．故答案为91【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．【解析】试题分析：所以所以考点：累加法；裂项求和法解析：40322017【解析】试题分析：111,n n n n a a n a a n +--=+-=，所以()11221112n n n n n n n a a a a a a a a ---+=-+-++-+=L ，所以11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，122016111140322120172017a a a ⎛⎫+++=-= ⎪⎝⎭L . 考点：累加法；裂项求和法.19．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是解析：-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果.【详解】根据题干表达式得到2341231111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 5674551111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 可以得数列具有周期性，周期为3，故得到20193673.÷=故得到2019 2.a =-故答案为：-2.【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项. 20．【解析】【分析】【详解】由条件可得解析：{}|02x x <<【解析】【分析】【详解】由条件可得三、解答题21．见解析【解析】【分析】若选①：利用正弦定理可得(a b)()(c b)a b c +-=-,即222b c a bc +-=,再利用余弦定理求得cos A ,进而求得bc ,从而求得面积；若选②：利用正弦定理可得sin sin sin cos()6A B B A π=+,化简可得tan 3A =,即6A π=,利用余弦定理求得bc ,从而求得面积；若选③：根据正弦定理得sin sinsin sin 2B C B A B +=,整理可得3A π=,进而求得面积【详解】解：若选①：由正弦定理得(a b)()(c b)a b c +-=-，即222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为(0,)A π∈，所以3A π=. 又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 若选②：由正弦定理得sin sin sin cos()6A B B A π=+.因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6A A π=+，化简得1sin sin 22A A A =-，即tan 3A =，因为0A π<<，所以6A π=. 又因为2222cos 6a b c bc π=+-，所以2222bc =，即24bc =-所以111sin (246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- 若选③：由正弦定理得sin sin sin sin 2B C B A B +=，因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以sinsin 2B C A +=，又因为B C A +=π-，所以cos 2sin cos 222A A A =，因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A ≠， 1sin22A ∴=，26A π=，所以3A π=. 又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理处理三角形中的边角关系,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力22．（1）a n 11()2n +=；（2）T n 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦. 【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T .【详解】（1）由S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列，可得2（S 3+a 3）=S 2+a 2+S 1+a 1，即有2a 1（1+q +2q 2）=3a 1+2a 1q ，化为4q 2=1，公比q >0，解得q 12=. 则a n 14= ⋅（12）n ﹣111()2n +=；（2）b n 212222111()(2)(1)n n log a log n --===+， c n =（n +2）b n b n +2=（n +2）⋅22221111(1)(3)4(1)(3)n n n n ⎡⎤=-⎢⎥++++⎣⎦，则前n 项和T n =c 1+c 2+c 3+…+c n ﹣1+c n14=[22222222221111111111243546(2)(1)(3)n n n n -+-+-++-+-+++L ] 2211111449(2)(3)n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦ 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，考查裂项求和法，属于中档题.23．（1）,2p p 轹÷ê÷÷êøë；（2 【解析】【分析】（1）利用降次公式化简()f x ，然后利用三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间.（2）由()0f A =求得A ，用余弦定理求得c ，由此求得三角形ABC 的面积.【详解】（1）依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+?，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p p 轹÷ê÷÷êøë. （2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 02a c b B ac +-==<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为11sin 532224bc A =⨯⨯⨯=. 【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.24．(1) 120.C =o （2【解析】试题分析：（1）由()2cos cos cos 0C a C c A b ++=根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos sin sin 0C B B +=，可得1cos 2C =-，即可得解C 的值；（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可得结果.试题解析：(1)()2cos cos cos 0C a C c A b ++=Q ，由正弦定理可得()()2020,20cosC sinAcosC sinBcosA sinB cosCsin A C cosCsinB sinB ∴++=∴+=∴+=即又10180,sin 0,cos ,120.2B B C C <<∴≠∴=-=o o o 即（2）由余弦定理可得(2222222cos12024a a a a =+-⨯=++o又10,2,sin 2ABC a a S ab C ∆>=∴== ABC ∴∆ 25．（1）4A π=（2）4【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sin 0B ≠求出sin cos 0A A -=，即可确定出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cosA 的值代入求出c 的值，再由b ，sinA 的值，利用三角形面积公式求出即可．详解：在ABC V 中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=．即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以sin cos 0A A -=04A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为()0,A π∈，所以4A π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，则22044c c =+-⋅⎝⎭．即2160c -=．解得c =-c =所以12422S =⨯⨯=．· 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.26．（1）31n n a =-；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）首先根据已知得到()112213n n S n a ++++=，然后两式相减得到132n n a a +=+，构造{}1n a +是公比为3的等比数列，求通项公式；（2）根据（1）113111()(31)(31)23131n n n n n n b ++==-----，再利用裂项相消法求和，证明14n T <. 【详解】（1）223n n S n a +=Q ，1122(1)3n n S n a ++∴++=，两式相减得132n n a a +=+ ，113(1)n n a a ++=+∴ ，又111223,2S a a +==∴，∴数列{}1n a +是以3为首项， 3为公比的等比数列，13,31n n n n a a +==-∴∴（2）113111()(31)(31)23131n n n n n n b ++==----- 22311111111........2313131313131n n n T +⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭∴ 1111142314n +=-⋅<- 【点睛】本题重点考查了由递推公式求通项，以及裂项相消法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.。

