高考数学(理)自由复习步步高系列07(原卷版).docx

【课本内容再回顾——查缺补漏】 回顾一：排列组合与二项式定理 （1）基本计数原理：
①分类加法计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，则完成这件事情，共有N ＝________________种不同的方法．
②分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，完成第一个步骤有m 1种不同的方法，完成第二个步骤有m 2种不同的方法，……，完成第n 个步骤有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N ＝__________________种不同的方法．
③两个基本计数原理的区别与联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以独立完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． （2）排列与组合：
①排列与排列数：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m
n 表示.
排列数公式： !(1)(2)(1)()()!
m
n n A n n n n m m n n m =---+=
≤-L ；!(1)(2)21n
n A n n n n ==--⋅L .
规定0! = 1。

另外，!)!1(!n n n n -+=⋅； 111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A ；
11--=m n m n nA A ，!
1
)!1(1!1n n n n --=-。

注意：相同排列：如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.
②组合与组合数：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元 素的一个组合。

从n 个不同元素中，任意取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示．
组合数公式：(
)(1)(1)!()(1)21!!
m m
n n
m m A n n n m n C m n A m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅-L L ；m m n n A C m =⋅！.规定10==n n n C C 。

组合数公式有两种形式：乘积形式和阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组
合数简化计算．注意公式的逆用．即由()!!!n m n m -写出m
n C .
另外，()m
n m n n C C m n -=≤；111()m m m n n n C C C m n ---=+≤；11k k n n kC nC --=；1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C Λ.
③排列与组合的区别与联系：组合与顺序无关，排列与顺序有关；排列可以分成先选取(组合)后排列两个步骤进行．
12k n n n L 、，，且12 k n n n n =+++L , 则S 的排列个数等于!
!...!!
21k n n n n n =。

（3）二项式定理：
①二项式定理：n n n r r n r n n n n n
n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+--ΛΛ(r ＝0,1,2，…，n )。

二项展开式的通项为
n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r
r n r n r ∈≤≤=-+.
②二项式系数的性质：
（ⅰ）对称性：在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； （ⅱ）增减性与最大值：二项式系数C r
n ，当r <
21+n 时，二项式系数是递增的；当r >2
1
+n 时，二项式系数是递减的．二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大： 当n 是偶数时，中间项是第12+n
项，它的二项式系数2n
n
C 最大；当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第12
1++n 项，
它们的二项式系数2121+-=n n
n n C C 相等且同时取得最大值. （ⅲ）各二项式系数的和：
01r n n n C C C +++L 2n n n C ++=L ；024135
12n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=L L 。

③三项式的处理方法：对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性．如何来求n c b a )(++展开式中含r q p c b a （其中,,,N r q p ∈且n r q p =++）的系数呢？方法一：把n n c b a c b a ])[()(++=++视为二项式，
先找出含有r C 的项r r n r n C b a C -+)(;另一方面在r n b a -+)(中含有q b 的项为q
p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=，故在
n
c b a )(++中含
r
q p c b a 的项为
r
q p q r n r n c
b a C C -.其系数为
r
r q p n p n q r n r
n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --==---⋅-=
!
!!!)!(!)!()!(!!。

方法二：把()n
a b c ++看成n 个式子n 个式子()a b c ++ 相乘，其展开式中含r q p c b a 的系数分三步：第一步，从n 个式子()a b c ++中选p 个式子，从每个式子中均选取a 得到p
a ，共有p
n C 种选法；第二
步，从剩下的n p -个式子()a b c ++中选q 个式子，从每个式子中均选取b 得到q
b ，共有q
n p C -种选法；
第三步，从剩下的n p q --（即r ）个式子中均选取c 得到r c ，共有r
r C 种选法；根据分步乘法计数原
理，含r q p c b a 的系数为p n C q
n p
C -r r C 。

④求系数最大的项或最小的项：一般来说b a by ax n ,()(+为常数）在求系数最大的项或最小的项时，当
11a b ==或时可直接根据二项式系数的性质（ⅱ）求解；当11≠≠b a 或时，一般采用解不等式组
11
1
11(,+-+-+⎩⎨⎧≤≤⎩⎨
⎧≥≥k k k k k k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解。

⑤近似计算的处理方法：当a 的绝对值与1相比很小且n 不大时，常用近似公式na a n +≈+1)1(，因为这时
展开式的后面部分n n n n n
a C a C a C +++Λ3322很小，可以忽略不计。

