第07章03可降阶高阶微分方程

第3节 可降阶的高阶微分方程
我们从最简单的开始。

主要方法是把高阶方程降阶为低阶方程，再解。

3.1 ()()n y f x =情形
3.1.1 1,()n y f x '==即,则()y f x dx C =+⎰. 3.1.2 1n >,则
()
(1)1111(),,()++n n n n n
y f x dx C y f x dx dx C x C x C ---=+=++⎰
⎰⎰
套次不定积分
3.2 （i ）辨认类型：(,)y f x y '''=（不含y ）。

（ii ）解法：还是用x 作新的自变量，记p y '=。

则方程变为
(,)dp
f x p dx
=。

这是一阶方程（未知函数是p ）。

如果它是我们学过的类型，用一阶方程的解法解得通解1(,,)0F x p C =，即
1(,,)0F x y C '=。

这又是一阶方程（未知函数是y ）。

如果它又是我们学过的类型，用一阶方程的解法解得通解12(,,,)0G x y C C =。

这也是原方程的通解。

3.3 （i ）辨认类型：(,)y f y y '''=（不含x ）。

（ii ）解法：用y 作新的自变量，记p y '=，（注意：y '和y ''都是对
x 求导的）则dp dp dy dp y p dx dy dx dy ''=
==。

方程变为(,)dp
p f y p dy
=。

这是一阶方程（未知函数是p ）。

如果它是我们学过的类型，用一阶方程的解法解得通解1(,,)0F y p C =，即1(,,)0F y y C '=。

这又是一阶方程（未知函数是y ）。

如果它又是我们学过的类型，用一阶方程的解法解得通解12(,,,)0G x y C C =。

这也是原方程的通解。

（记住：不含y 时还是用x 作新的自变量；不含x 时就用y 作
离 散
数 学
新的自变量。

）
【例3.2】 求微分方程21x y xy ⅱ +=的通解．
解、21x y xy '''+=是不含y 的二阶方程。

还是用x 作新的自变量，记
p y '=。

则方程变为2
1dp x xp dx +=，即211
dp p dx x x +=。

这是一阶线性方程。

1()P x x =，21()Q x x =，1
()ln P x dx dx x x
==⎰⎰，
()2
1()ln P x dx x Q x e dx x dx x x x ⎰==⎰⎰。

通解11ln x p x C x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，即1
ln x C y x
x
'=
+。

两边积分得原方程的通解 2121
ln ln 2
y x C x C =++
（课本上为什么x 没有绝对值符号？通解不一定是全部解．．．．．．．．．。

） 【例3.3】 解方程：3232
d d 10d d y y
x x
x -?.
解、323210d y d y
dx x dx -=是不含y 的三阶方程。

还是用x 作新的自变量，
记22d y p dx =。

则方程变为1
0dp p dx x -=。

分离变量为11dp dx p x =。

两
边积分得1ln ln p x C '=+，即2126d y
C x dx
=。

再积分两次得原方程的
通解
3123y C x C x C =++
（16C 是为了后面简单。

此例说明降阶法要灵活一点。

）
第1章
集 合
【例3.4】 求方程()3
221y y ⅱ =+的通解. 解、()
3
22
1y y '''
=+既不含y 也不含x 。

两种方法降价都可以。

只讲
不含x 的解法（不含y 的解法见P303例3.4解1）。

用y 作新的自变
量。

记p y '=。

则dp dp y p
dx dy
''==。

方程变为()3
22
1dp p p dy =+。

分离变量为
()
3
22
1p
d p d y
p =+。

两边积分得1y C
=+，即
1
y
'=。

dx
=±。

两边
2
x C '=±+，原方程的通解 ()
()2
2
211x C y C +++=
【例3.5】 求解例1.3
中微分方程 22220d d ()(0)0,(0)gR S t R S S S v ìïï=-ïï+í
ïïï¢
==ïî．
解、()222
2d s gR dt R s =-+是不含t 的方程。

用s 作新的自变量。

记ds
p dt =。

则22d s dp
p dt ds =。

方程变为()22d p g R p ds R s =-+。

分离变量为()
2
2
gR pdp ds R s =-
+。

两边积分得22111
22
gR
p C R s =++，即
d s d t =。

把00
,(0)0t ds v s dt ===代入得2
102C v gR =-，22
2022gR v v gR R s
=+-+。

0v =时s 最大
20max
2
2v R s gR v =-
离 散
数 学
若要卫星脱离地球引力，必需max s ≥+∞即011.2(/)v km s ≥≈。