2014届北京市丰台区高三下学期期中练习(一模)文科数学试题(含答案)(2014.03)(高清版)

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] 上的最小值和最大值.
（16）（本题共 13 分）年龄在 60 岁（含 60 岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有 350 人，他们的健康状况如下表：健康指数 60 岁至 79 岁的人数 80 岁及以上的人数 2 120 9 1 133 18 0 34 14 -1 13 9
其中健康指数的含义是：2 代表“健康”，1 代表“基本健康”，0 代表“不健康，但生活能够自理”，-1 代表“生活不能自理”。（Ⅰ）随机访问该小区一位 80 岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于 0 和不大于 0 进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取 5 位，并随机地访问其中的 3 位.求被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄人的健康指数不大于 0 的概率.
开始 i=0,x=1
（2）已知等比数列 {an } 中， a2 a3 ＝1， a4 a5 ＝2，则 a6 a7 等于 i=i+1 （A）2 （C）4 （B）2 2 （D）4 2
x 1
1 x
否
（3）执行如图所示的程序框图，输出的 x 值为
8 5 5 （C） 3
（A）
29 12 13 （D） 8
1 ( x 0) 图象上，那么 f (a) f (b) 的最 x
小值是____________. （13） A，B 两架直升机同时从机场出发，完成某项救灾物资空投任务.A 机到达甲地完成任务后原路返回；B 机路过甲地，前往乙地完成任务后原路返回.图中折线分别表示 A， B 两架直升机离甲
sin cos 的值为_______________. sin cos
i 在复平面内对应的点的坐标是____________. 2i （11）以点（-1,1）为圆心且与直线 x y 0 相切的圆的方程为____________________.

浙江省宁波诺丁汉大学附中2024学年高三下学期期中数学试题

浙江省宁波诺丁汉大学附中2024学年高三下学期期中数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 534i =+，则复数z 的虚部为（） A ．45 B ．45- C ．45i D ．45-i 2．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．33．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（）A ．512QR +B ．512RQ +C ．512RD - D ．512RC - 4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（）A 3B ．36C 3D 23 5．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞6．2(1i i+=- ) A ．132i + B ．32i + C ．32i - D ．132i -+ 7．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ D ．函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈ 8．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（）A ．2B ．1C ．2-D ．3-9．将函数f (x )=sin 3x 3 3x +1的图象向左平移6π个单位长度，得到函数g (x )的图象，给出下列关于g (x )的结论： ①它的图象关于直线x =59π对称； ②它的最小正周期为23π； ③它的图象关于点(1118π，1)对称； ④它在[51939ππ，]上单调递增.其中所有正确结论的编号是（）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④10．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（）A ．35B ．36C ．45D ．5411．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（）A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-<D ．228a b +> 12．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（） A ．32y x =± B ．y x =± C ．2y x =± D ．3y x =±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省安阳市安阳县一中2014届高三下学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案

河南省安阳县第一高级中学2014届高三期中考试数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1． 300cos 的值是( ) A ．21B ．21-C ．23 D ．23-2．已知集合}121|{},72|{-<<+=≤≤-=m x m x B x x A 且≠B φ，若A B A =⋃则( ) A ．43≤≤-m B ．43<<-mC ．42<<mD ．42≤<m3．已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于( )A ．17B. 7C. 17-D. 7-4. 已知等差数列{}241071510S n a a a ==中，，，则前项和＝( )A.420B.380C.210D.1405. 已知a>0,b>0，则ab ba 211++的最小值为( ) A ．2 B. 22 C. 4 D.25 6. 已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=,)31(x 那么)21(f 的值是( )A ．33 B ．－33 C ．3 D ．－37. 设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（） A ．4)11)((≥++ba b a B ．b a b a 22222+≥++C ．3223b ab b a a +≥+ D ．b a b a -≥-8．凸多边形各内角依次成等差数列，其中最小角为120°，公差为5°，则边数n 等于（） A ．16 B ．9C ．16或9D ．129．已知函数a x x x f ++=2sin 3cos 2)(2（a 为常数）的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，)(x f 的最大值为6，则a 等于（）A ．3B ．4C ．5D ．610. 已知向量)4,(),2,1(x b a == ，若向量a∥b ，则x=( )A. 21-B.21D. -2 D. 211．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（）A ．(0)(2)2(1)f f f +≥B. (0)(2)2(1)f f f +>C ．(0)(2)2(1)f f f +≤D ．(0)(2)2(1)f f f +<12. 已知0,1||,1||=⋅==OB OA OB OA ，点C 在AOC ∠30o=的边AC 上，设),(+∈+=R n m n m ，则mn等于( ) A.13B. 3C. 3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13．已知00>>b a ，，且满足3=+b a ，则ba 41+的最小值为． 142=2=，a 与b 的夹角为 45，要使λ-b a 与a 垂直，则λ=15. 已知O 是坐标原点，点()1,1A -.若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是__________. 16．已知函数()()22log 1,02,0x x f x x x x ⎧+>=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是。