类似地，有na a n -≈-1)1(但使用这两个公式时应注意a 的条件，以及对计算精确度的要求，据此可以应用其首尾几项进行放缩。

⑥整除性：利用二项式定理解决整除问题时，基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”、添减项结合有关整除知识来处理． ⑦赋值法：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n
、(ax 2
＋bx ＋c )m
(a 、b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n
(a ，b ∈R )的式
子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n
，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)；奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)
2
；偶数项系数之和为a 1＋a 3
＋a 5＋…＝
f (1)－f (－1)
2。

回顾二：统计与统计案例 （1）随机抽样：
①简单随机抽样：一般地，从元素个数为N 的总体中__________地抽取容量为n 的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．最常用的简单随机抽样的方法：____________和________________．简单随机抽样适用范围是：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小。

②系统抽样：假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，第一步，先将总体的N 个个体________；第二步，确定____________，对编号进行________，当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n ；当N n
(n 是样本容量)不是整数时，先用简单随机抽样剔除N n -[N n ]个个体，取k ＝[N n
]；第三步，在第1段用________________确定第一个个体编号l (l ≤k )；第四步，按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号____________，再加k 得到第3个个体编号__________，依次进行下去，直到获取整个样本．系统抽样的适用范围是：元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等。

示，各小长方形的面积总和等于______．连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着__________的增加，作图时所分的________增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为____________，它能够更加精细的反映出_______________________________________________________．
作频率分布直方图的步骤如下：(ⅰ)求极差；(ⅱ)确定组距和组数；(ⅲ)将数据分组；(ⅳ)列频率分布
表；(ⅴ)画频率分布直方图．频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状． ②茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始信息，而且可以随时记录，给记录和表示都带来方便． ③用样本的数字特征估计总体的数字特征：
(ⅰ)平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝______________________________. (ⅱ)样本方差、标准差：标准差s ＝
1n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2
]．标准差、方差描述了
一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差． （3）两个变量间的相关关系：
①有关概念：相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．相关关系是一种非
确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由小变大，这种相关称为正相关；如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关；如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系．
②回归方程：求回归直线，使“离差平方和为最小”的方法叫做最小二乘法，用最小二乘法求得回归方程
$$y bx
a =+$是两个具有线性相关关系的变量的一组数据1122()()()n n x y x y x y L ，，，，，，的回归方程，其中$a
b $、是待定参数．从$a b $、与r 的计算公式$1122211()()()()n
n
i i i i
i i n n
i i i i x x y y x y nx y
b x x x n x a y bx
====⎧
---⎪
⎪==
⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩
∑∑∑∑$$与
()()
n
n
i
i
i i
x x y y x y nxy
r ---=
=
∑∑
可以看出：(ⅰ)回归直线必过点()
,x y ；(ⅱ)b
$与r 符号相同。

③回归分析：是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，主要判断特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式。

比如线性回归分析就是分析求出的回归直线是否有
意义，而判断的依据就是|r |的大小：|r |≤1，并且|r |越接近1，线性相关程度越强；|r |越接近0，线性相关程度越弱。

从散点图来看，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义。

线性相关检验的步骤如下：
(ⅰ)作统计假设：x 与Y 不具有线性相关关系;
(ⅱ)根据小概率0.05与n －2在附表中查出r 的一个临界值0.05r ； （ⅲ）根据样本相关系数计算公式求出r 的值；
（ⅳ）作统计推断，如果|r |>0.05r ，表明有95%的把握认为x 与Y 之间具有线性相关关系； 如果|r |≤0.05r ，我们没有理由拒绝原来的假设。

这时寻找回归直线方程是毫无意义的。

独立性检验：
若2
3.841χ>，则有95%把握认为A 与B 有关；若2
6.635χ>，则有99%把握认为A 与B 有关； 其中2
3.841χ=是判断是否有关系的临界值，2
3.841χ≤应判断为没有充分证据显示A 与B 有关，而不能作为小于95%的量化值来判断．
注意：线性回归分析以散点图为基础，具有很强的直观性，有散点图作比较时，拟合效果的好坏可由直观
性直接判断，没有散点图时，只须套用公式求r ，再作判断即可．独立性检验没有直观性，必须依靠
2χ作判断．
回顾三：概率、离散型随机变量及其分布列 （1）概率的有关概念：
①随机事件和随机试验是两个不同的概念：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，条件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果预先无法确定，这种试验就是随机试验．
②频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．概率是频率的近似值，两者是不同概念。