【例3.6】 求解微分方程：2()0yy y ⅱ -=．
解、()2
0yy y '''-=是不含x 的方程。

用y 作新的自变量。

记p y '=。

则dp y p
dy ''=。

方程变为20dp yp p dy -=。

分离变量为11
dp dy p y
=。

两边积分得1
l n l n p y C '=+，即1dy C y dx
=。

再次分离变量为11
d y C d x y
=。

两边积分得
12ln y C x C '=+，即12C x y C e =，这就是原方程的通解。

（本来110C C e '=±≠，但是，经验证，2y C =也是原方程的解。

）
【例3.7】 求解微分方程1y y ⅱ =+．
解、1y y '''=+既不含y 也不含x 。

两种方法降价都可以。

当作不含
x 的。

用y 作新的自变量。

记p y '=。

则dp dp
y p
dx dy
''=
=。

方程变为1dp p
p dy =+。

分离变量为1p
dp dy p
=+。

两边积分得1ln 1p p y C '-+=+。

但是目前我们无法解1ln 1y y y C '''-+=+。

当作不含y 的。

用x 作新的自变量。

记p y '=。

则dp
y dx
''=。

方程变为
1dp
p dx
=+。

分离变量为
11dp dx p =+。

两边积分得1ln 1p x C '+=+。

即11x y C e '=-。

两边积分得原方程的通解
12x y C e x C =-+
（本来110C C e '=±≠，但是，经验证，2y x C =-+也是原方程的解。

两种方法，繁简不同。

）
第1章
集 合
3.5 二阶方程应用举例
【例3.8】 质量为m 的质点在力()F t 的作用下，沿x 轴作直线运动，0(0)F F =，且随着时间t 的增加，力()F t 均匀减小．当t T =时，
()0F T =；起始时质点位于坐标原点，初速度为零，求质点的运动
方程．
解、设()F t kt b =+。

由0(0),(
)0F F F T ==得0
0,F b F k T
==-。

0
0()F F t F t T
=-。

设质点运动方程为()x x t =。

根据牛顿定律得2002d x F m F t dt T =-。

这是不含x 的二阶方程。

记22,dx d x dp p dt dt dt
==。

方程变为00dp F F t dt m Tm =-。

两边积分得20012F F
p t t C m Tm
=-+。

由
00t dx dt ==得10C =。

2002dx F F
t t dt m Tm
=-。

再次积分得2300226F F
x t t C m Tm =
-+。

由(0)0x =得20C =。

质点运动方程为230026F F
x t t m Tm
=-。

【例3.9】 海上巡逻艇向位于正东方1km 的走私船进行追击，巡逻艇始终对准走私船。

如果走私船以其最大速度0v （0v 为常数）向正北方向逃跑，巡逻艇的速度为
05v ，求巡逻艇的运行轨迹曲线。

解、建立直角坐标系如P306图7.3。

设时间t 时巡逻艇在(,)M x y 点。

此时走私船在0(1,)N v t 。

MN 的斜率01v t y
k x
-=
-。

MN 应该是巡
)t
图3.1
离 散
数 学
逻艇轨迹的切线。

所以01dy v t y dx x
-=-。

005MN v t ==
⎰。

0015v t =⎰。

巡逻艇轨迹应满足
()0115x dy x y dx -=-⎰
这是有积分的等式，我们不会解。

为了把它变成微分方程，两边对
x
求导得()221dy d y dy x dx dx dx -+-=
，即 ()221d y x dx -=这就是巡逻艇轨迹要满足的微分方程。

这是一个不含y 的二阶方程。

记dy
p dx
=。

22
d y dp dx
dx =。

()1dp x
dx -=1151dx x
=-。

两边积分得(
1
l n l n 15
p x C
'+
=--+。

由00x p =
=得0C '=。

(1
ln ln 15
p x
+=--。

p
+=。

=
p
=
p =-
dy dx =两边积分得()()46
5555
11812
y x x C =--+-+。

由(0)0y =得
5
24
C =。

巡逻艇轨迹 ()()46
55555
1181224
y x x =--+-+
第1章
集 合
当1x =时巡逻艇在51,24⎛⎫
⎪⎝⎭
点追上走私船。

【例3.10】 悬链线的方程：设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索只受到重力的作用而下垂。