江西省红色六校2025届高三数学试题下学期期中考试

江西省红色六校2025届高三数学试题下学期期中考试注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，若()//2c a b +，则λ=（）A ．2-B ．1-C ．12-D ．122．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（） A ．20B ．27C ．54D ．64 3．函数()x f x e ax =+（0a <）的图像可以是（）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()sinx 12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）①绕着x 轴上一点旋转180︒;②沿x 轴正方向平移;③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④5．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（）．A ．2B ．3C ．1D ．66．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（）A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称 D ．()y f x =的最大值是327．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（）A ．23B 6C 3D ．138．函数()1ln 1x f x x-=+的大致图像为（） A ． B ．C ．D ．9．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（） A ． B ． C ． D ．10．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( )A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i -11．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．6B ．5C ．2D ．3212．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）A ．314B ．1114C ．114D ．27二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届湖北省荆州市部分县市下学期高三期中模拟数学试题试卷

2024届湖北省荆州市部分县市下学期高三期中模拟数学试题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =，则实数a 的值可以为（）A ．2B ．1C ．0D ．2-2．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A ．23B ．21C ．35D ．323．已知函数()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<4．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b -=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（） A ．43B ．54C ．65D ．765．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A ．83B ．163C ．43 D ．8 6．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（）A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()277．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（）A ．12 B ．1- C ．±1D ．12±8．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1B ．2C ．3D ．79．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（） A ．23-B ．23C ．3D ．-310．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，，根据以上规律，则1010x y ⊗=（）A ．255B ．419C ．414D ．25311．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2243S a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．1B ．22C 62- D 62+12．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．(3⎤⎦B ．)3,⎡+∞⎣C ．(5D ．)5,⎡+∞⎣二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市大同中学2022届高三下学期期中数学试题(含答案解析)