③基本事件空间：在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，通常用大写希腊字母Ω表示． ④事件的关系与运算：
其中，互斥事件与对立事件的区别与联系是：互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．
（2）古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型， ①有限性试：验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等，简称古典概型．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1
n
；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝
m
n
.从集合的角度去看待古典概型，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故P (A )＝card(A )card(I )＝m
n
.
（3）几何概型：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体
积)成正比，而与A 的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型．在几何概型中，事件A 的概率定义为：P (A )＝
μA
μΩ
，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA 表示子区域A 的几何度量．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；②等可能性：每个结果的发生具有等可能性。

（4）条件概率：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“________”来表示，其计算公式为P(B|A)＝P(A ∩B)
P(A)
.古典概型中，A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝n (A ∩B )n (A )，其中，在实际应用中P (B |A )＝n (A ∩B )
n (A )
是一种重要的求条件概率的方法．
（5）相互独立事件：对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 与B 是相互独立事件．若A 与B 相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A ∩B)＝P(B|A)·P(A)＝P(A)P(B).若A 与B 相互独立，则A 与B 、
A 与
B 、A 与B 也都相互独立，反之，若P(A ∩B)＝P(A)P(B)，则A 与B 是相互独立事件．
注意：“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系：相同点为二者都是描述两个事件间的关系.不
相互独立；但若A 、B 互斥，且P(A)>0 ，P(B)>0，则它们不可能互相独立：因为A 发生的条件下，B 不可能发生，即()
()0P B A P B =≠，所以A 、B 不是相互独立事件． （6）概率的计算公式：
①等可能事件的概率计算公式：()()()m card A P A n card I ==；
②互斥事件的概率加法公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)； ③对立事件的概率计算公式是：P(A )=1－P(A)；
④相互独立事件同时发生的概率计算公式是：P(A •B)＝P(A)•P(B)； ⑤独立事件重复试验的概率计算公式是：()(1)k
k
n k
n n P k C P P -=-。

（7）离散型随机变量及其分布列：
①离散型随机变量的分布列的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X 叫做随机变量；如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量．设离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，
x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表
为离散型随机变量X 的概率分布，或称为离散型随机变量X 的分布列，具有性质： （ⅰ）p i ______0，i ＝1,2，…，n ；（ⅱ）p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝______. ②二点分布：如果随机变量X 的分布列为
其中0<p <1，q ＝1－p ，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布．
③超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为：P (X ＝k )＝C k M C n －k
N －M C n N
(k ＝0,1,2，…，m )，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *
，则称分布列
超几何分布．
④几何分布：“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为
k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那么)A A A A P(k)P(ξk 1k 21-==Λ.根据相互独立事件的概率乘法分式：
))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξk 1k 21-==Λ),3,2,1(1
Λ==-k p q k 于是得到随机变量ξ的概率分布列.
我们称ξ服从几何分布，并记p q p)g(k,1k -=，其中Λ3,2,1.1=-=k p q
⑤二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次
的概率是：k
n k k n q
p C k)P(ξ-==（其中p q n k -==1,,,1,0Λ），于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B （n ·p ），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;q
p C k n k k n ⋅=-.二项分布实际上是对n 次独立重复试验而言的，关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种
结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布。

当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列。

（8）数学期望与方差.
①期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ
1x 2x … i x … P
1p
2p
…
i p
…
则称ΛΛ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
②方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()(Λ===k p x P k k ξ时，则称
Λ
Λ+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差. 显然0D ξ≥，故,D σξξσξ=为ξ的根方差或标准
差
.
求解．
(ⅲ) 若X 服从超几何分布，则E (X )＝
n M
N
⋅； 若X 服从几何分布：E (X )＝1p ；D (X )＝2q p 。

④期望与方差的关系：(ⅰ)如果E ξ和E η都存在，则()E E E ξηξη±=+；
(ⅱ)设ξ和η是互相独立的两个随机变量，则()E E E ξηξη⋅=⋅,()D D D ξηξη+=+（不作要求）； (ⅲ)期望与方差的转化：2
2
()()D E E ξξξ=+； (ⅳ) ()0E E E E ξξξξ-=-=（因为ξE 为一常数）。

记为()2,N μσ，它的密度曲线简称为正态曲线。

正态分布的期望与方差：若()2
,N ξμσ:，则ξ的期望与方差分别为：2
,E D ξμξσ==. ③标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为22()2x
f x π
-=，则称ξ服从标准正态分布. 即()0,1N ξ:。

