椭圆的几何性质

(± 。顶点坐标是： 5, 0) (0, ±4) 。
解题的关键：1、将椭圆方程转化为标准方程 解题的关键： 、 明确a、 明确 、b x2 y2
25
+
16
= 1
2、确定焦点的位置和长轴的位置 、
当堂检测
x2 y2 1、若焦点在x轴上的椭圆 + = 1 的离心率为 2 m 则m为（ B ）。 3 8 2 A、 3 B、2 C、 D、 3 3
椭圆的几何性质
青云学府数学组 王斌
知识回顾
• 1、椭圆的定义： 、椭圆的定义： • 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数 （大于│F1F2 │）的点的轨迹叫做椭圆，这两 个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭 圆的焦距。 PF1 | + | PF2 |= 2a(2a >| F1 F2 |) | • 2、椭圆的标准方程是 、椭圆的标准方程是：
B1
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ 从图象上看A 从图象上看 1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) 因此，椭圆与它的对称轴共有四个交点， 因此，椭圆与它的对称轴共有四个交点，即：A1、A2、B1、B2。 、 、 、 这四个点叫做椭圆的顶点 椭圆的顶点。 这四个点叫做椭圆的顶点。 线段A 椭圆的长轴，其长度等于2a;线段 1B2叫椭圆的 线段B 线段 1A2叫椭圆的长轴，其长度等于 线段 短轴，其长度等于2b;线段 1C2叫椭圆的焦距，其长度等于 线段C 椭圆的焦距， 短轴，其长度等于 线段 2c. a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。c叫椭圆的半 分别叫做椭圆的长半轴长 叫椭圆的半 、 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 叫椭圆的 焦距。 焦距。 在三角形F2OB2中│OB2│＝b， │OF2│＝c， │F2B2│＝a。 在三角形 ， 。 在直角△ 三者之间的关系。 在直角△ F2OB2中直观地显示出a，b，c三者之间的关系。 中直观地显示出 ， ， 三者之间的关系
x轴、y轴、原点对称 轴 轴 x轴、y轴、原点对称 轴 轴
对称性
离心率
0<e<1
0<e<1
a
四个顶点坐标是
3
A1 ( − 3, 0 ), A2 ( 3, 0 ), B1 ( 0 , − 2 ), B 2 ( 0 , 2 )
变式训练 例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 8 3 焦距是： 6 。 离心率等于： 5 焦点坐标是： ( ±3, 0) 外切矩形的面积等于： 80 。 。 。
演示
互动探究
• 4、离心率 、
(1)离心率的取值范围： 因为 a > c > 0，所以0 <e< 1 (2)离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小(?),椭圆就越扁(?) 2）e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大(?),椭圆就越圆(?) 3）特例:e =0,则 a = b,则 c=0,两个焦点重合,椭圆方程变为 (?)
x2 y2 当焦点在x轴上时 a 2 + b 2 = 1(a > b > 0) y2 x2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 当焦点在y轴上时 a b 3、椭圆中 、b、c间的关系：a2=b2+c2 间的关系： 、椭圆中a、 、 间的关系
知识回顾
• • • • • • • • 4、平面解析几何研究的主要问题是什么？ 、平面解析几何研究的主要问题是什么？ 根据已知条件，求出表示曲线的方程。 通过方程研究曲线的性质。 5、研究性质从哪几方面入手？ 、研究性质从哪几方面入手？ ①组成、范围 ②与坐标轴的交点 ③对称性 ④曲线的变化情况
显然当 显然当e=0时为圆 时为圆 当0<e<1时为椭圆 时为椭圆 当e=1时为线段 时为线段
练习
（1） （2) (3) 问题:判断以上椭圆离心率的大小关系 问题
典型例题
例1
x y + 2 =1 解：把已知方程化成标准方程 2 3 2 9−4 = 5 这里， 这里， a = 3 , b = 2 , c =
故整个椭圆位于y = ±b, x = ± a所围成的矩形内。
练习
判断以下各点是否在椭圆
1 （-4，2
x 2 + y =1 9
3
2
上，
）（1,2） （2， 5 ）
互动探究
2、对称性： 、对称性： • 从图形上看，
A1 F1 b y B2 a F2 A2 x
• 椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
O c
B1
练习
1、根据椭圆的对称性画草图
y
4 3 B 2 2 1
x y + =1 25 4
y
2
2
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
x
2、问题：怎样画出上面椭圆的焦点位置呢？ 、问题：怎样画出上面椭圆的焦点位置呢？ 依据是什么？ 依据是什么？
互动探究
• 4、离心率 、
• 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图 象关于原点成中心对称。 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
练习
x y 若P（3，2）点在椭圆 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
互动探究
1、范围： 、范围： • 从图象上看： -a≤x≤a, -b≤y≤b • 从方程看：
x2 a2 y2 b2 y2
y B2 A1 F1 b a F2 A2 x
O c
B1
= 1 − b2 ≤ 1 ⇒ x 2 ≤ a 2 ⇒ − a ≤ x ≤ a = 1−
x2 a2
≤ 1 ⇒ x 2 ≤ b 2 ⇒ −b ≤ y ≤ b
小结
方 程
x2 a2
+ b2 = 1(a > b > 0)
y o x
y2x2 ຫໍສະໝຸດ 2+ a2 = 1( a > b > 0)
y o x
y2
性 图象 范围 质
顶点坐标
-a≤x≤a,-b≤y≤b
-a≤y≤a,-b≤x≤b
(-a,0), (a,0), (0,-b), (0,b) (-b,0), (b,0), (0,-a), (0,a)
的长轴和短轴的长、 求椭圆 4 x2 + 9y2 =36的长轴和短轴的长、离心率、 的长轴和短轴的长 离心率、 焦点和顶点坐标。 焦点和顶点坐标。 2 2
因此， 因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是 2 a = 6 , 2 b = 4 焦点坐标分别是 c 5 离心率 e = = F 1 ( − 5 , 0 ), F 2 ( 5 , 0 )
1， 2
2、下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴都对 称的是（ D ）。 2 2 2 2 2 x 9x2 x + 2 xy + y = 0 C、 − 4 y = 5 xD、 + y = 4 A、x = 4 y 2 B、 2 x y x2 y2 1 3、方程 2 + 2 =（a＞b＞0,k＞0且k≠1)与方程 a 2 + b 2 = 1 ka kb （a＞b＞0)表示的椭圆（ C ）。 A、有等长的短轴、长轴；B、有共同的焦点； C、有相同的离心率； D、有相同的顶点。 4、如果椭圆的短轴长等于焦距，那么它的离心率 2 等于 。 2
c 椭圆的焦距与长轴长的比：e = a
叫做椭圆的离心率。 思考： 思考： 1 椭圆的离心率在什么范围内？ 椭圆的离心率在什么范围内？ 2 当椭圆的离心率从 到1时椭圆的变化是怎 当椭圆的离心率从0到 时椭圆的变化是怎 么样的？ 么样的？ 3 当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是 ＝ 时 曲线是什么？ ＝ 时曲线又是 什么？ 什么？
则以下哪些点还在这个椭圆上？ A（3，-2）B（2，-3）C（-3，2） D（-2，-3）E（-3，-2）
2 2
互动探究
• 3、顶点 、
x2 y2 A1 在 + = 1 ( a > b > 0 )中 a2 b2 令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
b F1
y B2 a F2 A2 x
O c