试求绳索在平衡状态时所
呈现曲线（称为悬链线）的方程。

解、（请看黑板分析。

）曲线应满足
1y
a '=
⎰
这又是一个含积分的等式。

两边求导得
y ''=
这是不含x 的方程。

用y 作新的自变量。

记p y '=，dp
y
p dy
''=。

方程变为
dp p
dy =分离变量为
1dy a =。

两边积分得1
y C a
'=+。

由000,x x p y a =
===得0C '=。

p =。

dy dx =1
dx a =。

两边积分得1ln y x C a
+=+。

由
0x y a
==得
ln C a
=。

1
ln ln
y x a a
+=
+。

1
x
a
y ae =12
x a
ae =，1x a
y ae
-=。

悬
图3.2
离 散
数 学
链线方程
112x x a
a
a y e e -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
习题讲解
1．求下列方程的通解：(3)
20xy y x ⅱ --=
解、20xy y x '''--=不含y 。

记y p '=，dp
y dx
''=。

方程变为1
dp p x
dx x
-=。

()11(),(),()ln ,()P x dx x
P x Q x x P x dx dx x Q x e dx x
x x x ⎰=-==-=-=⎰⎰⎰。

x y x x C x ⎛⎫
''=+ ⎪⎝⎭。

212y x C x '=+。

原方程的通解
32121
3
y x C x C =++。

2．求下列初值问题的解： (2) ()210x y xy ⅱ --=，0
0x y
==，01x y =¢=；
解、()210x y xy '''--=不含y 。

记y p '=，dp
y dx
''=。

方程变为()2
1dp
x xp dx
-=。

分离变量为
2
11x
d p d x p x =-。

两边积分得2
1l n l n 12
p x
C
'=
--+。

p C =。

由01x p ==得
11C =。

dy dx =。

两边积分得arcsin y x C =+。

由00x y ==得0C =。

所要求的特解是arcsin y x =。

3. 试求6y x ⅱ=的经过点(0,1)且在此点与直线21y x =+相切的积分曲线．
第1章
集 合
解、由题意00612
x x y x
y y ==''⎧=⎪=⎨⎪'=⎩。

3
12y x C x C =++。

由0012x x y y ===⎧⎪⎨'=⎪⎩得2112C C =⎧⎨=⎩。

所要求的积分曲线是321y x x =++。

B 类
1．求下列方程的通解： (3)
tan sin 2y y x x ⅱ +=．
解、tan sin 2y y x x '''+=不含y 。

记y p '=，dp
y dx
''=。

方程变为tan sin 2dp
p x x dx
+=。

()tan ,()sin2P x x Q x x ==，()tan ln cos P x dx xdx x
==-⎰⎰，()2sin cos 2cos ()cos cos cos P x dx
x x x
Q x e dx dx x
x x
⎰==-⎰
⎰。

21cos 2cos y C x x
'=-。

积分得原方程的通解
121
sin sin 22
y C x x x C =--+。

习题 7－3
A 类
1．求下列方程的通解： (1) 2ln y x x
ⅱ=； (2) (1)ln(1)x y y x ⅱ ++=+；
(3) 20xy y x ⅱ --=； (4)
()22
01y y y
ⅱ +
=-； (5)
()3
y y y
ⅱⅱ=+；
(6)
2(12)xy x y ⅱ =+．
2．求下列初值问题的解： (1)
2(1)20,(0)0,(0)3x y xy y y ⅱⅱ+-===； (2) ()210x y xy ⅱ --=，0
0x y
==，01x y =¢=；
(3)
31y y ⅱ=,11
()(122
y y ¢==；
离 散
数 学
(4) 20y yy ⅱ -=，0
1x y
==，02x y =¢=．
3. 试求6y x ⅱ=的经过点(0,1)且在此点与直线21y x =+相切的积分曲线．
4. 有一下凸曲线L 位于xOy 面的上半平面内，L 上任一点M 处的法线与x 轴相交，其交点记为B ．如果点M 处的曲率半径始终等于线段MB 之长，并且L 在点(1,1)处的切线与y 轴垂直，试求L 的方程．
B 类
1．求下列方程的通解： (1)
2
1y y ⅱ
=+； (2) 20y y ⅱⅱ -=；
*(3) (1)0yy y y ⅱⅱ-+=；
(4)
tan sin 2y y x x ⅱ +=．
*2. 设有单位质量的质点Q , 受到沿x 方向的力sin P A t w =的作用沿
x
轴运动.其空气阻力与速度成正比，比例系数0k >,其中,A w 为常数.
如果()()00,00x x ¢==,试求质点运动规律．
3. 设子弹以200m/s 的速度射入厚0.1m 的木板，受到的阻力大小与子弹的速度的平方成正比，如果子弹穿出木板时的速度为80m/s ，求子弹穿过木板所用的时间．。