非标准正态分布与标准正态分布间的关系：若()2,N ξμσ:，则x μησ-=
()0,1N :，据此可以把非标准正态分布的概率转化为标准正态分布的概率：()00x P x P μξησ-⎛
⎫≤=≤ ⎪⎝⎭。

④正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.683；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝
0.954；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997.
⑤“3σ”原则：假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：(ⅰ)提出统计假设，统
计假设里的变量服从正态分布),(2σμN .(ⅱ)确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-.(ⅲ)
做出判断：如果)3,3(σμσμ+-∈a ，接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％ 亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）. 【热点知识再梳理——胸有成竹】
热点一：排列组合问题
【典例】(1)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑
外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答)
(2)将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，且A 、B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种．(用
数字作答)
(3)使⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n
(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为________．
【跟踪练习1】如图所示，在A 、B 间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A 、B 之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．
【跟踪练习2】在(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n
中，若2a 2＋a n －3＝0，则自然数n 的值是________． 热点二：古典概型与几何概型
【典例】已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.
(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率； (2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －8≤0，x >0，
y >0
内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的
概率． 【跟踪练习】(1)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．
(2)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．
热点三：用样本估计总体
【典例】(2012·广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间
是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中a 的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)
x∶y 1∶12∶13∶44∶5
【跟踪练习】
取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶
④x甲>x乙，m甲<m乙
(2)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
运动员第1次第2次第3次第4次第5次
甲8791908993
乙8990918892
【综合模拟练兵——保持手感】
1..高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）
A．1800 B．3600 C．4320 D．5040
2.设函数
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
-
<
-
=
,
,)
1
(
)
(
6
2
x
x
x
x
x
x
f，则当0
>
x时，()
f x的展开式中常数项为（）
A. 20
- B.20 C. 15
- D. 15
3.节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的月秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在4秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后它们第一次闪亮的时刻相差不超过1秒的概率是（）
A．
16
5
B．
16
9
C．
4
1
D．
16
7
4.以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位
数为15，乙组数据的平均数为16.8，则y x ,的值分别为（ ）
A ． 5,2
B ．5,5
C ． 8,5
D ．8,8
5.某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为（ ）
（A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）2
6.将一根长为3m 的木棒随机折成三段，折成的这三段木棒能够围成三角形的概率是（ ）
（A ）78 （B ）38 （C ）14 （D ）18
7.如图，ABC ∆和DEF ∆都是圆内接正三角形，且//BC EF ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在ABC ∆内”，B 表示事件“豆子落在DEF ∆内”，则(B |A)P =（ ）
A ．33
B ．3
C ．13
D ．23
8.在电视节目《爸爸去哪儿》中，五位爸爸个带一名子（女）体验乡村生活.一天，村长安排1名爸爸带3名小朋友去完成某项任务，至少要选1个女孩（5个小朋友中3男2女）,Kimi(男）说我爸爸去我就去，我爸爸不去我就不去；石头（男）生爸爸的气，说我爸爸去我就不去，我爸爸不去，我就去；其他人没意见，那么可选的方案有 种.
9.在区间[]1,2-上随机取一个实数x ，则事件“122x
≤≤”发生的概率为______. 10.对于以下结论：
①.对于()y f x =是奇函数，则(0)0f =；
②.已知p ：事件A B 、是对立事件；q ：事件A B 、是互斥事件；则p 是q 的必要但不充分条件； ③.ln 5ln 3153e
<<(e 为自然对数的底)；
④.若(1,2)a =r ，(0,1)b =-r ，则b r 在a r 上的投影为25； ⑤.若随机变量(10,0.4)B ξ:，则4E ξ=.
其中，正确结论的序号为___________________.
11.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t ）分成六段：
[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90)后得到如图4的频率分布直方图．问：（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.（2）若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在[65,70)的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．
12.某次网球比赛分四个阶段，只有上一阶段的胜者，才能继续参加下一阶段的比赛，否则就被淘汰，选手每闯过一个阶段，个人积分10分，否则0分.甲乙两个网球选手参加了这次比赛，已知甲每个阶段取胜的概率为21，乙每个阶段取胜的概率为3
2. （1）求甲乙两人最后积分之和为20分的概率；
（2）设甲的最后积分为X ，求X 的分布列和数学期望.。