上海市大同中学2022届高三下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{|ln(3)}M x y x ==-，{|e }x N y y ==，则R ()M N ⋂=ð__．2．已知复数i1iz =-（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =________．3．5(2)x y -的展开式中23x y 的系数为__．4．记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35a S =，145a a a =，则n a =________.5．直线11031-+=-x y 的倾斜角为__．6．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有__种．7．已知点(5,2)A ，点F 为抛物线24y x =的焦点，点P 在抛物线上移动，则||||PA PF +的最小值为__．8．中国古塔多为六角形或八角形﹒已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形ABCDEFGH ，如图所示，2AB a =，则AC AE ⋅=__．9．已知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π2tan tan 43θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+__．10．已知函数2log ,02()3,2x x f x x x ⎧<<=⎨-+≥⎩，若123,,x x x 均不相等，且123()()()f x f x f x ==，则123x x x ⋅⋅的取值范围是___________11．过点()1,1P 的直线与椭圆22132x y +=交于点A 和B ，且AP PB λ= .点Q 满足AQ QB λ=-，若O 为坐标原点，则线段OQ 长度的最小值为__________.12．若()*(,)2),,=+∈∈n n f x y y n x y N R ，则下列结论中正确的有_____．①若(1,,1),=n n n n n f a a b 为整数，则3321a b -=；②(1,1)(1,1)n n f f --是正整数；③21(1,1)n f --是21(1,1)n f -的小数部分；④设(1,1)-=n n n f c ，若n c 、n d 为整数，则212(1)5++-=n n n c d .二、单选题13．已知a ，b ∈R ，则“0ab ≠”的一个必要条件是（）A ．0a b +≠B ．220a b +≠C ．330a b +≠D ．110a b+≠14．函数()1cos xf x x=+在(),ππ-上的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．15．已知函数()4sin(2)2(0)3f x x πωω=-->在[]0,π内有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（）A ．75,62⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．75,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．75,124⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．75,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 为C 的左支上任意一点，直线l 是双曲线的一条渐近线，PQ l ⊥，垂足为Q ．当2PF PQ +的最小值为6时，1FQ 的中点在双曲线C 上，则C 的方程为（）A ．222x y -=B ．224x y -=C ．22116y x -=D ．22124x y -=三、解答题17．如图，在多面体ABCDE 中，AEB △为等边三角形，AD BC ∥，BC AB ⊥，CE =，22AB BC AD ===，F 为EB 的中点.(1)证明：AF ∥平面DEC ；(2)求锐二面角A CD E --的余弦值.18．已知四边形ABCD 内接于圆O ，2AB =，30ADB ∠=︒，BAD ∠是钝角.(1)求AC 的最大值；(2)BD =ABCD 周长的最大值.19．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即:设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是:当x ∈[25，1600]时，①f(x)是增函数;②f (x)≤75恒成立; ③()5xf x ≤恒成立．(1)判断函数() 1030xf x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;(2)已知函数()()51g x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．20．已知圆M 过点(1,0)，且与直线=1x -相切．(1)求圆心M 的轨迹C 的方程；(2)S 为轨迹C 上的动点，T 为直线40x y ++=上的动点，求||ST 的最小值；(3)过点(2,0)P 作直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '．问A B '是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．21．已知n 行n 列()2n ≥的数表111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⎪= ⎪⎪⋅⋅⋅⎝⎭ 中，对任意的{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅，{}1,2,,j n ∈⋅⋅⋅，都有{}0,1ij a ∈.若当0st a =时，总有11nnit sj i j a a n ==+≥∑∑，则称数表A 为典型表，此时记11n nn ij i j S a ===∑∑.(1)若数表001100110B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1100110000110011C ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，请直接写出B ，C 是否是典型表；(2)当6n =时，是否存在典型表A 使得617S =，若存在，请写出一个A ；若不存在，请说明理由；(3)求n S 的最小值.参考答案：1．(]0,3【分析】根据对数函数的定义域与指数函数的值域，结合交集与补集的运算求解即可.【详解】集合{}{|ln(3)}3M x y x x x ==-=，{}{|e }0xN y y y y ===，所以R {|3}M x x =≤ð，则R ()(0,3]M N ⋂=ð．故答案为：(]0,32．i 12--【分析】利用复数的除法化简可得i 12z -=，再结合共轭复数的定义，即得解【详解】由题意，i i (1i)i 11i (1i)(1i)2z ⨯+-===--+故i 12z --=故答案为：i 12--3．80-【分析】根据二项式展开式的通项公式，直接计算即可得到结果.【详解】展开式的通项公式为55155C (2)C (2)r rr rr r r r T xy x y --+=-=⋅-，令52r -=，则3r =，所以23x y 的系数为335C (2)80⋅-=-．故答案为:80-4．3n -##3n -+【分析】利用1,a d 表示出已知的等量关系，解方程组求得1,a d 后，利用等差数列通项公式求解即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由35145a S a a a =⎧⎨=⎩得：()111115425234a d a d a a d a d⨯⎧+=+⎪⎨⎪+=+⎩，解得：121a d =⎧⎨=-⎩，()213n a n n ∴=--=-.故答案为：3n -.5．1πarctan3-【分析】将直线化为一般式，得到其斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系，即可得到结果.【详解】直线方程为13(1)0-++=x y ，斜率为13-，则倾斜角为1πarctan 3-．故答案为:1πarctan 3-6．60【分析】先根据部分均匀分组，由先分组再分配解决即可.【详解】由题知，①将5名大学生分成1,2,2的三组，有22153122C C C 15P =种分组方法，②甲同学所在的组不去观看冰球比赛，有2种情况，剩下的2组任意选择，有222P 4=种情况，所以有15460⨯=种方案．故答案为：607．6【分析】作出图形，过点P 作直线=1x -的垂线，垂足为点E ，由抛物线的定义可知，当点A 、P 、E 三点共线时，即当AP 与直线=1x -垂直时，||||PA PF +取得最小值，即可求解.【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线方程为=1x -，过点P 作直线=1x -的垂线，垂足为点E ，由抛物线的定义得PF PE =，||||||||PA PF PA PE +=+，当点A 、P 、E 三点共线时，即当AP 与直线=1x -垂直时，||||PA PF +取得最小值，且最小值为516+=．故答案为：6.8．2(8a +【分析】根据投影的定义，可得212⋅= AC AE AE ，结合余弦定理即可得到AE =，从而得到结果.【详解】由投影的概念，212⋅= AC AE AE ，因为2AB a =，正八边形每个内角为135︒，则22222cos135(8AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=+，易得ACE △为等腰直角三角形，则AE =，所以2221(82⋅===+ AC AE AE AC ．故答案为：2(8a +9．35-##-0.6【分析】利用和差公式计算得到tan 3θ=，再化简得到原式为22tan tan tan 1θθθ-+，代入计算得到答案.【详解】π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π2tan tan 43θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以1tan 2tan 1tan 3θθθ+=--，所以22tan 5tan 30θθ--=，所以tan 3θ=或1tan 2θ=-（舍去），所以22sin cos 2sin (cos sin )sin (cos sin )sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ-==-++2222sin (cos sin )tan tan 3sin cos tan 15θθθθθθθθ--===-++．故答案为：35-10．(2,3)【分析】不妨设123x x x <<，结合函数图像可得2122log log x x =，从而得出121=x x ，即可得出答案.【详解】不妨设123x x x <<，由图可得，()21223log log 30,1x x x ==-+∈，所以2122log log ,x x =-即121=x x ，由123()()()f x f x f x ==得，3(2,3)x ∈，所以123x x x 的取值范围是(2,3)故答案为：(2,3)11【分析】利用向量数乘的坐标运算可得()22222211221323232x y x y mn λλ⎛⎫⎛⎫+-+=-+ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此可求得Q 点轨迹为直线，将问题转化为原点到直线距离的求解即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q m n ，()111,1AP x y ∴=-- ，()221,1PB x y =-- ，()11,AQ m x n y =-- ，()22,QB x m y n =--，由AP PB λ= ，AQ QB λ=- 得：()()121211x x m x x m λλ⎧-=-⎪⎨-=--⎪⎩，()121211x x x x m λλλλ+=+⎧∴⎨-=-⎩，两式相乘得：()2222121x x m λλ-=-，同理可得：()222121y y n λλ-=-，()22222211221323232x y x y m n λλ⎛⎫⎛⎫∴+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意知：0λ>且1λ≠，否则与AQ QB λ=- 矛盾，132m n∴+=，Q ∴点轨迹为132yx +=，即直线2360x y +-=，∴线段OQ长度的最小值即为原点到直线的距离，min OQ ∴【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够利用向量坐标运算求得动点Q 的轨迹方程，根据轨迹为直线可将问题转化为坐标原点到直线距离的求解.12．①③④【分析】求出33,a b 可判断①的正误；取2n =可判断②的正误；利用二项式定理可判断③的正误；分n 为偶数和n 为奇数两种情况分析讨论，结合二项式定理可判断④的正误.【详解】①因为3333(1,1)2)38==+=f a ，所以3338,17==a b ，则3321a b -=，①正确；②(1,1)(1,1)2)2)--=--n n n n f f ，因为2222(1,1)(1,1)2)2)--=-=f f③21212121(1,1)(1,1)2)2)-------=--n n n n f f 22222)2)--=-n n 2212324222222)C 2C (2n n n n n -----⎡⎤=+⋅+⋅+⎣⎦ 2212324222222)C ((2)C ((2)n n n n n -----⎡⎤-+⋅-+⋅-+⎣⎦222242224C (2)n n n ---⎡⎤+⋅-+⎣⎦= 12332532223C C 2n n n n ----⎤+++⋅⎦ ，两部分都是整数，所以21212121(1,1)(1,1)Z 2)2)n n n n f f ------=-∈-，且21210(1,1)2)1--<-=-<n n f ，所以21(1,1)n f --是21(1,1)n f -的小数部分，③正确；④(1,1)2)-==n n n n f c ，当n 为奇数时，11333C (2)C 2()n n n n n c --=-+⋅-+ ，0222C C (2)n nn n n -=+-+ ，011222C C (2)C ((2)(2)n n n n n nn n c ---=--+-+= ，所以)2))12-=+=-n n n n n n c c ，故212(1)5++-=n n n c d ，当n 为偶数时，0222444C C (2)C (2)n n n n n n n c --=⋅+⋅⋅-+⋅-+ ，11333555C (2)C ((2)C ((2)n nn n n n ---=⋅⋅-+-+⋅-+ ，2)-=-n n n c ，所以2)12))-=+=--n n n n n n c c ，所以212(1)5++-=n n n c d ，故④正确；故答案为:①③④．【点睛】关键点点睛：③中将21212121(1,1)(1,1)2)2)-------=-n n n n f f 转化为二项展开式的形式展开求解，④的讨论关键在于当n 为奇数时，11333C (2)C 2()n n n n n c --=-+⋅-+ ，0222C C (2)n nn n n -=+-+ ，n 为偶数时，0222444C C (2)C ((2)n nn n n n c --=⋅+⋅⋅-+⋅-+ ，11333555C (2)C ((2)C ((2)n nn n n n ---=⋅⋅-+-+⋅-+ .13．B【分析】利用3,3a b ==-否定ACD 选项，进而得答案.【详解】解：对于A 选项，当3,3a b ==-时，0ab ≠，此时0a b +=，故0a b +≠不是0ab ≠的必要条件，故错误；对于B 选项，当0ab ≠时，220a b +≠成立，反之，不成立，故220a b +≠是0ab ≠的必要条件，故正确；对于C 选项，当3,3a b ==-时，0ab ≠，但此时330a b +=，故330a b +≠不是0ab ≠的必要条件，故错误；对于D 选项，当3,3a b ==-时，0ab ≠，但此时110a b +=，故故110a b+≠不是0ab ≠的必要条件，故错误.故选：B 14．A【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由函数在()0,π上的取值可判断【详解】因为()()1cos()1cos x xf x f xx x--==-=-+-+所以函数()1cos xf x x=+为奇函数，故排除选项C ，D ；因为在()0,π上，()0f x >，所以排除选项B ．故选：A ．15．D 【分析】根据给定条件确定23x πω-的范围，求解不等式作答.【详解】由()0f x =得1sin(232x πω-=，而当[]0,x π∈，0ω>时，22333x πππωπω-≤-≤-，又5131sin sin sin 6662πππ===，函数()f x 在[]0,π内有且仅有两个零点，于是得5132636ππππω≤-<，解得75124ω≤<，所以ω的取值范围是75[,)124.故选：D16．B【分析】由双曲线定义21||||2PF PF a -=得到21122PF PQ PF PQ a F Q a +=++≥+，再利用焦点到渐近线的距离为b 求得26b a +=，设出渐近线方程求得1FQ 的中点坐标代入双曲线方程联解求得a b 、的解.【详解】212PF PF a -= ，211||||22PF PQ PF PQ a FQ a ∴+=++≥+，又()1,0F c =- ，()2,0F c =，双曲线的渐近线方程为：b y x a=±，即0bx ay ±=，∴bc b c ==，即1FQ 的最小值为b ，即26b a +=，不妨设直线OQ 为：b y x a=，1F Q OQ ⊥ ，∴点()1,0F c -，2(,)a ab Q c c --，1FQ 的中点为22(,)22a c ab c c+--，将其代入双曲线C 的方程，得：2222222()144a c a a c c+-=，即22222221144a ca a c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=，解得：c =又26b a += ，222+=a b c ，2a b ∴==，故双曲线C 的方程为224x y -=．故选：B.17．(1)证明见解析【分析】（1）考虑所给的条件，找出相应的几何关系即可；（2）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，用空间向量的方法即可.【详解】（1）取EC 中点M ，连结FM ，DM ，∵AD BC FM ∥∥，12AD BC MF ==，∴四边形AFMD 为平行四边形，∴AF DM ∥，又AF ⊄平面DEC ，DM ⊂平面DEC ，AF ∥平面DEC ；（2）∵222EB CB EC +=，∴CB BE ⊥，又∵CB AB ⊥，AB BE B = ，∴CB ⊥平面ABE ，BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABE ，取AB 的中点O ，以OE 为x 轴，AB 为y 轴，过点O 做平行于BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，∴)E ，()0,1,2C ，()0,1,1D -，∴)1,2CE =-- ，()0,2,1CD =-- ，设平面CDE 的一个法向量为(),,n x y z = ，∴2020y z y z --=--=⎪⎩，∴()2n =- ，平面ABCD 的一个法向量为()1,0,0m = ，∴cos ,m n == ，所以平面CDE 和平面ABCD故答案为：证明见解析，4.18．(1)4(2)4+【分析】（1）利用正弦定理求出圆O 的直径即得AC 的最大值；（2）先在ABD △中根据所给条件，利用正弦定理求出BAD ∠的值和AD 的长，然后在BCD △中通过余弦定理和基本不等式求出BC 与CD 之和的最大值即可求解.【详解】（1）设圆O 的半径为R .因为ABD △内接于圆O ，且2AB =，30ADB ∠=︒，由正弦定理得2241sin 2AB R ADB ===∠.又AC 是圆O 的弦，所以4AC ≤，所以AC 的最大值为4.（2）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB =∠∠，即2sin sin 30BAD =∠︒，所以sin 2BAD ∠=.因为BAD ∠是钝角，所以120BAD ∠=︒，所以30ADB ABD ∠=∠=︒，即2AD AB ==.由120BAD ∠=︒得60BCD ∠=︒，设BC x =，CD y =，在BCD △中，由余弦定理得2222cos BD BC DC BC DC BCD =+-⨯⨯∠，即()()()222222123324x y x y x y xy x y xy x y ++⎛⎫=+-=+-≥+-⨯= ⎪⎝⎭，所以x y +≤仅当x y ==x y +取得最大值所以四边形ABCD 周长的最大值为4+.19．(1)函数模型()1030x f x =+，不符合公司要求,详见解析(2)[1，2]【分析】（1）依次验证题干中的条件即可；（2）根据题干得，要满足三个条件，根据三个条件分别列出式子得到a 的范围，取交集即可.【详解】(1)对于函数模型()1030x f x =+,当x ∈[25,1600]时，f (x)是单调递增函数，则f (x)≤f (1600)≤75,显然恒成立，若函数()5x f x ≤恒成立，即10305x x +≤,解得x≥60．∴()5x f x ≤不恒成立，综上所述，函数模型()1030x f x =+，满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型()1030x f x =+，不符合公司要求．(2)当x ∈[25，1600]时，()5(1)g x a =≥单调递增，∴最大值(1600)540575g a ==-≤∴2a ≤设()55x g x =≤恒成立，∴22(5)5x a x ≤+恒成立，即225225x a x ≤++,∵25225x x +≥，当且仅当x=25时取等号，∴a 2≤2+2=4∵a ≥1,∴1≤a ≤2,故a 的取值范围为[1，2]【点睛】这个题目考查了函数模型的应用，这类题目关键是选对函数模型，读懂题意，将实际问题转化为数学问题，利用数学知识解决问题.20．(1)24y x =；(2)2；(3)过定点(2,0)-.【分析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可；（2）根据点到直线距离公式，结合配方法进行求解即可；（3）根据直线斜率公式，结合直线方程进行求解即可.【详解】（1）由题意得点M 到直线=1x -的距离等于到点(1,0)的距离，所以点M 是以(1,0)F 为焦点，以=1x -为准线的抛物线，焦点到准线的距离2p =，所以点M 的轨迹方程为24y x =；（2）设2(4,4)S t t ，S 到直线40x y ++=的距离22=d 2≥=，所以||ST；（3）设223434(,),(,)44y y A y B y ，4322433444AB y y k y y y y -==-+，则直线AB 的方程为34344()0x y y y y y -++=，因为AB 过点(2,0)P ，所以34800-+=y y ，所以348y y =-．因为A '与A 关于x 轴对称，故33,()'-A x y ，同理，直线A B '的方程为34344()0x y y y y y --+-=，因为348y y =-，所以A B '的方程为344()80x y y y --++=，所以直线A B '过定点(2,0)-．【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义是解题的关键.21．(1)B 不是典型表，C 是典型表；(2)不存在；(3)n 为偶数时2min )2(n n S =，n 为奇数时2min 1)(2n n S +=.【分析】（1）由题设典型表的定义，结合给定的数表判断即可.（2）根据题设分析知：数值分配时有6min ()17S ≤即可，结合典型表的定义及数表的对称性确定6S 最小时{}0,1在数表上的分布情况，即可判断是否存在.（3）结合（2）的分析，讨论n 为偶数、奇数情况下n S 的最小值.【详解】（1）对于数表B 有120a =，而211123n ni j i j a a ==+=≥∑∑不成立，故数表B 不是典型表；对于数表C ，当0st a =时总有114n nit sj i j a a ==+≥∑∑成立，故数表C 是典型表.（2）由题设知：当6n =要存在典型表A 使得617S =，则需6min ()17S ≤.∵要使6S 最小，即典型表A 中的“1”最少，又0st a =时总有11n n it sj i j a a n ==+≥∑∑，∴让尽量多的横列和116n nit sj i j a a ==+=∑∑，故将表分成4个33⨯数表，对角的两个数表数值相同，但上下、左右对称的数表数值不同，此时可保证6S 最小.∴如典型表111000111000111000000111000111000111A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，有6min ()18S =.∴不存在典型表A 使得617S =.（3）要使n S 最小，需让尽量多的横列和11n nit sj i j a a n ==+=∑∑或典型表中“1”尽量少，当n 为偶数时，由（2）知：22min )2()2(2n n n S =⨯=；当n 为奇数时，在偶数n 1-的数表中间加一行一列，并在新增行列中添加n 个“1”，即可满足典型数列，此时222min 1(1)1)2()22(2n n n n S n n --+=⨯+=+=；【点睛】关键点点睛：第二问，通过6n =，结合数表的对称性确定6S 最小时的数值分布情况，即可判断存在性，第三问，由第二问6n =情况归纳n 为偶数时min ()n S ，进而推广到n 为奇数时min ()n S .。

2021年高三下学期第三次(期中)质检数学(文)试题含答案

2021年高三下学期第三次（期中）质检数学（文）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设，，则有（）．A．B．C．D．2．关于复数的命题：（1）复数；（2）复数的模为；（3）在复平面内纯虚数与轴上的点一一对应，其中真命题的个数是（）．A．0个B．1个C．2个D．3个3.一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为( ) ．A．长方形B．直角三角形C．圆D．椭圆4．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）．A．B．C．D．5．设是直线，，是两个不同的平面,下列命题正确的是（）．A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若, ，则6．函数的值域为（）．A． [ -2 ,2] B．[-,] C．[-1,1 ] D．[- , ]7．公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，且，则=（）．A．80B．160C．320D．6408．定义在上的函数，满足，，若且，则有（）．A．B．C．D．不能确定9. 倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点（点在轴上方），则的值为( )．A．1B．2C．3D．410．如图：一个周长为1的圆沿着边长为2的正方形的边按逆时针方向滚动（无滑动），是圆上的一定点，开始时，当圆滚过正方形一周，回到起点时，点所绘出的图形大致是（）．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量则的最大值为．12．下列程序框图输出的结果，．13．设变量满足，则的最大值为．14．已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为.15．已知函数,若关于的不等式的解集为，则的取值范围是．三、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知设的内角所对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求边长的最小值．17．已知递增的等差数列与等比数列，满足：(1)求数列的通项公式；(2)求数的前项和．18. （本小题满分12分）已知直角梯形中，，，，是等边三角形，平面⊥平面．（1）求证：；AB（2）求三棱锥的体积．19．（本小题满分12分）某种产品按质量标准分为五个等级.现从一批该产品中随机抽取个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：等级 1频率（1）在抽取的个零件中，等级为的恰有个，求；（2）在（1）的条件下，从等级为和的所有零件中，任意抽取个，求抽取的个零件等级恰好相同的概率.20.（本小题满分13分）已知的定义域为，且满足（1）求及的单调区间；（2）设，且，两点连线的斜率为，问是否存在常数，有，若存在求出常数，不存在说明理由．21.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值．景德镇市xx 届高三第三次质检试卷数学（文）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2）121112213252(21)2n n n n S a b a b a b n -=⋅++=+⋅+⋅+-⋅18. 解：（1）∵，，过作，垂足为，则∴，∴，∴ …………………6分（2）2116433(22)223233P BCD V -==⋅= …………………12分 19.(1)解：由频率分布表得，即 . 由抽取的个零件中，等级为的恰有个，得 . 所以. ………5分(2) ，取又，2222211()()33c b ab a b b b b ∴=++<++=2222211()()33c b ab a a a a a ∴=++>++= 故存在常数．……………………………13分① 当时，线段的垂直平分线方程为令解得由222222(28)646()14141414k k k k k k k k --=++++++综上或 ……………14分 34409 8669 虩24502 5FB6 徶 W32623 7F6F 罯23778 5CE2 峢38874 97DA 韚O30837 7875 硵28605 6FBD 澽= 29051 717B 煻33432 8298芘。

四川省泸州市天立国际学校2024学年高三下学期期中联考数学试题

四川省泸州市天立国际学校2024学年高三下学期期中联考数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A ．2223S S ，且B ．2223S S ，且C ．2223S S ，且D ．2223S S ，且2．设ln3a =，则lg3b =，则（）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b->>+3．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．24(,)e +∞B ．24(0,)e C ．2(0,4)e D ．(0,)+∞4．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（）A ．20B ．15C ．10D ．255．函数()()23ln 1x f x x +=的大致图象是A ．B ．C ．D ．6．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==；若点P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（）A ．131+B ．132+C ．151+D ．152+7．若21i i z =-+，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．3i D ．3i -8．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（） A ．5B ．10C ．15D ．20 9．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40 B ．-20 C ．20 D ．4010．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%11．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-12．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=（）A ．55-B ．55C ．255-D ．255二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海浦东新区2024届高三下学期第二次阶段(期中)考试数学试题

上海浦东新区2024届高三下学期第二次阶段（期中）考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设点A ，B ，C 不共线，则“()AB AC BC +⊥”是“AB AC =”（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件2．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=（）A ．0B ．1C ．673D ．6743．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种 A ．240B ．320C ．180D ．1204．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（） A ．2B ．53C ．43D ．325．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．643B ．64C ．323D ．326．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（） A ．2B ．3C ．2D ．17．圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（） A ．253B ．453C ．3D ．48．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（）A ．[32]-， B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，9．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．10．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（） A ．3,3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭B ．231,3⎛ ⎝⎦ C ．)3,⎡+∞⎣D ．(3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆市西南大学附属中学2023年高三拔尖强基定时期中质检数学试题含答案解析

2023年高三拔尖强基定时期中质检数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、姓名” 与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时150分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知集合(){}|lg 3A x y x ==+，{}2B x x =≥，则下列结论正确的是（） A ．3A -∈B ．3B ∉C ．A B B =D ．A B B ⋃=2．如果复数()()22356i m m m m -+-+是纯虚数，则实数m 的值为（）A ．0B ．2C ．0或3D ．2或33．若函数()f x 同时满足：(1)对于定义域内的任意x ，有()()0f x f x +-=；(2)对于定义域内的任意12,x x ，当1x x ≠时，有()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“理想函数”.给出下列四个函数：①()2f x x =；②()3f x x =-；③()1f x x x=-；④()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩.其中是“理想函数”的序号是（） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④4.已知函数f (x )为偶函数，定义域为R ，当x >0时，f ′(x )<0，则不等式f (x 2－x )－f (x )>0的解集为（） A.()0，1 B.()0，2 C.()－1，1 D.()－2，25.石碾子是我国传统粮食加工工具．如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚(圆柱形)和碾架组成．碾盘中心设竖轴(碾柱)，连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为（）A.3∶2B.5∶4C.5∶3D.4∶36.已知等差数列{a n }的首项a 1≠0，而a 9＝0，则a 1＋a 8＋a 11＋a 16a 7＋a 8＋a 14＝（）A.0B.2C.－1D.127.已知0.60.560.5,0.6,log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（） A.a b c << B.a c b << C.b a c << D.b c a <<8.四面体ABCD 的各个顶点都在球O 的表面上，,,BA BC BD 两两垂直，且3,4,AB BC BD E ===是线段BC 上一点，且2BE EC =，过E 作四面体ABCD外接球O 的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（） A.7π B.9π C.5π D.8π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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